Ⅰ 《普林斯頓數學指引》讀書筆記——I.3 一些基本的數學定義（上）
對於數的現代視角是，最好不要把數當作獨立個體，而應視為一個更大的整體的一部分，這個整體稱之為數系。數系最突出的特點是，可以在其上完成算術運算，包括加、減、乘、除、開方。這種關於數的視角是富有成果的，它是通向抽象代數的跳板。
註：中文版將「indivially」譯為「孤立地」不太准確，另外「view」翻譯成「視角」要比「觀點」更自然。
當然，「1, 2, 3, 4 ……」這樣的描述，並不算是正式的定義，但它的確提出了下面這個我們視為理所當然的對自然數的描述：
(i) 給定一個自然數n，後面必然跟著一個自然數n+1，稱為n的後繼者；
(ii) 一個從1開始，且隨後每一個數是前一個數的後繼者的數列，會正好包含每個自然數各一次，且不再包含其他東西。
這個描述被濃縮為 佩亞諾公理 。
所有整數——正負整數與零——的集合，常記作Z（德文表示數的單詞「Zahlen,」的第一個字母），在這個屬性里，減法總是可能的：即如果m和n都是整數，那麼m-n也是。
按：上文提到，如果只需要計數，那整數就夠了，需要有理數的其中一個理由是測量的需要，包括長度、重量、溫度和速度等。
一個為有理數的更為理論化的合理性論證，是它們組成了一個除法總是可能的數系（除了除以零），這個事實，以及一些算術運算的基本性質，意味著Q是一個域。
註：這里把「justification」譯作「合理性論證」，其實也可以更簡單地譯為「依據」。因為這里作者其實是想要為引入沒那麼自然的數系尋找依據，解釋其必要性和合理性。
由於實數與（逐次逼近的）極限過程緊密地聯系著，對實數系真正的領會就依賴於對數學分析的理解。
註：中文版將「successive approximations」譯為「逐步逼近」，但其對應的數學術語的常見譯法是「逐次逼近」，其英文解釋「A method for estimating the value of an unknown quantity by repeated comparison to a sequence of known quantities」里的關鍵詞也是「repeated」而非「graally」，因此此處不應用「逐步」。
按：這里下一小節討論了復數，但沒有什麼特別的洞見，所以沒有摘錄。要真正理解復數，需要理解 Geometric Algebra ，回頭會單獨整理筆記。
按：這節簡要介紹了群、域、向量空間和環。
如果S是任意的數學結構，S的對稱就是一個由S到其自身的、能保持這個結構的函數。例如，當S是一個幾何圖形時，則應該得到保持的數學結構（之一），就是其上任意兩點的距離。
與幾何的情況進行類比，並把任意可以保持結構的函數都當作某種對稱，這樣做是富有成果的。由於其極度的通用性，對稱是一個在數學里無處不在的概念；而且只要哪裡有了對稱出現，像群這樣的概念就會如影隨形。
雖然好幾個數域都是群，但只把他們看成群，就忽略了其代數結構很大的一部分。尤其是群裡面只有一個二元運算，標準的數域卻有兩個，即加法和乘法（由它們還可以得到其他附加的運算，比如減法和除法）。
在定義數學結構的時候，有一個很一般的原理：如果一個數學定義，可以分成幾個部分，則除非這些部分可以相互作用，否則這個定義就沒有什麼意思（僅僅相當於分成的幾個部分對應的原來就定義過的數學結構而已）。域的加法和乘法，就是這樣的兩個部分，而迄今為止提到的所有性質，並未把它們以某種方式聯系起來。然而，最後的一個性質，即分配律，做到了這一點，從而給了域獨有的特性。
除了Q、R、C之外，還有一個引人注目的基礎域，即Fp。它是整數對素數p取模組成的集合，其中的加法、減法，也被定義為對p取模，詳見 模算術 。
有一個重要的過程與域有關，這個過程稱之為域的擴張，它使我們能夠從原來的域構造出新的域來。其基本的思想就是從一個域F開始，找一個在F中沒有根的多項式P，然後把一個新的元素附加到F上，約定這個元素就是P的根。這樣的過程，會產生一個擴張的域，它會包含，所有可以用這個根與F中的元素通過加法和乘法產生出來所有「數」。
評：這段話從抽象的角度，描述了帶來整個復數域的i（定義為x^2+1這個多項式的根）的誕生過程。
引入域的另外一個重要依據是，它們可以用來構成向量空間。
向量空間就是一個線性組合的概念在其中有意義的數學結構。
關於標量還有最後一個說明。之前，標量被定義為構造向量的線性組合時所用的實數。其實，我們用標量所做的計算，尤其是在解聯立方程時，在更廣泛的語境下也可以做。真正重要的是，（用於計算的「數」）必須屬於一個域，所以Q、R、C都可以用作標量的系統，更一般的域也是可以的。如果一個向量空間V的標量來自域F，我們就說V是域F上的向量空間，這個推廣重要而且有用，可見 代數數 。
粗略的說，環一種具備域的幾乎所有，但不是所有性質的代數結構。尤其是，對乘法運算的要求就沒那麼嚴格，最重要的放鬆之處是不要求環中的非零元具有乘法逆，而且有時乘法甚至不被要求是可交換的。
有了例子，回答一些基本的問題變得容易不少。如果我們有了一個關於某個給定類型的結構的一般命題，而又想知道它是否正確，這時，如果能夠用諸多個案來檢驗這個命題，會很有幫助。如果這個命題通過了所有的檢驗，就有了有利於這個命題的證據。如果運氣好，我們也許還能看出這個命題為什麼是正確的。另外，也可能發現這個命題對於你進行檢驗的每一個例子都是對的，但是都僅僅是因為所用例子本身的特別之處，這個時候我們就會知道，在尋找反例時需要怎樣避免這些特別之處。如果確實找到了一個反例，那麼這個一般的命題當然不成立了，然而有可能這個命題在經過某些修改以後，依然成立並且有用。在這種情況下，反例就會幫助我們找到適當的修改。
雖然 Q(i)包含在C中，但它在某些很重要的角度上是一個更有意思的域。為什麼會這樣子呢？人們肯定以為如果把一個對象的絕大部分都拿走了，它不可能變得更有意思。然而進一步想像一下，就會發現這確實是可能的：例如所有素數的集合會擁有某種特別迷人的、而不可能為所有正整數的集合所具備的特性。
……而且在，許多類似於Q(i)的域中，我們可以問哪些多項式方程有解。這在後來被證明是一個非常深刻而且重要的問題，但在更大的域C中，這樣的問題根本就不會出現（因為 代數的基本定理 告訴我們，每一個多項式方程在C內都有解）。
我們現在要用一種乍一看非常奇怪的方法，來把Q[x]（具有有理數系數的多項式的集合）變成一個域，方法就是，認為
等價於零多項式。換句話說，一旦一個多項式裡面有X^3的話，我們就可以把它換成x+1，並且認為這樣得出的新多項式等價於原來的多項式。
所有不等價於零的多項式，都在這個廣義的意義下具有乘法逆。
我們只是簡單地規定將兩個等價的多項式視為相等，並把得到的數學結構記為Q[x]/(x^3 - x - 1)，這個結構結果被證明是一個域，而且還是個重要的域，因為它是包含Q且擁有多項式x^3 - x - 1的根的最小的域。
按：上面這里其實就是對有理數的約分的含義做了推廣。
我們定義只要 ad = bc 那麼 ab 和 cd 這兩個表達式就等價，並且我們將等價的表達式看作在標記同一個數。注意這些表達式可能的確不一樣，但我們將其視為對同一個對象的標記。如果我們這樣做，在我們定義函數和二元運算的時候就要十分小心。
一般而言，最起碼要驗證，如果輸入的是等價的對象，（函數或二元運算）輸出的也應該是等價的對象。
這里為什麼我們使用了「商」這個詞？商通常是指當用某個數去分割（divide，在英語里，既有除的意思，也有分割的意思）另外一個數時所得到的東西。為了理解這個比喻，我們考慮21除以3，我們可以認為，這是把21個對象分成了3個對象一組，然後問一共可以分得多少個組。
按：上文將R^2平面上的點(x, y)和（x+1，y）定義成等價並看成相同，就會得到柱面（cylinder ），然後又進一步將(x, y)和(x, y+1)定義成等價並看成相同，就會得到 環面（torus） 。
我們會發現，這個柱面自己卷了起來，如果往上走了一段為1的距離，就會回到出發點。但這就是一個環面：一個被折疊成自己的柱面（然而，這不是定義環面唯一的方法，例如還可以把它定義為兩個圓周的乘積）。
現代幾何中的許多重要的對象，都是用商來定義的。經常有這樣的情況，一個對象很大，但同時等價關系又很寬松，也就是一個對象，很容易就與另外一個對象等價了，在這個情況下，真正不同的對象的數目可能很小。
通常是從一個大的令人絕望而又極為復雜的對象出發，但將絕大部份的亂七八糟的部分都分出來除掉了（divides out），結果得到的商結構足夠簡單，而且能夠處理，與此同時，依舊能傳遞重要的信息。 基本群 、拓撲空間的 同調群 與 上同調群 都是好例子， 模空間 甚至是一個更好的例子。
一個保持結構的函數就稱為一個同態（homomorphism）。
兩個結構之間的同構（isomorphism ）就是這樣的一種同態：同態f : X → Y的逆g : Y → X也是一個同態。
一個同構就是同時也是雙射的同態。也就是說，f是X和Y之間的一一對應，並且保持了結構。
雖然很基礎，但還是將[I.2 §2.2]中涉及雙射的段落摘錄如下：
對於一個函數f : A → B，如果只要當 f(x)和f(x')不同的時候，x和x'總不相同，我們就總是可以消除函數的效果（使f(x)變回x），這時，f被稱之為一個單射（injection）。
評：單射就是（B中的元素）只要被映射過來，就是（從A）唯一地（即「單」）映射過來（即「射」）。
另一方面，只要B中的每一個元素y都等於A中某個元素x的f(x)，我們就總能找到一個能被f消除效果的函數g，這時f被稱為一個滿射（surjection）。
評：滿射就是（B中的元素）每個（即「滿」）都能（從A）映射過來（即「射」）。
一個既是單射又是滿射的函數f，就是一個雙射（bijection）。雙射正是那些有逆的函數。
評：滿射解決的是「有」的問題，單射解決的是「只有」的問題，所以雙射就是「有且只有」，所以B中每個元素都能找到映射的來源，而且來源還唯一，這時映射的這個唯一來源，就是逆。所以「雙射」里的「雙」字更多是「成雙成對」的意思，更好的譯法或許是「對射」。費了這些口舌，就是想解釋清楚這些譯法都是什麼意思，當年學的時候，挺煩這些不好記的中文譯名的。英文術語里，in-前綴代表「進入、里內」，sur-前綴代表「在…..之上」 ，其實也不是太好理解。
一般地說，兩個代數結構X和Y間若有同構的函數關系，就說X同構於Y。同構中的iso和morphic分別源自希臘單詞「相同」和「形狀」。粗略地說，同構這個詞的意思就是「在所有本質的方面都相同」。算作本質的正是代數結果，而絕對不屬於本質的，就是具有這種結構的對象自身的本性。
X的自同構是，一個能夠保持結構的、到X自身的函數。兩個自同構的復合顯然還是一個自同構，於是代數結構X的所有自同構可以形成一個群。雖然作為個體的自同構並不那麼有趣，自同構的群，卻很有意思。這類群往往蘊含了我們關於一個結構真正想知道的信息，這些信息往往過於復雜，無法直接分析。
f把每一個有理數都變成自身，那f(√ 2)會是多少呢？從 f(√ 2)f (√ 2) = f(√ 2 · √ 2) = f(2) = 2可知f(√ 2)是√ 2或− √ 2。究竟是哪一個？其實，兩種選擇都是可能的：一個自同構是平凡的：f(a + b √ 2) = a + b √ 2；另外一個更為有趣：f(a + b √ 2) = a − b √ 2。這個觀察說明了，兩個平方根並沒有代數上的區別。
與部分域擴張相關聯的自同構群被稱為 伽羅瓦群 ，而且是對五次方程的不可解性而言不可或缺的成分。同時它也是代數數論相當大一部分內容，詳見 代數數 。
註：中文版有一段英文電子版中沒有的、關於同態關系中的核（kernel）的討論：核是X中所有使得f(x)為Y中的恆等元的那些x的集合，是X的有趣的子結構；環同態的核必然是一個理想[III.81]。
。
像這樣的定義可能難以接受，因為它們涉及到三個層次的復雜性。在底層有兩個實數，可以表示為x和y。中間一層有一些函數，如f、u和Tf，它們都是將實數（或實數對）映射為實數。最頂層是另外一個函數T，但它所轉換映射的對象本身就是函數：它將一個函數f變成另外一個函數Tf。這個例子說明了如下思維方式的重要性：將函數看作單一和基礎的東西而非一個轉換的過程。（參見[I.2 §2.2]中對此的討論）另外一個有助於理清這個定義的點是：二元函數u(x,y)的角色與矩陣a_ij極其類似。（矩陣a_ij自己也可以被看作兩個整數變數i和j的函數）
關於無限空間之間的線性映射，可以參考 運算元代數 和 線性運算元
在許多情況下，線性映射的本徵向量與本徵值，包含了關於這個線性映射我們所有需要了解的信息，而且是以非常方便的形式。線性映射出現在很多情境中，這些情境中出現的問題往往正是關於本徵向量和本徵值的問題。
指數函數 e^x 的導數是其自身。換句話說，如果f(x)=e^x，那麼f'(x)=f(x)。這樣微分運算就可以被看作一種線性映射。如果f '(x) = f(x)，那麼這個映射使函數f保持不變，這說明f是一個具備本徵值1的本徵向量。更一般的，如果g(x) = e^(λx)，那麼g'(x) = λ e^(λx) = λg(x)，這樣g就是微分映射的一個本徵向量，其本徵值為λ。許多線性微分方程可以被視為在求用微分運算定義的線性映射的本徵向量。
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【說明】
也許其中某些書在本圈出現過，但我相信大家更喜歡精細整理過的叢書系列。我發布過的叢書，每本書都經過仔細檢查，並將書籍信息體現在文件名中。至於叢書中缺少的書（已出版的，但我未擁有的），可能會用空白TXT文件體現，也可能會在一個TXT文件中列出缺少的書。
我在本圈發布過的所有叢書，我都曾在 微盤（這個混蛋叫混沌） 和 網路雲（我就叫混沌） 發布過。 當然，所有的書籍都是無名網友共享的，我只是整理和轉換後收集在一起的。
另，本人堅持不設任何訪問許可權
Ⅲ 普林斯頓數學指南和柯朗數學物理方法哪個好讀
柯朗數學物理方法。
1、講解清晰。普林斯頓數學指南內容較為晦澀難懂，適合有一定基礎的學生閱讀觀看，柯朗數學物理方法從表面逐漸深入，能夠帶著學生從淺入深地學習公式，講解清晰，便於閱讀。
2、章節少。該指南面向的群體偏向高層次人才，涉及學科內容相比柯朗數學物理方法會多很多，第二本書內容偏少，更容易讀者進行閱讀。
Ⅳ 求《普林斯頓數學指南》(第一卷)(第二卷)(第三卷)中文版PDF！感謝！
普。林。斯。頓。數學。指南。中文版。鏈接:
Ⅳ 普林斯頓數學指南適合什麼人讀
普林斯頓數學指南適合於高等院校本科生、研究生、教師和研究人員學習和參考。雖然主要是為了數學專業的師生寫的，但是，具有大學數學基礎知識，更重要的是對數學有興趣的讀者，都可以從本書得到很大的收獲。