伽羅瓦理論pdf

⑴ 如何求這個五次方程的根式解

求解五次方程的根式解：探索分圓多項式與伽羅瓦理論

在數學的領域中，五次方程的求解並非簡單，但通過巧妙地運用分圓多項式和伽羅瓦理論，我們可以找到其根式解的線索。首先，關鍵在於理解原方程的對稱性與三角函數的關聯，這將揭示其潛在的解構。

通過Watson遺作Watson Lecture.pdf（https://...），我們了解到一個關鍵步驟是將方程轉化為十一分圓多項式的形式，因為這種轉換往往暗示著三角函數的表達式。MMA（Mathematica）中的TrigToRadicals函數是實現這一轉換的工具，盡管輸出可能較長，但它是求解的基石。

如果你的方程中包含三角函數項，那麼可能的根形式為：Subscript[x, i] =... 這些根可以通過運行特定的MMA代碼（https://... 和 https://...）來計算，其中的代碼1-1和1-2是基礎。

值得注意的是，五次方程的根往往涉及極小多項式，記為Subscript[[Beta], i] =...，驗證這個多項式在代碼1-4中。一旦有了這些，我們可以通過計算對稱線性組合來得到五次方程的根，如代碼1-5所示：

• Subscript[y, 1] = (Subscript[[Beta], 1] Subscript[[Epsilon], 2] - Subscript[[Beta], 2] Subscript[[Epsilon], 1] - Subscript[[Beta], 3] Subscript[[Epsilon], 4] + Subscript[[Beta], 4] Subscript[[Epsilon], 3] + I Sqrt[11])/(5 I);...


• Subscript[[Eta], i] 的表達式同樣涉及復雜的三角函數，具體形式在代碼1-1和1-4中計算得出。

對於復數域，我們可以利用Magma計算器（http://magma.maths.usyd.e.au/calc/）來驗證五次方程的伽羅瓦群是否為可解群，從而確保根式解的存在。此外，十一次單位根和其表達式（https://... 和 https://...）也是解題過程中不可或缺的部分。

盡管MMA的代碼冗長，但它揭示了這些方程背後的數學結構。務必記住，每個步驟都需要精確執行，特別是代碼1-1到1-6，因為它們生成了構建五次方程根式解的核心元素。

在深入研究時，還要注意一些誤解和錯誤，如PENG大佬關於十一次分圓多項式和十七次單位根的論述，以及Leonhard Euler著作中的某些內容。要確保准確引用和理解相關文獻，如Robert E. Bradley和Ed Sandifer的著作，以及與Kronecker-Weber理論相關的PENG Bo的貢獻。

最後，完整的參考文獻列表並未在文中提供，但對於進一步的研究和深入學習是不可或缺的。通過這些線索，你可以探索這個復雜但富有洞察力的數學世界，一步步逼近五次方程的根式解。