A. 旋量是什麼
跡規劃是機器人控制問題的重要方面，根據作業要求通地軌跡序列控制點控制機器人位姿軌跡。Paul〔1〕首先利用齊次變換矩陣將手部在直角坐標下的位置、速度和加速度變換成各關節的位移、速度和加速度，然後規劃成二次平滑函數。Paul方法的計算量非常大，Taylor〔2〕採用四元數表示法改進了Paul方法。後來Lin和Luh〔3，4〕提出規劃軌跡的3次樣條函數方法，可得到優化的關節運動規律，但當軌跡中間路徑點個數n較多時，此法所需計算量也較大，而且缺乏時姿態插補的考慮。在許多高精度應用場合，如切割、弧焊等不僅要求機器人位置精確，還需要在該位置具有任意確定的姿態，對外部品質的要求是很高的。因此，必須解決機器人姿態在插補結點處相應的空間坐標，以尋求更具一般意義的位姿軌跡生成的通用演算法。
本文運用旋量法來描述機器人末端夾持器在直角坐標空間中的位置和姿態對時間函數所顯示的運動軌跡，由於姿態旋量的直觀和簡便對描述瞬時姿態有獨特的優點，且計算量也小。文中還利用速度矢量是雅可比矩陣列向量的線性組合關系，對廣義坐標的速度量進行線性規劃，免去了求解運動學方程，並適合於具有冗餘自由度的操作器。
1 機器人位姿軌跡
1.1 姿態旋量
機器人的位姿就是終端夾持器的位置和姿態。我們可以用角位移矢量Ω來描述機器人的姿態，設ψ為基坐標系中繞瞬時軸加轉的等效旋轉角，K表示基系中瞬時轉軸的單位向量，則角位移矢量：
Ω＝ψK。
根據旋量定義，可以證明等效角位移矢量的姿態矢量是旋量，表示為
式中，OP為用位移矢量上給定的初始點位置，基系原點O為旋量參考點。
由對偶數理論可知：三維歐氏空間中直線與三維對偶空間中的點是一一對應，於此可將直角坐標空間中的姿態旋量映射到對偶空間，得到對應點，位姿軌跡的規劃問題便轉化為對偶空間中由姿態旋量所映射的點運動軌跡的選擇問題。
圖1 姿態旋量
1.2 位姿軌跡
設T為機器人由起始點到結束點完成運動所需的總時間，t為分段軌跡算起的時間，令
若在時間間隔〔0，t〕內，機器人完成一個給定的工作，整個工作軌跡上需計算的采樣點數：
N0＝Int(t／T)。
姿態旋量時應的對偶空間中的點假設沿著一連續軌跡運動
是λ(t)的對偶函數，寫成對偶坐標形式。
(1)
式中Ωxi,Ωyi,Ωzi為姿態坐標分量，的Plücker坐標(Ωi，Soi，用坐標分量的純量形式表示為(Ωxi,Ωyi,Ωzi,S0xi,S0yi,S0zi)
姿態矢量Ωi為瞬時轉動軸上的自由矢量，只有當Pi點位置確定後，它才在軸線上唯一定位。Ωi在空間的定位可通過瞬時轉動軸線上Pi的位置矢量rip給定，於此S0i＝rip×Ωi〔5〕，將式(1)改寫成行列式形式的參數方程為
(2)
式中，xpi,ypi,zpi為夾持器姿態矢量Ωi在軸線上Pi點相對於基系的坐標，式(2)就是機器人位姿的姿態旋量表示。由Ωxi，Ωyi,Ωzi確定機器人夾持器的姿態軌跡，由xpi,ypi,zpi導出其位置軌跡，設定理想位置及姿態軌跡為
(3)
(4)
代入式(2)便可確定機器人在對偶空間的姿態旋量。機器人在進行焊接或切割工作，圓弧曲線軌跡運動中姿態的變化，需要按式(2)求出每一采樣時刻的姿態角。
2 機器人運動螺旋方程
設為終端速度旋量，為姿態角速度向量，vpi為終端位置速度，基旋量，
(5)
(6)
於端夾持器的瞬時運動螺旋方程為
(7)
螺旋軸線Plücker坐標為
3 關節運動速度
設固聯於機器人各可動件上的附件參考系原點O′i放在運動副關節處，相鄰運動副軸線之間的合法線長度為a12，a23，……；相鄰兩桿之間的偏距分別為d1，d2，…；相鄰軸線之間的扭向角為v12，v23，…；運動副相對回轉角為θ1，θ2，…。
定義函數
令
取第i關節的轉角θi，或滑移距離zi作為廣義坐標，qi＝(1－μi)zi＋μiθi(i＝1，2，…，n)
將螺旋運動旋量方程(7)作轉換後可得
(8)
或表示為
(9)
式中，J1，J2，J3是雅可比矩陣J的三個3×3子陣，這里注意到六關節機器人決定姿態的關節4、5、6的變數沒有影響vx,vy,vz的移動，可將式(9)分解寫成
(10)
(11)
由上式可知終端執行器移動線速度和轉動角速度與各關節角速度的關系由雅可比矩陣聯系，它由機器人各桿件的位姿矩陣和旋轉矩陣組合給出。
根據工作過程的需要，規劃終端執行器的位姿軌跡及速度必需與末端的實際測定的數值一致。然而，機器人各桿件的彈性變動，關節間隙，重力負載及桿件離心效應等因素的影響致使機器人位姿動態精度形成誤差。設為期望軌跡上的速度旋量，為機器人末端測定的實際速度旋量，由感測器可獲得實際位姿軌跡與期望作業偏差為
機器人的位置和姿態誤差分別小於給定誤差R及G的概率〔6〕。為使誤差收斂反回軌跡，以消除誤差的累積效果，需使位置及姿態誤差得到校正補償，式(10)，(11)改寫為
(12)
(13)
式(12)、(13)適用於J滿秩的情況，當機器人具有冗餘自由度時，對應的有無窮多解，對此可取能量損失為最小，選取最優解
(14)
為尋求滿足式(14)使損失函數N()，為最小，應用拉格朗日運算元解
(15)
W為n×n對稱正定矩陣，λ為Lagrange乘子，滿足最優解的必要條件是
即
(16)
(17)
在式(16)，(17)中消去λ，得最優解。
(18)
考慮到使誤差得到收斂，式(18)改寫成
(19)
其中均為正定陣。式(19)適用於有冗餘自由度時的規劃。要求關節運動速度不應達到邊界位置極限速度，設M為允許的最大速度，必需使＜M，以適應電機最大轉速的要求。
4 算 例
設斯坦福機械手在擬定軌跡中通過空間3個已知點P1(50，0，118)，P2(110.5，50，84)，P3(50.2，100，50)，並在三點保持姿態為Ω1(0，0，1.57)T，Ω2（0，－0.045，0)T，Ω3(0，0，1.57)T。P1，Ω1狀態相對應的關節坐標及其相應的正弦和餘弦值如表1，試規劃其運動和位姿軌跡。
表1
關節坐標
坐 標 數 值 正 弦 余 弦
θ1 0° 0 1
θ2 90° 1 0
θ3 ／ ／
θ4 0° 0 1
θ5 90° 1 0
θ6 90° 1 0
解 設機械手終端以圓弧軌跡規劃，其位置坐標函數及姿態坐標函數為
xp＝f1〔λ(t)〕＝60.5sin(2.9966°t)＋50，
yp＝f2〔λ(t)〕＝－50.03cos(2.9966°t)＋50，
zp＝f3〔λ(t)〕＝34cos(2.9966°t)＋84，
Ωx＝ζ1〔λ(t)〕＝－0.05cos2(2.9966°t)＋0.05sin(2.9966°t)＋0.05，
Ωy＝ζ2〔λ(t)〕＝－0.065sin(2.9966°t)＋0.02cos2(2.9966°t)＋0.02，
Ωz＝ζ3〔λ(t)〕＝0.0012cos2(2.9966°t)－1.57sin(2.9966°t)＋1.569。
設運動總時間為T＝60s，據式(2)當t＝40s時終端夾持器的位置，姿態為
據式(5)、(6)可求得t＝40s終端的位姿速度值，
斯坦福機械手雅可比矩陣的三個子陣為
其中，
J11＝－d2〔C2(C4C5C6－S4S6)－S2S5C6〕＋S2d3(S4C5C6＋C4S6)，
J21＝－d2〔－C2(C4C5C6＋S4S6)＋S2S5S6〕＋S2d3(－S4C5S6＋C4C6)，
J31＝－d2(C2C4S5＋S2C5)＋S2d3(S4S5)，
J12＝d3(C4C5C6－S4S6)，J13＝－S5C6，
J22＝－d3(C4C5S6＋S4C6)，J23＝S5S6,
J32＝d3C4S5，J33＝C5。
d2＝－t6041S1＋t6042C1，
d3＝S2(t6041C1＋t6042S1)＋t6043C2，
Ci＝cosθi，Si＝sinθi，(i＝1，2，…，6)，
t6041＝102.5，t6042＝25.09，t6043＝67.07，
可得d2＝25.09，d3＝102.5。
據測定手部位姿誤差統計值為Δx＝0.08465，Δy＝0.1269，Δz＝0.1050，Δφx＝0.0022，Δφy＝0.0025，Δφz＝0.0041。取
據式(12)，(13)可得關節速度
5 結 論
1)本文用對偶映射原理來描述機器人的姿態旋量，用Plücker線坐標表達機器人位姿。
2)在機器人軌跡規劃中，利用旋量方法時描述瞬時姿態具有直觀、簡便的獨特優點，比較全面地表達了終端執行器的位置和姿態的軌跡生成，且計算量較少。
3)根據實際工作軌跡進行規劃，提高了操作器運行精確性，並使非線性優化問題化為線性優化問題，利用速度矢量是雅可比矩陣列向量的線性組合關系，免去了求解逆運動學方程，並適合於具有冗餘自由度的操作器。■
基金項目：福建省自然科學基金資助項目
作者單位：林瑞麟(華僑大學機電工程系，福建泉州362011)
參考文獻：
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〔4〕Luh J Y S, Lin C S. Approximate join trajectories for control of instrial robots along cartesian paths〔J〕. IEEE Trans System, Man and Cybernetico，1984，14(3)：444～450.
〔5〕林瑞麟，蔣少茵，林碧. 旋量法在機器人動力學分析中的應用〔J〕.應用數學和力學，1996，17(1)：75～80.
〔6〕徐衛良，張啟先. 機器人誤差分析的蒙特卡洛方法〔J〕.機器人，1988，2(4)：1～5.
(湯任基推薦)
收稿日期：1998-02-05
修訂日期：1999-10-30
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