測度與概率pdf

1. 概率論的歷史

起源

概率論是一門研究事情發生的可能性的學問，但是最初概率論的起源與賭博問題有關。16世紀，義大利的學者吉羅拉莫·卡爾達諾（Girolamo Cardano）開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題。

概率與統計的一些概念和簡單的方法，早期主要用於賭博和人口統計模型。隨著人類的社會實踐，人們需要了解各種不確定現象中隱含的必然規律性，並用數學方法研究各種結果出現的可能性大小，從而產生了概率論，並使之逐步發展成一門嚴謹的學科。

概率與統計的方法日益滲透到各個領域，並廣泛應用於自然科學、經濟學、醫學、金融保險甚至人文科學中。

發展

隨著18、19世紀科學的發展，人們注意到在某些生物、物理和社會現象與機會游戲之間有某種相似性，從而由機會游戲起源的概率論被應用到這些領域中，同時這也大大推動了概率論本身的發展。

使概率論成為數學的一個分支的奠基人是瑞士數學家伯努利，他建立了概率論中第一個極限定理，即伯努利大數定律，闡明了事件的頻率穩定於它的概率。隨後棣莫弗和拉普拉斯又導出了第 二個基本極限定理（中心極限定理）的原始形式。

拉普拉斯在系統總結前人工作的基礎上寫出了《分析的概率理論》，明確給出了概率的古典定義，並在概率論中引入了更有力的分析工具，將概率論推向一個新的發展階段。

19世紀末，俄國數學家切比雪夫、馬爾可夫、李亞普諾夫等人用分析方法建立了大數定律及中心極限定理的一般形式，科學地解釋了為什麼實際中遇到的許多隨機變數近似服從正態分布。

20世紀初受物理學的刺激，人們開始研究隨機過程。這方面柯爾莫哥洛夫、維納、馬爾可夫、辛欽、萊維及費勒等人作了傑出的貢獻。

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概率論是研究隨機現象數量規律的數學分支。隨機現象是相對於決定性現象而言的。

在一定條件下必然發生某一結果的現象稱為決定性現象。例如在標准大氣壓下，純水加熱到100℃時水必然會沸騰等。

隨機現象則是指在基本條件不變的情況下，每一次試驗或觀察前，不能肯定會出現哪種結果，呈現出偶然性。例如，擲一硬幣，可能出現正面或反面。隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗。

隨機試驗的每一可能結果稱為一個基本事件，一個或一組基本事件統稱隨機事件，或簡稱事件。典型的隨機試驗有擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤游戲等。

事件的概率是衡量該事件發生的可能性的量度。雖然在一次隨機試驗中某個事件的發生是帶有偶然性的，但那些可在相同條件下大量重復的隨機試驗卻往往呈現出明顯的數量規律。

2. 概率論中隨機變數（離散和連續）的pmf和pdf是如何推導出來的呢

需要根據具體情況推導，不同的概率分布，原因是其隨機變數實際上是受到某種因素影響而出現的，所以必須知道其影響因素本身，然後再考慮隨機的因素才有實際的分布函數。沒有一個包打天下的方法。

離散型的數值主要是排列組合的方式推導，連續的則更為復雜。

(2)測度與概率pdf擴展閱讀：

PDF：概率密度函數（probability density function）, 在數學中，連續型隨機變數的概率密度函數（在不至於混淆時可以簡稱為密度函數）是一個描述這個隨機變數的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函數。本身不是概率，取值積分後才是概率。

PMF: 概率質量函（probability mass function), 在概率論中，概率質量函數是離散隨機變數在各特定取值上的概率。

CDF: 累積分布函數 (cumulative distribution function)，又叫分布函數，是概率密度函數的積分，能完整描述一個實隨機變數X的概率分布。是PDF在特定區間上的積分。 CDF就是PDF的積分，PDF就是CDF的導數。

3. 風險中性概率測度與鞅測度怎麼理解

鞅是隨機過程的一種，它的顯著特點是未來的期望等於現在。一個隨機過程一般伴隨著一個測度。測度是滿足一定條件的取值為非負的集函數，兩個測度等價是指這兩個函數具有相同的支撐，支撐是指使函數值大於零的定義域。
等價鞅測度即是把不是鞅的隨機過程轉化成鞅的測度。這一測試和原來隨機過程伴隨的測試等價。轉化成鞅後，可是直接採用求數學期望的方法來獲得金融衍生產品的價格，如期權，而不用解偏微分方程了。

4. 測度論與概率，高懸賞

D(aX+Y)=a²D(X)+D(Y)+2aCov(X,Y)

若相關系數=-1，a>0;
Cov(X,Y)=-根號D(X)D(Y)
D(aX+Y)=a²D(X)+D(Y)-2a根號(D(X)D(Y))=(a根號D(X)-根號D(Y))²

又
Y=n-aX
D(Y)=D(n-aX)=a²D(X)
a根號D(X)=根號D(Y)

所以D(aX+Y)=0

於是aX+Y方差為 0
aX+Y 100%等於一個常數
--------------------------------------------------------------------------
若相關系數=1，a<0;
Cov(X,Y)=-根號D(X)D(Y)
D(aX+Y)=a²D(X)+D(Y)+2a根號(D(X)D(Y))=(-a根號D(X)+根號D(Y))² （a<0,a²開根號=-a）
因為a根號D(X)=根號D(Y)

D(aX+Y)=0

於是aX+Y 方差為0
aX+Y 100%等於一個常數

5. 測度與概率的內容簡介

本書的特點是讀者不必學習實變函數論而學習測度論；測度論與概率論的基本內容緊密結合而更有利於理解二者的關系及其實質；在本書的基本目標下，盡可能使內容現代化；本書文字通暢、條理清楚、論述嚴謹、便於學習；每節後都配有較多的不同要求的習題，以便加深對內容的理解和掌握。
本書可以作為有關專業的高年級學生或研究生的測度論（或實變函數論） 、概率論或兩者的教材或參考書，也可供有關教師和科技工作者參考。

6. 概率論與數理統計的學科歷史

三四百年前在歐洲許多國家，貴族之間盛行賭博之風。擲骰子是他們常用的一種賭博方式。因骰子的形狀為小正方體，當它被擲到桌面上時，每個面向上的可能性是相等的，即出現1點至6點中任何一個點數的可能性是相等的。有的參賭者就想：如果同時擲兩顆骰子，則點數之和為9與點數之和為10，哪種情況出現的可能性較大？
17世紀中葉，法國有一位熱衷於擲骰子游戲的貴族德·梅耳，發現了這樣的事實：將一枚骰子連擲四次至少出現一個六點的機會比較多，而同時將兩枚骰子擲24次，至少出現一次雙六的機會卻很少。
這是什麼原因呢？後人稱此為著名的德·梅耳問題。又有人提出了「分賭注問題」：
兩個人決定賭若干局，事先約定誰先贏得6局便算贏家。如果在一個人贏3局，另一人贏4局時因故終止賭博，應如何分賭本？
諸如此類的需要計算可能性大小的賭博問題提出了不少，但他們自己無法給出答案。
數學家們「參與」賭博。參賭者將他們遇到的上述問題請教當時法國數學家帕斯卡，帕斯卡接受了這些問題，他沒有立即回答，而把它交給另一位法國數學家費爾馬。他們頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數學問題開始了深入細致的研究。這些問題後來被來到巴黎的荷蘭科學家惠更斯獲悉，回荷蘭後，他獨立地進行研究。
帕斯卡和費爾馬一邊親自做賭博實驗，一邊仔細分析計算賭博中出現的各種問題，終於完整地解決了「分賭注問題」，並將此題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個基本概念——數學期望，這是描述隨機變數取值的平均水平的一個量。而惠更斯經過多年的潛心研究，解決了擲骰子中的一些數學問題。1657年，他將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子游戲中的計算》。這本書迄今為止被認為是概率論中最早的論著。因此可以說早期概率論的真正創立者是帕斯卡、費爾馬和惠更斯。這一時期被稱為組合概率時期，計算各種古典概率。
在他們之後，對概率論這一學科做出貢獻的是瑞士數學家族——貝努利家族的幾位成員。雅可布·貝努利在前人研究的基礎上，繼續分析賭博中的其他問題，給出了「賭徒輸光問題」的詳盡解法，並證明了被稱為「大數定律」的一個定理，這是研究等可能性事件的古典概率論中的極其重要的結果。大數定律證明的發現過程是極其困難的，他做了大量的實驗計算，首先猜想到這一事實，然後為了完善這一猜想的證明，雅可布花了20年的時光。雅可布將他的全部心血傾注到這一數學研究之中，從中他發展了不少新方法，取得了許多新成果，終於將此定理證實。
1713年，雅可布的著作《猜度術》出版。遺憾的是在他的大作問世之時，雅可布已謝世8年之久。雅可布的侄子尼古拉·貝努利也真正地參與了「賭博」。他提出了著名的「聖彼得堡問題」：甲乙兩人賭博，甲擲一枚硬幣到擲出正面為一局。若甲擲一次出現正面，則乙付給甲一個盧布；若甲第一次擲得反面，第二次擲得正面，乙付給甲2個盧布；若甲前兩次擲得反面，第三次得到正面，乙付給甲22個盧布。一般地，若甲前n－1次擲得反面，第n次擲得正面，則乙需付給甲2n-1個盧布。問在賭博開始前甲應付給乙多少盧布才有權參加賭博而不致虧損乙方？
尼古拉同時代的許多數學家研究了這個問題，並給出了一些不同的解法。但其結果是很奇特的，所付的款數竟為無限大。即不管甲事先拿出多少錢給乙，只要賭博不斷地進行，乙肯定是要賠錢的。
隨著18、19世紀科學的發展，人們注意到某些生物、物理和社會現象與機會游戲相似，從而由機會游戲起源的概率論被應用到這些領域中，同時也大大推動了概率論本身的發展。
法國數學家拉普拉斯將古典概率論向近代概率論進行推進，他首先明確給出了概率的古典定義，並在概率論中引入了更有力的數學分析工具，將概率論推向一個新的發展階段。他還證明了「棣莫弗——拉普拉斯定理」，把棣莫弗的結論推廣到一般場合，還建立了觀測誤差理論和最小二乘法。拉普拉斯於1812年出版了他的著作《分析的概率理論》，這是一部繼往開來的作品。這時候人們最想知道的就是概率論是否會有更大的應用價值？是否能有更大的發展成為嚴謹的學科。
概率論在20世紀再度迅速地發展起來，則是由於科學技術發展的迫切需要而產生的。1906年，俄國數學家馬爾科夫提出了所謂「馬爾科夫鏈」的數學模型。1934年，前蘇聯數學家辛欽又提出一種在時間中均勻進行著的平穩過程理論。
如何把概率論建立在嚴格的邏輯基礎上，這是從概率誕生時起人們就關注的問題，這些年來，好多數學家進行過嘗試，終因條件不成熟，一直拖了三百年才得以解決。
20世紀初完成的勒貝格測度與積分理論及隨後發展的抽象測度和積分理論，為概率公理體系的建立奠定了基礎。在這種背景下柯爾莫哥洛夫1933年在他的《概率論基礎》一書中首次給出了概率的測度論式定義和一套嚴密的公理體系。他的公理化方法成為現代概率論的基礎，使概率論成為嚴謹的數學分支。
現在，概率論與以它作為基礎的數理統計學科一起，在自然科學，社會科學，工程技術，軍事科學及工農業生產等諸多領域中都起著不可或缺的作用。
直觀地說，衛星上天，導彈巡航，飛機製造，宇宙飛船遨遊太空等都有概率論的一份功勞；及時准確的天氣預報，海洋探險，考古研究等更離不開概率論與數理統計；電子技術發展，影視文化的進步，人口普查及教育等同概率論與數理統計也是密不可分的。
根據概率論中用投針試驗估計π值的思想產生的蒙特卡羅方法，是一種建立在概率論與數理統計基礎上的計算方法。藉助於電子計算機這一工具，使這種方法在核物理、表面物理、電子學、生物學、高分子化學等學科的研究中起著重要的作用。
概率論作為理論嚴謹，應用廣泛的數學分支正日益受到人們的重視，並將隨著科學技術的發展而得到發展。