傅里葉分析pdf

A. 傅里葉分析的發展現狀

20世紀 20世紀初，H.L.勒貝格引入了新的積分與點集測度的概念，對傅里葉分析的研究產生了深遠的影響。這種積分與測度，現在稱為勒貝格積分與勒貝格測度，已成為數學各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒貝格用他的積分理論，把上面提到的黎曼的工作又推進了一步。例如，根據勒貝格積分的性質，任何勒貝格可積函數的傅里葉級數，不論收斂與否，都可以逐項積分。又例如，對於[0,2π]上勒貝格平方可積的函數，帕舍伐爾等式成立
傅里葉級數，特別是連續函數的傅里葉級數，是否必處處收斂？1876年P.D.G.杜布瓦－雷蒙首先發現，存在連續函數，它的傅里葉級數在某些點上發散；後又證明，連續函數的傅里葉級數可以在一個無窮點集上處處發散。這反面結果的發現提醒人們對傅里葉級數的收斂性應持審慎態度。 進一步的研究導致G.H.哈代以及F.（F.）里斯兄弟建立單位圓上H空間的理論。他們研究了單位圓內使有界的解析函數F(z），這里0<r<1，而p>0。這類函數的全體，稱為H空間，它是近代H空間理論的先驅。
通過傅里葉級數刻畫函數類是傅里葉分析中的重要課題，著名的帕舍伐爾公式以及里斯-費希爾定理反映了函數類l(0,2π）的特徵。如果P≠2，則有以下的豪斯多夫-楊定理。 設1<p≤2,p┡=p/(p-1），如果∈l(0,2π），Cn是的復傅里葉系數，那麼
反之，如果{сn}(-∞<n<；∞）是滿足的復數列，那麼{сn}必為中某函數的傅里葉系數，且。 20世紀50年代以前的重要工作中，還應當提到哈代與李特爾伍德的其他許多貢獻。特別是30年代，他們用極大函數研究傅里葉級數，取得了很深刻的結果。極大函數是一種運算元，它的定義是極大函數M ()(x）比函數自身要大，用它來控制傅里葉分析中某些運算元，可以達到估計其他運算元的目的。
50年代以前，傅里葉分析的研究領域基本上限於一維的具體空間，50年代以後的研究，逐漸向多維和抽象空間推廣。 積分理論名稱：考爾德倫－贊格蒙奇異積分理論
由於偏微分方程等許多數學分支發展的需要，50年代出現的考爾德倫－贊格蒙奇異積分理論，標志了調和分析進入了一個新的歷史時期。例如，當∈l(Rn），泊松方程Δu=的基本解u(x）的二階導函數，在一定條件下（例如具有Lipα連續性），可以表成如下的奇異積分
сn為某常數，僅與維數n有關。積分 ⑻作為勒貝格積分一般是發散的；注意到Ωj(y）在R的單位球面S上的積分為0，可以證明，積分⑻在柯西主值意義下存在，並且作為x的函數是連續的，從而u(x）是泊松方程的解。
考爾德倫、贊格蒙研究了一類相當廣泛的奇異積分運算元⑼的性質，這里Ω(y) 是具有一定光滑性的零階齊次函數，且滿足條件。他們證明了這種積分運算元具有l有界性（p>1）；利用這些性質，可以得到某類微分方程中解的「先驗估計」。
h空間理論的近代發展 E.M.施坦、G.韋斯於20世紀60年代，引進了上半空間上的h空間，它們是n=1的推廣。當n=1時，h(p>0）空間中的函數在R=(-∞，∞）上的邊值函數幾乎處處以及在l范數下都存在，施坦、韋斯定義的多維空間，顯然是一維h(R崹）空間的推廣。人們自然要問，經典的h(R崹）空間中最基本的性質，例如邊值函數的存在性等，在多維空間中是否還被保留？施坦、韋斯首先發現，p>(n-1)/n時，答案是肯定的；例如他們證明，若F∈，p>(n-1)/n，那麼幾乎處處以及在L范數意義下都存在。1964年，考爾德倫、贊格蒙利用高階梯度概念，原則上把h空間的上述限制p>(n-1)/n放寬為p>0，但他們的方法比較復雜，隨著指標p的不同，h空間定義的一致性，當時並不清楚。
70年代初，h空間的近代理論經歷了引人注目的發展。D.L.伯克霍爾德、R.F.岡迪、M.L.西爾費斯坦於1971年，首先就一維的情形，證明的充分且必要的條件是，F(x+iy）的實部u(x,y）的角形極大函數，
稍後，C.費弗曼、施坦又把上述特徵推廣到多維中去，並且進一步指出，當0<p<；∞時，(x）作為中某函數的邊值函數的充分且必要的條件是：存在充分光滑的函數φ(x），，使得關於φ的角形極大函數，這樣，作為h(R）函數的實變函數論特徵，它完全可以脫離泊松核，也無需藉助於解析函數或調和函數的概念，而純粹是實變函數論的一種內在特性的反映，這是出乎人們的想像的。 對於R=(-∞，∞）上定義的非周期可積函數(x），傅里葉積分
代替了傅里葉級數⑴，而稱為的傅里葉變換。
傅里葉級數⑴ 和傅里葉積分⑽的具體形式不同，但都反映了一個重要的事實，即它們都把函數分解為許多個分量e(-∞<z<；∞）或e(n=0，±1，±2，…）之和。例如對於傅里葉級數⑴，(x）分解為сne(n=0，±1，±2，…）之和；而傅里葉積分⑽則表明，(x）可以分解為無窮個弮（z)e(-∞<z<；∞）之「和」。分量的系數сn(n=0，±1，±2，…）以及弮（z)(-∞<z<；∞）的確定，也有類似之處。事實上，它們都可以用下面的形式來表達：
。⑾
當為具有2π周期的周期函數時，G=(0，2π），
，測度 是G=[0,2π]上的勒貝格測度，此時，即傅里葉系數⑷；當 為定義在（-∞，∞） 上的非周期函數時，x(t)=(-∞<x<；∞），而是（-∞，∞）上的勒貝格測度，公式⑾即為傅里葉變換。
把函數分解為許多個「特殊」函數{e}之和的思想，啟發人們考慮更為深刻的問題。事實上，從群的觀點看，無論是周期函數還是非周期函數，它們的定義域都是拓撲群G，就是說，G有一個代數運算，稱為群運算，以及與之相協調的極限運算，稱為G的拓撲。傅里葉級數或傅里葉積分的任務，正是研究G上定義的函數(x）分解為群上許多「特殊」函數（例如e或e）之和的可能性，以及通過傅里葉系數或傅里葉變換來研究自身的性質。對於一般的拓撲群G，相當於{e}或{e}的「特殊」函數是哪種函數；把這種「特殊」函數x(t）代入公式⑾，又必須確定G上的測度μ，以求出 的傅里葉變換，這是在群上建立傅里葉分析理論所必須解決的兩個基本問題。對於直線群R=(-∞，∞），它的 「特殊」函數x(t)=e(-∞<x<；∞）的特殊性，就在於它們滿足以下的三個條件：①x(t+s)=x(t)x(s），②|x(t)|=1，③x(t）是t的連續函數。用群表示論的術語來說，條件①、②、③合起來，正好說明x(t）是群R的一個酉表示，而且進一步可以證明，滿足①、②、③的不可約的酉表示的全體就是 {e}(-∞<x<；∞）。對圓周群T而言，T的「特殊」函數全體xn(t)=e(n=0，±1，±2，…）除滿足①～③以外，還滿足條件④xn(2π)=1。從群表示論的觀點看，條件①～④合起來，說明T的「特殊」函數正好是群T的酉表示；進一步則可證明，T的一切不可約酉表示正好就是{e|n=0，±1，±2，…}。這樣，尋找一般抽象群G上合適的「特殊」函數的問題，就轉化為研究和尋找群G上一切不可約酉表示的問題。對於緊群或局部緊的交換群，群表示論的結果已經相當豐富，相應的「特殊」函數的研究也比較成熟。至於既非交換又非緊的拓撲群，尋找相應的「特殊」函數，尚是一個值得探索的難題。
研究拓撲群上的測度是建立群上傅里葉分析的另一個基本課題，因為群上的積分⑾離不開相應的測度。以可加的局部緊拓撲群R=(-∞，∞）為例，經典的勒貝格測度的主要特點是：①R中任一緊集的勒貝格測度必為有限；②R中任何可測集的勒貝格測度關於右（或左）平移是不變的。人們自然要問，一般的拓撲群上，具有①、②兩條件的測度（現在稱為哈爾測度）是否存在？存在的話，是否唯一？這個問題，自1930年以來，經A.哈爾，A.韋伊以及И。М.蓋爾范德等人的努力，已經證明，在局部緊的拓撲群上，滿足條件①、②的哈爾測度是一定存在的，並且相互間僅差常數倍。例如，以乘法為群運算的全體正實數構成一拓撲群R，它的拓撲就是歐氏空間的拓撲， 那麼測度dμ=xdx就是R上的哈爾測度。這是因為，對於任意的，
這說明測度dμ=xdx關於位移是不變的。如果進一步求出群R的一切不可約酉表示，則經過計算，可以證明R的一切不可約酉表示就是{x|- ∞<t<；∞}。這樣，由公式⑾，對於群R上的可積函數(x), 的傅里葉變換。
上式表達的弮（t）正好又是經典的所謂梅林變換M (x），是R.H.梅林19世紀末為研究狄利克雷級數的有關性質時引進的。這個特例說明，群上的傅里葉分析，不僅把梅林變換統一到傅里葉變換中來，更重要的是，群論觀點的引入，使得隱藏在某些現象背後的內在聯系，被揭示得更清楚更深刻了。 A.Zygmund,Trigonometric Series,2nd ed.,Cam-bridge Univ.Press,Cambridge,1959.
E.M.Stein,Singular Integrals and Differen-tiability Properties of Functions，Princeton Univ. Press,Princeton,1970.
G.M.Stein and G.Weiss，Introction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces，Princeton Univ.Press,Princeton,1971.
E.Hewitt and K.A.Ross,Abstract harmonicAnalysisVol.1～2,Springer-Verlag. Berlin,1963.1970.

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書名：重溫微積分

作者：齊民友

豆瓣評分：9.1

出版社：高等教育出版社

出版年份：2004-01-01

頁數：549

內容簡介：

《重溫微積分》根據作者多年來為各種不同程度的大學生和研究生講課及討論班上報告的內容整理而成。第一章對極限理論的發展作了歷史的回顧。以下六章分別討論函數、微分學、積分學、傅里葉分析、實分析與點集拓撲學基礎以及微分流形理論。每一章都強調有關理論的基本問題、基本理論和基本方法的歷史的背景，其與物理科學的內在聯系，其現代的發展與陳述方式特別是它與其他數學分支的關系。同時對一些數學和物理學中重要的而學生常常不了解的問題作了闡述。因此，它涉及了除微積分以外的許多數學分支：主要有實和復分析、微分方程、泛函分析、變分法和拓撲學的某些部分。同樣對經典物理學-牛頓力學和電磁學作了較深入的討論。其目的則是引導學生去重新審視和整理自己已學過的數學知識，並為學習新的數學知識——例如數學物理做准備。

《重溫微積分》適合於已學過微積分的基本知識的大學生和研究生進一步自學更現代的數學之用，也可以作為討論班的材料。《重溫微積分》還適合需要較多數學的各專業的人員以及高等學校教師參考之用。

C. 傅里葉解析

傅立葉變換
定義
f(t)滿足傅立葉積分定理條件時，下圖①式的積分運算稱為f(t)的傅立葉變換，②式的積分運算叫做F(ω)的傅立葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的象函數，f(t)叫做F(ω)的象原函數。 應用

傅里葉變換在物理學、電子類學科、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）。
概要介紹
* 傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的（參見：林家翹、西格爾著《自然科學中確定性問題的應用數學》，科學出版社，北京。原版書名為 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。
* 傅里葉變換屬於諧波分析。
* 傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;
* 正弦基函數是微分運算的本徵函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取;
* 卷積定理指出:傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;
* 離散形式的傅里葉變換可以利用數字計算機快速的算出(其演算法稱為快速傅里葉變換演算法(FFT)).
基本性質
線性性質
兩函數之和的傅里葉變換等於各自變換之和。數學描述是：若函數f \left( x\right )和g \left(x \right)的傅里葉變換\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和 β 為任意常系數，則\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里葉變換算符\mathcal可經歸一化成為么正算符；
頻移性質
若函數f \left( x\right )存在傅里葉變換，則對任意實數 ω0，函數f(x) e^{i \omega_ x}也存在傅里葉變換，且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 ) 。式中花體\mathcal是傅里葉變換的作用運算元，平體F表示變換的結果（復函數），e 為自然對數的底，i 為虛數單位\sqrt；
微分關系
若函數f \left( x\right )當|x|\rightarrow\infty時的極限為0，而其導函數f'(x)的傅里葉變換存在，則有\mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)] ，即導函數的傅里葉變換等於原函數的傅里葉變換乘以因子 �6�1 iω 。更一般地，若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0，且\mathcal[f^{(k)}(x)]存在，則\mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f] ，即 k 階導數的傅里葉變換等於原函數的傅里葉變換乘以因子( �6�1 iω)k。
卷積特性
若函數f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上絕對可積，則卷積函數f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅里葉變換存在，且\mathcal[f*g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] 。卷積性質的逆形式為\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)] ，即兩個函數乘積的傅里葉逆變換等於它們各自的傅里葉逆變換的卷積。
Parseval定理
若函數f \left( x\right )可積且平方可積，則\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^d\omega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里葉變換。
傅里葉變換的不同變種
連續傅里葉變換
主條目：連續傅立葉變換
一般情況下,若「傅立葉變換」一詞的前面未加任何限定語，則指的是「連續傅里葉變換」。「連續傅里葉變換」將平方可積的函數f(t) 表示成復指數函數的積分或級數形式。
f(t) = \mathcal^[F(\omega)] = \frac{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.
上式其實表示的是連續傅里葉變換的逆變換，即將時間域的函數f(t)表示為頻率域的函數F(ω)的積分。反過來,其正變換恰好是將頻率域的函數F(ω)表示為時間域的函數f(t)的積分形式。一般可稱函數f(t)為原函數,而稱函數F(ω)為傅里葉變換的像函數,原函數和像函數構成一個傅立葉變換對(transform pair)。
一種對連續傅里葉變換的推廣稱為分數傅里葉變換（Fractional Fourier Transform）。
當f(t)為奇函數(或偶函數)時,其餘弦(或正弦)分量將消亡,而可以稱這時的變換為餘弦轉換(cosine transform) 或 正弦轉換(sine transform).
另一個值得注意的性質是,當f(t) 為純實函數時,F(�6�1ω) = F(ω)*成立.
傅里葉級數
主條目：傅里葉級數
連續形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和運算元而已。對於周期函數，其傅里葉級數是存在的：
f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^ ,
其中Fn 為復振幅。對於實值函數，函數的傅里葉級數可以寫成：
f(x) = \fraca_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],
其中an和bn是實頻率分量的振幅。
離散時間傅里葉變換
主條目：離散時間傅里葉變換
離散傅里葉變換是離散時間傅里葉變換（DTFT）的特例（有時作為後者的近似）。DTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級數的逆。

http://ke..com/view/191871.htm

D. 簡單理解傅里葉級數(Fourier Series)

從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發生改變。 這種以時間作為參照來觀察動態世界的方法我們稱其為時域分析 。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，並且永遠不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發現世界是永恆不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。

還是舉個栗子並且有圖有真相才好理解。

如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶 90 度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當年的我一樣。但是看看下圖：

第一幅圖是一個郁悶的正弦波 cos（x）

第二幅圖是 2 個賣萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)

第三幅圖是 4 個發春的正弦波的疊加

第四幅圖是 10 個便秘的正弦波的疊加

隨著正弦波數量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標準的矩形，大家從中體會到了什麼道理？（只要努力，彎的都能掰直！）

隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續上升的部分使其變為水平線。一個矩形就這么疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標准 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。（上帝：我能讓你們猜著我？）

不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個難點，但是一旦接受了這樣的設定，游戲就開始有意思起來了。

還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個角度來看看：

在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而後面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向後排列開來，而每一個波的振幅都是不同的。一定有細心的讀者發現了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那並不是分割線，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。

這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。
好了，關鍵的地方來了！！
如果我們把第一個頻率最低的頻率分量看作「1」，我們就有了構建頻域的最基本單元。對於我們最常見的有理數軸，數字「1」就是有理數軸的基本單元。

（好吧，數學稱法為——基。在那個年代，這個字還沒有其他奇怪的解釋，後面還有正交基這樣的詞彙我會說嗎?）
時域的基本單元就是「1」秒，如果我們將一個角頻率為ω0的正弦波cos（ω0t）看做基礎，那麼頻域的基本單元就是ω0。
有了「1」，還要有「0」才能構成世界，那麼頻域的「0」是什麼呢？cos（0t）就是一個周期無限長的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0 頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級數的疊加中，它僅僅影響全部波形相對於數軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。

接下來，讓我們回到初中，回憶一下已經死去的八戒，啊不，已經死去的老師是怎麼定義正弦波的吧。

正弦波就是一個圓周運動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉的圓。

介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個矩形波，在頻域里的另一個模樣了：

這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認不出來了？教科書一般就給到這里然後留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實教科書只要補一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是—

再清楚一點：

老實說，在我學傅里葉變換時，維基的這個圖還沒有出現，那時我就想到了這種表達方法，而且，後面還會加入維基沒有表示出來的另一個譜——相位譜。

但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味著什麼。記得前面說過的那句「世界是靜止的」嗎？估計好多人對這句話都已經吐槽半天了。想像一下，世界上每一個看似混亂的表象，實際都是一條時間軸上不規則的曲線，但實際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規律的事情反而是規律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是一個旋轉的圓在直線上的投影。那麼你的腦海中會產生一個什麼畫面呢？

我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的後面有無數的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個小人——那就是我們自己。我們只看到這個小人毫無規律的在幕布前表演，卻無法預測他下一步會去哪。而幕布後面的齒輪卻永遠一直那樣不停的旋轉，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實話，這種對人生的描繪是我一個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的，當時想想似懂非懂，直到有一天我學到了傅里葉級數……

上一章的關鍵詞是：從側面看。這一章的關鍵詞是：從下面看。

在這一章最開始，我想先回答很多人的一個問題：傅里葉分析究竟是干什麼用的？這段相對比較枯燥，已經知道了的同學可以直接跳到下一個分割線。

先說一個最直接的用途。無論聽廣播還是看電視，我們一定對一個詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個通道來進行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：

先在紙上畫一個sin（x），不一定標准，意思差不多就行。不是很難吧。好，接下去畫一個sin（3x）+sin（5x）的圖形。別說標准不標准了，曲線什麼時候上升什麼時候下降你都不一定畫的對吧？

好，畫不出來不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個曲線的方程式，現在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什麼。這基本是不可能做到的。但是在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。

所以很多在時域看似不可能做到的數學操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為 濾波 ，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。

再說一個更重要，但是稍微復雜一點的用途——求解微分方程。（這段有點難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當麻煩的事情。因為除了要計算加減乘除，還要計算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變為乘法和除法，大學數學瞬間變小學算術有沒有。

傅里葉分析當然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。

下面我們繼續說相位譜：

通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側面看的頻譜，但是這個頻譜並沒有包含時域中全部的信息。因為頻譜只代表每一個對應的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位。基礎的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對於頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個相位譜。那麼這個相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個波疊加的圖。

鑒於正弦波是周期的，我們需要設定一個用來標記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點。小紅點是距離頻率軸最近的波峰，而這個波峰所處的位置離頻率軸有多遠呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點投影到下平面，投影點我們用粉色點來表示。當然，這些粉色的點只標注了波峰距離頻率軸的距離，並不是相位。

在完整的立體圖中，我們將投影得到的時間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發現的話，可以告訴她：「對不起，我只是想看看你的相位譜。」

注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因為cos（t+Pi）=-cos（t），所以實際上相位為Pi的波只是上下翻轉了而已。對於周期方波的傅里葉級數，這樣的相位譜已經是很簡單的了。另外值得注意的是，由於cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域為(-pi，pi]，所以圖中的相位差均為Pi。
最後來一張大集合：

傅里葉變換實際上是對一個周期無限大的函數進行傅里葉變換。

所以說，鋼琴譜其實並非一個連續的頻譜，而是很多在時間上離散的頻率，但是這樣的一個貼切的比喻真的是很難找出第二個來了。

因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續譜。那麼連續譜是什麼樣子呢？
你見過大海么？

為了方便大家對比，我們這次從另一個角度來看頻譜，還是傅里葉級數中用到最多的那幅圖，我們從頻率較高的方向看。

以上是離散譜，那麼連續譜是什麼樣子呢？

盡情的發揮你的想像，想像這些離散的正弦波離得越來越近，逐漸變得連續……

直到變得像波濤起伏的大海：

很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到，我沒有選用正確的計算參數，而是選擇了一些讓圖片更美觀的參數，不然這圖看起來就像屎一樣了。

不過通過這樣兩幅圖去比較，大家應該可以理解如何從離散譜變成了連續譜的了吧？原來離散譜的疊加，變成了連續譜的累積。所以在計算上也從求和符號變成了積分符號。

不過，這個故事還沒有講完，接下去，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的圖片，但是這里需要介紹到一個數學工具才能然故事繼續，這個工具就是——

虛數i這個概念大家在高中就接觸過，但那時我們只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意義是什麼呢?

這里有一條數軸，在數軸上有一個紅色的線段，它的長度是1。當它乘以 3 的時候，它的長度發生了變化，變成了藍色的線段，而當它乘以-1 的時候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數軸上圍繞原點旋轉了 180 度。

我們知道乘-1 其實就是乘了兩次 i 使線段旋轉了 180 度，那麼乘一次 i 呢——答案很簡單——旋轉了 90 度。

同時，我們獲得了一個垂直的虛數軸。實數軸與虛數軸共同構成了一個復數的平面，也稱復平面。這樣我們就了解到，乘虛數i的一個功能——旋轉。
現在，就有請宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場——

這個公式在數學領域的意義要遠大於傅里葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因為它的特殊形式——當x等於 Pi 的時候。

經常有理工科的學生為了跟妹子表現自己的學術功底，用這個公式來給妹子解釋數學之美：」石榴姐你看，這個公式里既有自然底數e，自然數 1 和0，虛數i還有圓周率 pi，它是這么簡潔，這么美麗啊！「但是姑娘們心裡往往只有一句話：」臭屌絲……「

這個公式關鍵的作用，是將正弦波統一成了簡單的指數形式。我們來看看圖像上的涵義：

歐拉公式所描繪的，是一個隨著時間變化，在復平面上做圓周運動的點，隨著時間的改變，在時間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實數部分，也就是螺旋線在左側的投影，就是一個最基礎的餘弦函數。而右側的投影則是一個正弦函數。

關於復數更深的理解，大家可以參考：

復數的物理意義是什麼？

這里不需要講的太復雜，足夠讓大家理解後面的內容就可以了。

有了歐拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線的疊加在實數空間的投影。而螺旋線的疊加如果用一個形象的栗子來理解是什麼呢？

光波
高中時我們就學過，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著名的實驗就是牛頓師傅的三棱鏡實驗：

所以其實我們在很早就接觸到了光的頻譜，只是並沒有了解頻譜更重要的意義。
但不同的是，傅里葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率范圍有限的疊加，而是頻率從 0 到無窮所有頻率的組合。

這里，我們可以用兩種方法來理解正弦波：

第一種前面已經講過了，就是螺旋線在實軸的投影。

另一種需要藉助歐拉公式的另一種形式去理解：

將以上兩式相加再除2，得到：

這個式子可以怎麼理解呢？

我們剛才講過，e^(it)可以理解為一條逆時針旋轉的螺旋線，那麼 e^(-it)則可以理解為一條順時針旋轉的螺旋線。而 cos (t)則是這兩條旋轉方向不同的螺旋線疊加的一半，因為這兩條螺旋線的虛數部分相互抵消掉了！
舉個例子的話，就是極化方向不同的兩束光波，磁場抵消，電場加倍。
這里，逆時針旋轉的我們稱為正頻率，而順時針旋轉的我們稱為負頻率（注意不是復頻率）。

好了，剛才我們已經看到了大海——連續的傅里葉變換頻譜，現在想一想，連續的螺旋線會是什麼樣子：

想像一下再往下翻：

是不是很漂亮？

你猜猜，這個圖形在時域是什麼樣子？

哈哈，是不是覺得被狠狠扇了一個耳光。數學就是這么一個把簡單的問題搞得很復雜的東西。

順便說一句，那個像大海螺一樣的圖，為了方便觀看，我僅僅展示了其中正頻率的部分，負頻率的部分沒有顯示出來。

如果你認真去看，海螺圖上的每一條螺旋線都是可以清楚的看到的，每一條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉半徑），頻率（旋轉周期）以及相位。而將所有螺旋線連成平面，就是這幅海螺圖了。

好了，講到這里，相信大家對傅里葉變換以及傅里葉級數都有了一個形象的理解了，我們最後用一張圖來總結一下：

好了，傅里葉的故事終於講完了，下面來講講我的故事：

這篇文章第一次被卸下來的地方你們絕對猜不到在哪，是在一張高數考試的卷子上。當時為了刷分，我重修了高數（上），但是後來時間緊壓根沒復習，所以我就抱著裸考的心態去了考場。但是到了考場我突然意識到，無論如何我都不會比上次考的更好了，所以乾脆寫一些自己對於數學的想法吧。於是用了一個小時左右的時間在試卷上洋洋灑灑寫了本文的第一草稿。

你們猜我的了多少分？

6 分

沒錯，就是這個數字。而這 6 分的成績是因為最後我實在無聊，把選擇題全部填上了C，應該是中了兩道，得到了這寶貴的 6 分。說真的，我很希望那張卷子還在，但是應該不太可能了。

那麼你們猜猜我第一次信號與系統考了多少分呢？

45 分

沒錯，剛剛夠參加補考的。但是我心一橫沒去考，決定重修。因為那個學期在忙其他事情，學習真的就拋在腦後了。但是我知道這是一門很重要的課，無論如何我要吃透它。說真的，信號與系統這門課幾乎是大部分工科課程的基礎，尤其是通信專業。

在重修的過程中，我仔細分析了每一個公式，試圖給這個公式以一個直觀的理解。雖然我知道對於研究數學的人來說，這樣的學習方法完全沒有前途可言，因為隨著概念愈加抽象，維度越來越高，這種圖像或者模型理解法將完全喪失作用。但是對於一個工科生來說，足夠了。

後來來了德國，這邊學校要求我重修信號與系統時，我徹底無語了。但是沒辦法，德國人有時對中國人就是有種藐視，覺得你的教育不靠譜。所以沒辦法，再來一遍吧。

這次，我考了滿分，而及格率只有一半。

老實說，數學工具對於工科生和對於理科生來說，意義是完全不同的。工科生只要理解了，會用，會查，就足夠了。但是很多高校卻將這些重要的數學課程教給數學系的老師去教。這樣就出現一個問題，數學老師講得天花亂墜，又是推理又是證明，但是學生心裡就只有一句話：學這貨到底幹嘛用的？

缺少了目標的教育是徹底的失敗。

在開始學習一門數學工具的時候，學生完全不知道這個工具的作用，現實涵義。而教材上有隻有晦澀難懂，定語就二十幾個字的概念以及看了就眼暈的公式。能學出興趣來就怪了！

好在我很幸運，遇到了大連海事大學的吳楠老師。他的課全程來看是兩條線索，一條從上而下，一條從下而上。先將本門課程的意義，然後指出這門課程中會遇到哪樣的問題，讓學生知道自己學習的某種知識在現實中扮演的角色。然後再從基礎講起，梳理知識樹，直到延伸到另一條線索中提出的問題，完美的銜接在一起！

這樣的教學模式，我想才是大學里應該出現的。

最後，寫給所有給我點贊並留言的同學。真的謝謝大家的支持，也很抱歉不能一一回復。因為知乎專欄的留言要逐次載入，為了看到最後一條要點很多次載入。當然我都堅持看完了，只是沒辦法一一回復。

本文只是介紹了一種對傅里葉分析新穎的理解方法，對於求學，還是要踏踏實實弄清楚公式和概念，學習，真的沒有捷徑。但至少通過本文，我希望可以讓這條漫長的路變得有意思一些。

最後，祝大家都能在學習中找到樂趣…

E. 哪位大佬有 《[漫畫傅里葉解析].（日）》電子版書籍百度網盤資源下載

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《漫畫傅里葉解析》是2009年8月1日科學出版社出版的圖書，作者是涉穀道雄，漫畫繪制是HaruseHiroki，漫畫編制是株式會社TRENO-PRO，翻譯是陳芳。

F. 傅里葉分析在電力系統的應用有哪些能舉例子嗎

一個主要的應用就是電力系統之中諧波分析。

傳統的諧波分析理論基礎是傅里葉分析，隨著計算機、微處理器的廣泛應用，數字技術在這一領域越來越多地被採用出現了離散采樣的傅里葉變換（DFT），電力系統的諧波分析目前大多是通過該方法實現的。

電力系統諧波測試：

基於傅里葉變換的諧波測量。基於傅里葉變換的諧波測量是當今應用最多也是最廣泛的一種方法。使用此方法測量諧波精度較高功能較多使用方便。

其缺點是需要一定時間的電流值，且需進行兩次變換計算量大計算時間長，從而使得檢測時間較長檢測結果實時性較差。

而且在采樣過程中當信號頻率和采樣頻率不一致時使用該方法會產生頻譜泄漏效應和柵欄效應使計算出的信號參數即頻率、幅值和相位）不準確尤其是相位的誤差很大無法滿足測量精度的要求因此必須對演算法進行改進加快測量數度。

(6)傅里葉分析pdf擴展閱讀：

基於DFT的諧波分析原理就是把時域信號變換到頻域相當於使數據樣本通過一個梳狀濾波器各濾波器的中心頻率恰好是各次諧波的中心點理論上只要滿足這一條件就能保證各次諧波的准確測量。

電力系統中的電壓與電流為周期函數且滿足荻里赫利條件，因此可將電壓和電流分解為傅里葉級數形式，從而可以求出基波分量以及各次諧波分量。

G. 傅里葉分析

姓名：宮松濤

學號：19021210927

【嵌牛導讀】傅里葉分析不僅僅是一個數學工具，更是一種可以徹底顛覆一個人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復雜了，所以很多大一新生上來就懵圈並從此對它深惡痛絕。老實說，這么有意思的東西居然成了大學里的殺手課程，不得不歸咎於編教材的人實在是太嚴肅了。所以這篇文章來解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，並且一定將體會到通過傅里葉分析看到世界另一個樣子時的快感。至於對於已經有一定基礎的朋友，也希望不要看到會的地方就急忙往後翻，仔細讀一定會有新的發現。

【嵌牛提問】如何理解傅里葉變換？

【嵌牛正文】

一、什麼是頻域

從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發生改變。這種以時間作為參照來觀察動態世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，並且永遠不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發現世界是永恆不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。

先舉一個 公式上並非很恰當 ，但意義上再貼切不過的例子：

在你的理解中，一段音樂是什麼呢？

這是我們對音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。但我相信對於樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：

好的！下課，同學們再見。

是的，其實這一段寫到這里已經可以結束了。上圖是音樂在時域的樣子，而下圖則是音樂在頻域的樣子。所以頻域這一概念對大家都從不陌生，只是從來沒意識到而已。

現在我們可以回過頭來重新看看一開始那句痴人說夢般的話：世界是永恆的。

將以上兩圖簡化：

時域：

頻域：

在時域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢；而在頻域，只有那一個永恆的音符。

所以

你眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。

抱歉，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學告訴我們，任何周期函數，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個例子里我們可以理解為，利用對不同琴鍵不同力度，不同時間點的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。

而貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡單的開始談起。