非線性理論pdf

① 非線性思維

【基本介紹】
「非線性思維」可以理解為就是和常規線性思維不一樣的思維方式。它很可能就會不按邏輯思維、線性思維的方式走，有某種直覺的含義，是一種無須經過大量資料、信息分析的綜合
一個系統，如果其輸出不與其輸入成正比，則它是非線性的。實際上，自然科學或社會科學中的幾乎所有已知系統，當輸入足夠大時，都是非線性的。因此，非線性系統遠比線性系統多得多，客觀世界本來就是非線性的，線性只是一種近似。對於一個非線性系統，哪怕一個小擾動，象初始條件的一個微小改變，都可能造成系統在往後時刻行為的巨大差異。
[編輯本段]【對待應用】
非線性思維的建立和培養是人們應用技術的關鍵。
而非線性在實際操作中的體現就是多維度並列頓悟思考的過程。
非線性過程的分段線性化其實，非線性思維日常生活中並不少，尤其常見於比拼智力的游戲。喜歡下圍棋的朋友都知道，勢與地、厚與薄、死與活、邊角腹、味道保留與否、次序交換先後，始終處於動態變化中。無論專家庸才，如果選擇一本道下法則對局不可避免地成為賭局，所以職業高手無一例外都擅長妥協，精於轉身。橋牌也是如此，製造、保留、放棄、推遲乃至提前進行各種選擇，不同的坐莊與防守路徑形成了復雜的網狀結構。業余選手被這張網套住，往往剪不斷理還亂。然而，對職業高手來說卻非如此。原因何在？當過程中所有的不確定被不恰當地消滅的時候，便只剩下結局成為不確定，而這恰恰違背了消除那些不確定的初衷。高手之所以成為高手，是因為明白在不實質改變結果的前提下，為增加結果的確定性而盡可能保留過程的不確定性。
現在，人們的非線性思維方式越來越強，而線性思維方式有弱化的趨勢。這是因為，信息技術飛速發展，大量的信息攝入人腦，信息超載使線性思維不堪負重而鈍化，進而不能認識到事物的本來面目。因此，大家不宜過分提倡網路給人們思維方面帶來的種種好處。
如果說研究性學習就是線性與非線性思維方式的體現，那麼，大家還是多一點「深入」的研究比較好，而非「蜻蜓點水」的學習。如何調控這兩種思維方式和諧發展即元認知，是一個"仁者見仁智者見智"的問題。
[編輯本段]【與線性思維的區別】
思維方式無非是線性與非線性兩種。線性思維方式有助於深入思考，探究到事物的本質。非線性思維方式有助於拓展思路，看到事物的普遍聯系。非線性思維是為了更好地進行線性思維即深入了解事物的本質。線性思維方式是目的，而非線性思維方式是手段。
從思維上講，非線性思維使用的是人的右半腦，從層次上講，非線性思維更多的是在人的潛意識里完成的。潛意識的活動更接近客觀事物，更真實，更接近道。
用AmericanHeritageDictionary上的解釋：of,relating,orresemblingaline;straight，或者，havingonlyonedimension。線性思維，是一種直線的、單向的、單維的、缺乏變化的思維方式，非線性思維則是相互連接的，非平面、立體化、無中心、無邊緣的網狀結構，類似人的大腦神經和血管組織。線性思維如傳統的寫作和閱讀，受稿紙和書本的空間影響，必須以時空和邏輯順序進行。非線性思維則如電腦的RAM （RandomAccessMemory），突破時間和邏輯的線性軌道，隨意跳躍生發，又如HTML提供超越時空限制的網狀連接路徑。盡管如此，非線性至今仍然沒有一個科學的定義，甚至與科學不沾邊。
[編輯本段]【解讀中國股市】
解讀當今中國股市需要非線性思維。在傳統的線性思維模式中，從實體經濟到虛擬經濟的作用機理是相當確定的，而且是單向反饋。但是，其局限性在於把影響股市運行的因素主要歸結為宏觀經濟，忽視了其他因素，尤其是制度的影響。
中國的故事行情隨著經濟的全球化，股市的波動並不僅僅反映一國宏觀經濟的變化,這導致指數變化與經濟運行的關系趨向鬆散，甚至背離。從線性思維的角度，經濟波動「應該」預警股市變化。但是，無論是對成熟市場還是對新興市場的考察，股市與商業周期波動均無法嚴格對應起來。即便在市場經濟發達的美國，過去70多年宏觀經濟運行的1/3時間和股市波動是背離的。而對新興市場，尤其是轉型經濟的考察則更不符合線性思維的一致性。中國的經驗也佐證了這一點，從2000年以來，中國股市與宏觀經濟波動之間的關系表現出了有限度的相關。
當然，這並非要否認線性思維方式的價值。相反，在相當時期內線性思維仍將是股市理論分析中較為基本的方式。這里有兩點需要說明：首先，基於股市行為進行宏觀經濟行為預測的期望並不一定可靠；其次，線性思維也許更適合長波段的實證分析，而非線性思維方式可能更適合短時段的實證分析。在此，必須重點關注偶然性因素的影響。
對於中國股市來說，2006年仍將繼續面臨大部分周期性行業景氣的回落，進而帶來上市公司整體業績下滑的壓力，但由於「消費和服務」類行業景氣將保持平穩上升，基礎設施類行業景氣出現分化，「十一五」規劃重點扶持的部分行業景氣將逐步好轉，同時，中國股市在證券公司綜合治理、提高上市公司質量、發展機構投資者等方面也取得了較大的進展，所以估值和制度這兩個「非經濟性因素」將可能逐漸超越業績下滑的壓力，成為影響市場趨勢的因素。同時一些重大的「偶然」事件行將發生，如以3G和數字電視為核心的科技革命、新老劃斷等，在稍顯樂觀的投資情緒中，成長型公司的估值泡沫與價值型公司的估值修正可能會同時並存。股權分置改革，不僅解決了國內證券市場的制度性和結構性問題，還使得眾多上市公司在平均30%左右對價折扣下，股價經過自然除權大幅度下降，目前新綜指平均市盈率，滬市約為16倍，深市約為17倍，符合國際通行的10倍至20倍左右的PE標准，與周邊成熟股市已基本接軌，股市泡沫大部分被擠掉，市場系統風險降低。而隨著股改步伐繼續加快，市場平均股價、市盈率、市凈率還有繼續下調要求，股市投資價值日益凸現，構成了對流動性過剩的市場資金，以及實體經濟過剩資金的吸引效應。
中國的故事行情
此外，人民幣長期升值趨勢的存在，進一步加劇了投資和投機資金進入股市的可能性，加之股改G股復牌當日不計入指數，造成目前滬綜指約25%的水份，即滬綜指接近1300點時，實際僅相當於1000點左右。當占市值60至70%股改基本完成，全流通發行平穩著陸，市場適應了新《公司法》、《證券法》、《會計准則》的施行，以及財稅改革、所得稅率和其他稅率的調整逐步到位，不確定因素將趨於明朗。在中國經濟發展過程內生性和股票市場循環波動趨勢內生性趨強的條件下，股權分置改革又提升了A股的估值，而匯率形成機制又趨於市場化的綜合作用下，人民幣計價資產價值的重估，以及人民幣匯率調整對股市中長期走勢構成支持作用，其力度將可能遠大於經濟增長對證券市場的影響。
中國儲蓄率高達46%，居民儲蓄存款14.8萬億，企業存款超10萬億，在如此寬松的資金環境和利益驅動下，可能匯集成境內外強大資金流，流向資金「窪地」的A股市場，並在銀行股、地產股、資源、能源和有市場優勢的大盤權重指標股帶領下，A股市場也許正在步入投資上升周期，並可能以全新的面貌迎來新一輪牛市。與此同時，全球資本也已經進入流動性嚴重過剩的「貨幣泡沫」時代，據傳當前國際游資大約有7萬億美元之巨，這些巨額資本為了追求利潤，在全球流動並伺機尋找投資或投機套利的機會，其對實體經濟或虛擬經濟的沖擊規模和力度，已經遠遠超過了20世紀80年代中後期日本和台灣的本幣升值時期。因此，對人民幣升值節奏和幅度的把握和對國際金融市場游資的有效監控，就成為中國證券市場健康穩健發展必須面對的主題，非線性思維也許能有效地引導人們深化對近期市場發展趨勢的認識。
[編輯本段]【相關科學研究】
非線性科學有很復雜的數學公式和高深的研究方法，然而簡單地說，非線性是一種更加接近自然、接近實際的思維和研究方式。
「從數學角度講就是，運動方程是一個線性微分方程還是非線性微分方程，二者的區別是線性系統在數學上很容易得解，非線性系統沒有一般的解，問題都比較復雜，有很多就需要近似解。數學上線性方法主要用『加減法』，非線性方法是『乘法』，復雜程度加大了。」科學用數學語言解釋線性和非線性。線性是一個理想狀態，線性研究也是一種理想模非線性思維型，而非線性則是智能現象，它更加接近自然，現實中有很多系統都是非線性的，但線性是非線性研究的基礎。非線性似乎很難理解，實際上是思維方式的長期影響，有些問題只要深入想想就會發現不符合傳統的情況。比如，牛頓力學就是線性力學，牛頓定律F=ma將物體的質量集中於一點，僅考慮這一個點，但實際上物體的各個部分都會產生影響，非線性研究就是要把整個物體的相互作用都考慮進去。
真實的情況中很多因素都是難以預測的，要把現實描述得更好、越來越精確，人類的研究就必須向非線性靠近。線性可以解決問題，但也有很多問題不能解決，還是要用非線性理論，這是一種科學的進步。全球變暖是大家現在十分關注的問題，但究竟是怎樣變暖不是一個簡單的事情，整個地球是很復雜的非線性系統，不是單純地由幾個因素決定的，實際上絕不會是現在排放多少百分比的二氧化碳將來溫度就會增加多少，要運用非線性的方法將許多因素考慮進來，從而更加逼近於實際問題。
非線性現象是愛因斯坦希望但卻未能解決的問題之一，「它妙就妙在不能夠預測，相互作用會產生許多新的東西。非線性系統即使開始能完全計算出來，但只要初始條件發生一個很小的不準確的變化，隨著時間的推移效果就會很快放大。比如，氣候是變化莫測的，正是由於在氣候預報中不可能所有因素都能知道，結果肯定是有誤差的，所以重要的是怎麼把誤差矯正到一定范圍內以保證盡量准確。非線性研究對每一個問題都在用不同的近似方法來做，說白了就是要變不同的『戲法』」。非線性思維
非線性波動力學和流體力學是張欣比較熟悉的研究領域，非線性波動力學和流體力學研究很多問題，從很小的表面波到海嘯時幾百米的長波，從太陽周圍氣體的運動到水波和地形相互作用等等都有，而在地球物理、海洋以及太空等方面的應用比較廣泛。非線性波動和流體力學研究對航海、氣象預測以及自然災害預警上有很大的價值。比如，對航海很有影響的海面上很陡的波的成因研究將使科學家知道如何保證商業運輸以及海軍船隻的快慢平穩；目前氣象台的波浪預告中非線性研究的使用已經很多，比較弱的非線性因素都已經被考慮進來；同時，利用遙感測風速時並不是直接測量空氣流動，而是測量海表面小波的程度，由於風直接產生浪，因此先測定有關浪的一些微小的因素從而算得風速。非線性方法可以幫助解釋海嘯從大洋到地形較淺區域時的能量集中和發展過程，從而對地震引起的海嘯什麼時候到哪裡、有多大進行預告。

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書名：免疫的非線性模型

作者：漆安慎

出版社：上海科技教育出版社

出版年份：1998-12

頁數：175

內容簡介：

近來，理論免疫學迅速發展。在這一領域，主要的理論工具是非線性模型.本書簡單介紹了免疫的基本知識和有關的非線性數學。本書對許多有趣的免疫學問題，例如獨特型網路調節、細胞免疫和體液免疫、免疫細胞受體庫、免疫記憶、免疫耐受以及免疫監視抗癌等均應用非線性數學模型進行了討論。

③ 非線性中蝴蝶效應是什麼

蝴蝶效應（Butterfly Effect）是指在一個動力系統中，初始條件下微小的變化能帶動整個系統的長期的巨大的連鎖反應。這是一種混沌現象。

美國氣象學家愛德華·羅倫茲（Edward Lorenz）1963年在一篇提交紐約科學院的論文中分析了這個效應。「一個氣象學家提及，如果這個理論被證明正確，一個海鷗扇動翅膀足以永遠改變天氣變化。」在以後的演講和論文中他用了更加有詩意的蝴蝶。對於這個效應最常見的闡述是：「一個蝴蝶在巴西輕拍翅膀，可以導致一個月後德克薩斯州的一場龍卷風。」

這句話的來源，是由於這位氣象學家製作了一個電腦程序，可以模擬氣候的變化，並用圖像來表示。最後他發現，圖像是混沌的，而且十分像一隻蝴蝶張開的雙翅，因而他形象的將這一圖形以「蝴蝶扇動翅膀」的方式進行闡釋，於是便有了上述的說法。

蝴蝶效應通常用於天氣，股票市場等在一定時段難於預測的比較復雜的系統中。此效應說明，事物發展的結果，對初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的極小偏差，將會引起結果的極大差異。

蝴蝶效應在社會學界用來說明：一個壞的微小的機制，如果不加以及時地引導、調節，會給社會帶來非常大的危害，戲稱為「龍卷風」或「風暴」；一個好的微小的機制，只要正確指引，經過一段時間的努力，將會產生轟動效應，或稱為「革命」。

蝴蝶效應在混沌學中也常出現。又被稱作非線性。

【詳述】
蝴蝶效應是氣象學家洛倫茲1963年提出來的。其大意為：一隻南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩周後引起美國德克薩斯引起一場龍卷風。其原因在於：蝴蝶翅膀的運動，導致其身邊的空氣系統發生變化，並引起微弱氣流的產生，而微弱氣流的產生又會引起它四周空氣或其他系統產生相應的變化，由此引起連鎖反映，最終導致其他系統的極大變化。此效應說明，事物發展的結果，對初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的極小偏差，將會引起結果的極大差異。

蝴蝶效應是混沌學理論中的一個概念。它是指對初始條件敏感性的一種依賴現象。輸入端微小的差別會迅速放大到輸出端。蝴蝶效應在經濟生活中比比皆是：中國宣布發射導彈，港台100億美元流向美國。「蝴蝶效應」也可稱「檯球效應」，它是「混沌性系統」對初值極為敏感的形象化術語，也是非線性系統在一定條件（可稱為「臨界性條件」或「閾值條件」）出現混沌現象的直接原因。

一、蝴蝶效應的由來
蝴蝶效應來源於美國氣象學家洛侖茲20世紀60年代初的發現。在《混沌學傳奇》與《分形論——奇異性探索》等書中皆有這樣的描述：「1961年冬季的一天，洛侖茲（E·Lorenz）在皇家麥克比型計算機上進行關於天氣預報的計算。為了預報天氣，他用計算機求解模擬地球大氣的13個方程式。為了考察一個很長的序列，他走了一條捷徑，沒有令計算機從頭運行，而是從中途開始。他把上次的輸出直接打入作為計算的初值，然後他穿過大廳下樓，去喝咖啡。一小時後，他回來時發生了出乎意料的事，他發現天氣變化同上一次的模式迅速偏離，在短時間內，相似性完全消失了。進一步的計算表明，輸入的細微差異可能很快成為輸出的巨大差別。計算機沒有毛病，於是，洛倫茲（Lorenz）認定，他發現了新的現象：「對初始值的極端不穩定性」，即：「混沌」，又稱「蝴蝶效應」，亞洲蝴蝶拍拍翅膀，將使美洲幾個月後出現比狂風還厲害的龍卷風！這個發現非同小可，以致科學家都不理解，幾家科學雜志也都拒登他的文章，認為「違背常理」：相近的初值代入確定的方程，結果也應相近才對，怎麼能大大遠離呢！其原因在於：蝴蝶翅膀的運動，導致其身邊的空氣系統發生變化，並引起微弱氣流的產生，而微弱氣流的產生又會引起它四周空氣或其他系統產生相應的變化，由此引起連鎖反應，最終導致其他系統的極大變化。線性，指量與量之間按比例、成直線的關系，在空間和時間上代表規則和光滑的運動；而非線性則指不按比例、不成直線的關系，代表不規則的運動和突變。如問：兩個眼睛的視敏度是一個眼睛的幾倍？很容易想到的是兩倍，可實際是6～10倍！這就是非線性：1＋1不等於2。激光的生成就是非線性的！當外加電壓較小時，激光器猶如普通電燈，光向四面八方散射；而當外加電壓達到某一定值時，會突然出現一種全新現象：受激原子好像聽到「向右看齊」的命令，發射出相位和方向都一致的單色光，就是激光。非線性的特點是：橫斷各個專業，滲透各個領域，幾乎可以說是：「無處不在時時有。」如：天體運動存在混沌；電、光與聲波的振盪，會突陷混沌；地磁場在400萬年間，方向突變16次，也是由於混沌。甚至人類自己，原來都是非線性的：與傳統的想法相反，健康人的腦電圖和心臟跳動並不是規則的，而是混沌的，混沌正是生命力的表現，混沌系統對外界的刺激反應，比非混沌系統快。由此可見，非線性就在我們身邊，躲也躲不掉了。這種現象被稱為對初始條件的敏感依賴性。在氣象預報中，稱為『蝴蝶效應』。……」「洛侖茲最初使用的是海鷗效應。」「洛侖茲1979年12月29日在華盛頓的美國科學促進會的演講：『可預言性：一隻蝴蝶在巴西扇動翅膀會在得克薩斯引起龍卷風嗎？』」

④ 非線性科學理論簡介

一、耗散結構理論^{［1～2，21～22］}

耗散結構理論是以比利時化學物理學家普利高津（Prigogine）為首的布魯塞爾學派經過長達20年的研究提出的一種廣義熱力學理論，並在多個領域得到廣泛應用。

耗散結構理論是在深入分析自然界中的兩對矛盾和時間不可逆性的基礎上產生的。兩對矛盾是指牛頓力學與熱力學之間的矛盾以及熱力學「退化論」與達爾文的「進化論」之間的矛盾。在牛頓經典力學中，時間是可逆的，事物按某一既定規律發展演化，從現在可以完全推知將來，也可從現在推演過去。牛頓力學所描述的圖像是一幅靜止的、不變的物理圖像。熱力學雖然描述的是一個演化的、變動的物理圖像，時間是不可逆的，但他認為事物的演化總是朝著平衡態方向，即朝著均勻、單一、簡單的方向演化，即有序向無序演化，這實質上是一種退化。達爾文的「進化論」則討論了與熱力學完全不同的另一類演化，其演化方是朝著復雜、非平衡進行的，是一種「進化」，當然時間更是不可逆的。對於同一世界會出現這幾種互不相容的演化圖像，普利高津（Prigogine）等人的研究結果表明，其關鍵在於系統本身的性質和系統所處的狀態不同。系統有孤立系統、封閉系統和開放系統之分。孤立系統是指與外界既無物質交換又無能量交換的系統；封閉系統是指與外界僅有能量交換而無物質交換的系統；開放系統則與外界既存在著物質交換又存在著能量交換。系統性質的不同，決定了其熱力學第二定律的表達式也不同。對於不同性質的系統，系統熵變的表達式分別為：

孤立系統：

ds≥0 （1-19）

封閉系統：

非線性岩土力學基礎

開放系統：

ds=d_es+d_is （1-21）

式（1-19）～（1-21）中，ds為系統的熵變；Q為熱量；T為溫度。d_es是由於系統與外界交換物質和能量而引起的熵變，稱為熵交換，d_es可正、可負或為零。d_is是系統內部各種可逆過程產生的熵，稱為熵產生。因為熵只能產生不能消滅，所以熵產生具有非負性。式（1-21）表明，在開放系統中，若d_es＜0，同時｜d_es｜＞d_is，則有：

ds=d_es+d_is＜0 （1-22）

式（1-22）與式（1-19）所表達的熵增加原理完全相反。也即若在開放系統中，由於與外界進行物質和能量交換而產生了負熵流d_es，並大於系統內自發過程引起的熵產生時，整個系統的熵向減小的方向發展，於是系統便可能產生與孤立系統完全相反的演化圖像，由無序向有序演化，產生耗散結構。

系統開放僅是系統「進化」的必要條件，並不是充要條件。開放系統是否能產生有序結構，還與系統所處的演化狀態有關。系統按狀態可分為平衡態和非平衡態。平衡態是指在沒有外界影響下，系統內部各部分長時間不發生任何變化的狀態。在非平衡態中還經常用到非平衡定態的概念，但平衡態與非平衡定態有著本質的區別，平衡態不存在任何流和梯度，而非平衡定態存在著穩恆的流和梯度，即通常所說的動態平衡。

在耗散結構理論中，與熱力學的熵增加原理相對應，有一個最小熵產生原理。其內容為：只要在非平衡線性區，在穩恆的外界條件下，系統定態的局域熵產生一定比非定態的小。一個耗散結構的形成和維持至少需要以下條件：

1）系統必須是開放系統，孤立系統和封閉系統都不可能產生耗散結構，只有開放系統才有可能引入負熵流，也才具備產生耗散結構的必要條件。

2）系統必須處於遠離平衡的非線性區，在平衡態或近平衡態，大量的實驗和理論研究都證明其不可能發生質的突變從無序走向有序，也不可能從一種有序走向新的更高級的有序。

3）系統中必須有非線性動力學過程，如正負反饋機制等。這種非線性相互作用，能夠使系統內的各要素之間產生協調動作和相干效應，從而使系統從雜亂無章變為井然有序。例如，岩土體系統中各要素相互作用僅僅是線性的，那麼無論它們怎樣組合，只有量的增減，而不可能有質的變化，也就不會有斜坡失穩，地震和火山的爆發。

4）漲落現象。漲落既可以來自系統內部，也可以來自於外界環境。在系統發生相變時漲落起著重大作用。處在臨界點處的系統，原來的定態解失穩，但系統不會自動離開定態解，必須有漲落才能使系統偏離定態解。漲落是系統從原來的均勻定態形成耗散結構的最初驅動力。

正是滿足了以上條件，系統的發展過程可以發生突變，通過能量的耗散和系統內非線性動力學機制來形成和維持與過去結構完全不同的宏觀時空有序結構。

二、協同學^{［1～2，24］}

協同學是德國理論物理學家哈肯（Haken）於1971年創立的，它是從動力學的角度研究從無序到有序結構演變的規律性。協同學的突出貢獻是：發現了在分支點附近慢變數支配快變數的普遍原理並給予了動力學表述，該原理使人們對自組織的形成機制有了更深刻的認識。

協同學研究系統在外參量的驅動下和在子系統之間的相互作用下，以自組織的方式在宏觀尺度上形成空間、時間或功能有序結構的條件、特點及其演化規律。協同系統的狀態由一組狀態參量描述，這些狀態參量隨時間變化的快慢程度各不相同。當系統逐漸接近於發生顯著質變的臨界點時，變化慢的狀態參量的數目將會越來越少，有時甚至只有一個或少數幾個。這些為數不多的慢變化參量完全確定了系統的宏觀行為，可表徵系統的有序化程度，稱為序參量。協同學的主要內容就是用序參量演化方程研究系統的各種非平衡定態和不穩定性。

協同學提出了兩個重要原理——伺服原理和最大信息熵原理，伺服原理在低維系統中又稱為絕熱消去原理。

伺服原理的基本思想是：雖快變數數目眾多，但它們對相變的過程和結局不起多大作用；慢變數雖數目較少，但它們決定著演化的進程和結局。因此，可以想辦法消掉快變數，用慢變數方程表示系統的演化，這便是絕熱消去法，推廣到n（n＞2）維則為伺服原理。

最大信息熵原理：任何系統除了受到外界條件約束外，其內部總是具有一定的自由度，這種自由度導致系統內部的各元素處於不同的狀態，狀態多樣性（復雜程度、混亂程度）的定量計量尺度稱為熵，系統的熵會爭取（或呈現）最大的自由度以實現熵的最大化，因此，系統的總信息在相變點存在極大值。由最大信息熵原理可以從宏觀上推斷系統從無序走向有序過程中臨界點的具體位置。

協同學中求解序參量演化方程的方法主要是解析方法，即用數學解析方法求出序參量的精確的或近似的解析表達式及出現不穩定性的解析判別式。在分析不穩定性時，常常用數學中的分岔理論，在有勢存在的特殊情況下也可應用突變理論。協同學也常採用數值方法，尤其是在研究瞬態過程和混沌現象時更是如此。

協同學與耗散結構理論及一般系統論之間存在諸多相通之處，它們之間既有聯系又有區別。一般系統論提出了有序性、目的性和系統穩定性的關系，但沒有回答形成這種穩定性的具體機制。耗散結構理論則從另一個側面解決了這個問題，指出非平衡態可成為有序之源。協同學雖然也來源於非平衡態系統有序結構的研究，但它擺脫了經典熱力學的限制，進一步明確了系統穩定性和目的性的具體機制。

三、混沌動力學^{［12～17］}

混沌（chaos）一詞首先出現在Li和Yorke 1975年發表的論文《周期3則混沌》中^［2］。混沌是非線性系統中存在的一種普遍現象，但到目前為止，還沒有一個很好的關於混沌的可操作的定義。然而不論哪一種混沌定義，都有一個共同的特點：在參數空間的一定范圍內，確定性的非線性系統出現長期行為對初值的敏感依賴性。在混沌運動中，初值非常靠近的兩條軌道隨著時間的發展會指數分離。這也就是說，對軌道的長期行為不可能作出准確的預測。

對於保守系統，滿足不同初始條件的解不會同時趨於同一點集；而對於耗散系統，滿足不同初始條件的解可能趨於同一點集，這種點集被稱為吸引子。混沌運動的吸引子通常具有非整數維，因而也稱為奇怪吸引子。

四、分形理論^［5～11］

分形是美國科學家Mandelbrot在1977年提出來的，他把海岸線、雪花、混沌等貌似雜亂無章，但具有精細結構的圖形統稱為分形。這里的精細結構主要指的是自相似結構，即它無統一的特徵尺度，但在所有尺度上的圖像是整體圖像的一個縮影，彼此是相似的。分形的主要描述是分數維，即它的容量維數不是整數而是分數。維數是幾何對象的一個重要特徵量，它是幾何對象中確定一個點的位置所需的獨立坐標數目。在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維，平面看成二維，而把直線或曲線看成一維。

分形幾何學的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結構，局部與整體在形態、功能、信息、時間、空間等方面具有統計意義上的相似性，稱為自相似性。這種自相似的層次結構，適當的放大或縮小幾何尺寸，整個結構不變。

事實上，自然界中的絕大多數分形現象不能嚴格滿足自相似條件，如連綿起伏的山脈輪廓線，曲折蜿蜒的江河，以及材料斷裂後展示的斷口圖像等，它們的自相似是近似的，是統計意義上的自相似。關於統計分形的詳細理論可參閱文獻［9］。

五、突變理論^{［1～7，12～18，23］}

突變理論是20世紀70年代發展起來的一門數學學科，由法國數學家Thom於1972年正式創立。突變主要是指在事物的發展變化過程中，常常會從一個狀態跳躍式地變到另一個狀態，或者說經過一段時間緩慢的連續變化之後，在一定的外界條件下，會產生一種不連續的變化。這類突變現象在岩土工程中是普遍存在的，如地震、岩爆、滑坡、崩塌等都是突變現象。

突變理論主要以拓撲學為工具，以結構穩定性理論為基礎，提出了一種新的判別突變、跳躍的原則，即在嚴格控制條件下，如果質變中經歷的中間過渡態是穩定的，那麼它就是一個漸變過程。Thom指出，發生在三維空間和一維時間四個因子控制下的突變，有七種突變類型：折疊型突變（Fold Catastrophe）、尖點型突變（Cusp Catastrophe）、燕尾型突變（Swallowtail Catastrophe）、蝴蝶型突變（Butterfly Catastrophe）、雙曲型臍點（Hyperbolic Umbilic）、橢圓型臍點（Elliptic Umbilic）和拋物型臍點（Parabolic Umbilic）。在七種突變模型中，最常用的是第二種，即尖點突變模型，如圖1-5所示。由圖1-5可知，三維空間的坐標分別為控制參數a，b和狀態變數x。分叉集的圖像在控制參數（a，b）控制的平面上為一個半立方拋物線，即平衡曲面上下兩葉折屈邊界在系統控制參數（a，b）平面上的投影，也就是平衡曲面到控制參數平面的拓撲映射。因此，分岔點集（a，b）將控制參數平面劃分成兩個區域，一個在叉形三角區域內，另一個在叉形三角區域外。

根據圖1-5可總結出突變模型的主要特點有：

1）多模態，系統中可能出現兩個或多個不同的狀態，也就是說，系統的位勢對於控制參數的某些范圍可能有兩個或多於兩個的極小值；

2）不可達性，在平衡曲面折疊的中間部分，有一個不穩定的平衡位置，系統不可能處於此平衡位置（即不可達）。從微分方程解的角度，不可達對應著不穩定解；

3）突跳，控制參量很小的變化會引起狀態變數很大的變化，從而導致系統從一個局部極小值臨界點突跳到另一個局部極小值臨界點。發生突跳時，勢能（或狀態）會從一個逐漸消失的局部極小值轉移到全局或局部極小值的另一個臨界點，這種轉移是以突變方式完成的，即勢能的變化是不連續的；

4）發散，在臨界點附近區域，控制參數初值的微小變化（微擾）可能導致終態的巨大差別，這表明對參數的微小擾動將引起系統物理過程或系統狀態本質的變化；

5）滯後，任何一個物理系統不能嚴格地逆向重復某種變化過程時，就會出現滯後現象。例如，尖點突變並不是在分岔集內發生，而是在分岔集線上發生，從底頁跳到頂葉與從頂葉落到底頁發生的位置不一樣；

6）多徑性，狀態變數在平衡曲面中處於某一狀態，可以通過控制參量變化的不同路徑來實現。

圖1-5 尖點突變模型

由於突變理論在岩土體系統的非線性理論分析中佔有重要地位，下面將詳細地進行介紹。

1.梯度系統、突變及其條件

在力學系統中，質量為m的質點的牛頓第二定律可以表示為

非線性岩土力學基礎

式中，

表示阻尼項；F表示外力項，若外力有位勢V，即

非線性岩土力學基礎

則牛頓方程（1-24）可表示為

非線性岩土力學基礎

如果系統加速度較小，則方程（1-25）可近似寫為

非線性岩土力學基礎

它表示阻尼力與外力平衡。方程（1-26）稱為梯度系統。

設梯度系統的平衡點為x^*，它滿足：

非線性岩土力學基礎

因此，平衡點x^*是位勢的臨界點或駐點，它的穩定性由

在該點的正、負號決定：若

（位勢V的極小值點），則平衡點x^*是穩定的，它稱為梯度系統的吸引子；若

（位勢V的極大值點），則平衡點x^*是不穩定的，它稱為梯度系統的排斥子。歸納起來為：

非線性岩土力學基礎

吸引子與排斥子的分岔點滿足：

非線性岩土力學基礎

它是位勢的拐點，常是結構不穩定之處。

2.通用擴展和余維數

為了討論方便，通常位勢V（x，μ）取為x的多項式。不失一般性，將滿足條件（1-29）的x^*和μ取為（x^*，μ）=（0，0），這里μ為控制參數。

設勢函數V（x）在μ=0處具有如下型式：

V（x）=a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵+…（μ=0） （1-30）

設a₃≠0，則在x=0附近，x⁴、x⁵等高階小項可忽略，而且可以通過變換使a₃=1/3，則式（1-30）可近似寫為

非線性岩土力學基礎

擴展式（1-31），Thom提出這種擴展的標准形式為

非線性岩土力學基礎

μ=0時，式（1-32）退化為式（1-31）。因為由式（1-32）表徵的位勢V內只含一個控制參數μ，此時稱系統的余維數為1。

以此類推，V（x）=

，

，

（μ=0）的通用擴展分別是

非線性岩土力學基礎

非線性岩土力學基礎

非線性岩土力學基礎

它們相應的梯度系統的余維數分別是2，3，4。

由式（1-32）、式（1-33）、式（1-34）和式（1-35）構成的梯度系統出現的突變分別稱為折疊、尖點、燕尾和蝴蝶突變。下面我們重點說明折疊突變和尖點突變。

3.折疊突變

折疊突變的梯度系統由式（1-32）得到：

非線性岩土力學基礎

其位勢函數V（x，μ）的圖像如圖1-6所示，圖中黑點代表系統所處的位置。由方程（1-36）可看出，系統在μ＜0時有兩個平衡點：

非線性岩土力學基礎

圖1-6 折疊突變勢函數圖像

由圖1-6（a）可看出，

是位勢V的極大值點，是一個排斥子；

是位勢V的極小值點，是一個吸引子。方程（1-36）在μ＞0時無平衡點。

系統發生突變時應滿足下式，即

非線性岩土力學基礎

其解為（x^*，μ）=（0，0）。梯度系統（1-36）的解隨μ的變化如圖1-7所示。從圖1-7可看出，隨著μ從負到正，原先在μ＜0 的吸引子（穩定解）在μ=0 處消失，然後隨著t→+∞，x→-∞。

事實上，由圖1-6也可看出，當控制參數μ由μ＜0變到μ＞0時，原來處於位勢極小值處的質點，由於位勢極小值的逐步抬高，到達μ=0時，質點已處於位勢拐點的位置上，質點必然要突然滑下來，進入t→+∞，x→-∞的狀態。

在圖1-7中，μ＜0的兩個平衡點投影到μ軸上被折疊在一起。

圖1-7 折疊突變系統的解隨控制參數的變化圖

4.尖點突變

尖點突變的梯度系統由式（1-33）得到

非線性岩土力學基礎

為了更好地分析式（1-39），我們先分析它的兩個特殊情況，後分析其一般情況。

（1）μ₁=常數（取μ₁=0）

此時，式（1-39）化為

非線性岩土力學基礎

相應系統的位勢函數為

非線性岩土力學基礎

其圖像如圖1-8所示，圖中黑點代表系統所處的位置。

非線性岩土力學基礎

系統的平衡點可由式（1-40）確定，即

非線性岩土力學基礎

μ₂＜0時，

是位勢V的極大值點，是一個排斥子；

是位勢V的極小值點，是兩個位勢相等的吸引子。μ₂＞0時，只有一個平衡點

是位勢V的極小值點，是吸引子。

發生突變時應滿足下式，即

非線性岩土力學基礎

其解為（x^*，μ₂）=（0，0）。

系統（1-40）的解隨控制參數μ₂的變化如圖1-9所示。從圖1-9可看出，隨著μ₂從負到正，原先在μ₂＜0的兩個吸引子（穩定解）在μ₂=0處合並，它表示原來處於位勢極小值處的質點，隨著位勢極小值的逐步抬高，達到μ₂=0時，質點已處於位勢的新極小值的位置上。

圖1-9 系統（1-40）的解隨控制參數μ₂的變化圖

（2）μ₂=常數（取μ₂=-3）

系統（1-39）化為：

非線性岩土力學基礎

此時系統的位勢函數為：

非線性岩土力學基礎

其圖像如圖1-10所示，圖中黑點代表系統所處的位置。

系統的平衡點可由方程（1-44）確定，即

x³-3x+μ₁=0 （1-46）

而且平衡點的個數取決於：

非線性岩土力學基礎

當｜μ₁｜＞2時，D＞0，位勢V只有一個極小值（吸引子，圖1-10（a）和（e））；當｜μ₁｜ ＜2時，D＜0，位勢V有一個極大值（排斥子，圖1-10（c））和兩個極小值（吸引子，圖1-10（c））。在｜μ₁｜=2處，D=0，會發生突變（圖1-10（b）和（d））。

非線性岩土力學基礎

根據式（1-45），突變點應滿足如下條件：

非線性岩土力學基礎

其解為（x^*，

）=（±1，±2）。

系統（1-44）的解隨著控制參數μ₁的變化如圖1-11所示。從圖1-11可看出：若原來質點處於Q′的左邊時，位勢只有一個極小值，進入Q′點以後到P點以前，位勢有一個極大值和兩個極小值，但質點仍處在原來極小的位置上，到達P點時，質點原在的極小值位置變成了拐點。只要μ₁稍稍大於2，質點將突變跳到另一個極小值的位置Q。反之，隨著參數μ₁由大變小，狀態由Q沿QP′線達到P′，質點突變跳到Q′。這就是系統（1-44）所表徵的突變現象。而且μ₁由小到大和由大到小的突變發生在不同的位置上，這個現象即為滯後性。

圖1-11 系統（1-44）的解隨控制參數μ₁的變化圖

（3）μ₁和μ₂為變數的情況

對方程（1-33）求導，由

和

確定突變點，即

非線性岩土力學基礎

其中第一式也是平衡點的方程。消去x得到

非線性岩土力學基礎

圖1-12 系統（1-33）的尖點突變

在控制參數平面（μ₂，μ₁）上，

的圖像如圖1-12所示，它是在（μ₂，μ₁）=（0，0）處形成尖點的兩條曲線。正由於此，這種突變稱為尖點突變。這兩條曲線將參數平面（μ₂，μ₁）分成D＜0（兩曲線之間）和D＞0（兩曲線之外）的兩個區域。在D＜0的區域，位勢有兩個極小值（吸引子）和一個極大值（排斥子），而在D＞0的區域，位勢V只有一個極小值（吸引子）。而在D=0的線上，位勢V只有一個極小值和一個拐點，在這里會出現突變現象。

六、協同性與Haken受控原理

在系統的分岔和突變現象分析中，系統的行為受到許多控制參量的影響，隨著控制參量的變化，系統呈現多樣化的運動，並最終顯示有序的特徵。Haken認為這是非線性開放系統的各子系統共同協作的結果，稱為協同性^［24］。

Haken同時還認為，在這種開放的耗散系統中，由於內部的相互作用，只要用極少數的幾個控制參量（稱為序參量）即可確定系統的演化。序參量的演變過程用梯度系統及相應的位勢描述最為合適，這是開放的非線性耗散系統的普適規律，Haken稱它為受控原理，數學上稱為中心流形定理。下面舉例說明。

對下述非線性系統

非線性岩土力學基礎

顯然，系統（1-51）只有一個平衡點：

（x^*，y^*）=（0，0） （1-52）

其Jacobi矩陣為

非線性岩土力學基礎

矩陣的特徵值為

非線性岩土力學基礎

因此，平衡點（x^*，y^*）=（0，0）為鞍-結點。對應於s₁=-β的特徵向量（滿足JX=-βX）為（x=0，y任意）。由式（1-51），令x=0求得：

非線性岩土力學基礎

y（t）=y（0）e^-βt（1-56）

所以，（x=0，y任意）為一穩定流形M^*，它以e^-βt的方式趨於平衡點。但對應於s₂=0在平衡點附近的流形就較為復雜了。由式（1-51）有

非線性岩土力學基礎

在平衡點附近，應用冪級數解法，令

非線性岩土力學基礎

將其代入方程（1-57），並比較系數求得：

非線性岩土力學基礎

非線性岩土力學基礎

這就是由s₂=0求得的不變流形，它就是中心流形M^c，如圖1-13所示。

圖1-13 系統（1-51）的流形

將式（1-60）代入式（1-51）第一式有

非線性岩土力學基礎

在x=0附近，上式近似為

非線性岩土力學基礎

非線性岩土力學基礎

由此可知，中心流形x（t）以

的方式（相應y（t）以

的方式）趨於平衡點。

綜上分析可知，非線性系統穩定流形（x=0）上的點以e^-βt的方式趨於平衡點，而中心流形上的點以

和

的方式趨於平衡點。兩者比較即知，式（1-51）第二式是快變數方程，第一式是慢變數方程。這樣，經過較短時間

就已很小，可設快變數方程（1-51）第二式中

，求得

非線性岩土力學基礎

慢變數方程（1-51）第一式可以寫為

非線性岩土力學基礎

上式就是確定系統（1-51）演變的控制方程。方程（1-65）是一個梯度系統，其位勢為

非線性岩土力學基礎

⑤ 求非線性的哲學意義之自我理解

為什麼說哲學是非線性發展的呢？
第一、哲學不能像自然科學，以及其他學科那樣有一個發展的知識積累過程。自然科學以及其他學科可以有類似某種知識積累的「直線運動」 的存在形式，哲學則不然。它卻像是一種「圓圈」 無休止轉動，圍繞著一些難題永恆無解的爭議了二千多年，迄今無一個公認的解答方式。柏拉圖的、亞里士多德的、老子的、黑格爾的、馬克思的、毛澤東的，古代的和當今的哲學家，每個哲學家的理論都有自己的觀念價值，而這種價值並不在於它的知識內容，而在於它提供了不同的解決問題的思維方式和解釋世界的概念論。
第二、哲學研究和自然科學研究是有根本性區別的。自然科學研究是對事物實行對象分類研究，是對個性的認識。它主要對具體事物的能量、質量、速度、比重、結構形式、空間關系，及其應用范疇的研究。這些研究是對具體事物的規定性研究，並且是可以反證、可以量化、可以累積的研究。而哲學研究，則是對事物實行對象普遍性研究，是對事物共性的認識。其從認識論上揭示的是對事物的普遍規律的認知，這是一種無需反證、無需量化、無需累積的共性認識。任何一種哲學理論對共性東西的概念化的歸納，是不能代替自然科學對具體對象應用范疇的規定性的歸納。正因為如此，哲學是人類思維自由空間最廣大的領域。每個哲學家或哲學追求者，都是可以各說各話，各有各的理念。世上的人都可信仰一種哲理或宗教，並同時可研究幾種不同的思想成果。在自然科學昌明的現代，人類仍然對宗教趨之若鶩，當你信仰了某種宗教，你就會投入感情而趨步之。為什麼會這樣呢？因為人們需要理念化的哲學，而宗教里有頗強的哲理性，或稱為「悟」性。而「悟」與「不悟」是無需反證、無需量化，也無需閱歷累積的。它可以填充不同社會人群的不同心靈空間。
第三、哲學，幾乎無什麼知識可言，留給後人的多是理念化的東西或是許許多多爭議中的問題。譬如，哲學是研究精神的還是研究物質的，是研究思想方法的還是研究意識形態的，是研究歷史的還是研究現實的。人的認識從哪裡來、往哪裡去，如何認知又如何驗證認知，怎樣思維又怎樣表達思維？還有，什麼唯物論、唯心論，本體論、存在論、認識論等等問題，至今各說各的，永無休止的爭議，而無法形成一個中心主題。
第四、哲學，至今仍是一個沒有中心定義的學術名詞，是自由化空間最大的一門學問。哲學是什麼？或者問，什麼是哲學？中國的主流認識，認為哲學是世界觀和方法論。但是，由於全世界的學術界、思想界以及教育界，在「哲學是什麼」這個問題上至今未有達成普遍的共識，使得我們無法知道關於哲學的中心定義。如果一個學習或研究哲學的人說他不知道「哲學是什麼」，那似乎是可笑的。然而，事實確是如此。圓周線運動形式是哲學領域的基本運動形式。哲學爭議了二千多年的問題，不僅迄今為止它仍然是一個問題，而且很可能永遠是一個問題。

⑥ 自動控制原理的非線性理論中，負倒描述函數在復坐標面中的曲線具體是如何畫出來的

我不太清楚你是想詢問什麼，不過對於非線性部分，你不要太急，想考哪個學校，取他的歷年真題看看非線性部分的題就行了，無怪乎考繪制相平面圖或者由奶奎斯特曲線判非線性系統的穩定性。 對於你問的問題我想說：典型非線性類型的描述函數是根據其非線性的圖形的分段函數再由其輸入信號經傅里葉變換而得到的，過程有點復雜。你想問的是不是在判穩的過程中非線性環節的描述函數圖形繪制？考試時一般不會考察特別復雜的非線性環節，基本上就是理想繼電特性，或者庫倫摩擦加黏性摩擦。要記得其描述函數N(A)表達式，然後取其負倒數並令A=0，A=inf(無窮大)時粗略的繪制出其圖形並與線性環節的奶奎斯特曲線做是否相交的分析。 希望對你有所幫助。

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書名：非線性代數方程組與定理機器證明

作者：楊路

出版社：上海科技教育出版社

出版年份：1996-09

頁數：203

內容簡介：

《非線性代數方程組與定理機器證明》是「非線性科學叢書」中的一種，介紹參系數非線性代數方程組的構造性理論和求解演算法。全書計分六章，即：導論，消去法基礎。三角型方程組，一般多項式方程組，機器證明的例證法，多項式方程的判別系統。其中有不少內容是作者的研究成果，尤其是5次以上代數方程的判定問題，作者在書中完全解決了這一幾個世紀以來懸而未決的經典問題。《非線性代數方程組與定理機器證明》可供理工科大學教師、高年級學生、研究生、博士後閱讀，也可供自然科學和工程技術領域中的研究人員參考。

⑧ 什麼是非線性理論什麼是非相對論性極限

非線性籠統的說就是理論中出現了非線性的微分方程。所謂線性指的是，對於微分方程組f(x,t)=0,x=x1(t)和x=x2(t)都是方程的解，則x=x1+x2也是方程的解。當然這個范圍太大了，而且很多看上去非線性的方程等價於做一些變換後的線性方程。實際應用多指的是，最終結果對於初態的依賴不是線性的，有兩種典型情況，一種是，最終狀態對初態很不敏感，很不同的初態可能會造成差不多的結果（吸引子），另一種正相反，初態的微小擾動造成結果的巨大變化（蝴蝶效應）。
非相對論極限一般來說指的就是速度遠小於光速。在量子力學中指的是薛定諤方程可以成立而不用考慮狄拉克方程或克萊因-高登方程，也就是不用考慮過程中粒子的產生湮滅；在統計力學中指的是粒子動能E正比於動量p的平方成立（反之相對論極限下E正比於P）。

⑨ 非線性理論數學基礎的圖書目錄

第1章 空間結構與映射
1.1 映射與勢
1.2 距離空間與連續映射
1.3 勒貝格積分與測度
1.4 代數結構
1.5 賦范線性空間與線性運算元
1.6 內積空間
1.7 拓撲空間簡介
第2章 非線性泛函分析基礎
2.1 非線性映射的連續性與有界性
2.2 全連續映射
2.3 抽象函數的積分與非線性映射的微分
2.3.1 抽象函數的積分
2.3.2 非線性映射的微分
2.3.3 非線性運算元的泰勒公式
2.4 隱函數定理及應用
2.4.1 隱函數定理
2.4.2 反函數定理
2.4.3 牛頓迭代法
2.5 Banach 空間中常微分方程初值問題
2.5.1 存大唯一性
2.5.2 解的極大存在區間
第3章 變分法
3.1 泛函數極值與極小化序列
3.1.1 極值理論
3.1.2 極小化序列
3.1.3 Ekeland變分原理
3.1.4 應用舉例
3.2 最速下降法
第4章 非線性動力系統與分岔
4.1 基本概念
4.2 平衡點的局部性態
4.2.1 平衡點的分類
4.2.2 Hartman定理
4.2.3 中心流形定理
4.3 吸引子
4.4 離散動力系統和龐卡萊（Poincare）映射
4.5 結構穩定性與分岔
4.5.1 結構穩定性
4.5.2 分岔與中心流形方法
4.5.3 幾種重要的分岔
4.6 Liapunor-Schmidt約化方法
4.6.1 Liapunor-Schmidt約化的基本步驟
4.6.2 分岔方程導數的計算
第5章 奇異性理論及應用
5.1 奇異性及識別問題
5.1.1 靜態分岔的概念
5.1.2 限制切空間
5.1.3 限制切空間的特徵化
5.1.4 芽的有限確定性
5.1.5 內蘊理想
5.1.6 識別問題
5.1.7 識別問題的幾個例子
5.2 普適開折理論
5.2.1 普適開折的計算
5.2.2 普適開折的計算
5.2.3 普適開折的識別
5.2.4 普適開折的分忿圖與保持性
5.3 分類問題
5.3.1 初等分忿的分類
5.3.2 初等分忿的識別
5.4 單變數奇性理論的應用
5.4.1 彈性結構系統
5.4.2 化學反應器系統
第6章 混沌
6.1 什麼是混沌
6.2 邏輯斯蒂(Logistic)映射
6.3 單邊符號動力系統
6.4 Smale馬蹄和雙邊符號動力系統
6.5 Henon映射
第7章 分形
7.1 Hausdorff測度
7.2 Hausdorff維數和拓撲維數
7.3 盒維數
7.4 相似維數
7.5 分形維數間的關系
7.6 什麼是分形
參考文獻

⑩ 全球流體活動的非線性

地球內部的活動性主要反映為地內流體的活動性，這種活動性主要服從什麼規律呢？對於這個問題已經爭論了幾百年（例如突變論與漸變論之爭）。目前，我們雖然接受了物理學家Kelvin的演化地球觀點，但是演化的規律性問題仍然沒有解決。

自從海底擴張和板塊構造學說廣泛傳播以來，對流均衡說無形中得到進一步的推廣。例如，解釋大洋擴張原因的地幔對流說被提了出來，開始是地幔熱對流，然後是地幔物質對流，Maruyama又將它推廣到全球物質對流上，至於冷而重的物質如何能穿過2500km厚的剛性中幔圈到達地核，卻沒有任何解釋。我們承認消減的大洋板塊可插入到流變的軟流圈底下直到上下地幔的界面，並誘發深源地震，但不能想像它在上下地幔分界處的「積累塊體」可以穿透堅固的中幔層進入地核，而不發生相應的更深源的動力學破壞作用（目前沒有這方面的地球物理證據）。

從已有的地球物理的資料看，以下觀點是可以接受的：

（1）地球內部流體活動的來源主要是地球內部的熱能和動能、勢能，尤其是地球外核散發的熱能和動能。在流體運動過程中產生化學分異的化學能，及重力勢能和地球自轉的離心勢能也起到重要作用。

（2）以地球外核和軟流圈為主要聚集區，地球內部的流體通道像人體的動脈系統一樣，是整體連通的，幾何形態可能是分形的。但是，這種流體通道網路的空間位置是隨時間變化的，從幾十億年的時間尺度上看，隨著地球熱量散發，地球收縮，流體通道系統也將逐漸萎縮。

對地球內部流體通道為分形網路的推測，主要依據為地表斷裂的研究。Barton和Larsen（1985）將內華達雅卡山附近的基岩清洗干凈，然後把其中的斷裂成圖，確定其分維數為1.7左右，這一結果與該區構造圖上的斷裂系統分維數一致。

此外，地震、火山等活動的幾何分布與分形網有許多類似（Korvin,1992），而且地球流體通道網沒有明顯的特徵尺度，都使我們推測後者是分形網路。由於分形是非線性現象的幾何表現，因此流體活動應與非線性系統有關。

（3）地球內部流體活動屬於開放的非線性系統。關於開放系統的問題似乎不難接受。許多人接受了大氣圈中的氣體來源於地球內部的假說（如Dott等，1998）。早期地球廣泛發育的火山、熱泉從地球中帶出大量的氣體和液體，最後形成大氣圈和海洋，這一過程現在還在延續，只不過規模減小而已。直到現在，還沒發現大量氣體迴流入地球內部的證據。此外，地球不斷向外散發熱量。因此，地球流體系統不是封閉的。

在開放的熱動力學系統中，物理化學平衡的保持必須依靠持續的外力供給（Hao,1984）。目前還沒有發現可維持地核液體活動平衡的外力，因此固體地球總體演化是不可逆的和不均衡的，不必把地幔質量均衡作為先決條件，來推斷「冷羽柱」的存在。當然。我們也注意到，剛性的中幔圈對液體地核有相當的屏蔽作用而造成一種准封閉的邊界，因此外核中含有較長期的對流發育，造成能量及物質成分的相對均衡。類似地，在冷硬的岩石圈下的軟流圈處於半封閉狀態.可維持時間較短的對流與局部的均衡。但是，對於巨厚的中幔層軀干，全球性的對流和物質流動是不可設想的。

地球內流體活動的非線性具體表現在間歇、相變、分岔、偽周期等不規則運動上。這些問題需要另擬文討論，本文僅舉少許例子。

火山爆發是間歇（intermittency）的典型例子。地磁極倒轉是典型的分叉（bifurcation）。由於地磁場是由地球外核中的導電液體運動產生的，地磁極倒轉的分叉反映的是外核中液體運動的非線性規律，它可以近似表示為二次的映射方程。根據渾沌理論預測，如果液體運動的控制參數改變，則地磁場方向將進一步分叉，最後導致渾沌，這也許是隨地球熱量散失、外核逐漸減薄到極限狀態時，將會發生的情況。

相變在地核液體上涌的同時發生，鐵鎂硅酸鹽等高熔點的物質將首先凝結為固相，鹼金屬的硅酸鹽及金屬硫化物岩漿將進一步上涌.在相變發生過程中揮發分將分異出來。相變是一種突變，一旦相變發生，動力學系統的邊界條件將發生改變而造成失穩，從而誘發間歇和分叉。

地質現象偽周期性（Quasiperiodicity），是自然界令人迷惑不解的問題之一。全球生物滅絕和岩漿活動是否存在一個大約26～30Ma的周期（Shaw,1981;Kalia,1982）？造山旋迴是不是周期性發生？地震活動是否存在周期性的旋迴？全球海平面變化的周期是多少？這些問題都與非線性理論中的偽周期性有關。

偽周期性指是貌似重復發生但在時空上都具有不確定性的現象，地質術語「旋迴」在某種意義上等效於偽周期性，它是介於周期性與渾沌之間的一個概念。對於像地球這樣具有多層次多要素的復雜系統來說，各種層次和要素之間的相互作用和耦合的結果，其演化軌道必然不是簡單的周期性所能表述的，偽周期性必然存在。我們注意到，渾沌理論中的相空間展開和演化軌道追蹤技術是研究地球系統偽周期性的一種重要途徑。尤其值得注意的是演化軌道中不斷收縮的偽周期軌道（吸引子）的研究，將使我們較精細地理解地質演化的本質和地質旋迴的含義。