實變函數論pdf

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實變函數論第三版(江澤堅吳智泉紀友清著) 課後習題答案高等教育出版 ...
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② 《實變函數論》求上極限和下極限

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書名：數學分析

作者：[美] Tom M. Apostol

譯者：邢富沖

豆瓣評分：9.1

出版社：機械工業出版社

出版年份：2006-01-01

頁數：400

內容簡介：

本書是美國著名的數學分析教材，涵蓋了初等微積分以及實變函數論和復變函數論等內容，涉及現代分析的最新進展。書中包含大量覆蓋各個方面、各級難度的習題，通過習題的訓練，可以培養學生的運算技能和對數學問題的思維能力。

本書條理清晰，內容精練，言簡意賅，可作為高等院校數學與應用數學、信息與計算科學等專業學生的教材，同時也可作為數學工作者和科技人員的參考書。

作者簡介：

Tom M. Apostol 是加州理工學院數學系榮譽教授。他於1946年在華盛頓大學西雅圖分校獲得數學碩士學位，於1948年在加州大學伯克利分校獲得數學博士學位。他的著述很多，除本書外，還著有《Calculus: One-Variable Calculus with an Introction to Linear Algebra》《Calculus: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications》等。

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《古今數學思想（四）》（[美國] 莫里斯·克萊因）電子書網盤下載免費在線閱讀

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書名：古今數學思想（四）

作者：[美國] 莫里斯·克萊因

譯者：鄧東皋 等

豆瓣評分：9.2

出版社：上海科學技術出版社

出版年份：2002-8

頁數：372

內容簡介：

第四冊的內容包括實數和超限數的基礎、幾何基礎、19世紀的數學、實變函數論、積分方程、發散級數、抽象代數的出現、張量分析和微分幾何、數學基礎等。

作者簡介：

莫里斯·克萊因（Morris Kline, 1908-1992），紐約大學庫朗數學研究所的教授，榮譽退休教授，他曾在那裡主持一個電磁研究部門達20年之久。克萊因的著作很多，包括《數學：確定性的喪失》和《數學與知識的探求》等。

⑤ 實變函數的內容

以實數作為自變數的函數叫做實變函數，以實變函數作為研究對象的數學分支就叫做實變函數論。它是微積分學的進一步發展，它的基礎是點集論。什麼是點集論呢？點集論是專門研究點所成的集合的性質的理論。也可以說實變函數論是在點集論的基礎上研究分析數學中的一些最基本的概念和性質的。比如，點集函數、序列、極限、連續性、可微性、積分等。實變函數論還要研究實變函數的分類問題、結構問題。
實變函數論的內容包括實值函數的連續性質、微分理論、積分理論和測度論等。這里我們只對它的一些重要的基本概念作簡要的介紹。
實變函數論的積分理論研究各種積分的推廣方法和它們的運算規則。由於積分歸根到底是數的運算，所以在進行積分的時候，必須給各種點集一個數量上的概念，這個概念叫做測度。
什麼是測度呢？簡單地說，一條線段的長度就是它的測度。測度概念對於實變函數論十分重要。集合的測度這個概念實由法國數學家勒貝格提出來的。
為了推廣積分概念，1893年，約當在他所寫的《分析教程》中，提出了「約當容度」的概念並用來討論積分。1898年，法國數學家波萊爾把容度的概念作了改進，並把它叫做測度。波萊爾的學生勒貝格後來發表《積分、長度、面積》的論文，提出了「勒貝格測度」、「勒貝格積分」的概念。勒貝格還在他的論文《積分和圓函數的研究》中，證明了有界函數黎曼可積的充分必要條件是不連續點構成一個零測度集，這就完全解決了黎曼可積性的問題。
勒貝格積分可以推廣到無界函數的情形，這個時候所得積分是絕對收斂的，後來又推廣到積分可以不是絕對收斂的。從這些就可以看出，勒貝格積分比起由柯西給出後來又由黎曼發揚的積分定義廣大多了。也可以看出，實變函數論所研究的是更為廣泛的函數類。
自從維爾斯特拉斯證明連續函數必定可以表示成一致收斂的多項式級數，人們就認清連續函數必定可以解析地表達出來，連續函數也必定可以用多項式來逼近。這樣，在實變函數論的領域里又出現了逼近論的理論。
什麼是逼近理論呢？舉例來說，如果能把 A類函數表示成 B類函數的極限，就說 A類函數能以 B類函數來逼近。如果已經掌握了 B類函數的某些性質，那麼往往可以由此推出 A類函數的相應性質。逼近論就是研究一類函數用另一類函數來逼近、逼近的方法、逼近的程度、在逼近中出現的各種情況。
和逼近理論密切相關的有正交級數理論，三角級數就是一種正交級數。和逼近理論相關的還有一種理論，就是從某一類已知函數出發構造出新的函數類型的理論，這種理論叫做函數構造論。
總之，實變函數論和古典數學分析不同，它是一種比較高深精細的理論，是數學的一個重要分支，它的應用廣泛，它在數學各個分支中的應用是現代數學的特徵。
實變函數論不僅應用廣泛，是某些數學分支的基本工具，而且它的觀念和方法以及它在各個數學分支的應用，對形成近代數學的一般拓撲學和泛函分析兩個重要分支有著極為重要的影響。

⑥ 實變函數論的產生

實變函數論的產生
微積分產生於十七世紀，到了十八世紀末十九世紀初，微積分學已經基本上成熟了。數學家廣泛地研究並建立起它的許多分支，是它很快就形成了數學中的一大部門，也就是數學分析。
也正是在那個時候，數學家逐漸發現分析基礎本身還存在著很多問題。比如，什麼是函數這個看上去簡單而且十分重要的問題，數學界並沒有形成一致的見解。以至長期爭論者問題的這樣和那樣的解答，這樣和那樣的數學結果，弄不清究竟誰是正確的。又如，對於什麼是連續性和連續函數的性質是什麼，數學界也沒有足夠清晰的理解。
十九世紀初，曾經有人試圖證明任何連續函數除個別點外總是可微的。後來，德國數學家維爾斯特拉斯提出了一個由級數定義的函數，這個函數是連續函數，但是維爾斯特拉斯證明了這個函數在任何點上都不可導。這個發現使許多數學家大為吃驚。
由於發現了某些函數的奇特性質，數學家對函數的研究更加深入了。人們又陸續發現了有些函數是連續的但處處不可微，有的函數的有限導數並不黎曼可積；還發現了連續但是不分段單調的函數等等。這些都促使數學家考慮，人們要處理的函數，僅僅依靠直觀觀察和猜測是不行的，必須深入研究各種函數的性質。比如，連續函數必定可積，但是具有什麼性質的不連續函數也可積呢？如果改變積分的定義，可積分條件又是什麼樣的？連續函數不一定可導，那麼可導的充分必要條件由是什麼樣的？……
上面這些函數性質問題的研究，逐漸產生了新的理論，並形成了一門新的學科，這就是實變函數。

⑦ 數學分析與實分析（實變函數）有什麼關系

從教學實踐上來說，一般是學完數分以後再同時學實分析（國內等價於實變）和復變（兩者獨立教學），學完復變之後再學復分析。但從邏輯關繫上來說，不學數分直接學實變也是可以的，因為勒貝格測度和積分的定義實際上是獨立於黎曼積分的，只是它整套機器更為龐大而已。

數學分析的發展由微積分開始，並擴展到函數的連續性、可微分及可積分等各種特性。這些特性，有助我們應用在對物理世界的研究，研究及發現自然界的規律。

為微積分學的進一步發展，它的基礎是點集論。所謂點集論，就是專門研究點所成的集合的性質的理論，也可以說實變函數論是在點集論的基礎上研究分析數學中的一些最基本的概念和性質的。

相關聯系

微積分理論的產生離不開物理學，天文學，經濟學，幾何學等學科的發展，微積分理論從其產生之日起就顯示了巨大的應用活力，所以在數學分析的教學中，應強化微積分與相鄰學科之間的聯系，強調應用背景，充實理論的應用性內容。

數學分析的教學除體現本課程嚴格的邏輯體系外，也要反映現代數學的發展趨勢，吸收和採用現代數學的思想觀點與先進的處理方法，提高學生的數學修養。

以上內容參考：網路-數學分析

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《數學（第三卷）》（[俄] A. D. 亞歷山大洛夫）電子書網盤下載免費在線閱讀

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書名：數學（第三卷）

作者：[俄] A. D. 亞歷山大洛夫

譯者：王元

豆瓣評分：9.1

出版社：科學出版社

出版年份：2001-11-1

頁數：336

內容簡介：

《數學:它的內容方法和意義(第3卷)》是前蘇聯著名數學價位普及數學知識撰寫的一部名著，用極其通俗的語言介紹了現代數學各個分支的內容，歷史發展及其在自然科學和工程技術中的應用。本書內容精煉，由淺入深，只要具備高中數學知識就可閱讀。《數學:它的內容方法和意義(第3卷)》共20章，分三卷出版。本卷是第三卷，內容包括實變函數論、線性代數、抽象空間、拓撲學、泛函分析、群及其他代數系統。 本書可供高等院校理工科師生、中學教師和學生、工程技術人員和數學愛好者閱讀。