概率與測度pdf

Ⅰ 風險中性概率測度與鞅測度怎麼理解

鞅是隨機過程的一種，它的顯著特點是未來的期望等於現在。一個隨機過程一般伴隨著一個測度。測度是滿足一定條件的取值為非負的集函數，兩個測度等價是指這兩個函數具有相同的支撐，支撐是指使函數值大於零的定義域。
等價鞅測度即是把不是鞅的隨機過程轉化成鞅的測度。這一測試和原來隨機過程伴隨的測試等價。轉化成鞅後，可是直接採用求數學期望的方法來獲得金融衍生產品的價格，如期權，而不用解偏微分方程了。

Ⅱ 非數學專業需要自學測度論嗎

是不需要。非數學專業不需要自學測度論，除非涉及到了相關的知識點，也可以通過視頻教學完成

Ⅲ 測度與測度空間

集函數 ：顧名思義，集合的函數，定義域是由集合構成的集合，值域是R。
集函數是有限的 ：如果對每個A∈集類，|u(A)|<∞，則稱u是有限的。
集函數是σ有限的 ：σ的意思是可列。如果每個A∈集類，存在集合序列{A_{n}}，使A=∪A_{n}，且對每個n，都有u(A_{n})<∞，則稱u是σ有限的。
u是有限可加的 ：如果對任意A、B∈集類，A與B的交集為空集，都有u(A+B)=u(A)+u(B)。通俗理解，測量兩個桌子的長度，將兩張桌子並排一起量與分開測量兩張桌子，然後將測量結果相加，這兩種測量方式得到的結果是一樣的。不能說，兩張桌子一起量，與單獨測量每張桌子長度，然後相加得到的長度是不一樣的。也就是說，單獨測量求和=整體測量。
u是σ可列可加的 ：對集類中的任意集合序列{A_{n}}，並且兩兩互不相交，並且ΣA_{i}也屬於這個集類，則u(ΣA_{i})=Σu(A_{i})。

測度 ：如果集類上的集函數u滿足以下條件，則稱u為測度。
（1）u(空集)=0
（2）u是非負的，即對集類中的每個A，都有u(A)大於等於0
（3）u是可列可加的。
概率測度 ：如果測度滿足u(全集)=1，則稱測度u為概率測度。
概率空間 ：全集，全集上的σ域，這個全集σ域上的測度，則這三個元素構成測度空間。當P是概率測度時，全集，全集上的σ域，P構成概率空間。

半域和域上的測度 ：即定義在半域或者域上的測度，換句話說，這個測度的定義域是半域或者域。

命題：若u是域上的非負、有限可加集函數，則有以下性質：
（1） 集函數u是單調的 ，即A是B的子集，（相當於A小，B大），則u(A)小於等於u(B)。
（2） u是半可加的 ：若A是∪A_{i}的子集，必有u(A)小於等於Σu(A_{i})。

Ⅳ 測度與概率的介紹

本書論述測度論和以測度為基礎的概率論的基本知識和方法，包括集及其勢、距離空間、測度與概率、可測函數與隨機變數、積分與數學期望、乘積測度與獨立、Radon-Nikodym定理與條件期望、概率極限理論等。本書的特點是讀者不必學習實變函數論而學習測度論；測度論與概率論的基本內容緊密結合而更有利於理解二者的關系及其實質；在本書的基本目標下，盡可能使內容現代化；本書文字通暢、條理清楚、論述嚴謹、便於學習；每節後都配有較多的不同要求的習題，以便加深對內容的理解和掌握。本書可以作為有關專業的高年級學生或研究生的測度論（或實變函數論） 、概率論或兩者的教材或參考書，也可供有關教師和科技工作者參考。

Ⅳ 測度論與概率，高懸賞

D(aX+Y)=a²D(X)+D(Y)+2aCov(X,Y)

若相關系數=-1，a>0;
Cov(X,Y)=-根號D(X)D(Y)
D(aX+Y)=a²D(X)+D(Y)-2a根號(D(X)D(Y))=(a根號D(X)-根號D(Y))²

又
Y=n-aX
D(Y)=D(n-aX)=a²D(X)
a根號D(X)=根號D(Y)

所以D(aX+Y)=0

於是aX+Y方差為 0
aX+Y 100%等於一個常數
--------------------------------------------------------------------------
若相關系數=1，a<0;
Cov(X,Y)=-根號D(X)D(Y)
D(aX+Y)=a²D(X)+D(Y)+2a根號(D(X)D(Y))=(-a根號D(X)+根號D(Y))² （a<0,a²開根號=-a）
因為a根號D(X)=根號D(Y)

D(aX+Y)=0

於是aX+Y 方差為0
aX+Y 100%等於一個常數

Ⅵ 隨機信號分析

概率，條件概率，獨立性，分布函數，隨機變數，隨機變數的函數，統計平均，特徵函數。

概率沒啥可說的。

條件概率就是在給定信息下的概率，信息會導致概率的變化。明天下大雨的概率和已知明天下雨，下大雨的概率顯然是不同的。

獨立性就是事件的無關性，可以進行概率乘積，還可以引申到條件獨立性，在一定條件下，事件是無關的。獨立性可以解耦，使問題簡化。

分布函數就是隨機變數取不同值的概率，反映了一種直觀地取值的比重。df和pdf也是經常用到的。pdf就是概率密度函數，對於連續型隨機變數是很好用的表示方法，可以輕松得知某一個取值的可能性是大還是小。

隨機變數就是對事件集的一種表示，使用高概的定義，就是一個可測函數，可測函數總能表示為一個測度，所以也算是事件集的第二個測度隨機變數測度，第一個就是概率測度，他們相結合進行積分就可以獲得隨機變數的均值。

統計平均就是均值，或者數學期望，也就是對概率測度的積分。對於離散型，就是隨機變數值乘上對應概率值的求和。可以通過矩來表示，一階原點矩就是均值，二階中心矩就是方差。中心矩就是相對於均值的差。

特徵函數就是考慮了傅里葉變換的隨機變數表示，將概率密度函數轉變為傅里葉基的形式，給出了新的頻譜。之所以使用概率密度函數，是由於傅里葉積分的收斂條件，需要平方可積，概率密度函數總可以滿足，而且，這讓我想起了量子力學中的概率描述，坐標和動量表象，也是使用了傅里葉變換。特徵函數有很好的性質，一個是獨立的隨機變數和的特徵函數，等於分別的特徵函數的積。是一個變化的結構保持性質。f(a+b)=f(a)f(b)，也可以視為加群到乘群的同態。還有就是隨機變數各階原點矩可以通過對特徵函數求各階導數獲得，大大簡化了運算。而且，由於微分和矩的關系，所以，特徵函數的泰勒展開就是隨機變數按各階矩展開，這就將隨機變數和它的各階矩聯系起來了。

隨機信號，分類，隨機過程的統計特徵，隨機序列的統計特徵

隨機信號就是隨時間變化的隨機變數，可以視為一族隨機變數的集合，每一個時刻都有一個隨機變數，時間就是這一族隨機變數的索引，可以類比函數族，一個參數索引的函數族f_t(x)，也就是二元函數f(x,t)，可以通過范疇論中的指數結構表達，一個二元函數可以視為參數索引的一元函數族。

分類，按照參數參數的性質，分為連續時間的和離散時間的，通常稱為隨機過程和隨機序列。按照隨機變數的性質，也可分為連續型和離散型，組合起來就有其中類型了。最一般的情況就是連續型隨機過程。還有一種分類就是考慮到了特殊的性質，包括平穩隨機過程，高斯過程，白雜訊，獨立增量過程，獨立隨機過程，馬爾科夫過程。這些在後面才會進行解釋。其實，本質就是一種聯系性，如果所有時刻的隨機變數毫無關聯，那就是最一般的情況，很難處理，但現實是他們是有關聯的，所以可以進行簡化，得到獨有的性質。

統計特徵，一種描述方式是分布函數和密度函數，對每一個時刻而言，隨機過程都只是一個隨機變數，自然可以得到它的分布函數和密度函數，多取幾個時刻，就可以視為維度的增加，就有對應的聯合分布和聯合密度，但是，我們都知道時間是連續的，所以每一個時間區間都有無數個不同的時刻，對應的就是無窮維分布函數，這就過於復雜了，所以這種描述方法只限於有限的幾個時刻的局部性質，很難用來描述整體特徵。

所以，就使用了另外的描述方式，數字特徵，也就是均值，方差，相關系數。均值和方差的定義與一維隨機變數差不多，不過，現在它是一個隨時間變化的函數。畢竟每一個時刻都是一個一維隨機變數。

相關系數則發生了很多變化。相關系數是用來描述兩個不同的隨機變數的聯系的，關鍵在於隨機過程中，這個不同有很多種產生方式，一個是同一隨機過程，不同的時刻，這就是自相關函數，一個是不同隨機過程，不同的時刻，這就是互相關函數。而根據採用的權值的不同，比如一個是原點矩，一個是中心矩。又需要細分，對於同一隨機過程而言，使用原點矩就簡稱為自相關函數，而使用中心矩就稱為協方差函數或者中心化自相關函數。

關於協方差，他也是定義相關系數不可缺少的部分，畢竟相關系數就是協方差除上兩分布的方差的平方根，方差的平方根也稱為標准差。

對於不同隨機過程而言，使用原點矩就簡稱為互相關函數，而使用中心矩就稱為互協方差函數或者中心化互相關函數。也就是一字之差。

然後是獨立性的推廣，在隨機過程中，有好幾種不同的獨立性。

一個是統計獨立，指的是兩個隨機過程，當視為兩族隨機變數時，是彼此獨立的，也就是任意相同或者不同時刻，兩隨機過程對應的兩個隨機變數是獨立的，具體表現為聯合分布的可乘性，直接推論是互相關函數是兩個隨機變數均值的乘積，並且互協方差函數為零，也就是相關性為零。

一個是不相關，指互協方差函數為零。這里涉及的僅僅是一階矩關系，而分布函數涉及各階矩關系，所以相關性比獨立性要弱。獨立必然不相關，不相關卻未必獨立。

還有一個是正交，指互相關函數為零。這里的正交更像是內積所定義幾何性質，熟悉泛函分析中希爾伯特空間理論的人應該對比不陌生，R_XY(t1,t2)=E(X(t1),Y(t2))就像一種內積，接受兩個隨機變數，給出一個數。兩族隨機變數間內積為零，就是正交。

最後是隨機過程的特徵函數，這個和一維隨機變數是一致的，同樣可以通過特徵函數方便的求得各階矩，特殊的，對於同一隨機過程在不同時刻所構成的二維隨機變數的特徵函數，可以求得自相關函數。

隨機序列的數字特徵，隨機序列就是對隨機過程的離散取樣，所以，可以使用向量和矩陣的語言來描述，就像泛函分析中的函數空間和序列空間一樣，對應的可以定義均值向量，自相關矩陣，協方差矩陣。這兩個矩陣都滿足對稱性，半正定性，也是意料之中，畢竟是可交換的，自然就是對稱的，半正定還不太明白，雖然從公式上可以推得，但缺乏直觀事實。

Ⅶ 概率論中隨機變數（離散和連續）的pmf和pdf是如何推導出來的呢

需要根據具體情況推導，不同的概率分布，原因是其隨機變數實際上是受到某種因素影響而出現的，所以必須知道其影響因素本身，然後再考慮隨機的因素才有實際的分布函數。沒有一個包打天下的方法。離散型的數值主要是排列組合的方式推導，連續的則更為復雜。

質量函數，分為概率質量函數和初始質量函數。

在概率論中，概率質量函數 (Probability Mass Function，PMF)是離散隨機變數在各特定取值上的概率。概率質量函數和概率密度函數不同之處在於：概率密度函數是對連續隨機變數定義的，本身不是概率，只有對連續隨機變數的取值進行積分後才是概率。

注意這在所有實數上，包括那些X不可能等於的實數值上，都定義了 fX(x)。在那些X不可能等於的實數值上， fX(x)取值為0 ( x ∈ RS，取Pr(X = x) 為0)。

離散隨機變數概率質量函數的不連續性決定了其累積分布函數也不連續。

假設X是拋硬幣的結果，反面取值為0，正面取值為1。則在狀態空間{0, 1}(這是一個Bernoulli隨機變數)中，X = x的概率是0.5，所以概率質量函數是：

Ⅷ 測度論與概率論基礎 怎麼樣

第一章 可測空間和可測映射
1 集合及其運算2 集合系3 *域的生成
4 可測映射和可測函數
5 可測函數的運算習題1 第二章 測度空間
1 測度的定義及性質
2 外測度3 測度的擴張
4 測度空間的完全化
5 可測函數的收斂性
習題2第三章 積分 1 積分的定義2 積分的性質
3 空間Lp（X，**）
4 概率空間的積分習題3第四章 符號測度 1 符號測度
2 Hahn分解和Jordan分解
3 Radon-Nikodym定理
4 Lebesgue分解
5 條件期望和條件概率
習題4第五章 乘積空間 1 有限維乘積空間
2 多維Lebesgue-Stieltjes測度
3 可列維乘積空間的概率測度
4 任意無窮維乘積空間的概率測度
習題5
第六章 獨立隨機變數序列
1 零一律和三級數定理
2 強大數律3 特徵函數4 弱大數律5 中心極限定理習題6

Ⅸ 求《測度論與概率論基礎》 程士宏編著 北京大學出版社出版 前三章課後習題答案

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