拓撲流形pdf

❶ 拓撲學的學科簡介

Topology原意為地貌，起源於希臘語Τοπολογ。形式上講，拓撲學主要研究「拓撲空間」在「連續變換」下保持不變的性質。簡單的說，拓撲學是研究連續性和連通性的一個數學分支。
拓撲學起初叫形勢分析學，是德國數學家萊布尼茨1679年提出的名詞。十九世紀中期，德國數學家黎曼在復變函數的研究中強調研究函數和積分就必須研究形勢分析學。從此開始了現代拓撲學的系統研究。 在拓撲學里不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，圓和方形、三角形的形狀、大小不同，但在拓撲變換下，它們都是等價圖形；足球和橄欖球，也是等價的----從拓撲學的角度看，它們的拓撲結構是完全一樣的。
而游泳圈的表面和足球的表面則有不同的拓撲性質，比如游泳圈中間有個「洞」。在拓撲學中，足球所代表的空間叫做球面，游泳圈所代表的空間叫環面，球面和環面是「不同」的空間。 拓撲學起初叫形勢分析學，這是德國數學家萊布尼茨1679年提出的名詞。歐拉在1736年解決了七橋問題，1750年發表了多面體公式；高斯1833年在電動力學中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環繞數。Topology這個詞是由J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希臘文τόπος和λόγος（「位置」和「研究」）。這是拓撲學的萌芽階段。
1851年，德國數學家黎曼在復變函數的研究中提出了黎曼面的幾何概念，並且強調為了研究函數、研究積分，就必須研究形勢分析學。黎曼本人解決了可定向閉曲面的同胚分類問題。
組合拓撲學的奠基人是法國數學家龐加萊。他是在分析學和力學的工作中，特別是關於復函數的單值化和關於微分方程決定的曲線的研究中，引向拓撲學問題的。他的主要興趣在流形。在1895～1904年間，他創立了用剖分研究流形的基本方法。他引進了許多不變數：基本群、同調、貝蒂數、撓系數，探討了三維流形的拓撲分類問題，提出了著名的龐加萊猜想。
拓撲學的另一淵源是分析學的嚴密化。實數的嚴格定義推動康托爾從1873年起系統地展開了歐氏空間中的點集的研究，得出許多拓撲概念，如聚點（極限點）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在點集論的思想影響下，分析學中出現了泛函（即函數的函數）的觀念，把函數集看成一種幾何對象並討論其中的極限。這終於導致抽象空間的觀念。 最早研究抽象空間的是M.-R.弗雷歇。他在1906年引進了度量空間的概念。F.豪斯多夫在《集論大綱》（1914）中用開鄰域定義了比較一般的拓撲空間，標志著用公理化方法研究連續性的一般拓撲學的產生。隨後波蘭學派和蘇聯學派對拓撲空間的基本性質（分離性、緊性、連通性等）做了系統的研究。經過20世紀30年代中期起布爾巴基學派的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理，一般拓撲學趨於成熟，成為第二次世界大戰後數學研究的共同基礎。
歐氏空間中的點集的研究，例如，一直是拓撲學的重要部分，已發展成一般拓撲學與代數拓撲學交匯的領域，也可看作幾何拓撲學的一部分。50年代以來，即問兩個映射，以R.H.賓為代表的美國學派的工作加深了對流形的認識，是問兩個給定的映射是否同倫，在四維龐加萊猜想的證明中發揮了作用。從皮亞諾曲線引起的維數及連續統的研究，習慣上也看成一般拓撲學的分支。 L.E.J.布勞威爾在1910～1912年間提出了用單純映射逼近連續映射的方法， 許多重要的幾何現象，用以證明了不同維的歐氏空間不同胚，它們就不同胚。引進了同維流形之間的映射的度以研究同倫分類，並開創了不動點理論。他使組合拓撲學在概念精確、論證嚴密方面達到了應有的標准。緊接著，J.W.亞歷山大1915年證明了貝蒂數與撓系數的拓撲不變性。
隨著抽象代數學的興起，1925年左右A.E.諾特提議把組合拓撲學建立在群論的基礎上，在她的影響下H.霍普夫1928年定義了同調群。從此組合拓撲學逐步演變成利用抽象代數的方法研究拓撲問題的代數拓撲學。如維數、歐拉數，S.艾倫伯格與N.E.斯廷羅德1945年以公理化的方式總結了當時的同調論，後寫成《代數拓撲學基礎》(1952)，對於代數拓撲學的傳播、應用和進一步發展起了巨大的推動作用。他們把代數拓撲學的基本精神概括為：把拓撲問題轉化為代數問題，通過計算來求解。直到今天，同調論所提供的不變數仍是拓撲學中最易於計算和最常用的不變數 。 同倫論研究空間的以及映射的同倫分類。W.赫維茨1935～1936年間引進了拓撲空間的n維同倫群，其元素是從n維球面到該空間的映射的同倫類，一維同倫群就是基本群。同倫群提供了從拓撲到代數的另一種過渡，其幾何意義比同調群更明顯，但是極難計算。同倫群的計算，特別是球面的同倫群的計算問題刺激了拓撲學的發展，產生了豐富多彩的理論和方法。1950年法國數學家塞爾利用J.勒雷為研究纖維叢的同調論而發展起來的譜序列這個代數工具，在同倫群的計算上取得突破。
從50年代末在代數幾何學和微分拓撲學的影響下產生了K理論，以及其他幾種廣義同調論。它們都是從拓撲到代數的過渡。盡管幾何意義各不相同，代數性質卻都與同調或上同調十分相像，是代數拓撲學的有力武器。從理論上也弄清了，同調論（普通的和廣義的）本質上是同倫論的一部分。 微分拓撲是研究微分流形與可微映射的拓撲學。隨著代數拓撲和微分幾何的進步，在30年代重新興起。H·惠特尼（H. Whitney）在1935年給出了微分流形的一般定義，並證明它總能嵌入高維歐氏空間。為了研究微分流形上的向量場，他還提出了纖維叢的概念，從而使許多幾何問題都與同調（示性類）和同倫問題聯系起來了。
1953年R·托姆（Rene Thom）的配邊理論開創了微分拓撲學與代數拓撲學並肩躍進的局面，許多困難的微分拓撲問題被化成代數拓撲問題而得到解決，同時也刺激了代數拓撲學的進一步發展。1956年米爾諾發現七維球面上除了通常的微分結構之外，還有不同尋常的微分結構。隨後，不能賦以任何微分結構的流形又被人構作出來，這些都顯示拓撲流形、微分流形以及介於其間的分段線性流形（piecewise linear manifold）這三個范疇有巨大的差別，微分拓撲學也從此被公認為一個獨立的拓撲學分支。1960年斯梅爾證明了五維以上微分流形的龐加萊猜想。 J.W.米爾諾等人發展了處理微分流形的基本方法──剜補術，使五維以上流形的分類問題亦逐步趨向代數化。
近些年來，有關流形的研究中，幾何的課題、幾何的方法取得不少進展。突出的領域如流形的上述三大范疇之間的關系以及三維、四維流形的分類。80年代初的重大成果有：證明了四維龐加萊猜想，發現四維歐氏空間存在不同尋常的微分結構。這種種研究，通常泛稱幾何拓撲學，以強調其幾何色彩，區別於代數味很重的同倫論。

❷ 流形的范疇

最容易定義的流形是拓撲流形，它局部看起來象一些「普通」的歐氏空間Rn。形式化的講，一個拓撲流形是一個局部同胚於一個歐氏空間的拓撲空間。這表示每個點有一個領域，它有一個同胚(連續雙射其逆也連續)將它映射到Rn。這些同胚是流形的坐標圖。
通常附加的技術性假設被加在該拓撲空間上，以排除病態的情形。可以根據需要要求空間是豪斯朵夫的並且第二可數。這表示下面所述的有兩個原點的直線不是拓撲流形，因為它不是豪斯朵夫的。
流形在某一點的維度就是該點映射到的歐氏空間圖的維度(定義中的數字n)。連通流形中的所有點有相同的維度。有些作者要求拓撲流形的所有的圖映射到同一歐氏空間。這種情況下，拓撲空間有一個拓撲不變數，也就是它的維度。其他作者允許拓撲流形的不交並有不同的維度。 主條目：微分流形
如果流形上的局部坐標圖之間的坐標變換是光滑的，就可以在該流形上討論方向，切空間，和可微函數。特別是，可以在微分流形上應用「微積分」。這時我們說流形上被賦予了一個微分結構。帶有微分結構的流形叫做微分流形。 如果流形上的任意兩個局部坐標之間的坐標變換是「分段線性函數」，那麼我們稱這個流形上被賦予了一個分段線性結構。被賦予分段線性結構的拓撲流形稱為分段線性流形。
如果流形上有微分結構，那麼微分結構自然的誘導了一個分段線性結構。所以微分流形一定是分段線性流形。
存在分段線性結構是比存在單純剖分略強的條件；分段線性流形的范疇是介於拓撲流形范疇和微分流形范疇之間的一個范疇。

❸ 微分同胚的兩個流形拓撲同胚嗎

任何一個微分流形上面有兩種結構，一個叫拓撲結構，一個叫微分結構。拓撲同胚告訴你拓撲結構一樣，而微分同胚是個更強的概念，告訴你除了拓撲結構一樣，微分結構也一樣。

要注意這兩個結構的的確確是不同的結構！也即是說：有一些微分流形在同一個拓撲結構下，可能有不同的微分結構。比如R^4，在標准拓撲下，它上面可以有不可數多個微分結構。換句話說，可以構造不可數個微分結構使得每個版本的R^4拓撲同胚可是微分不同胚。另外也存在一些拓撲流形，它上面根本不存在任何微分結構。

不過值得注意的是：在四維以下（不包括四維）的微分流形都存在唯一的微分結構。其次，四維以上的緊流形如果存在不同的微分結構那麼種類必須是有限多個。關於R^n更有趣，除了n＝4以外，都存在唯一的微分結構

❹ 一個流形可以有本質上不同的幾個微分結構，問是不是每個流形都有微分結構請給出沒有微分結構的流形的例

在3維以下空間中流形的微分結構是唯一的，而4維以上空間中微分結構不唯一。
可參看關於拓撲學中一個有趣的問題：米爾諾怪球
微分拓撲學在20世紀50年代由於米爾諾等的工作而進入了黃金時期。此前，數學家們都以為在流形上只存在一種微分結構。但1956年，美國數學家米爾諾卻在七維球面上找到了28種不同的微分結構。這一令人震驚的結論為這種七維流形贏來了「米爾諾怪球」的著稱。
米爾諾怪球觸發的微分拓撲學的發展可以說是奇峰迭起。其中尤以4維歐幾里得空間微分流形的有關結論最為引人注目。1980年以前，數學家們已經證明了，除4維外，所有的歐幾里得空間都只具有一種微分結構。1982年，英國牛津大學的數學家唐納爾遜證明了在4維歐幾里得空間上存在著與通常不同的微分結構。也就是說世界數學家和物理學家們從牛頓時代以來所慣用的微分結構並不是唯一可能的。不久又有人證明了在4維歐幾里得空間上可以有無窮多種微分結構，通常的微分結構只不過是其中之一。究竟是什麼原因造成了四維時空的與眾不同。數學家們目前還不能回答這個事關重大的問

❺ 有誰知道「拓撲流形」的准確定義嗎

流形（Manifold），一般可以認為是局部具有歐氏空間性質的空間。 而實際上歐氏空間就是流形最簡單的實例。像地球表面這樣的球面是一個稍為復雜的例子。一般的流形可以通過把許多平直的片折彎並粘連而成。

流形在數學中用於描述幾何形體，它們提供了研究可微性的最自然的舞台。物理上，經典力學的相空間和構造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實例。他們也用於組態空間(configuration space)。環(torus)就是雙擺的組態空間。

如果把幾何形體的拓撲結構看作是完全柔軟的，因為所有變形(同胚)會保持拓撲結構不變，而把解析簇看作是硬的，因為整體的結構都是固定的(譬如一個1維多項式，如果你知道(0,1)區間的取值，則整個實屬范圍的值都是固定的,局部的擾動會導致全局的變化)，那麼我們可以把光滑流形看作是介於兩者之間的形體，其無窮小的結構是硬的，而整體結構是軟的。這也許是中文譯名流形的原因(整體的形態可以流動),該譯名由著名數學家和數學教育學家江澤涵引入。這樣，流形的硬度使它能夠容納微分結構，而它的軟度使得它可以作為很多需要獨立的局部擾動的數學和物理上的模型。

最容易定義的流形是拓撲流形，它局部看起來象一些"普通"的歐氏空間Rn。形式化的講，一個拓撲流形是一個局部同胚於一個歐氏空間的拓撲空間。這表示每個點有一個領域，它有一個同胚(連續雙射其逆也連續)將它映射到Rn。這些同胚是流形的坐標圖。

通常附加的技術性假設被加在該拓撲空間上，以排除病態的情形。可以根據需要要求空間是豪斯朵夫的並且第二可數。這表示下面所述的有兩個原點的直線不是拓撲流形，因為它不是豪斯朵夫的。

流形在某一點的維度就是該點映射到的歐氏空間圖的維度(定義中的數字n)。連通流形中的所有點有相同的維度。有些作者要求拓撲流形的所有的圖映射到同一歐氏空間。這種情況下，拓撲空間有一個拓撲不變數，也就是它的維度。其他作者允許拓撲流形的不交並有不同的維度。

❻ 微分流形一定是拓撲流形嗎

微分流形是在拓撲流形的基礎上添加微分結構而成的。

拓撲流形是一個局部歐氏空間，還是一個 Hausdorff 空間。還有些人要求拓撲流形是仿緊的或/和第二可數的。

❼ 什麼是微分流形

微分流形
光滑流形（英語：smooth manifold），或稱 C∞-微分流形（differential manifold）、C∞-可微流形（differentiable manifold），是指一個被賦予了光滑結構的拓撲流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是 C∞ 類的微分流形。可微流形在物理學中非常重要。特殊種類的可微流形構成了經典力學、廣義相對論和楊-米爾斯理論等物理理論的基礎。可以為可微流形開發微積分。可微流形上的微積分研究被稱為微分幾何。

歷史
微分幾何（differential geometry）作為一個獨特的學科的出現一般歸功於高斯（Carl Friedrich Gauss）和黎曼（ Bernhard Riemann）。黎曼在哥廷根的著名的康復講座中描述了多個面向。他通過在一個新的方向上改變給定對象的直觀過程激發了多方面的想法，並且預先描述了協調系統和圖表在隨後形式發展中的作用：

在一個概念下的事例如果構成n維流形，一個流形的特色可以簡單表示其屬性，則化簡的結果必然是有限個數字，…… -波恩哈德·黎曼的就職演說《論作為幾何學基礎的假設》

物理學家馬克士威（James Clerk Maxwell）和數學家庫爾巴斯托羅（Gregorio Ricci-Curbastro）和齊維塔（Tullio Levi-Civita）的成果導入了張量分析和廣義協變性的概念，它將內在幾何屬性識別為關於協調變換的不變數。這些想法在1912年愛因斯坦發展廣義相對論理論時取得關鍵性的應用。外爾（Hermann Weyl）於1912年給出了微分流形的一個內在的定義。1930年代，該課題基礎性方面的工作被哈斯勒·惠特尼（Hassler Whitney）等人釐清，使得從19世紀下半葉起開始發展起來的相關的直覺知識變得更精確，並通過微分幾何和李群使微分流形的理論得到進一步的發展。

C -可微流形的定義
設是自然數，-維拓撲空間被稱為是-維可微流形，如果，

為豪斯多夫空間

被-維坐標鄰域所覆蓋，換句話說，存在中的-維坐標鄰域族，使得

滿足的任意，其坐標轉換



為一個到的映射。

注意：每個座標鄰域都是流形中的開集合。

當第三個條件中的座標變換改成是光滑映射（代表可無限次微分）時，滿足這三條件的稱為光滑流形，寫作流形；當座標變換不是可微映射，僅是連續映射時，滿足這三條件的稱為拓撲流形，寫作流形。

圖冊
拓撲空間X上的圖冊稱為卡（chart）的{(Uα, φα)}的集合，其中Uα是覆蓋 X的開放集合，並且對於每個索引α



是Uα在n維真實空間的開放子集上的同胚。圖冊的轉移映射（transitionmap）功能是



以圖冊來定義流形的概念是由夏爾·埃雷斯曼於1943年所提出。每個拓撲流形都有一個圖冊。Ck-atlas是一個圖冊，其轉換圖是Ck。拓撲流形具有C0-atlas，並且通常Ck-流形具有Ck-atlas。連續圖冊（continuous atlas）是C0圖冊，平滑圖冊是C∞圖冊，分析圖冊（analytic atlas）是Cω圖冊。

❽ 流形的構造

一個流形可以以不同方式構造，每個方式強調了流形的一個方面，因而導致了不同的觀點。 可能最簡單的構造一個流形的方法是在上面的例子中的圓圈的構造方法。首先，確認R2的一個子集，然後覆蓋這個自己的圖冊被構造出來。流形的概念歷史上就是從這樣的構造發展出來的。這里有另一個例子，把這個方法應用在球面的構造上:
①帶圖冊的球面
球面的表面可以用幾乎和圓圈一樣的方法來處理。我們把球面視作R3的子集：

球面是二維的，所以每個坐標圖將映射球面的一部分到一個R2的開子集。例如考慮北半球，它是帶正z坐標的部分。(在右圖中它著紅色)定義如下的函數χ
χ(x,y,z) = (x,y)
把北半球映射到開單位圓盤，通過把它投影到(x, y)平面。類似的坐標圖對南半球也存在。和投影到(x, z)平面的兩個坐標圖以及投影到(y, z)平面的兩個坐標圖一起，我們得到了一個覆蓋整個球面的含6個坐標圖的圖冊。
這可以很容易地擴展到高維的球面。 流形可以通過把碎片以一種相容的方式粘合來構造，使得碎片成為互相覆蓋的坐標圖。這種構造對於任何流形都是可行的，所以經常作為流形的表述，特別是微分和黎曼流形。它集中於圖冊的構造，把流形作為坐標圖所自然的提供的貼片，因為不涉及外部的空間，這導致了流形的內在的觀點。
這里，流形通過給定圖冊來構造，圖冊通過定義轉換映射來得到。流形的一個點因而是指通過變換映射映到同一個點的坐標點的等價類。坐標圖把等價類映射到一個貼片上的點。通常會對變換映射有很強的一致性要求。對於拓撲流形，它們被要求為同胚；如果它們也是微分同胚，最後得到的流形就是微分流形。
這可以通過變換映射圓圈例子的第二部分中的t = 1/s來解釋。從直線的兩個拷貝開始。第一個拷貝用坐標s，第二個拷貝用t。現在，通過把第二個拷貝上的點t和第一個拷貝上的點1/s作為同一個點來粘合起來(點t = 0不和任何第一個拷貝上的點認同)。這就給出了一個圓圈。
①內在和外在的觀點
第一種構造和這種構造非常相似，但是他們代表了相當不同的觀點。在第一種構造中，流形被視為嵌入到某個歐氏空間中。這是外在的觀點。當一個流形用這種方式來看的時候，它很容易通過直覺從歐氏空間得倒附加的結構。例如，在歐氏空間，很明顯某個點的一個向量是否和穿過該點的曲面相切或者垂直。
貼補構造不用任何嵌入，只是簡單地把流形看作拓撲空間本身。這個抽象的觀點稱為內在的觀點。這使得什麼是切向量更難以想像。但是它表達了流形的本質，在計算上來講，這使我們避免了使用更高的維度，例如我們只要二維而不是三維就可以作球面上的計算。
②作為貼補的n維球面
n維球面Sn可以通過粘合Rn的兩個拷貝來構造。他們之間的變換函數定義為

這個函數是它自身的逆，因而可以在兩個方向使用。因為變換映射是一個光滑函數，這個圖冊定義了一個光滑流形。
如果我們取n = 1, 我們就得倒了上面圓圈的例子。 很多流形可以定義為某個函數的零點集。這個構造自然的把流形嵌入一個歐氏空間，因而導向一個外在的觀點。這很形象，但不幸的是不是每個流形都可以這樣表示。
如果一個可微函數的雅戈比矩陣在函數為0的每一點是滿秩的，則根據隱函數定理，每個這樣的點周圍存在一個為0的領域微分同胚於一個歐氏空間。因此零點集是一個流形。
①作為一個函數零點的n維球面
n維球面Sn經常定義為
Sn={x∈Rn+1∶‖x‖=1}
這等價為如下函數的零點
x→‖x‖－1
這個函數的雅戈比矩陣是
[x1 … xn+1]
它的秩對於除了原點的所有點為1(對於1×n矩陣就是滿秩的)。這證明n維球面是一個微分流形。 可以把流形上的不同點定義為相同。這可以視為把不同的點粘合為同一個點。結果經常不是流形，但在有些情況下是流形。
這些情況下，認同過程是用群來完成的，這是作用在流形上的群。兩個點被視為同一個如果一個能被該群的一個元素移動到另一個上面。如果M是該流形而G是該群，結果空間稱為商空間，並記為M/G。可以通過認同點來構造的流形包括環面和實射影空間(分別從一個平面和一個球面開始)。 流形的直積也是流形。但不是每個流形都是一個積。
積流形的維度是其因子的維度之和。其拓撲是乘積拓撲，而坐標圖的直積是積流形的坐標圖。這樣，積流形的圖冊可以用其因子的圖冊構造。如果這些圖冊定義了因子上的微分結構，相應的積圖冊定義了積流形上的一個微分結構。因子上定義的其他結構也可以同樣處理。如果一個因子有一個邊界，積流形也有邊界。直積可以用來構造環面和有限圓柱面，例如，分別定義它們為S1 × S1和S1 × [0, 1]。 兩個帶邊界的流形可以沿著邊界粘合。如果用正確的方式完成，結果也是流形。類似的，一個流形的兩個邊界也可以粘合起來。
形式化的，粘合可以定義為兩個邊界的一個雙射。兩個點被認同為一個，如果它們互相映射到對方。對於一個拓撲流形，這個雙射必須是同胚，否則結果就不是拓撲流形。類似的，對於一個微分流形，它必須是微分同胚。對於其它流形，其他的結構必須被這個雙射所保持。
有限的圓柱面可以作為一個流形構造，先從一個長條R × [0, 1]開始，然後把對邊通過適當的微分同胚粘合起來。克萊因瓶可以一個帶孔的球面和一個莫比烏斯帶沿著各自的圓形邊界粘合起來得倒。

❾ 流形的介紹

一個流形的一個坐標映射,坐標圖, 或簡稱圖是一個在流形的一個子集和一個簡單空間之間的雙射，使得該映射及其逆都保持所要的結構。對於拓撲流形，該簡單空間是某個歐氏空間Rn而我們感興趣的是其拓撲結構。這個結構被同胚保持，也就是可逆的在兩個方向都連續的映射。
圖對於計算極其重要，因為它使得計算可以在簡單空間進行，再把結果傳迴流形。
例如極坐標，是一個R2除了負x軸和原點之外的圖。上節提到的映射χtop是圓圈的一個圖。 多數流形的表述需要多於一個的圖(只有最簡單的流形只用一個圖)。覆蓋流形的一個特定的圖的集合稱為一個圖集。圖集不是唯一的，因為所有流形可以被不同的圖的組合用很多方式覆蓋。
包含所有和給定圖集相一致的圖的圖集稱為極大圖集。不像普通的圖集，極大圖集是唯一的。雖然可能在定義中有用，這個對象非常抽象，通常不直接使用(例如，在計算中)。 圖集也可用於定義流形上的附加結構。結構首先在每個圖上分別定義。如果所有變換映射和這個結構相容，該結構就可以轉到流形上。
這是微分流形的標準定義方式。如果圖集的變換映射對於一個拓撲流形保持Rn 自然的微分結構(也就是說，如果它們是微分同胚)，該微分結構就傳到了流形上並把它變成微分流形。
通常，流形的結構依賴於圖集，但有時不同的圖集給出相同的結構。這樣的圖集稱為相容的。

❿ 緊致流形是什麼意思

經常，拓撲流形被定義為必須是Hausdorff的，所以最一般的流形定義如下： 一個Hausdoff空間X稱為n維(拓撲)流形,如果X的任一點都有一個同胚於En或En+的開鄰域. 這里En+是半個n維歐式空間,規定為 En+ :={(x1,x2,...,xn) ∈ En | xn ≥ 0}. 由定義不難看出,流形是局部緊致的.但並不一定是緊致的. 所以緊致流形就是 滿足緊致性的流形. 即滿足它的每個開覆蓋都有有限個子覆蓋的流形