A. 哪裡可以看到費馬大定理的完整解答
http://www.math.nankai.e.cn/jpkc/sxwh/ziyuan/4/4-3.pdf
——費馬大定理 學了勾股定理，我們都知道直角三角形的三邊滿足關系式
a2+b2=c2， 同時還知道，有無數組正整數滿足這個關系式。如果a、b、c的次數不是 2，而是大於 2的正整數，能不能找到正整數滿足這個關系式呢？
十七世紀，法國的一位法官、著名的業余數學大師費馬，在閱讀古希臘數學家丟番圖的《算術》第 2 卷第 8 個命題：「將一個平方數分解為兩個平方數之和」時，在書的空白處寫下了一段引人注目的文字：「要想把一個立方數分成兩個立方數，把一個四次冪分成兩個四次冪，一般地說，把任何高於二次的冪分成兩個同次冪，都是不可能的。關於此，我確
信已發現一種美妙的證法。可惜這里空白的地方太小，無法寫下。」費馬去世後，人們在整
理他的遺物時發現了這段話，卻沒有找到證明，這更引起了數學界的興趣。這就是說，費
馬自稱證明了定理： xn+yn=zn，（n≥3） 無正整數解。人稱費馬大定理，也稱費馬最後定理。為什麼叫這個名稱呢？因為費馬提出
了數論方面許多引人注目的、富有洞察力的結論，這些結論一直到他去世後很久才被人證
明大多是正確的，只有一個是錯的。到 1840 年左右，其中只剩下上述這一個結論還沒有被
證明，因此稱為費馬的最後定理。把該定理稱為費馬大定理，是用以區別費馬小定理。費
馬小定理是費馬在 1640 年 10 月 18 日給他朋友的一封信中傳出去的，這定理說，若p是一個素數而a與p互素，則ap-a能被p整除。 費馬真的證明了自己的定理嗎？人們普遍持懷疑的態度。費馬逝世後，他的後人翻箱倒櫃，也只找到了n=4 的證明。他是用直角三角形三邊長為整數，面積決不是平方數這一事實來證明的。後來，有人經過詳實的考證，認為費馬不可能完全證明了自己的定理。
三百多年來，上百名最優秀的數學家為了證明它付出了巨大的精力，其中有歐拉、勒讓德、高斯、阿貝爾、狄利赫勒、拉梅、柯西、庫默等。問題表述的簡單和證明的困難，
吸引了更多的人投入證明工作，有些數學家，如庫默和近代的范迪維爾，為此獻出了畢生
的精力。林德曼在 1882 年證明了π是超越數後，也終身研究費馬定理，而未獲結果。 布魯塞爾和巴黎科學院曾設獎金懸賞數次，但也未得到解決。1908 年，數學家佛爾夫斯克爾在哥廷根皇家科學會又懸賞十萬馬克，徵求正確的證明。一大批業余愛好者也進行
了嘗試，並寄去了自己的解答。據說，著名的數論專家朗道請人印了許多明信片，上面寫
道：「親愛的先生或女士：你對費馬大定理的證明已經收到，現予退回。第一個錯誤出現在第 頁，第 行」。朗道將這些明信片分發給他的學生們，吩咐他們將相應的數字填上
去。
最初的證明是從n=3 開始一個數一個數的進行的。後來，庫默經過終生的努力，「成1批地」證明了定理的成立，人們視之為費馬大定理證明的一次重大突破。1857 年，他獲得
巴黎科學院的金質獎章。
前人直接證明費馬大定理的努力取得了許多成果，並促進了一些數學分支的發展，但離定理的證明，無疑還有遙遠的距離。怎麼辦呢？按數學家解決問題的傳統，就是要作變
換——把問題轉化為已知的或易於解決的領域的「新」問題。種種轉化的方法既推進了所
轉化的領域的發展，也使費馬大定理的證明得到進展。每一次對費馬大定理證明的重大突
破，都對許多數學分支產生重要的影響。有好多結論已十分接近費馬大定理了，但它們畢
竟不是原定理的證明，離原定理的證明尚有並非容易跨越的「一小步」。 三個世紀的歷史表明，費馬最後定理是有巨大價值的數學問題。要想預先正確判斷一個問題的價值是困難的，並且常常是不可能的。因為最終的判斷取決於科學從該問題得到
的收益。希爾伯特在一次演講中談到費馬大定理的價值時說：「證明這種不可能性的嘗試，
提供了一個明顯的例子，說明這樣一個非常特殊、似乎不十分重要的問題會對科學產生怎
樣令人鼓舞的影響。受費馬問題的啟發，庫默引進了理想數，並發現了把一個循環域的數
分解為理想素因子的唯一分解定理，這一定理今天已被狄德金和克朗奈克推廣到任意代數
域，在近代數論中占著中心地位，而且其意義已遠遠超出數論的范圍而深入到代數的函數
論的領域。」希爾伯特還評價說，「費馬猜想（即費馬大定理）是一隻會下金蛋的雞」。【附錄】一、【費馬簡介】 彼埃爾 · 德 · 費馬（1601 年～1665 年）法國數學家、物理學家。物理學中的費馬最小時間原理是幾何光學的基本定理。費馬在數學中的貢獻是多方面的。在數論中以他
的名字命名的有費馬小定理、費馬大定理、費馬數、費馬二平方差定理等，幾何學中有費
馬螺線和費馬點，微積分學中有關於極值的費馬定理。此外，費馬還首創了無限下推法，
他分別是概率論與解析幾何的首創者之一。
費馬 1601 年 8 月 20 日出生於法國南部土魯斯附近的波蒙，1665 年 1 月 12 日卒於土魯斯（或卡斯特）。他出生於商人家庭，青年時期在土魯斯攻讀法律，後來成為著名的律師，
曾任土魯斯議會議員。他不但法律知識淵博，而且以嚴格的清廉為人稱頌。
費馬不是一位職業數學家，他近 30 歲才認真注意數學，只能利用公務之餘通過自學研究。他在研究幾何的過程中發現了解析幾何的原理；他是微積分學的傑出先驅者；他和
帕斯卡一起奠定了古典概率論的基礎；他振興了數論的研究。因此，被稱為「業余數學家
之王」、「近代數論之父」。
費馬謙遜、好靜。生前只發表過很少的著作。他對數學的研究成果，主要是寫在他閱讀過的數學書的邊緣和空白處或寫在給朋友的信件中，也有一些是散放在舊紙堆里。他去
世後，人們（包括他的兒子）才把這些資料匯編成書，共兩卷，先後於 1670 年和 1679 年2在土魯斯出版。
二、【證明費馬大定理的小故事】 在數學史上，曾流傳著這樣一個掌故。據說，希爾伯特的一個學生，有一次寫了一篇關於費馬大定理的論文，一天晚上，他對希爾伯特說：「我已經證明了費馬大定理，請老師看一看我的論文。」希爾伯特回答說：「哦！你可能太疲倦了，需要好好休息一下，明天再
來找我吧。」第二天，這個學生又去找希爾伯特，他說：「我已經發覺昨天的證明是錯誤的。」 三、【費馬大定理的最終證明】 1993 年 6 月 23 日，星期三。英國劍橋大學新落成的牛頓數學研究所的大廳里正在進行例行的學術報告會。報告從上午 8 點整開始，報告人維爾斯用了兩個半小時就他關於「模
形式、橢圓曲線和伽羅華表示」的研究結果作了一個冗長的發言。10 點 30 分，在他的報
告結束時，他平靜地宣布：「因此，我證明了費馬大定理。」這一句話象一聲驚雷，把許多
只要作例行鼓掌的手「定」在了空中，大廳里鴉雀無聲。半分鍾後，雷嗚般的掌聲似乎要
掀翻大廳的屋頂，英國學者們顧不得他們優雅的紳士風度，忘情地歡呼起來。很快，這一
消息轟動了全世界，許多一流的大眾傳播媒體迅速地報道了這一消息，並一致稱之為「世
紀性的科學成就」。
維爾斯證明的實際上是另一個猜想：谷山—志村—韋伊猜想。為此，他寫了 200 多頁的證明，在 1993 年 6 月 23 日報告。但好事多磨，維爾斯長達 200 多頁的論文送交審查時，
卻被發現其證明有漏洞。許多傳媒又迅速地報道了這一「爆炸性」新聞。
數學界普遍認為，在數學命題證明中出現漏洞然後再加以補正，是不足為怪的，在數學發展的歷史中時有發生。一些審閱過維爾斯論文的專家還指出，即使維爾斯沒能證明出
費馬大定理，他的論文也已經包含有一項表現為重大突破的數學成就。
維爾斯在挫折面前沒有止步，從 1993 年 7 月起，他就一直在修改論文，這是一項十分困難的工作，以致於他應邀在 1994 年 8 月在瑞士蘇黎世召開的國際數學家大會上作報告
時，對費馬大定理隻字未提。
1994 年 9 月，維爾斯終於解決了困難，重新寫出了一篇 108 頁的論文，於 1994 年 10月 14 日寄往美國《數學年刊》，論文順利通過審查，1995 年 5 月，《數學年刊》的 41 卷第3 期只登載了他的這一篇論文！這一被認為是「二十世紀最重大的數學成就」使得維爾斯
獲得 1995/1996 年度的沃爾夫數學獎，並於 1998 年破格獲得菲爾茲獎。