不等式整數解壓軸題

㈠ 高考數學壓軸題不等式方法技巧總結

樓上這位說的很好。基礎才是王道，從問題中可以看出你的成績是很好的，至少在數學這方面是很好的。
作為一個過來人，我還是要告訴你
不要太去糾結最後一題。就算你現在搞懂這個題的方法，他高考的時候不一定就考你這個題。
所以你還是把重點放在基礎上和你的錯題上。
純手打
望採納

㈡ 高中數學對數函數與不等式專題壓軸題

由題意，即有0<真數<1 恆成立
故 0<(2x^2+2kx+k)/(3x^2+6x+4)<1
因為3x^2+6x+4=3(x+1)^2+1>0, 所以得到以下2個不等式：
1）2x^2+2kx+k>0 ，得判別式<0,即4k^2-8k<0,得：0<k<2
2）2x^2+2kx+k<3x^2+6x+4, 得：x^2+2(3-k)x+4-k>0恆成立，即判別式<0,得：4(3-k)^2-4(4-k)<0,
解得： (5-√5)/2<k<(5+√5)/2

綜合1），2）得k的取值范圍是：
(5-√5)/2<k<2

㈢ 有關高中不等式的例題

例4 解答題

(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非負整數解．
分析：對(1)小題中要明白「不小於」即「大於或等於」，用符號表示即為「≥」；(2)小題非負整數，即指正數或零中的整數，所以此題的不等式的解必須是正整數或零．在求解過程中注意正確運用不等式性質．
解：

∴ 120-8x≥84-3(4x+1)

(2)∵10(x+4)+x≤84
∴10x+40+x≤84
∴11x≤44
∴x≤4
因為不大於4的非負整數有0，1，2，3，4五個，所以不等式10(x+4)+x≤84的非負整數解是4，3，2，1，0．
例5 解關於x的不等式
(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)＞n(n-x)
分析：解字母系數的不等式與解數字系數不等式的方法、步驟都是類似的，只是在求解過程中常要對字母系數進行討論，這就增加了題目的難度．此類問題主要考察了對問題的分析、分類的能力：它不但要知道什麼時候該進行分類討論，而且還要求能准確地分出類別來進行討論(結合例題解法再給與說明)．
解：(1)∵ax+2≤bx-1
∴ax-bx≤-1-2
即 (a-b)x≤-3
此時要依x字母系數的不同取值，分別求出不等式的解的形式．

即(n-m)x＞n2-m2
當m＞n時，n-m＜0，∴x＜n+m；
當m＜n時，n-m＞0，∴x＞n+m；
當m=n時，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式無解．這是因為此時無論x取任何值時，不等式兩邊的值都為零，只能是相等的，所以不等式不成立．
例6 解關於x的不等式
3(a+1)x+3a≥2ax+3．
分析：由於x是未知數，所以把a看作已知數，又由於a可以是任意有理數，所以在應用同解原理時，要區別情況，分別處理．
解：去括弧，得
3ax+3x+3a≥2ax+3
移項，得
3ax+3x-2ax≥3-3a
合並同類項，得
(a+3)x≥3-3a

(3)當a+3=0，即a=-3，得0·x≥12
這個不等式無解．
說明：在處理字母系數的不等式時，首先要弄清哪一個字母是未知數，而把其它字母看作已知數，在運用同解原理把未知數的系數化為1時，應作合理的分類，逐一討論．
例7 m為何值時，關於x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正數．
分析：根據題意，應先把m當作已知數解方程，然後根據解的條件列出關於m的不等式，再解這個不等式求出m的值或范圍．注意：「非正數」是小於或等於零的數．
解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x
可解得 8x=20+17m

已知方程的解是非正數，所以

例8 若關於x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非負數，(2)負數，試確定k的取值范圍．
分析：要確定k的范圍，應將k作為已知數看待，按解一元一次方程的步驟求得方程的解x(用k的代數式表示之)．這時再根據題中已知方程的解是非負數或是負數得到關於k的不等式，求出k的取值范圍．這里要強調的是本題不是直接去解不等式，而是依已知條件獲得不等式，屬於不等式的應用．
解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3
可解得 -2x=8k-4
即 x=2(1-2k)
(1)已知方程的解是非負數，所以

(2)已知方程的解是負數，所以

例9 當x在什麼范圍內取值時，代數式-3x+5的值：
(1)是負數 (2)大於-4
(3)小於-2x+3 (4)不大於4x-9
分析：解題的關鍵是把「是負數」，「大於」，「小於」，「不大於」等文字語言准確地翻譯成數字元號．
解：(1)根據題意，應求不等式
-3x+5＜0的解集
解這個不等式，得

(2)根據題意，應求不等式
-3x+5＞-4的解集
解這個不等式，得
x＜3
所以當x取小於3的值時，-3x+5的值大於-4．
(3)根據題意，應求不等式
-3x+5＜-2x+3的解集
-3x+2x＜3-5
-x＜-2
x＞2
所以當x取大於2的值時，-3x+5的值小於-2x+3．
(4)根據題意，應求不等式
-3x+5≤4x-9的解集
-3x-4x≤-9-5
-7x≤-14
x≥2
所以當x取大於或等於2的值時，-3x+5的值不大於4x-9．
例10

分析：

解不等式，求出x的范圍．
解：

說明：應用不等式知識解決數學問題時，要弄清題意，分析問題中數量之間的關系，正確地表示出數學式子．如「不超過」即為「小於或等於」，「至少小2」，表示不僅少2，而且還可以少得比2更多．
例11 三個連續正整數的和不大於17，求這三個數．
分析：

解：設三個連續正整數為n-1，n，n+1
根據題意，列不等式，得
n-1+n+n+1≤17

所以有四組：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．
說明：解此類問題時解集的完整性不容忽視．如不等式x＜3的正整數解是1、2，它的非負整數解是0、1、2．
例12 將18.4℃的冷水加入某種電熱淋浴器內，現要求熱水溫度不超過40℃，如果淋浴器每分鍾可把水溫上升0.9℃，問通電最多多少分鍾，水溫才適宜？
分析：設通電最多x分鍾，水溫才適宜．則通電x分鍾水溫上升了0.9x℃，這時水溫是(18.4+0.9x)℃，根據題意，應列出不等式18.4+0.9x≤40，解得，x≤24．
答案：通電最多24分，水溫才適宜．
說明：解答此類問題時，對那些不確定的條件一定要充分考慮，並「翻譯」成數學式子，以免得出失去實際意義或不全面的結論．
例13 礦山爆破時，為了確保安全，點燃引火線後，人要在爆破前轉移到300米以外的安全地區．引火線燃燒的速度是0.8厘米/秒，人離開速度是5米/秒，問引火線至少需要多少厘米？
解：設引火線長為x厘米，

根據題意，列不等式，得

解之得，x≥48(厘米)
答：引火線至少需要48厘米．
*例14 解不等式|2x+1|＜4．
解：把2x+1看成一個整體y，由於當-4＜y＜4時，有|y|＜4，即-4＜2x+1＜4，

巧解一元一次不等式
怎樣才能正確而迅速地解一元一次不等式？現結合實例介紹一些技巧，供參考．
1．巧用乘法
例1 解不等式0.25x＞10.5．
分析 因為0.25×4=1，所以兩邊同乘以4要比兩邊同除以0.25來得簡便．
解 兩邊同乘以4，得x＞42．
2．巧用對消法
例2 解不等式

解 原不等式變為

3．巧用分數加減法法則

故 y＜-1．
4．逆用分數加減法法則

解 原不等式化為
，

5．巧用分數基本性質
例5 解不等式

約去公因數2後，兩邊的分母相同；②兩個常數項移項合並得整數．

例6 解不等式

分析 由分數基本性質，將分母化為整數和去分母一次到位可避免繁瑣的運算．
解 原不等式為

整理，得8x-3-25x+4＜12-10x，

思考：例5可這樣解嗎？請不妨試一試．
6．巧去括弧
去括弧一般是內到外，即按小、中、大括弧的順序進行，但有時反其道而行之即由外到內去括弧往往能另闢捷徑．

7．逆用乘法分配律
例8 解不等式
278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)＞0．
分析 直接去括弧較繁，注意到左邊各項均含有因式x-3而逆用分配律可速解此題．
解 原不等式化為
(x-3)(278-351×2+463)＞0，
即 39(x-3)＞0，故x＞3．
8．巧用整體合並
例9 解不等式
3｛2x-1-[3(2x-1)+3]｝＞5．
解 視2x-1為一整體，去大、中括弧，得3(2x-1)-9(2x-1)-9＞5，整體合並，得-6(2x-1)＞14，

9．巧拆項
例10 解不等式

分析 將-3拆為三個負1，再分別與另三項結合可巧解本題．
解 原不等式變形為

得x-1≥0，故x≥1．
練習題
解下列一元一次不等式

③3｛3x+2-[2(3x+2)-1]｝≥3x+1．
答案
回答者：匿名 7-31 09:24

㈣ 高考數學壓軸題不等式方法技巧總結

一、放縮，基本放縮要很熟練（如lnx和x-1)，熟練到有意識要用這基本放縮。還有就是用前倆問得出的結論進行放縮（並不一定是前倆問要證明的東西，可能是證明前倆問推導過程中間的式子）。如果第三問要證明一個很突兀的式子，一時沒思路的話最好先看看前倆問自己的證明，可能就會靈光一現了。
二、直接給的函數，數列證明題。這個靠基礎了，如拉格朗日，不動點，特徵根等一些超綱的知識知道要去用（一般從題目形式就能看出）。但最好別直接使用超綱定理，公式。那樣會扣很多分，最好先自己給出證明。
三、見多識廣。如利用定積分定義證明數列和型不等式。。移動坐標系證明解析幾何斜率的一些結論。使用極坐標方程解決解析幾何中焦半徑系列問題。很多方法只有做過了才知道，才會有條件反射。

㈤ 高一數列壓軸題。

分析：（I）先得出an，再解關於n的不等式，利用正整數的條件得出具體結果；

（II）先得出an，再解關於n的不等式，根據{bn}的定義求得bn再求得S2m；

（III）根據bm的定義轉化關於m的不等式恆成立問題．

㈥ 數列與不等式

我給你些題目，再附上其出處，你可自行查找其答案……
2011年-高考數學-天津卷理-20-數列
已知數列{an}與{bn}滿足
bn*an+a(n+1)+b(n+1)*a(n+2)=0，bn=(3+(-1)^n)/2，n∈N*，
且a1=2，a2=4.
(Ⅰ)求a3,a4,a5的值;
(Ⅱ)設cn=a(2n-1)+a(2n+1)，n∈N*，證明{cn}是等比數列;
(Ⅲ)設Sk=a2+a4+…+a(2k)，k∈N*，證明Σ(k=1--4n)(Sk/ak)<7/6(n∈N*).
2010年-高考數學-天津卷理-22-數列
在數列{an}中，a1=0，且對任意k∈N*，a(2k-1),a(2k),a(2k+1)成等差數列，其公差為dk.
(Ⅰ)若dk=2k，證明a(2k),a(2k+1),a(2k+2)成等比數列(k∈N*);
(Ⅱ)若對任意k∈N*，a(2k),a(2k+1),a(2k+2)成等比數列，其公比為qk.
(i)設q1不等於1，證明{1/(qk-1)}是等差數列;
(ii)若a2=2，證明3/2<2n-∑(k=2--n)(k^2/ak)<=2
(n>=2).
2008年-高考數學-遼寧卷理-21-數列
在數列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an,bn,a(n+1)成等差數列，bn,a(n+1),b(n+1)成等比數列(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，並證明你的結論;
(2)證明:
1/(a1+b1)+1/(a2+b2)+…+1/(an+bn)<5/12.
2006年-高考數學-天津卷理-21-數列(改)
已知數列{xn}，{yn}滿足x1=x2=1，y1=y2=2，並且
x(n+1)/xn=λ*(xn/x(n-1))，y(n+1)/yn>=λ*(yn/y(n-1))
(λ為非零參數，n=2,3,4,…)
(1)若x1,x3,x5成等比數列，求參數λ的值;
(2)當λ>0時，證明:x(n+1)/y(n+1)<=xn/yn(n∈N*);
(3)當λ>1時，證明:
(x1-y1)/(x2-y2)+(x2-y2)/(x3-y3)+…+(xn-yn)/(x(n+1)-y(n+1))<λ/(λ-1)(n∈N*);
(4)當0<1<λ時，證明:對於k>=3，
x(k+1)/x1+x(k+2)/x2+…+x(k+n)/xn<(λ^k)/(1-λ^k)(n∈N*).
2002年-高考數學-全國卷理-22-數列
數列{an}滿足a(n+1)=an^2-n*an+1，n∈N*.
(1)當a1=2時，求an;
(2)當a1>=3時，證明:
①an>=n+2，n∈N*;
②1/(1+a1)+1/(1+a2)+…+1/(1+an)<1/2，n∈N*.
2003年-高考數學-江蘇卷-22-數列
如圖，已知直線l:y=ax(a>0)及曲線C:y=x^2.C上的點Q1的橫坐標為a1(0<a1<a).
從C上的點Qn(n>=1)作直線平行於x軸，交直線l於點P(n+1);再從點P(n+1)作直線平行於y軸，交曲線C於點Q(n+1).
Qn(n=1,2,…)的橫坐標組成數列{an}.
(1)試求a(n+1)與an的關系，並求{an}的通項公式;
(2)當a=1，a1<=1/2時，證明:Σ(k=1--n)((ak-a(k+1))*a(k+2))<1/32;
(3)當a=1時，證明:Σ(k=1--n)((ak-a(k+1))*a(k+2))<1/3.
2007年-高考數學-四川卷理-21-數列
已知函數f(x)=x^2-4，設曲線y=f(x)在點(xn,f(xn))處的切線與x軸的交點為(x(n+1),0)(n∈N*)，其中x1為正實數.
(Ⅰ)用xn表示x(n+1);
(Ⅱ)若x1=4，記an=lg((xn+2)/(xn-2))，證明數列{an}成等比數列，並求數列{xn}的通項公式;
(Ⅲ)若x1=4，bn=xn-2，Tn是數列{bn}的前n項和，證明Tn<3.
2006年-高考數學-江西卷理-22-數列
已知數列{an}滿足:a1=3/2，且an=(3*n*a(n-1))/(2*a(n-1)+n-1)(n>=2，n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)證明:對於一切正整數n，不等式a1*a2*…*an<2*n!恆成立.

㈦ 不等式組有4個整數解

你上面的一段敘述思路有點亂,應該這樣來理清思路
不等式 2x < 3(x-3)+1的解集是：x > 8
不等式 (3x + 2)/4的解集是 x < 2 - 4a
當2－4a > 8時,不等式組的解集是 8 < x < 2-4a
要使這兩個不等式組成的不等式組有四個整數解,這四個整數解是x∈{ 9,10,11,12}
所以原不等式組的解集必須滿足 8 < x < 13,即2－4a的值可以取到13,但不能超過13,換句話說,這里是 2－4a = 13,並不是x等於13,也就是說2－4a與x並不是同一個概念,x是一個未知數,2－4a是一個參數,你上面的敘述把這兩個概念混淆了.
實際上,當2－4a=13時,總有x < 2 - 4a.
因此,在滿足不等式組有四個整數解的條件下,要求出a的取值范圍,可以用不等式12 < 2-4a ≤13來處理.

㈧ 並寫出不等式組的整數解．

試題答案：解：
，
由①得：x＞1，
由②得：x＜5，
由③得：x＜
，
∴不等式組的解集是1＜x＜
，
∴不等式組的整數解是2，3．

㈨ 導數不等式壓軸題

(1)令h(x)=e^x-x-1,h'(x)=e^x-1
x<0時h'(x)<0；x>0時h'(x)>0
所以h(x)有極小值h(0)=0，即e^x-x-1≥0
(2)易得g(x)=x
令F(x)=2ln(x+1)-x^2+x
F'(x)=2/(x+1)-2x+1=(-2x^2-x+3)/(x+1)
令F'(x)=0，解得x=1或-3/2
當0≤x<1時,F'(x)>0;當1<x≤2時,F'(x)<0
所以F(x)在[0,2]上有極大值，也是最大值F(1)=2ln2
又F(0)=0,F(2)=2ln3-2>0
所以m的取值范圍為(2ln3-2,2ln2)
(3)根據1.得:
當x≠0時,e^x>1+x
所以e^(-k/n)>1-k/n（0<k<n-1）
所以e^(-k)>(1-k/n)^n
所以(1/n)^n+(2/n)^n+...+[(n-1)/n]^n+(n/n)^n=
=[1-(n-1)/n]^n+[1-(n-2)/n]^n+...+[1-1/n]^n+1<
<e^(-n+1)+e^(-n+2)+..+e^(-1)+1=
=[1-e^(-n)]/[1-e^(-1)]<
≤1/(1-1/e)=e/(e-1).