實變函數與泛函分析基礎pdf

1. 實變函數與泛函分析基礎的目錄

第一篇 實變函數
第一章 集合
1.集合概念
2.集合的運算
3.對等與基數
4.可數集合
5.不可數集合
第一章習題
第二章 點集
1.度量空間，n維歐氏空間
2.聚點，內點，界點
3.開集，閉集，完備集
4.直線上的開集、閉集及完備集的構造
第二章習題
第三章 測度論

2. 實變函數與泛函分析

以實數作為自變數的函數就做實變函數，以實變函數作為研究對象的數學分支就叫做實變函數論。它是微積分學的進一步發展，它的基礎是點集論。所謂點集論，就是專門研究點所成的集合的性質的理論，也可以說實變函數論是在點集論的基礎上研究分析數學中的一些最基本的概念和性質的。比如，點集函數、序列、極限、連續性、可微性、積分等。實變函數論還要研究實變函數的分類問題、結構問題。實變函數論的內容包括實值函數的連續性質、微分理論、積分理論和測度論等。
泛函分析是20世紀30年代形成的數學分科。是從變分問題，積分方程和理論物理的研究中發展起來的。它綜合運用函數論，幾何學，現代數學的觀點來研究無限維向量空間上的函數，運算元和極限理論。它可以看作無限維向量空間的解析幾何及數學分析。主要內容有拓撲線性空間等。泛函分析在數學物理方程，概率論，計算數學等分科中都有應用，也是研究具有無限個自由度的物理系統的數學工具。泛函分析是研究拓撲線性空間到拓撲線性空間之間滿足各種拓撲和代數條件的映射的分支學科。
泛函分析研究的什麼？
學習泛函，首先要問泛函研究的是什麼？
1.映射指的是運算元和泛函。
2.空間: X是定義在某數域上的「一些對象」的集合，若X是線性空間，在X上賦上距離，則就是賦距離線性空間；在 X上賦上范數，則就是賦范數線性空間；在 X上賦上內積，就是內積空間（也是賦范數線性空間）。
控制方向的學生可參考教材：《應用泛函分析---自動控制的數學基礎》 清華大學出版社 作者:韓崇昭（西安交通大學）此書可供研究生和博士生閱讀。

3. 實變函數與泛函分析基礎的內容簡介

本書初版於1983年，為高師院校和其他高校廣泛採用。進人21世紀之後，高等教育發生了很多變化。本書作者根據多年來的使用情況，以及數學的近代發展，進行了全面的修訂。實變函數部分是修訂的重點，泛函分析只作了少量的改動。總體來看，原書的基本框架不變。
這次修訂的原則是，首先是繼續保持原書簡明易學的風格，刪除了若爾當測度、佩亞諾曲線等枝蔓，減少過度形式化的論述。其次是著重闡述實變函數和泛函分析的思想方法，在每章的引言中作一些說明。此外，為了幫助學生克服做實變函數題目的困難，書中增加了，部分例題，並進行評講。一些較難的題目與簡解作為附錄三附在書後，供有興趣的讀者參考。
本書共計11章：集合、點集、測度論、可測函數、積分論、微分和不定積分；以及度量空間和巴拿赫空間、線性泛函與線性運算元、希爾伯特空間、巴拿赫空間的基本定理、線性運算元的譜。
本書可作為高等師范院校和其他高校數學系的教學用書，也可以作為自學參考書。

4. 鄭維行的《實變函數與泛函分析概要》與程其襄的《實變函數與泛函分析基礎》有什麼區別

內容基本差不多，在集合論部分鄭書多給了一些拓撲定義，然後還講了一些有關序和選擇公理的東西，程書把序和選擇公理放在附錄做簡單說明，但是這一部分對實變函數學習影響不大，測度論方面鄭書從外測度、內測度出發給出測度，按照勒貝格最早建立測度論的順序來，操作較復雜，而程書給出外測度後直接由卡拉泰奧多里條件定義測度，簡單但抽象，兩種定義實際等價，那種容易接受還要看個人習慣。此外，鄭書另外講了σ環。可測函數部分鄭書對一些定理的證明思路偏愛用簡單函數逼近，程書喜歡按可測定義來做，各有千秋，主要定理，比如葉果洛夫定理、魯津定理、勒貝格定理、里斯定理證明也都差不多。積分論前半部分，鄭書感覺條理比較亂，比如第二節一下很多性質，程書是按簡單、非負、一般的順序分節敘述的。那種好接受也要看個人習慣，然後是後半部分，鄭書對富比尼定理講得較多，但微分講得較少，程書富比尼講得少，但是微分另成一章，講得很細。泛函部分感覺程書更好一些，鄭書有部分定理證明有瑕疵。對經濟學來書測度論和積分論對學習高等概率論有用，所以實變部分很重要，可任選一本作為主要學習的教材，另一本最好有電子版，互相參考。如果感覺兩本都太基礎可選用周民強《實變函數論》