求算術平方根演算法設計思想

Ⅰ 算術平方根怎麼開.請舉一些例子.看起來跟清楚.

在這里，我「定義」a^b=a的b次方。

(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)

a代表的是已經計算出來的結果，b代表的是當前需要計算的位上的數。在每次計算過程中，100a^2都被減掉，剩下b(20a+b)。然後需要做的就是找到最大的整數b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。

因此，我就照著書里的方法，推導開立方筆演算法。

(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a+b)]

如果每次計算後都能減掉1000a^3的話，那麼剩下的任務就是找到最大的整數b'，使b'[300a^2+b'(30a+b')]<=b[300a^2+b(30a+b)]。

於是，我就設計了一個版式。下面就開始使用這個版式來檢驗開立方筆演算法。

例如：147^3=3176523

一開始，如下圖所示，將3176523從個位開始3位3位分開。（3'176'523）

第一步，我們知道，1^3 < 3 < 2^3，所以，第一位應該填1。

1^3 = 1，3 - 1 = 2，餘2，再拖三位，一共是2176。

接下來這一步就比較復雜了。因為我水平有限，我現在還不能把它改造得比較好。

依照「b[300a^2+b(30a+b)]」，所以：

1^2*300=300，1*30=30，如圖上所寫。

第二位就填4，所以上圖3個空位都填4。

然後(34*4+300)*4=1744，2176-1744=432，再拖三位得432523。

然後就照上面一樣，

14^2*300=58800，14*30=420，如上圖所寫。

第三位就填7，所以上圖下邊3個空位都填7。

然後(427*7+58800)*7=432523,432523-432523=0，到此開立方結束。

在我以後的一些實踐中，發現越往後開，300*a^2與b(30a+b)的差距就越大，尋找b的工作就越容易，因為結果中有一項是300*a^2*b。

徒手開n次方根的方法:
原理:設被開方數為X,開n次方,設前一步的根的結果為a,現在要試根的下一位,設為b,
則有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差與本段合成);且b取最大值
用純文字描述比較困難,下面用實例說明:
我們求 2301781.9823406 的5次方根:
第1步:將被開方的數以小數點為中心,向兩邊每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在兩端用0補齊;
23'01781.98234'06000'00000'00000'..........
從高位段向低位段逐段做如下工作:
初值a=0,差c=23(最高段)
第2步:找b,條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且為最大值;顯然b=1
差c=23-b^5=22,與下一段合成,
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:a=1(計算機語言賦值語句寫作a=10*a+b),找下一個b,
條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,
b取最大值8,差c=412213,與下一段合成,
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234
第4步:a=18,找下一個b,
條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,
b取最大值7
說明:這里可使用近似公式估算b的值:
當10*a>>b時,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:
b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7
以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;與下一段合成,
c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000
第5步:a=187,找下一個b,
條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,
b取最大值2,差c=28335908584368;與下一段合成,
c=c*10^5+下一段=2833590858436800000
第6步:a=1872,找下一個b,
條件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,
b取最大值4,差c=376399557145381376;與下一段合成,
c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000
.............................
最後結果為:18.724......

以上是轉貼一網站的內容,我自己前半部分有些明白,後半部分還不明白,但我可以確定以上的解答過程才是正確的,而絕不是一個數的3倍.

述求平方根的方法，稱為筆算開平方法，用這個方法可以求出任何正數的算術平方根，它的計算步驟如下：

1．將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段，用撇號分開(豎式中的11'56)，分成幾段，表示所求平方根是幾位數；

2．根據左邊第一段里的數，求得平方根的最高位上的數(豎式中的3)；

3．從第一段的數減去最高位上數的平方，在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個余數(豎式中的256)；

4．把求得的最高位數乘以20去試除第一個余數，所得的最大整數作為試商(3×20除 256，所得的最大整數是 4，即試商是4)；

5．用商的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商．如果所得的積小於或等於余數，試商就是平方根的第二位數；如果所得的積大於余數，就把試商減小再試(豎式中(20×3＋4)×4＝256，說明試商4就是平方根的第二位數)；

6．用同樣的方法，繼續求平方根的其他各位上的數．

Ⅱ π的算術平方根是多少

圓周率π的算術平方根大約是1.，這一數值在數學計算中具有重要意義。它不僅幫助我們更好地理解和應用π，還在幾何學、物理學及其他科學領域發揮著關鍵作用。

圓周率π是一個無理數，意味著它的小數部分是無限不循環的。π的算術平方根同樣具有這一特性，進一步增加了它在數學研究中的復雜性和價值。在實際應用中，為了方便計算和表達，通常會使用四捨五入的方式得到一個近似值，如1.772。

計算圓周率π的算術平方根的方法多種多樣，其中一種常見的方法是使用牛頓迭代法。這種方法通過反復逼近，逐步得到更精確的數值。另一個方法是利用泰勒級數展開，雖然在理論上可以得到精確值，但在實際操作中，往往需要大量計算才能達到所需精度。

除了數學研究，圓周率π的算術平方根在實際應用中也有廣泛的應用。例如，在工程學中，它可以幫助我們計算圓的面積和周長；在物理學中，它對電磁學、波動理論等有著重要影響；在計算機科學中，它用於演算法設計和數據處理等。

盡管圓周率π的算術平方根是一個看似簡單的數值，但它背後蘊含著豐富的數學知識和實際應用。通過深入研究和應用，我們可以更好地理解和利用這一重要的數學常數。

Ⅲ 二次方根與二次根式的區別

1、定義不同

二次方根：平方根，又叫二次方根，表示為〔±√￣〕，其中屬於非負數的平方根稱之為算術平方根（arithmetic square root）。一個正數有兩個實平方根，它們互為相反數，負數有兩個共軛的純虛平方根。

二次根式：如果一個數的平方等於a，那麼這個數叫做a的平方根。a可以是具體的數，也可以是含有字母的代數式。即：若。其中a叫被開方數。其中正的平方根被稱為算術平方根。

關於二次根式概念，應注意：被開方數可以是數 ，也可以是代數式。被開方數為正或0的，其平方根為實數；被開方數為負的，其平方根為虛數。

2、運算不同

二次方根：像加減乘除一樣，求平方根也有自己的豎式演算法。因為每次補數需要補兩位，所以被開方數不只一個數位時，要保證補數不能夾著小數點。例如三位數，必須單獨用百位進行運算，補數時補上十位和個位的數。

每一個過渡數都是由上一個過渡數變化而後，上一個過渡數的個位數乘以2，如果需要進位，則往前面進1，然後個位升十位。

以此類推，而個位上補上新的運算數字。簡單地講，過渡數27，是第一次商的1乘以20，把個位上的0用第二次商的7來換，過渡數343是前兩次商的17乘以20=340，其中個位0用第三次商的3來換，第三個過渡數3462是前三次商173乘以20=3460，把個位0用第四次的商2來換，依次類推。

誤差值的作用。如果要求精確到更高的小數數位，可以按規則，對誤差值繼續進行運算。

二次根式：同類二次根式，一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式後，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。 化簡：根號12等於4的根號3

合並同類二次根式，把幾個同類二次根式合並為一個二次根式就叫做合並同類二次根式。

二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的進行合並。

3、應用不同

二次方根：用計算器求一個正數的平方根的程序，無論實際生活，還是其他學科都會經常用到計算器求一個數的平方根，這也是學生的基本技能之一。

二次根式：利用從特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解決一些規律探索性問題；

利用二次根式解決長度、高度計算問題，根據已知量，求出一些長度或高度，或設計省料的方案，以及圖形的拼接、分割問題。這個過程需要用到二次根式的計算，其實就是化簡求值。