1. 給PM看的博弈論01：社會選擇
一個創業公司組織周末活動，老闆徵求大家意見，去玩密室逃脫或者去吃某個新開的自助餐。老闆做出決定很簡單，大家在群里投票，哪個票多就哪個。但有員工提出，最近某部才上映的電影也不錯，可以一起加入活動待選項，老闆同意了。
假設現在公司就只有3位員工，每個員工有6票，他們的投票得出了如下的結果：
這個時候老闆頭疼了，因為結果中活動的總分都是一樣，選擇任何一個活動好像都不太合適。
通過這個例子可以看出，「尊重大多數」這種投票模式在一些的社會選擇問題中是有毛病的。接下來我們就來簡單聊聊社會選擇問題。聊這個之前，我們先來看看兩個定義，社會福利函數（social welfare function）和 社會選擇函數（social choice function）。
我們經常可以看到社會福利函數和社會選擇函數，那麼它們到底是什麼意思，我們花個2分鍾來了解下。
社會福利函數的定義是 ： 。其中 表示選項集合 (候選項) 的線性排序集合， 是參與投票人的數量。也就是說，社會福利函數是 到特定選項排序的線性映射。這么聽上去可能有點繞，我們可以理解為社會福利函數是一個獲取群體的偏好結果的函數，比如：
社會選擇函數的定義是： 。社會選擇函數是 到選項集 的一個線性映射。我們可以把它看成是一個獲取最終選擇結果的函數，比如老闆看了下投票，然後宣布：
搞清楚這兩個函數概念後，我們接著再看另一個公司投票的例子，現在公司有4個員工，每個員工有10票，現在每個員工投票的真實評分（投票）如下：
可以發現，密室和自助的得票數都是12票，但員工2是個吃貨，他太想去吃自助了。這個時候，他就動起了歪腦筋，為了保證密室的得票數低於自助，他在投票的的時候並沒有按照自己的真實偏好（自助>密室>卡丁車>電影），而是將自己的投票數變為了：
這樣，員工2就可以確保自助活動的票數最多,我們把這種投票方式稱為 策略操縱 （strategic manipulation)。策略操縱行為的原因是對選項的偏好（密室>電影）受到了選項 自助 的影響。如果社會福利函數中，投票者對選項的偏好不會受到影響，那麼我們稱其社會福利函數滿足 獨立性 ，定義如下：
也就說，滿足獨立性的社會福利函數沒有被策略操縱的空間。
在來看另一個公司投票例子，現在還是4個員工，每人10票對活動進行投票，投票結果如下：
奇怪的是，最後大家一致決定去玩密室逃脫。原因是員工1是公司一位漂亮的單身女員工，其他員工都想參加她最喜歡的那個活動。在這個例子中，這位漂亮的女員工就是「獨裁者」。在社會選擇中，獨裁者的定義如下：
明白獨裁者和獨立性的概念後，我們就可以來看一個大名鼎鼎的Arrow定理：
其中一致性的意思是，如果大家都有一致的偏好，那麼社會偏好也應當和大家的偏好保持一致的。
其證明可以參考： https://www.rochester.e/college/faculty/markfey/papers/ArrowProof3.pdf
這個定理的確讓人很失望，因為我們總是希望我們設計的產品機制沒有獨裁者，並且同時滿足獨立性和一致性。沒有關系，因為我們還有更絕望的Gibbard-Satterthwaite定理。
結合前面所說，如果一個投票者可以通過改變自己的投票行為來獲取想要的結果，我們就說社會選擇函數 可以被該投票者操縱。但如果一個社會選擇函數有如下性質，那麼投票人將沒有操縱的空間：
有了這個概念後，最後我們來看看令人絕望的 Gibberish-Satterthwaite定理：
Gibberish-Satterthwaite定理另人絕望的原因是，它告訴我們：如果選項大於3，設計出不會被操縱，沒有獨裁的選擇機制是不可能的。但是，我們真的就沒有辦法了嗎？ 也不是，在下幾篇內容中，我們來看看還有什麼騷操作。
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