龐加萊猜想pdf

1. 龐加萊猜想是什麼

有什麼具體的應用，我並不清楚。所謂有助於人們對流形的認識，實在算不上什麼具體的應用。但Poincare猜想是十分基本的一個命題，的確是可以看出來的。

不學一點拓撲學的話，可能對Poincare猜想是什麼都不大明白。
首先必須指出，上面引用的網路的條目，把Poincare猜想的內容敘述都寫錯了。「任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球面」，這是錯的（這是不懂數學的人抄三聯周刊的一篇文章，改動時抄錯），甚至前面一句也不對；我找到的比較嚴格的敘述是，任一單連通的閉的可定向的三維流形同胚於三維球面，這個猜想後被推廣為每個單連通的閉的 n 維流形，如果具有n維球面S^n的貝蒂數和撓系數，它就同胚於S^n。非3維的情形很早已經證明，其實主要是3維的情形。

Poincare講的是三維流形的分類問題。
三維流形並沒有現實直觀的幾何例子，比如上面說的三維球面（注意並不是三維的實心球體）至少要在四維空間中才能畫出來。

為了直觀地類比，可以考慮二維的情形。直觀一點就是說，一張連通一片的、沒有洞的皮，總能鼓成一個皮球，而且只能鼓成皮球一種形狀。這張連通無洞的皮就是一個二維單連通閉流形（直觀上的圖形總是可定向的，我們忽略不可定向的情況）。無洞就是說不能像一個輪胎，也不能像一個有孔可以吹的氣球。說它能鼓成皮球，就是說這張皮是方的也好，長的也好，都可以連續地形變為球面。二維的情形實際上是拓撲學中一個比較經典的定理，即閉曲面分類定理的一種分類。可以看出，這個定理說的是一件很基本的事情，就是滿足最簡單性質的一個曲面的形狀只有一種，就是球面。

增加一維，三維的情形就是Poincare猜想。把二維的皮換成三維的「皮」，把二維的球面換成三維的球「面」，就是Poincare猜想。可以看出它也是很基本的，因為它說的是最簡單的低維圖形的分類問題。

Poincare猜想研究的是低維的圖形（它可以在四維空間畫出來）。現代物理學中經常遇到這樣的空間，所以說Poincare猜想有助於物理學的認識的深入，應該是肯定的。

2. 龐加萊猜想是什麼

在1904年發表的一組論文中，龐加萊提出以下猜想：
任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。
上述簡單來說就是：每一個沒有破洞的封閉三維物體，都拓撲等價於三維的球面。粗淺的比喻即為：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點；另一方面，如果我們想像同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它不離開表面而又收縮到一點的。我們說，蘋果表面是「單連通的」，而輪胎面不是。
該猜想是一個屬於代數拓撲學領域的具有基本意義的命題，對「龐加萊猜想」的證明及其帶來的後果將會加深數學家對流形性質的認識，甚至會對人們用數學語言描述宇宙空間產生影響。

3. 介紹一下龐加萊猜想

龐加萊猜想
一位數學史家曾經如此形容1854年出生的亨利·龐加萊（Henri Poincare）:「有些人彷彿生下來就是為

了證明天才的存在似的，每次看到亨利，我就會聽見這個惱人的聲音在我耳邊響起。」龐加萊作為數學家

的偉大，並不完全在於他解決了多少問題，而在於他曾經提出過許多具有開創意義、奠基性的大問題。龐

加萊猜想，就是其中的一個。

1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學猜想:在一個三維空間中，假如每一條封閉

的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。提出這個猜想後，龐加萊一度認為，自己

已經證明了它。但沒過多久，證明中的錯誤就被暴露了出來。於是，拓撲學家們開始了證明它的努力。

20世紀30年代以前，龐加萊猜想的研究只有零星幾項。但突然，英國數學家懷特黑德（Whitehead）對這

個問題產生了濃厚興趣。他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文。失之桑榆、收之東隅的是，

在這個過程中，他發現了三維流形的一些有趣的特例，而這些特例，現在被統稱為懷特黑德流形。

50年代到60年代之間，又有一些著名的數學家宣稱自己解決了龐加萊猜想，著名的賓（R.Bing）、哈肯（

Haken）、莫伊澤（Moise）和帕帕奇拉克普羅斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。帕帕奇拉克普羅斯是

1964年的維布倫獎得主，一名希臘數學家。因為他的名字超長超難念，大家都稱呼他「帕帕」（Papa）。

在1948年以前，帕帕一直與數學圈保持一定的距離，直到被普林斯頓大學邀請做客。帕帕以證明了著名的

「迪恩引理」（Dehn's Lemma）而聞名於世，喜好舞文弄墨的數學家約翰·米爾諾（John Milnor）曾經

為此寫下一段打油詩:「無情無義的迪恩引理/每一個拓撲學家的天敵/直到帕帕奇拉克普羅斯/居然證明得

毫不費力。」然而，這位聰明的希臘拓撲學家，卻折在了龐加萊猜想的證明上。在普林斯頓大學流傳著一

個故事。直到1976年去世前，帕帕仍在試圖證明龐加萊猜想，臨終之時，他把一疊厚厚的手稿交給了一位

數學家朋友，然而，只是翻了幾頁，那位數學家就發現了錯誤，但為了讓帕帕安靜地離去，最後選擇了隱

忍不言。

這一時期拓撲學家對龐加萊猜想的研究，雖然沒能產生他們所期待的結果，但是，卻因此發展出了低維拓

撲學這門學科。

一次又一次嘗試的失敗，使得龐加萊猜想成為出了名難證的數學問題之一。然而，因為它是幾何拓撲研究

的基礎，數學家們又不能將其撂在一旁。這時，事情出現了轉機。

1966年菲爾茨獎得主斯梅爾（Smale），在60年代初想到了一個天才的主意:如果三維的龐加萊猜想難以解

決，高維的會不會容易些呢？1960年到1961年，在里約熱內盧的海濱，經常可以看到一個人，手持草稿紙

和鉛筆，對著大海思考。他，就是斯梅爾。1961年的夏天，在基輔的非線性振動會議上，斯梅爾公布了自

己對龐加萊猜想的五維和五維以上的證明，立時引起轟動。

10多年之後的1983年，美國數學家福里德曼（Freed man）將證明又向前推動了一步。在唐納森工作的基

礎上，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，並因此獲得菲爾茨獎。但是，再向前推進的工作，又停滯了。

拓撲學的方法研究三維龐加萊猜想沒有進展，有人開始想到了其他的工具。瑟斯頓（Thruston）就是其中

之一。他引入了幾何結構的方法對三維流形進行切割，並因此獲得了1983年的菲爾茨獎。

然而，龐加萊猜想，依然沒有得到證明。

人們在期待一個新的工具的出現。

「就像費馬大定理，當谷山志村猜想被證明後，盡管人們還看不到具體的前景，但所有的人心中都有數了

。因為，一個可以解決問題的工具出現了。」清華大學數學系主任文志英說。

可是，解決龐加萊猜想的工具在哪裡？

工具有了

里查德·漢密爾頓，生於1943年，比丘成桐大6歲。雖然在開玩笑的時候，丘成桐會戲謔地稱這位有30多

年交情、喜歡沖浪、旅遊和交女朋友的老友「Playboy」，但提起他的數學成就，卻只有稱贊和惺惺相惜

。

1972年，丘成桐和李偉光合作，發展出了一套用非線性微分方程的方法研究幾何結構的理論。丘成桐用這

種方法證明了卡拉比猜想，並因此獲得菲爾茨獎。1979年，在康奈爾大學的一個討論班上，當時是斯坦福

大學數學系教授的丘成桐見到了漢密爾頓。「那時候，漢密爾頓剛剛在做Ricci流，別人都不曉得，跟我

說起。我覺得這個東西不太容易做。沒想到，1980年，他就做出了第一個重要的結果。」丘成桐說，「於

是，我跟他講，可以用這個結果來證明龐加萊猜想，以及三維空間的大問題。」

Ricci流，以義大利數學家Gregorio Ricci命名的一個方程。用它可以完成一系列的拓撲手術，構造幾何

結構，把不規則的流形變成規則的流形，從而解決三維的龐加萊猜想。看到這個方程的重要性後，丘成桐

立即讓跟隨自己的幾個學生跟著漢密爾頓研究Ricci流。其中，就包括他的第一個來自中國大陸的學生曹

懷東。

第一次見到曹懷東，是在超弦大會丘成桐關於龐加萊猜想的報告上。雖然那一段時間，幾乎所有的媒體都

在找曹懷東，但穿著件顏色鮮艷的大T恤的他，在會場里走了好幾圈，居然沒有人認出。這也難怪。絕大

多數的數學家，依然是遠離公眾視線的象牙塔中人，即使是名動天下如威滕（Witten），坐在後排，儼然

也是大隱隱於市的模樣。

1982年，曹懷東考取丘成桐的博士。1984年，當丘成桐轉到加州大學聖迭戈分校任教時，曹懷東也跟了過

來。但是，他的絕大多數時間，是與此時亦從康奈爾大學轉至聖迭戈分校的漢密爾頓「泡在一起」。這時

，丘成桐的4名博士生，全部在跟隨漢密爾頓的研究方向。其中做得最優秀的，是施皖雄。他寫出了很多

非常漂亮的論文，提出很多好的觀點，可是，因為個性和環境的原因，在沒有拿到大學的終身教職後，施

皖雄竟然放棄了做數學。提起施皖雄，時至今日，丘成桐依然其辭若有憾焉。一種雖然於事無補但惹人深

思的假設是，如果，當時的施皖雄堅持下去，今天關於龐加萊猜想的故事，是否會被改寫？

在使用Ricci流進行空間變換時，到後來，總會出現無法控制走向的點。這些點，叫做奇點。如何掌握它

們的動向，是證明三維龐加萊猜想的關鍵。在借鑒了丘成桐和李偉光在非線性微分方程上的工作後，1993

年，漢密爾頓發表了一篇關於理解奇點的重要論文。便在此時，丘成桐隱隱感覺到，解決龐加萊猜想的那

一刻，就要到來了。

4. 龐加萊猜想是什麼

龐加萊在一篇論文中提出了拓撲學的猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。後被推廣為：「任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球面。」

5. 龐加萊猜想的陳述

1904年，法國數學家亨利·龐加萊在提出了一個拓撲學的猜想：
「任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。」
簡單的說，一個閉的三維流形就是一個沒有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間,假如每條封閉的曲線都能收縮成一點,這個空間就一定是一個三維圓球。
後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為「高維龐加萊猜想」。

6. 世界千年七大難題之一的「龐加萊猜想」是什麼

龐加萊猜想 令人頭疼的世紀難題： 一位數學史家曾經如此形容1854年出生的亨利龐加萊（Henri Poincare）:「有些人彷彿生下來就是為了證明天才的存在似的，每次看到亨利，我就會聽見這個惱人的聲音在我耳邊響起。」龐加萊作為數學家的偉大，並不完全在於他解決了多少問題，而在於他曾經提出過許多具有開創意義、奠基性的大問題。龐加萊猜想，就是其中的一個。 1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學的猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。但1905年發現提法中有錯誤，並對之進行了修改，被推廣為：「任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球面。」後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為「高維龐加萊猜想」。 如果你認為這個說法太抽象的話，我們不妨做這樣一個想像： 我們想像這樣一個房子，這個空間是一個球。或者，想像一隻巨大的足球，裡面充滿了氣，我們鑽到裡面看，這就是一個球形的房子。 我們不妨假設這個球形的房子牆壁是用鋼做的，非常結實，沒有窗戶沒有門，我們現在在這樣的球形房子里。現在拿一個氣球來，帶到這個球形的房子里。隨便什麼氣球都可以（其實對這個氣球是有要求的）。這個氣球並不是癟的，而是已經吹成某一個形狀，什麼形狀都可以（對形狀也有一定要求）。但是這個氣球，我們還可以繼續吹大它，而且假設氣球的皮特別結實，肯定不會被吹破。還要假設，這個氣球的皮是無限薄的。 好，現在我們繼續吹大這個汽球，一直吹。吹到最後會怎麼樣呢？龐加萊先生猜想，吹到最後，一定是汽球表面和整個球形房子的牆壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。 我們還可以換一種方法想想：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點； 另一方面，如果我們想像同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。 為什麼？因為，蘋果表面是「單連通的」，而輪胎面不是。 看起來這是不是很容易想清楚？但數學可不是「隨便想想」就能證明一個猜想的，這需要嚴密的數學推理和邏輯推理。一個多世紀以來，無數的科學家為了證明它，絞盡腦汁甚至傾其一生還是無果而終。

7. 什麼是龐加萊猜想

法國人龐加萊（HenriPoincaré）被稱為「最後一位數學全才」，在他留下的巨大科學遺產中，有一個屬於代數拓撲學中帶有基本意義的命題，這就是困擾了數學家整整一個世紀的「龐加萊猜想」。

龐加萊是在1904年發表的一組論文中提出這一猜想的：「單連通的三維閉流形同胚於三維球面。」它後來被推廣為：「任何與n維球面同倫的n維閉流形必定同胚於n維球面。」我們不妨藉助二維的例子做一個粗淺的比喻：一個無孔的橡膠膜相當於拓撲學中的二維閉曲面，而一個吹漲的氣球則可以視為二維球面，二者之間的點存在著一一對應的關系，同時橡膠膜上相鄰的點仍是吹漲氣球上相鄰的點，反之亦然。

8. 「龐加萊猜想」是什麼

龐加萊猜想就是：任何一個封閉的三維空間，只要它裡面所有的封閉線條都可以收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球。
這是法國數學家龐加萊於1904年提出的猜想。
這還是中國的科學家在美國，俄羅斯等國的科學家研究的基礎上破解出的呢！

9. 怎麼證明龐加萊猜想

言：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想像同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是「單連通的」，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮斗。

一位數學史家曾經如此形容1854年出生的亨利�6�1龐加萊（Henri Poincare）:「有些人彷彿生下來就是為了證明天才的存在似的，每次看到亨利，我就會聽見這個惱人的聲音在我耳邊響起。」龐加萊作為數學家的偉大，並不完全在於他解決了多少問題，而在於他曾經提出過許多具有開創意義、奠基性的大問題。龐加萊猜想，就是其中的一個。

1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學的猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。但1905年發現提法中有錯誤，並對之進行了修改，被推廣為：「任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球面。」後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為「高維龐加萊猜想」。

如果你認為這個說法太抽象的話，我們不妨做這樣一個想像：

我們想像這樣一個房子，這個空間是一個球。或者，想像一隻巨大的足球，裡面充滿了氣，我們鑽到裡面看，這就是一個球形的房子。

我們不妨假設這個球形的房子牆壁是用鋼做的，非常結實，沒有窗戶沒有門，我們現在在這樣的球形房子里。現在拿一個氣球來，帶到這個球形的房子里。隨便什麼氣球都可以（其實對這個氣球是有要求的）。這個氣球並不是癟的，而是已經吹成某一個形狀，什麼形狀都可以（對形狀也有一定要求）。但是這個氣球，我們還可以繼續吹大它，而且假設氣球的皮特別結實，肯定不會被吹破。還要假設，這個氣球的皮是無限薄的。

好，現在我們繼續吹大這個汽球，一直吹。吹到最後會怎麼樣呢？龐加萊先生猜想，吹到最後，一定是汽球表面和整個球形房子的牆壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。

我們還可以換一種方法想想：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點；

另一方面，如果我們想像同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。

為什麼？因為，蘋果表面是「單連通的」，而輪胎面不是。

看起來這是不是很容易想清楚？但數學可不是「隨便想想」就能證明一個猜想的，這需要嚴密的數學推理和邏輯推理。一個多世紀以來，無數的科學家為了證明它，絞盡腦汁甚至傾其一生還是無果而終。

艱難的證明之路
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2000年5月24日，美國克萊數學研究所的科學顧問委員會把龐加萊猜想列為七個「千禧難題」（又稱世界七大數學難題）之一，這七道問題被研究所認為是「重要的經典問題，經許多年仍未解決。」克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個「千年大獎問題」的解決都可獲得百萬美元的獎勵。另外六個「千年大獎問題」分別是： NP完全問題， 霍奇猜想（Hodge）， 黎曼假設（Riemann），楊－米爾斯理論（Yang-Mills），納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes，簡稱NS方程），BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。

提出這個猜想後，龐加萊一度認為自己已經證明了它。但沒過多久，證明中的錯誤就被暴露了出來。於是，拓撲學家們開始了證明它的努力。

一、早期的證明
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20世紀30年代以前，龐加萊猜想的研究只有零星幾項。但突然，英國數學家懷特海（Whitehead）對這個問題產生了濃厚興趣。他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文，失之桑榆、收之東隅。但是在這個過程中，他發現了三維流形的一些有趣的特例，而這些特例，現在被統稱為懷特海流形。

30年代到60年代之間，又有一些著名的數學家宣稱自己解決了龐加萊猜想，著名的賓（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊澤（Moise）和帕帕奇拉克普羅斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。

帕帕奇拉克普羅斯是1964年的維布倫獎得主，一名希臘數學家。因為他的名字超長超難念，大家都稱呼他「帕帕」（Papa）。在1948年以前，帕帕一直與數學圈保持一定的距離，直到被普林斯頓大學邀請做客。帕帕以證明了著名的「迪恩引理」（Dehn's Lemma）而聞名於世，喜好舞文弄墨的數學家約翰�6�1米爾諾（John Milnor）曾經為此寫下一段打油詩：「無情無義的迪恩引理/每一個拓撲學家的天敵/直到帕帕奇拉克普羅斯/居然證明得毫不費力。」

然而，這位聰明的希臘拓撲學家，卻最終倒在了龐加萊猜想的證明上。在普林斯頓大學流傳著一個故事。直到1976年去世前，帕帕仍在試圖證明龐加萊猜想，臨終之時，他把一疊厚厚的手稿交給了一位數學家朋友，然而，只是翻了幾頁，那位數學家就發現了錯誤，但為了讓帕帕安靜地離去，最後選擇了隱忍不言。

10. 什麼是龐加萊猜想

龐加萊猜想（Poincaré conjecture）是法國數學家龐加萊提出的一個猜想，是克雷數學研究所懸賞的七個千禧年大獎難題。

龐加萊猜想中三維的情形被俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼於2003年左右證明。2006年，數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。龐加萊猜想是一個拓撲學中帶有基本意義的命題，將有助於人類更好地研究三維空間，其帶來的結果將會加深人們對流形性質的認識。

(10)龐加萊猜想pdf擴展閱讀：

20世紀30年代以前，龐加萊猜想的研究只有零星幾項。但突然，英國數學家懷特海（Whitehead）對這個問題產生了濃厚興趣。他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文。但是失之東隅、收之桑榆，在這個過程中，他發現了三維流形的一些有趣的特例，這些特例被稱為懷特海流形。

30年代到60年代之間，又有一些著名的數學家宣稱自己解決了龐加萊猜想，著名的賓（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊澤（Moise）和帕帕奇拉克普羅斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。