數學史概論pdf

『壹』 概率統計知識歸納 例談中學概率統計教學中數學史的運用

當前我國正在推進基礎教育改革，十分重視數學教學中運用數學史．概率統計教學可以通過解讀史實，促進學生對概率定義的理解；剖析史情,培養學生正確的概率直覺；挖掘史料，讓學生體會概率統計的思想方法；運用史例，啟發學生的創新意識，從而提高學生理解和應用不確定性數學的能力．
數學史是學習數學、認識數學的工具．人們要認識數學概念、數學思想和方法的發展過程，建立數學的整體意識，就必須運用數學史作為指導．概率論與數理統計也有其自身不斷發展和完善的歷史，當前我國正在推進基礎教育改革，十分重視數學史和數學文化的教育，在中學概率統計教學中運用數學史有助於學生理解數學知識之間的聯系和不確定性數學特有的思想方法，從而提高學生的數學應用和創新能力．

1解讀史實，促進學生對概率定義的理解

概率的古典定義是拉普拉斯1812年給出的,它討論的對象僅限於隨機試驗中所有可能的結果為有限多且等可能的情形．教學中可結合「賭金分配」問題，老型襪體會古典概率的模型特徵租粗，加深對定義的理解．舉該問題的一個簡單情形：甲、乙二人賭博，各出賭注30元，共60元，每局甲、乙勝的機會均等，都是12．約定：誰先勝滿3局則他贏得全部賭注60元，現已賭完3局，甲2勝1負，而因故中斷賭博，問這60元賭注該如何分給2人，才算公平．初看覺得應按2：1分配，即甲得40元，乙得20元，還有人提出了一些另外的解法，結果都不正確，正確的分法應考慮到如在這基礎上繼續賭下去，甲、乙最終獲勝的機會如何．其實，至多再賭2局即可分出勝負，這2局有4種可能結果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙．前3種情況都是甲最後取勝，只有最後一種情況才是乙取勝，二者之比為3∶1，故賭注的公平分配應按3∶1的比例，即甲得45元，乙得15元．
概率的古典定義具有可計算性的優點，但它也有明顯的局限性．要求樣本點有限，如果樣本空間中的樣本點有無限個，概率的古典定義就不適用了．把有限個樣本點推廣到無限個樣本點的場合，人們引入了幾何概型，由此形成了確定概率的幾何方法．學習概率的幾何定義的最典型的例子是「會面問題」和歷史上著名的「蒲豐投針實驗」：平面上畫著一些平行線，它們之間的距離都等於 a，向此平面任投一長度為L（L小於 a）的針，試求此針與任一平行線相交的概率．這個幾何概型問題可運用積分運算求得P =2Lπa．由於「蒲豐投針實驗」的理論概率中含有常數 π，教學中可以通過設計L和 a，經統計實驗估計出概率P，然後運用以上給定的概率模型公式求出圓周率．這樣將概率的幾何定義和概率的統計定義的學習有機聯系起來，同時學生又體驗到求 π的方法的多樣性和數學知識之間的廣泛聯系性．
概率的古典定義和幾何定義都要求在隨機實驗中基本事件發生的可能性相等，但人們發現在相同的條件下做大量重復試驗，一個事件發生的次數n和總的試驗次數N之比，在試驗次數N很大時，它的值將穩定在一個常數附近．N越大，這個比值「遠離」這個常數的可能性越小，這個常數就稱為這個事件的概率．這個定義與統計有密切的關系，它建立在頻率穩定性的基礎上，所以稱為概率的頻率定義．這種概率討論的對象不再限於隨機試驗所有可能的結果為等可能的情形，因而更具一般性．教學中可以在學生動手操作拋擲硬幣的統計實驗基礎上，參照歷史上著名科學家大數次地投擲硬幣的結果，進一步感受頻率概率的大數次實驗要求以及概率統計的隨機性和統計規律性．
侍激由下表容易看出，當投擲次數較少時頻率的波動較大，當投擲次數增大時頻率呈現穩定性，即出現正面的頻率在0.5附近擺動，而逐漸穩定於0.5．概率的這三個定義屬於描述性定義，在敘述中都用了「可能性」一詞，而概率恰是關於「可能性」的概念，所以這些定義從理論上看是不嚴格的，有循環定義之嫌．由於缺乏嚴格的理論基礎，常常被人找到一些可鑽的空子，其中最為典型的要算1889年法國數學家貝特蘭提出的概率悖論：在圓內任作一弦，其長度超過圓內接等邊三角形邊長 a的概率是多少?作者給出了三種不同的答案:

第一種解答是假定弦中點H在直徑PQ上均勻分布時P=12（圖1）；
圖1圖2圖3第二種解答是假定弦中點H在小圓周上均勻分布時P=13（圖2）；
而第三種解答是假定弦中點H在小圓內均勻分布時P=14（圖3）．這個悖論產生的根本原因是三種解法所作的等可能假設是不同的，所對應的樣本空間是不同的，它們是三個不同的隨機試驗．因此，在樣本點為無限的情況下，必須對樣本空間及樣本點作具體限定，概率的公理化定義由此應運而生．教學中適時給學生傳授這種概率統計發展中的焦點問題的產生和解決過程有助於學生對數學定義的內涵有更加科學的理解．
近年來隨著數學發展的領域不斷拓寬，主觀概率日益受到人們的關注．概率的主觀定義也稱直覺定義，「它是指在一次性事件中，認識主體根據其所掌握的知識、信息和證據，而對某種情況出現的可能性大小所作的數量判斷」（陳希孺2000、6）．英國學者貝葉斯提出的「貝葉斯公式」被認為是使用主觀概率的第一個公式．問題在於，實踐中對許多事物由於所考慮的過程還沒有進行，因而往往無法得到概率．但實際上，如果人們根據以往的經驗數據，甚至根據主觀或客觀上的某一要求而得到的數據予以分析，估計出一個最優值，作為研究總體的假設概率，最後在得到新的信息的基礎上對假設概率重新予以修正，這樣做是無可非議的．在現代愈來愈復雜的經濟活動中，某些決策無法用理論概率或經驗概率來判斷時，如投資等經濟決策問題中應用主觀概率是可行的辦法．教學中適當介紹主觀概率可以豐富學生對概率的認識．

2 剖析史情,培養學生正確的概率直覺

英國學者威爾斯說:「統計的思維方法，就像讀和寫的能力一樣，將來有一天會成為效率公民的必備能力．」然而，概率統計不同於幾何、代數等研究確定性現象的數學分支，在理論和方法上有其獨特的風格，在概率統計的學習中，學生們會遇到許多隨機數學理論．由於各種隨機現象不能用「因果關系」加以嚴格控制和准確預測，也不能用一些簡單的定律加以概括，而需要從大量觀測中綜合分析找出規律性，所以培養學生正確的概率統計思維方法是必要的．
教學中我們經常發現許多學生在學習概率統計課程的時候，往往囿於確定性數學的思維方式，不能建立正確的概率直覺，在概率學習和問題解決中存在大量的錯誤認識．實際上，對於教師來講，保持概率統計課程的邏輯嚴謹性並注重學生概率直覺能力的培養是必須處理好的重要問題．讓學生盡早體驗概率與實際事物的緊密聯系，敏銳感受實際事物中的隨機性，是建立正確概率直覺的必備條件．例如，在學習「生日問題」時，教師可以先引入以下史情：美國歷史上至今已有42位總統，其中第11任的波爾克和第29任的哈定生日都是11月2日，還有亞當斯、傑斐遜、門羅三位總統都死於7月4日，這是一種歷史的巧合，還是很正常的現象呢？
「生日問題」也許令人十分困惑：50個人中有兩人生日相同，你也許認為這只是巧合，其實幾乎可以肯定至少有兩人在同一天過生日．我們可以用概率的方法測算一下．為了簡便，我們不記閏年，一年按365天算，那麼該問題的理論概率為1－A��50���365�365��50�≈0.97．這件事情發生的概率，並不是大多數人直覺中想像的那樣小，而是相當大．這個例子告訴我們，通常的「直覺」並不很可靠，這就有力地說明了研究隨機現象統計規律的重要性．本例的錯誤直覺源於人們潛意識中把50個人中相互間有兩人生日相同直覺成50個人中有人和自己的生日相同，而後一種情況的理論概率僅為：1－（364365）��49�≈0.13．所以形成「50個人中有2人生日相同」的概率不是很大的錯覺．教學中可以通過統計調查或隨機模擬實驗讓學生經歷估計和驗證隨機事件發生概率的過程，逐步建立正確的概率直覺．
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3 挖掘史料，讓學生體會概率統計的思想方法

概率統計是中學數學新課程的重要組成部分，它研究隨機現象的統計規律性，具有獨特的概念、方法和理論．教學中應更多地關注實驗與統計過程，結合史例，及早培養學生的隨機思想和統計觀念．
3.1 隨機思想
隨機思想的核心是認識隱藏在隨機現象背後的統計規律性，強調隨機現象的個別觀察的偶然性與大量觀察中的統計規律性之間的聯系．必然性通過偶然性表現出來，偶然性背後總是隱藏著必然性，大量的隨機現象正體現出事物發展過程中的必然性的一面．隨機思想正是通過對這種偶然性的研究去發現其背後的必然性―即統計規律性，並通過這種必然性去認識和把握隨機現象．
隨機試驗是隨機思想中的一個重要方法，歷史上為了研究隨機現象呈現的統計規律性，進行過非常著名的隨機試驗，如蒲豐、皮爾遜等所做的擲硬幣試驗，高爾頓設計的高爾頓板試驗模型等．例如，投擲硬幣中，假如我們進行大量投擲，正面朝上的頻率就非常接近一半，即正面朝上的理論概率為12，我們把這種個別結果不確定，但是多次重復之後，結果有規律的現象稱為隨機現象．「隨機的」不是「偶然的」同義詞，而是描述一種不同於確定性的秩序，概率統計是描述隨機性和統計規律性的數學．
理解隨機思想的關鍵是理解某一事件發生的試驗頻率與理論概率存在偏差，而且偏差的存在是正常的．雖然多次試驗的頻率漸趨穩定於其理論概率，但也不排斥無論做多少次試驗，試驗概率仍然是理論概率的一個近似值，而不能等同於理論概率．例如理論上事件「隨意拋擲一枚硬幣，落地後正面朝上」發生的概率為12，但試驗100次，並不能保證恰好50次正面朝上，50次正面朝下．只要學生真正動手做試驗，必能體會到這一點．事實上，做100次擲幣試驗恰好50次正面朝上，50次正面朝下的概率僅為C��50���100�(12)��100�≈�� �8%，遠遠低於投幣二次有一次正面朝上的概率50%．教學中要防止學生把概率直覺地理解為「比率」，這樣才算對某一事件發生的概率有較為深刻的認識．
隨機思想還包括統計實驗過程中抽樣的隨機性及模擬試驗或隨機抽樣結果的隨機性．只有學生認識到這一點，才能真正明白現實世界廣泛存在的隨機性，並主動地應用到生活中去．抽樣的方法很多，但無論用什麼方法抽樣，都要堅持隨機抽取的原則．這是避免人為的影響，保證樣本客觀、真實的基本要求．
3.2 統計推斷思想
統計課程的核心目標是引導學生體會統計思維的特點和作用，體會統計思維與確定性思維的差異．例如，在運用樣本估計總體的學習中，應通過對具體數據的分析，使學生體會到由於樣本抽取具有隨機性，樣本所提供的信息在一定程度上反映了總體的有關特徵，但與總體有一定偏差．另一方面，如果抽樣的方法比較合理，樣本的信息還是可以比較好地反映總體的信息．例如著名數學家拉普拉斯對倫敦、彼得堡、柏林和法國的男嬰和女嬰出生規律進行研究，得到的統計資料顯示：10年間，男孩出生的頻率在2243附近擺動；我國歷次人口普查總人口性別構成數據，與拉普拉斯所得到的結果非常的接近．
科學家發現，不僅在人類社會生活中，在大自然中，生命的繁殖、進化也莫不服從概率統計規律．早在1843年，捷克修道士孟德爾首先通過研究豌豆的遺傳規律為世人揭示了大自然的奧秘．由於豌豆的兩種遺傳基因在進入下一代的雜種細胞時，彼此分離，互不幹擾，最後在生物傳粉過程中隨機組合，所以這個規律又稱「分離定律」．後來孟德爾經過艱苦的探索又發現了兩對性狀不同的植株進行雜交時，不同對的遺傳基因自由組合，而且機會均等，這就是孟德爾第二定律，也稱「自由組合定律」．孟德爾發現的分離規律和自由組合規律實質上就是概率統計規律在遺傳過程中的體現．
統計推斷的過程不同於數學中的邏輯推理，是帶有概率性質的一種推理方法，其依據是「小概率事件原則」．小概率事件原則認為:概率很小的事件在一次試驗中是幾乎不會發生的．如假設檢驗問題的解法便是統計推斷思想的體現．對於某個假設，給定一小概率水平標准，通過對抽樣數據進行整理、計算，如果結果使得一小概率事件發生了(這與小概率事件原則矛盾)，我們作出拒絕接受原假設的推斷；否則，認為原假設是可接受的．這種統計推斷思想的實施使數理統計的實用性得到充分的展現．教學中可以利用葯效檢驗等實例重點介紹統計推斷思想．

4 運用概率模型史例，啟發學生的創新意識

隨機數學有很大一部分可以用概率模型進行描述，如有限等可能概型(古典概型)、伯努利概型、正態分布等．應用概率模型方法就是根據隨機問題的具體特點，模擬建構一個隨機問題的現實原型或抽象模型，藉以反映問題的內在規律，然後 選擇相應的數學 方法對 求得的數學模型作出解答，表現出從實踐到理論又回到實踐的過程．概率統計教學中應重視對概率模型的理解和應用，淡化繁雜的計算，使學生經歷從多個實例中概括出具體的概率模型的過程，體會這些例子中的共同特點，培養學生識別模型的能力．美國普渡大學統計學教授大衛.s.莫爾曾經這樣論述道:「學習組合學並不使我們增進對機遇概念的理解，也不比其他學科更能發展使用概率建模的能力．在大多數情況下，應該避免組合問題，除非是最簡單的計數問題」．使用概率模型解決問題是歸納思維的一種典型方式，它離不開人們的觀察、試驗與合情推理，是數學化意識和思想方法的體現，有助於培養學生將數學理論應用於解決實際問題的能力和創新意識．
數學史在展現隨機數學知識發展過程的同時，數學家也常給後人在數學方法的運用和解決實際問題的創新思維方面帶來啟示，例如利用概率模型求 π就是典型的史例，一部計算圓周率的歷史，被譽為人類「文明的標志」．1872年英國學者威廉.向克斯已把 π的值算到了小數點後707位．此後半個多世紀，數學家法格遜對向克斯的計算結果產生懷疑，法格遜的疑問是基於以下奇特的想法:在 π的數值中，大約不會對一兩個數碼存有偏愛，也就是說各數碼出現的概率都應當等於110．隨著電子計算機的出現和應用，計算 π的值有了飛速進展，1973年，法國學者讓.蓋尤與芳旦娜小姐合作，對 π的前一百萬位小數中各數碼出現的頻率進行了有趣的統計得出的結論是：盡管各數字出現也有某種起伏，但基本上平分秋色．看來，法格遜的想法應當是正確的，在 π的數值展開式中有: P(0)=P(1)＝P(2)=…＝P(9)＝�0.1�．但有時由於概率模型含有不確定的隨機因素，分析起來比確定性的模型困難．在這種情況下，可以考慮採用蒙特卡洛（Monte Carlo）方法．Monte Carlo方法是計算機模擬的基礎，它的名字來源於世界著名的賭城――摩納哥的蒙特卡洛，其歷史起源於1777年法國科學家蒲豐提出的一種計算圓周率的方法――隨機投針法，即著名的蒲豐投針問題．蒙特卡洛方法屬於試驗數學的一個分支，它的基本思想是首先建立一個概率模型，使所求問題的解正好是該模型的參數或其他有關的特徵量．然後通過模擬統計試驗，即多次隨機抽樣試驗，統計出某事件發生的百分比．只要試驗次數很大，該百分比便近似於事件發生的概率，最後利用建立的概率模型，求出要估計的參數即問題的解．

參考文獻
1 李文林.數學史概論［M］.北京:高等教育出版社,2002
2 張丹.統計與概率［M］.北京:高等教育出版社,2006
3 張遠南.概率和方程的故事［M］.北京:中國少年兒童出版社,2005

註：「本文中所涉及到的圖表、註解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。」
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書名：數學史概論

作者：李文林

豆瓣評分：7.6

出版社：高等教育出版社

出版年份：2011-2

頁數：442

內容簡介：

《數學史概論(第3版)》以重大數學思想的發展為主線，闡述了從遠古到現代數學的歷史。書中對古代希臘和東方數學有精煉的介紹和恰當的分析；同時本著「厚今薄古」的原則，充分論述了文藝復興以來近現代數學的演進與變革，尤其是20世紀數學的概觀，內容新穎，第三版更增添了「未來的挑戰」等反映數學最新進展的章節。《數學史概論(第3版)》中西合爐，將中國數學放在世界數學的背景中述說，更具客觀性與啟發性。

第三版在內容上進行了必要的修訂與更新，全書重點突出，脈絡分明，並注意引用生動的史實和豐富的圖片，因而適合於綜合大學、師范院校各專業的學生作為數學史課程的教材以及研究生選修數學史的參考用書，同時也可供廣大數學工作者和一般科學愛好者閱讀參考。