二面角的平面角演算法

『壹』 怎樣做二面角的平面角

如果要求二面角的平面角那麼最常用的方法就是三垂線定理的拐彎做法。就是先從一個點向另一個面做垂線，從垂足引一條垂線到二面角的棱上，二面角的平面角就出現了。

如果計算面積方便，用原來的面積去除投影面積，就是二面角的餘弦值那麼可以選用面積投影法；通過空間坐標系求兩個平面法向量的夾角；分別從兩個片面中找到一條直線與二面角的棱垂直（不一定相交）然後二面角的大小就轉化為這兩條異面直線夾角的問題了。

表示方法

角通常用三個字母表示：兩條邊上的點的字母寫在兩旁，頂點上的字母寫在中間。概述圖中的角用∠AOB表示。但若在不會產生混淆的情形下，也會直接用頂點的字母表示，例如角∠O。在數學式中，一般會用希臘字母（α,β,γ,θ,φ, ...）表示角的大小。為避免混淆，符號π一般不用來表示角度。

用角在圓上所切出的圓弧的長度除以圓的半徑，一般記作rad。弧度是國際單位制中規定的角的度量，但卻不是中國法定計量單位，角度則是角在中國的法定計量單位。此外，弧度在數學及三角學中有廣泛的應用。

以上內容參考：網路-平面角

『貳』 [緊急求助]什麼是二面角的平面角如何求

二面角的通常求法：1、由定義作出二面角的平面角；2、作二面角棱的垂面，則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角；3、利用三垂線定理（逆定理）作出二面角的平面角；4、空間坐標求二面角的大小。

『叄』 二面角的平面角及求法！！！！！

方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點B為坐標原點．
依題意得 A(22，0，0)，B(0，0，0)，C(2，-2，5)A1(22，22，0)，B1(0，22，0)，C1(2，2，5)

（I）解：易得 AC→=(-2，-2，5)，A1B1→=(-22，0，0)，
於是 cos〈AC→，A&1B1→＞=AC→•A1B1→|AC→|•|A1B1→|=43×22=23，
所以異面直線AC與A1B1所成角的餘弦值為 23．
（II）解：易知 AA1→=(0，22，0)，A1C1→=(-2，-2，5)．
設平面AA1C1的法向量 m→=（x，y，z），
則 {m→•A1C1→=0m→•AA1→=0即 {-2x-2y+5z=022y=0.
不妨令 x=5，可得 m→=(5，0，2)，
同樣地，設平面A1B1C1的法向量 n→=（x，y，z），
則 {n→•A1C1→=0n→•A1B1→=0即 {-2x-2y+5z=0-22x=0.不妨令 y=5，
可得 n=(0，5，2)．
於是 cos＜m→，n→＞=m→•n→|m→||n→|=27•7=27，
從而 sin＜m→，n→＞=357．
所以二面角A-A1C1-B的正弦值為 357．
（III）解：由N為棱B1C1的中點，
得 N(22，322，52)．設M（a，b，0），
則 MN→=(22-a，322-b，52)
由MN⊥平面A1B1C1，得 {MN→•A1B1→=0MN→•A1B1→=0
即 {(22-a)•(-22)=0(22-a)•(-2)+(322-b)•(-2)+52•5=0.
解得 {a=22b=24.故 M(22，24，0)．
因此 BM→=(22，24，0)，所以線段BM的長為 |BM→|=104．
方法二：
（I）解：由於AC∥A1C1，故∠C1A1B1是異面直線AC與A1B1所成的角．
因為C1H⊥平面AA1B1B，又H為正方形AA1B1B的中心， AA1=22，C1H=5，
可得A1C1=B1C1=3．

因此 cos∠C1A1B1=A1C12+A1B12-B1C122A1C1•A1B1=23．
所以異面直線AC與A1B1所成角的餘弦值為 23．
（II）解：連接AC1，易知AC1=B1C1，
又由於AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，
所以△AC1A1≌△B1C1A，過點A作AR⊥A1C1於點R，
連接B1R，於是B1R⊥A1C1，故∠ARB1為二面角A-A1C1-B1的平面角．
在Rt△A1RB1中， B1R=A1B1•sin∠RA1B1=22•1-(23)2=2143．
連接AB1，在△ARB1中， AB1=4，AR=B1R，cos∠ARB1=AR2+B1R2-AB122AR•B1R= -27，
從而 sin∠ARB1=357．
所以二面角A-A1C1-B1的正弦值為 357．
（III）解：因為MN⊥平面A1B1C1，所以MN⊥A1B1．
取HB1中點D，連接ND，由於N是棱B1C1中點，
所以ND∥C1H且 ND=12C1H=52．
又C1H⊥平面AA1B1B，
所以ND⊥平面AA1B1B，故ND⊥A1B1．
又MN∩ND=N，
所以A1B1⊥平面MND，連接MD並延長交A1B1於點E，
則ME⊥A1B1，故ME∥AA1．
由 DEAA1=B1EB1A1=B1DB1A=14，
得 DE=B1E=22，延長EM交AB於點F，
可得 BF=B1E=22．連接NE．
在Rt△ENM中，ND⊥ME，故ND2=DE•DM．
所以 DM=ND2DE=524．
可得 FM=24．
連接BM，在Rt△BFM中， BM=FM2+BF2=104．

『肆』 怎樣求二面角的平面角

我們求二面角的平面角的常用方法有3類：

一、直接法：其中包括定義法、垂線法、垂面法

定義法：步驟：

1、在二平面的棱上取恰當的點（經常是端點和中點、如利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點）

2、過這個點分別在兩半平面內做相棱的垂線，然後把兩條垂線放到一個三角形中考慮。（有時也經常做兩條垂線的平行線，使它們在一個更理想的三角形中）。

說明：因為題目中所給的點或你能找到的特殊點分別向交線作垂線多半不交於一點，所以這種情況很少，因此有必要引導學生探究其他方法。

垂線法：利用作（或找）面的垂線（線面垂直的判定和性質）作平面角。

例1銳二面角a-L-β,如圖（1）所示，過a面的一點P，向β面作垂線，垂足為B，再過B向這二面角的棱L作垂線，垂足C，連接PC。可用三垂線定理證明PCB就是這兩個面的二面角

例2鈍二面角a-L-β,如圖（2）所示，過a面的一點P，向β面作垂線，垂足為B，過B向這二面角的棱l作垂線，垂足C，連接PC。

則角PCB為二面角a-L-β的平面角的補角。

說明：引導學生在具體題目中注意判斷二面角是鈍二面角還是銳二面角是解決問題的前提。

垂面法：（教材復習參考題二A組第10題提示）作二面角棱的垂面，則垂面與二面角形成的兩交線所成的角就是二面角的平面角。

說明：棱的垂面經常不會直接給出，而是以點到面的距離的條件呈現的。這樣過此點所作的面的垂線是否落在半平面內，直接影響到所得到的兩射線所成的角是二面角的平面角還是其補角。

例3二面角內一點到兩個面的距離分別為、4，到棱的距離為，則二面角的度數為（75°或165°）

解析：分兩種情況：銳二面角和鈍二面角

1.當二面角為銳二面角時，過點P向a、β半平面引垂線，垂足落在半平面內，此時P點的棱的垂面與兩半平面的交線所成的角為二面角的平面角。

2.當二面角為鈍二面角時，作平面平面，作平面平面，當P點在二面角內時，過點P向a、兩半平面作垂線，垂足均落在半平面內，此時過P點且與棱垂直的平面與兩半平面形成的兩射線所成的角為二面角的平面角。

當P點在二面角內時，過點P向a、兩半平面作垂線，垂足不能同時落在兩個半平面內，此時過P點且與棱垂直的平面與兩半平面形成的兩射線所成的角為二面角的平面角的補角。

二、間接法：

面積射影定理：「平面圖形射影面積等於被射影圖形的面積S乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的餘弦。」

S射影面積＝S原圖形面積＊cos(兩個平面所成的二面角）

即cosθ=S射影圖/S原圖

(平面多邊形及其射影的面積分別是S原,S射影,它們所在平面所成銳二面角的為θ)

證明思路：因為射影就是將原圖形的長度（三角形中稱高）縮放，所以寬度是不變的，又因為平面多邊形的面積比=邊長的平方比。所以就是圖形的長度（三角形中稱高）的比。那麼這個比值應該是平面所成角的餘弦值。在兩平面中作一直角三角形，並使斜邊和一直角邊垂直於棱（即原多邊形圖的平面和射影平面的交線），那麼三角形的斜邊和另一直角邊就是其多邊形的長度比，即為平面多邊形的面積比，而將這個比值放到該平面三角形中去運算，即可。

說明：運用這一方法可以解決求無棱二面角的大小問題，關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影（即找到從一個面內一點向另一面的垂線）通常求兩個面內的三角形的面積比較容易。

三、向量法：利用兩個平面的法向量M，N的夾角來求，這是高考中最有效的辦法不管有多難都可求出二面角的大小，也是最好的辦法。不過求出後要根據二面角的實際大小來判斷算出的結果與實際情況下的角是否相同利用空間向量求二面角的平面角步驟（設二面角平面角為θ）

1）建立空間直角坐標系；

2）設平面的法向量為N(X1，Y1，Z1)，平面法向量為M(X2，Y2，Z2)；

3）在內找兩條線L1，L2，讓N×L1=0，N×L2=0求出N的坐標，M也是如此求出；

4）然後利用cosθ=N?M/|N|×|M|即可求出θ的值

說明：銳二面角時，法向量的夾角即該二面角的平面角鈍二面角時，法向量的夾角的補角為二面角的平面角

小結：

①方法一是基礎，是基本概念的運用；方法二、三是射影、向量與二面角定義的綜合，是拓展。只有理解掌握了第一類方法才能理解第二、三類方法。

②文科學生只需掌握第一類即可，對於理科學生掌握了上述三類方法，則有利於解決比較復雜的二面角問題。用代數的方法解決立體幾何問題是立體幾何的發展趨勢，兒向量是用代數的方法解決立體幾何問題的主要工具，故，學會用向量法解決立體幾何問題是學好立體幾何的基礎。

『伍』 請問求兩個平面的二面角有幾種方法

如果已經求得各點坐標，或者說我們說的，能夠建系，
就用「法向量法」，所謂法向量，是指垂直於一個平面的直線，
根據向量可在平面內任意平移，我們可以知道，一個平面的法向量有無數多條。
以上是理論知識簡介，因不知道你懂不，所以只得在此闡述下，
不然可能會對下面的問題的理解不透產生障礙。
具體做法：
1.
設分別設出兩個平面的法向量，n1=(x1,
y1,
z1);
n2=(x2,
y2,
z2)
2.
求出平面內線段所在直線的向量式（每個平面求出兩個向量）
3.
利用法向量垂直平面，即垂直平面內所有直線，建立方程組（3元一次方程組，僅兩個方程）
（1）建立的條件是，兩個相互垂直的向量，乘積為0
（2）由於法向量有3個未知數，我們通常只用建立兩個方程組成的方程組。這樣可以得到關於這三個未知數的代數關系。而不是像初中的解三元一次方程組，可以解出一組唯一解。換句話說，由於各未知數間是滿足一定的代數關系，那麼立體幾何中，依此法得出的應該是無數對解。不過，實際解題中，都是通過賦值法（見下詳述）來得到唯一的一組解，即一個確定的法向量。
（3）賦值：即是賦予法向量的三個未知數中的某一個一個確實的代數值，比如0？1？等常實數，從而根據垂直向量數量積為0建立的方程中，得到的未知數之間的關系，就可以求出其他的兩個未知數的具體的值。那麼，這樣得到的一個法向量，就是垂直於平面的一條法向量（僅是一條哈，因為平面法向量有無數條的）
ps：兩條法向量的求法，都一致。
4.
我們根據異面直線所成的角的求法（平移其中一條或者兩條到同一平面中，必須放到平面中來求的，對吧！！！），可以知道，兩個平面的任意法向量所成的角，都相等。
而兩個半平面所成的二面角，與他們的法向量所成的角的平面角「互補」（千萬注意此點，因為異面直線所在的角，一定是銳角或者直角，不可能是鈍角；但是二面角，是可以為銳二面角或直二面角，也可以為鈍二面角的）。
依據上面的理論依據，由向量的乘法，則可求出cos
的絕對值（請最好加絕對值符號，異面直線所成的角，不能為鈍角，因此餘弦值不能為負，但向量方向不同，則可能求出的餘弦值為負）。
5.
判斷范圍，注意取值。
上面，求cos
的值時，請提前判斷題目讓所求兩個半平面所成的角（1）是銳角或直角？即我們所說的銳二面角還是直二面角。（2）是鈍二面角嗎？
因為，根據向量的方向性，可以知道，如果向量所取的方向不同，cos
的絕對值不變，但可能得到兩個互為相反數的值，所以在利用法向量法求兩個二面角的平面角時，先判斷二面角的取值范圍。銳二面或直，顯然，直接取cos
=a(0≤a<1)的值，進行反余（arccosa）表示即可;
如果圖上明顯為鈍二面角，則所求二面角的平面角應該表示為：∏-arccosa.（a為法向量所成角的餘弦值，取絕對值）
我盡可能說地詳細清楚，包括細節，請細體味！
hope
study
well
and
make
progress
everyday!
有不明白的地方請追求問題即可！