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博弈與社會pdf

發布時間:2024-09-23 21:59:56

1. 給PM看的博弈論01:社會選擇

一個創業公司組織周末活動,老闆徵求大家意見,去玩密室逃脫或者去吃某個新開的自助餐。老闆做出決定很簡單,大家在群里投票,哪個票多就哪個。但有員工提出,最近某部才上映的電影也不錯,可以一起加入活動待選項,老闆同意了。

假設現在公司就只有3位員工,每個員工有6票,他們的投票得出了如下的結果:

這個時候老闆頭疼了,因為結果中活動的總分都是一樣,選擇任何一個活動好像都不太合適。

通過這個例子可以看出,「尊重大多數」這種投票模式在一些的社會選擇問題中是有毛病的。接下來我們就來簡單聊聊社會選擇問題。聊這個之前,我們先來看看兩個定義,社會福利函數(social welfare function)和 社會選擇函數(social choice function)。

我們經常可以看到社會福利函數和社會選擇函數,那麼它們到底是什麼意思,我們花個2分鍾來了解下。
社會福利函數的定義是 : 。其中 表示選項集合 (候選項) 的線性排序集合, 是參與投票人的數量。也就是說,社會福利函數是 到特定選項排序的線性映射。這么聽上去可能有點繞,我們可以理解為社會福利函數是一個獲取群體的偏好結果的函數,比如:

社會選擇函數的定義是: 。社會選擇函數是 到選項集 的一個線性映射。我們可以把它看成是一個獲取最終選擇結果的函數,比如老闆看了下投票,然後宣布:

搞清楚這兩個函數概念後,我們接著再看另一個公司投票的例子,現在公司有4個員工,每個員工有10票,現在每個員工投票的真實評分(投票)如下:

可以發現,密室和自助的得票數都是12票,但員工2是個吃貨,他太想去吃自助了。這個時候,他就動起了歪腦筋,為了保證密室的得票數低於自助,他在投票的的時候並沒有按照自己的真實偏好(自助>密室>卡丁車>電影),而是將自己的投票數變為了:

這樣,員工2就可以確保自助活動的票數最多,我們把這種投票方式稱為 策略操縱 (strategic manipulation)。策略操縱行為的原因是對選項的偏好(密室>電影)受到了選項 自助 的影響。如果社會福利函數中,投票者對選項的偏好不會受到影響,那麼我們稱其社會福利函數滿足 獨立性 ,定義如下:

也就說,滿足獨立性的社會福利函數沒有被策略操縱的空間。

在來看另一個公司投票例子,現在還是4個員工,每人10票對活動進行投票,投票結果如下:

奇怪的是,最後大家一致決定去玩密室逃脫。原因是員工1是公司一位漂亮的單身女員工,其他員工都想參加她最喜歡的那個活動。在這個例子中,這位漂亮的女員工就是「獨裁者」。在社會選擇中,獨裁者的定義如下:

明白獨裁者和獨立性的概念後,我們就可以來看一個大名鼎鼎的Arrow定理:

其中一致性的意思是,如果大家都有一致的偏好,那麼社會偏好也應當和大家的偏好保持一致的。

其證明可以參考: https://www.rochester.e/college/faculty/markfey/papers/ArrowProof3.pdf

這個定理的確讓人很失望,因為我們總是希望我們設計的產品機制沒有獨裁者,並且同時滿足獨立性和一致性。沒有關系,因為我們還有更絕望的Gibbard-Satterthwaite定理。

結合前面所說,如果一個投票者可以通過改變自己的投票行為來獲取想要的結果,我們就說社會選擇函數 可以被該投票者操縱。但如果一個社會選擇函數有如下性質,那麼投票人將沒有操縱的空間:

有了這個概念後,最後我們來看看令人絕望的 Gibberish-Satterthwaite定理:

Gibberish-Satterthwaite定理另人絕望的原因是,它告訴我們:如果選項大於3,設計出不會被操縱,沒有獨裁的選擇機制是不可能的。但是,我們真的就沒有辦法了嗎? 也不是,在下幾篇內容中,我們來看看還有什麼騷操作。

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