『壹』 向量的加減乘除運演算法則是什麼
向量的加減乘除運演算法則：
一、加法與減法
向量加法：向量相加時，對應分量分別相加。即同方向的兩個向量，其長度相加，方向不變。對於二維向量，橫坐標相加得到新的橫坐標，縱坐標相加得到新的縱坐標。對於三維向量，還要加上z軸的坐標分量。向量的減法同理，對應分量相減即可。最終結果仍然是向量形式，滿足平行四邊形法則或三角形法則。
二、數乘運算
數乘運算即標量與向量的乘積運算。將一個實數與向量相乘，結果仍然是一個向量。該運算遵循分配律和結合律。數乘運算可以改變向量的長度而不改變其方向，當乘以負數時，方向會發生反轉。當數乘因子為絕對值不同的負數時，相當於進行了一次方向相反的平移。特別地，當乘以零時，結果為零向量。
三、點乘
點乘是兩個向量的數量積運算，其結果是一個標量而非向量。點乘的計算方式是對應分量相乘後相加。當兩個向量的夾角小於或等於90度時，點乘結果為正；大於90度時，點乘為負值。這種運算常用於判斷向量的夾角和計算某些物理量。點乘滿足分配律和交換律的結合律。值得注意的是，零向量與任何向量的點乘結果為零。兩個垂直的向量進行點乘的結果是零。另一個重要的性質是，如果兩個向量的點乘結果為負值，說明這兩個向量的夾角大於90度。相反地，如果點乘結果為正值說明夾角小於或等於90度且實際模長為絕對值不等的零角可稱為等值力偶或共線矢量合成為零矢量的情況。
『貳』 向量的運算的所有公式有哪些
01 向量加法遵循平行四邊形法則與三角形法則，並滿足以下運算律：交換律，即 a+b=b+a；結合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。若向量a與向量b互為相反向量，則有 a=-b，b=-a，a+b=0，零向量的反向量仍為零向量。對於起點相同的向量，有 OA-OB=BA，即「從起點O到A的向量減去從起點O到B的向量等於從起點O到B的向量減去從起點O到A的向量」。給定向量 a=(x1,y1) 和 b=(x2,y2)，它們的差向量為 a-b=(x1-x2,y1-y2)。
02 在數學中，向量，亦稱為歐幾里得向量、幾何向量或矢量，是指具有大小與方向的量，常以帶箭頭的線段表示。箭頭指示方向，線段長度表示大小。向量加法遵循平行四邊形法則與三角形法則，且滿足交換律和結合律。若向量a與向量b互為相反向量，則a=-b，b=-a，a+b=0，零向量的反向量仍為零向量。對於起點相同的向量，有 OA-OB=BA，即「從起點O到A的向量減去從起點O到B的向量等於從起點O到B的向量減去從起點O到A的向量」。給定向量 a=(x1,y1) 和 b=(x2,y2)，它們的差向量為 a-b=(x1-x2,y1-y2)。
03 向量與實數的乘法滿足以下運算律：結合律，即 (λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)；分配律，即 (λ+μ)a=λa+μa，以及數乘向量的消去律：若實數λ≠0且λa=λb，則a=b；若a≠0且λa=μa，則λ=μ。
04 向量的數量積（點積）運算律包括：交換律，即 a·b=b·a；結合律，即 (λa)·b=λ(a·b)；分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。向量的數量積具有以下性質：a·a=|a|²，即一個向量與其自身的數量積等於該向量長度的平方；a⊥b〈=〉a·b=0，即兩個向量垂直當且僅當它們的數量積為零；|a·b|≤|a|·|b|，其中|a·b|表示a與b的數量積的絕對值，|a|與|b|分別表示向量a與b的長度。該公式可證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα|，因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|。
05 向量的向量積（叉積）運算律包括：a×b=-b×a，即向量積滿足交換律；(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)，即向量積關於數乘的結合律；a×(b+c)=a×b+a×c=a×c+b×c，即向量積滿足分配律。