❶ RSA密碼演算法
題目很簡單，出現這種問題證明你要好好看下數論了。特別是歐拉定理。根據數論，若x與y互為素數，則x^-1 mod y存在唯一整數解。由此，告訴你一種簡潔的求d的方法，該法是根據模的逆運算的原始定義求解，即：ed=k(p-1)(q-1)+1 式中d和k都是整數。因為e與(p-1)(q-1)互為素數，所以存在唯一整數解。這樣可以通過搜索法找到d。
由上題：e=5, (p-1)(q-1)=96
帶入公式試值得：5d=96*k+1 k=4,d=77 (k與d同時為整數)
c的求法：
由15^5mod119=(((15^2mod119)^2mod119)*15)mod119=36
以上全是手算，當然還可以用計算器，有mod功能的，太簡單了。
希望我的回答對你有幫助。
別這么說，什麼菜不菜的，大家一起討論。
mod就是求余，比如：7mod2=1，就是7/2餘1
公式：余數=|被除數-商*除數|
❷ 密碼學基礎（三）：非對稱加密（RSA演算法原理）
加密和解密使用的是兩個不同的秘鑰，這種演算法叫做非對稱加密。非對稱加密又稱為公鑰加密，RSA只是公鑰加密的一種。
現實生活中有簽名，互聯網中也存在簽名。簽名的作用有兩個，一個是身份驗證，一個是數據完整性驗證。數字簽名通過摘要演算法來確保接收到的數據沒有被篡改，再通過簽名者的私鑰加密，只能使用對應的公鑰解密，以此來保證身份的一致性。
數字證書是將個人信息和數字簽名放到一起，經由CA機構的私鑰加密之後生成。當然，不經過CA機構，由自己完成簽名的證書稱為自簽名證書。CA機構作為互聯網密碼體系中的基礎機構，擁有相當高級的安全防範能力，所有的證書體系中的基本假設或者前提就是CA機構的私鑰不被竊取，一旦 CA J機構出事，整個信息鏈將不再安全。
CA證書的生成過程如下：
證書參與信息傳遞完成加密和解密的過程如下：
互質關系：互質是公約數只有1的兩個整數，1和1互質，13和13就不互質了。
歐拉函數：表示任意給定正整數 n，在小於等於n的正整數之中，有多少個與 n 構成互質關系，其表達式為：
其中，若P為質數，則其表達式可以簡寫為：
情況一：φ(1)=1
1和任何數都互質，所以φ(1)=1；
情況二：n 是質數， φ(n)=n-1
因為 n 是質數，所以和小於自己的所有數都是互質關系，所以φ(n)=n-1；
情況三：如果 n 是質數的某一個次方，即 n = p^k ( p 為質數，k 為大於等於1的整數)，則φ(n)=(p-1)p^(k-1)
因為 p 為質數，所以除了 p 的倍數之外，小於 n 的所有數都是 n 的質數；
情況四：如果 n 可以分解成兩個互質的整數之積，n = p1 × p2，則φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
情況五：基於情況四，如果 p1 和 p2 都是質數，且 n=p1 × p2，則φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)=(p1-1)(p2-1)
而 RSA 演算法的基本原理就是歐拉函數中的第五種情況，即： φ(n)=(p1-1)(p2-1);
如果兩個正整數 a 和 n 互質，那麼一定可以找到整數 b，使得 ab-1 被 n 整除，或者說ab被n除的余數是1。這時，b就叫做a的「模反元素」。歐拉定理可以用來證明模反元素必然存在。
可以看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a對模數n的模反元素。
n=p x q = 3233，3233寫成二進制是110010100001，一共有12位，所以這個密鑰就是12位。
在實際使用中，一般場景下選擇1024位長度的數字，更高安全要求的場景下，選擇2048位的數字，這里作為演示，選取p=61和q=53；
因為n、p、q都為質數，所以φ(n) = (p-1)(q-1)=60×52= 3120
注意，這里是和φ(n) 互互質而不是n！假設選擇的值是17，即 e=17；
模反元素就是指有一個整數 d，可以使得 ed 被 φ(n) 除的余數為1。表示為：(ed-1)=φ(n) y --> 17d=3120y+1，算出一組解為(2753,15)，即 d=2753，y=-15，也就是(17 2753-1)/3120=15。
注意，這里不能選擇3119，否則公私鑰相同？？
公鑰：(n,e)=(3233,2753)
私鑰：(n,d)=(3233,17)
公鑰是公開的，也就是說m=p*q=3233是公開的，那麼怎麼求e被？e是通過模反函數求得，17d=3120y+1，e是公開的等於17，這時候想要求d就要知道3120，也就是φ(n)，也就是φ(3233)，說白了，3233是公開的，你能對3233進行因數分解，你就能知道d，也就能破解私鑰。
正常情況下，3233我們可以因數分解為61*53，但是對於很大的數字，人類只能通過枚舉的方法來因數分解，所以RSA安全性的本質就是：對極大整數做因數分解的難度決定了RSA演算法的可靠性。換言之，對一極大整數做因數分解愈困難，RSA演算法愈可靠。
人類已經分解的最大整數是：
這個人類已經分解的最大整數為232個十進制位，768個二進制位，比它更大的因數分解，還沒有被報道過，因此目前被破解的最長RSA密鑰就是768位。所以實際使用中的1024位秘鑰基本安全，2048位秘鑰絕對安全。
網上有個段子：
已經得出公私鑰的組成：
公鑰：(n,e)=(3233,2753)
私鑰：(n,d)=(3233,17)
加密的過程就是
解密過程如下：
其中 m 是要被加密的數字，c 是加密之後輸出的結果，且 m < n ，其中解密過程一定成立可以證明的，這里省略證明過程。
總而言之，RSA的加密就是使用模反函數對數字進行加密和求解過程，在實際使用中因為 m < n必須成立，所以就有兩種加密方法：
對稱加密存在雖然快速，但是存在致命的缺點就是秘鑰需要傳遞。非對稱加密雖然不需要傳遞秘鑰就可以完成加密和解密，但是其致命缺點是速度不夠快，不能用於高頻率，高容量的加密場景。所以才有了兩者的互補關系，在傳遞對稱加密的秘鑰時採用非對稱加密，完成秘鑰傳送之後採用對稱加密，如此就可以完美互補。
❸ RSA演算法詳解
總括： 本文詳細講述了RSA演算法詳解，包括內部使用數學原理以及產生的過程。
相濡以沫。到底需要愛淡如水。
之前寫過一篇文章 SSL協議之數據加密過程 ，裡面詳細講述了數據加密的過程以及需要的演算法。SSL協議很巧妙的利用對稱加密和非對稱加密兩種演算法來對數據進行加密。這篇文章主要是針對一種最常見的非對稱加密演算法——RSA演算法進行講解。其實也就是對私鑰和公鑰產生的一種方式進行描述。首先先來了解下這個演算法的歷史：
RSA是1977年由 羅納德·李維斯特 （Ron Rivest）、 阿迪·薩莫爾 （Adi Shamir）和 倫納德·阿德曼 （Leonard Adleman）一起提出的。當時他們三人都在 麻省理工學院 工作。RSA就是他們三人姓氏開頭字母拼在一起組成的。
但實際上，在1973年，在英國政府通訊總部工作的數學家 克利福德·柯克斯 （Clifford Cocks）在一個內部文件中提出了一個相同的演算法，但他的發現被列入機密，一直到1997年才被發表。
所以誰是RSA演算法的發明人呢？不好說，就好像貝爾並不是第一個發明電話的人但大家都記住的是貝爾一樣，這個地方我們作為旁觀者倒不用較真，重要的是這個演算法的內容：
RSA演算法用到的數學知識特別多，所以在中間介紹這個演算法生成私鑰和公鑰的過程中會穿插一些數學知識。生成步驟如下：
隨意選擇兩個大的質數p和q，p不等於q，計算N=p*q;
什麼是質數?我想可能會有一部分人已經忘記了，定義如下：
比如2，3，5，7這些都是質數，9就不是了，因為3*3=9了
r = φ(N) = φ(p)φ(q) = (p-1)(q-1) 。
這里的數學概念就是什麼是歐拉函數了，什麼是歐拉函數呢？
歐拉函數 的定義：
互質 的定義：
例如： φ(8) = 4 ，因為 1,3,5,7 均和 8 互質。
推導歐拉函數:
（1）如果 n = 1 , φ(1) = 1 ；(小於等於1的正整數中唯一和1互質的數就是1本身)；
（2）如果 n 為質數， φ(n) = n - 1 ；因為質數和每一個比它小的數字都互質。比如5，比它小的正整數1,2,3,4都和他互質；
(3) 如果 n 是 a 的 k 次冪，則 φ(n) = φ(a^k) = a^k - a^(k-1) = (a-1)a^(k-1) ；
(4) 若 m , n 互質，則 φ(mn) = φ(m)φ(n)
證明： 設 A , B , C 是跟 m , n , mn 互質的數的集，據 中國剩餘定理 (經常看數學典故的童鞋應該了解，剩餘定理又叫韓信點兵，也叫孫子定理)， A * B 和 C 可建立雙射一一對應)的關系。（或者也可以從初等代數角度給出 歐拉函數積性的簡單證明 ） 因此的φ(n)值使用 算術基本定理 便知。（來自維基網路）
選擇一個小於r並與r互質的整數e，求得e關於r的模反元素，命名為 d （ ed = 1(mod r) 模反元素存在，當且僅當e與r互質）， e 我們通常取65537。
模反元素：
比如 3 和 5 互質， 3 關於 5 的模反元素就可能是2，因為 3*2-1=5 可以被5整除。所以很明顯模反元素不止一個，2加減5的整數倍都是3關於5的模反元素 {...-3, 2,7,12…} 放在公式里就是 3*2 = 1 (mod 5)
上面所提到的歐拉函數用處實際上在於歐拉定理：
歐拉定理：
歐拉定理就可以用來證明模反元素必然存在。
由模反元素的定義和歐拉定理我們知道， a 的 φ(n) 次方減去1，可以被n整除。比如，3和5互質，而 5 的歐拉函數 φ(5) 等於4，所以 3 的 4 次方 (81) 減去1，可以被 5 整除（ 80/5=16 ）。
小費馬定理：
此時我們的 (N , e) 是公鑰， (N, d) 為私鑰，愛麗絲會把公鑰 (N, e) 傳給鮑勃，然後將 (N, d) 自己藏起來。一對公鑰和私鑰就產生了，然後具體的使用方法呢？請看： SSL協議之數據加密過程詳解
我們知道像RSA這種非對稱加密演算法很安全，那麼到底為啥子安全呢？
我們來看看上面這幾個過程產生的幾個數字：
N 和 e 我們都會公開使用，最為重要的就是私鑰中的 d ， d 一旦泄露，加密也就失去了意義。那麼得到d的過程是如何的呢？如下:
所以得出了在上篇博客說到的結論，非對稱加密的原理：
將a和b相乘得出乘積c很容易，但要是想要通過乘積c推導出a和b極難。即對一個大數進行因式分解極難
目前公開破譯的位數是768位，實際使用一般是1024位或是2048位，所以理論上特別的安全。
RSA演算法的核心就是歐拉定理，根據它我們才能得到私鑰，從而保證整個通信的安全。