壓縮映射原理完備性重要嗎

Ⅰ 壓縮映射原理

壓縮映射原理指完備的距離空間上到自身的壓縮映射，存在唯一的不動點。

設（X，ρ）為距離空間，T是X到X中的映射，如果存在數a（0<a<1），使得對所有的x，y∈X都有ρ（Tx， Ty）≤a*ρ（x， y），則稱T是壓縮映射。壓縮映射也稱為利普希茨映射。壓縮映射必是連續映射，且為利普希茨連續。

當X為賦范線性空間，f：X→Y為壓縮映射時，映射I-f稱為X上的壓縮向量場。壓縮映射原理是巴拿赫在1922年給出的，這種思想可以追溯到皮卡用逐次逼近法求解常微分方程。

該法能夠提供許多種方程的解的存在性、唯一性及迭代解法，只要方程的解能轉化為某個壓縮映射的不動點。這一方法已經推廣到非擴展映射、映射族、集值映射、概率度量空間等許多方面。

壓縮映射原理的基本理論

1、（完備度量空間）若度量空間中每個柯西點列都在中收斂，那麼稱是完備的度量空間。

2、（壓縮映射）設是度量空間，是上的自映射。若存在數，使得, 均有, 則稱是上的一個壓縮映射。

3、（不動點）給定度量空間，是上的自映射，如果存在，使得，則稱為映射的一個不動點。

Ⅱ 壓縮映射不動點定理

壓縮映射不動點定理：

定理（壓縮映射原理）設是一個完備的度量空間，是一個壓縮映射，則有一個唯一的不動點。進一步地，從任意一點出發，序列收斂於。證明首先證明最多隻有一個不動點。然後說明序列收斂於一點。最後證明這個是不動點。

唯一性，首先證明，如果一個點是的不動點，則它是的唯一的不動點。假設且。由於為壓縮映射，因此一定存在一個，使得。容易看出，只有當，即時，前面的不等式才能成立。

極限點，設，定義。則由前面的引理可知，序列是一個柯西序列。由於是完備的，因此一定存在一個使得收斂於。

不動點，設。由於為柯西序列，且收斂於，因此一定存在一個正整數，使得對於任意的，均有，且，設，由三角不等式可知。

巴拿赫不動點定理，又稱為壓縮映射定理或壓縮映射原理，是度量空間理論的一個重要工具;它保證了度量空間的一定自映射的不動點的存在性和唯一性，並提供了求出這些不動點的構造性方法。

注意到不等號右邊中間的一項又等於，從而由前面的推理可知不等號右邊前兩項均小於。現在主要考慮第三項。注意到。從而有。由於的選取是任意的，因此必有，即。

Ⅲ 壓縮映像原理數列極限

壓縮映像原理數列極限：

當將一個映像信號壓縮到它的最多極限時,在質量上所能達到的最優數列極限,也就是信號最大可以壓縮到什麼程度。極限取決於映像文件壓縮演算法和所使用的編碼器,一般而言,極限可能是像素數量上限或者最大壓縮比率,也可能是質量上限。

即：（X，P）是一個完備的距離空間，T是（X，P）到其自身的一個壓縮映射，則T在X上存在唯一的不動點。這個原理非常基本，它是泛函分析中的一個最基本最簡單的存在性定理。數學分析中的很多存在性定理都是它的特例。

Ⅳ 壓縮映射原理的證明

度量空間(M,d)上的壓縮映射，或壓縮，是一個從M到它本身的函數f，存在某個實數，使得對於所有M內的x和y，都有：滿足以上條件的最小的k稱為f的利普希茨常數。壓縮映射有時稱為利普希茨映射。如果以上的條件對於所有的都滿足，則該映射稱為非膨脹的。 更一般地，壓縮映射的想法可以定義於兩個度量空間之間的映射。如果(M,d)和(N,d')是兩個度量空間，則我們尋找常數k，使得對於所有M內的x和y。 每一個壓縮映射都是利普希茨連續的，因此是一致連續的。 一個壓縮映射最多有一個不動點。另外，巴拿赫不動點定理說明，非空的完備度量空間上的每一個壓縮映射都有唯一的不動點，且對於M內的任何x，迭代函數序列x，f (x)，f (f (x))，f (f (f (x)))，……收斂於不動點。這個概念在迭代函數系統中是非常有用的，其中通常要利用壓縮映射。巴拿赫不動點定理也用來證明常微分方程的解的存在，以及證明反函數定理。

Ⅳ 壓縮映射原理求極限

壓縮映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通過對考研中數列極限的典型例題的解析，歸納總結出適合壓縮映射原理求極限數列的一般形式，展示壓縮映射原理在解決遞推數學列極限中的優越性.

關鍵詞: 壓縮映射原理 極限 遞推數列

壓縮映射原理是著名的波蘭數學家Stefan Banach在1922年提出的，它是整個分析科學中最常用的存在性理論，應用非常廣泛，如隱函數存在性定理、微分方程解的存在唯一性.這里我們主要研究壓縮映射原理在數列極限中的應用.許多參考資料都講過這個方面的應用，如文獻[1-3].在前人的基礎上，筆者結合自己的教學體會，系統歸納總結了壓縮映射原理在一類遞推數列極限中的應用，進一步展示其優越性.

1.基本概念和定理

為了結構的完整和敘述的方便，我們給出文獻中的幾個概念和定理.

定義1.1設(X，ρ)為一個度量空間，T是X到X的映射，若存在0<α<1，使得,坌x，y?X，有ρ(Tx，Ty)?αρ(x，y)，則稱T是X到X的一個壓縮映射.

定理1.2(壓縮映射原理)設(X，ρ)為一個完備的距離空間，T是X到X的一個壓縮映射，則T在X上存在唯一的不動點，即存在唯一的x?X，使得Tx=x.

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事實上，這兩個結果在一般的實數R上也成立，有如下結果.

2.應用

類型一:直接應用定理型

下面我們看一道競賽試題.

由於壓縮映射原理在許多教材中沒有給出，但其實用性很強，因此在教學過程可以補充給出，讓學有餘力的學生自己查閱相關文獻.這類題目常見於考研試題和競賽試題，只要出現迭代數列形式，就可以嘗試利用壓縮映射原理來考慮，問題的關鍵是確定函數是否為壓縮函數，同時一定要注意函數的定義域.我們可以把這類問題歸結為如下形式.

類型二:先轉化再應用型

這類問題中雖然沒有明顯的迭代條件，但可以先考慮通常的方法，如單調有界定理、柯西收斂逐准則及夾逼定理等，也可以嘗試往壓縮映射原理條件上去湊，或許有意外的收獲.以上幾個例子都是數列極限中常見的典型例題，但幾乎所有的教學參考書籍都沒有提及利用壓縮映射原理解決該問題，事實上，利用該方法解決上述例題更簡潔.數學分析中很多問題的解決都得益於把已知條件往解決方法原理的條件上「湊」，這種「湊」是一種技巧、策略，它是解決數學分析中問題的常見策略，初學者需要仔細體會.

數列極限的求解方法多種多樣，每種方法都有其條件要求和適用范圍，需要靈活運用.壓縮映射原理也不例外，在應用是時一定要注意條件的驗證，同時要注意其使用范