稀疏表示壓縮感知

❶ 壓縮感知中信號重構之前必須先進行稀疏表示嗎

當然可以。

1. 將主信號端的波形設置為「方波」；

2. 2. 將輸出信號的幅度低電平設置為0V，高電平設置為3.3V（如果你要5V TTL就設置為5V)；

3. 這樣輸出不就是TTL信號了，不過不知道你要輸出什麼樣的信號，以上方法只能輸出簡單的時鍾，或通過任意波的方式輸出某種碼型的周期數字信號。Agilent的信號發生器支持偽隨機碼輸出，基本可以認為是非周期的。
   

❷ 稀疏表示和壓縮感知有何異同

只有一個信號能夠稀疏表示的時候，才能實現壓縮感知。

❸ 稀疏表達是什麼意思

信號稀疏表示（稀疏表達也可以叫為稀疏表示）是過去近20年來信號處理界一個非常引人關注的研究領域，眾多研究論文和專題研討會表明了該領域的蓬勃發展。信號稀疏表示的目的就是在給定的超完備字典中用盡可能少的原子來表示信號，可以獲得信號更為簡潔的表示方式，從而使我們更容易地獲取信號中所蘊含的信息，更方便進一步對信號進行加工處理，如壓縮、編碼等 。

(3)稀疏表示壓縮感知擴展閱讀：

應用：

1，壓縮感知

為了有效重構原信號，傳統方式下需要基於奈奎斯特采樣定理實現對信號的采樣。近年來，隨著稀疏表示的興起為重構原信號提出了一種新的理論-壓縮感知。

2，目標跟蹤

近年來，稀疏表示在目標跟蹤領域也得到的廣泛應用。針對紅外圖像序列中目標與背景對比度低、灰度特徵易受雜訊影響等問題，提出了一種基於稀疏表示模型的紅外目標跟蹤演算法。提出了一個新的基於稀疏表示的目標跟蹤方法，通過L1 范數最小化求解，實驗結果表明，該方法比現有的基於 L1 范數最小化的跟蹤方法性能更穩定、計算效率更高。

為了有效解決跟蹤過程中的目標遮擋問題，提出了一種基於局部稀疏表示模型的跟蹤方法。實驗結果表明，該方法比各種流行跟蹤方法穩定可靠且具有良好的抗遮擋性，並對海上紅外目標跟蹤取得良好效果。

參考資料：網路-稀疏表示

❹ 壓縮感知

【嵌牛導讀】：傳統基於奈奎斯特定律的信號采樣方法暴露出來的缺點越來越多，幾年來一種新的理論----壓縮感知打破了奈奎斯特采樣定理（采樣速率大於信號最高頻率的兩倍），成為了新的研究熱點。

【嵌牛鼻子】：壓縮感知;信號採集;欠奈奎斯特采樣;正交匹配追蹤

【嵌牛提問】：壓縮感知的原理？

【嵌牛正文】：

2004年，D.Donoho等人提出了壓縮感知理論，Tao T等人在此基礎上進行了改進[ ]，為超寬頻信號採集問題的解決開辟了一條新的道路。該理論是假設待采樣信號在某個空間內具有稀疏的特性（只有少量的非零元素），利用測量矩陣將高維的稀疏信號投影為低維的測量值，從而完成對信號的壓縮。然後通過優化求解的方法，可以精確重構出原始信號。該理論將壓縮和數模變換合圍一體，利用低采樣率完成對寬頻信號的壓縮采樣，降低了對AD器件性能的要求，具有十分良好的發展前景，其系統框圖如下圖所示。

壓縮感知主要分為三個部分：信號稀疏表示、壓縮測量、信號重構。

信號稀疏表示：

首先介紹一下壓縮感知中十分重要的幾個概念。

稀疏性：如果一個向量的大多數元素都為0，只有少量元素具有有效值，那麼這個向量就具有稀疏性[ ]。

稀疏度：如果一個向量中非零元素個數小於N，即‖x‖_0

壓縮測量：

壓縮測量是壓縮感知中非常重要的一步，其關鍵在於壓縮矩陣的選擇。壓縮矩陣的作用就是將高維的信號映射為低維的輸出信號，完成信號的壓縮測量。測量過程可以用下式表示。

令測量矩陣A_(l*n)=φ_(l*n)*Ɵ_(n*n)，上式可簡化為下式：

如果要求信號能夠重構，那麼這種映射應該是一一對應的，即特定的µ只能映射為唯一的y。這樣的唯一性是保證信號能夠精確重構的前提。為了滿足這樣的重構條件，測量矩陣A必須滿足一定的條件。T.TAO等人提出為此提出了RIP條件（受限等距特性）。如果A能滿足下式的不等式:

上式表示在測量矩陣滿足RIP條件時，重構出的信號的誤差在相當小的一個范圍內。經過上面的討論，我們就為精確重構出信號提供了理論上的保障。

信號重構：

重構演算法是壓縮感知的核心內容和最後一步，其恢復精確度和演算法復雜程度決定了采樣系統的可行性和實用性。由采樣輸出y_(l*1)求解輸入信號µ_(n*1)是一個未知數個數多餘方程個數的欠定方程。通常情況下其解有無數個，需要進行優化求解來確定最優解。

常用的優化求解演算法為：貪婪演算法，凸優化演算法和組合演算法。

AIC(模擬信息轉換器)， 其結構如下圖所示。

單像素相機

每次只取一個像素點，隨機取若干次。運用演算法對所取的像素值進行處理，恢復出原始信號

醫學成像

❺ 壓縮感知理論基本介紹

姓名：王鑫磊

學號：21011110262

學院：通信工程學院

【嵌牛導讀】壓縮感知是信號處理領域進入21世紀以來取得的最耀眼的成果之一，並在磁共振成像、圖像處理等領域取得了有效應用。壓縮感知理論在其復雜的數學表述背後蘊含著非常精妙的思想。基於一個有想像力的思路，輔以嚴格的數學證明，壓縮感知實現了神奇的效果，突破了信號處理領域的金科玉律——奈奎斯特采樣定律。即，在信號采樣的過程中，用很少的采樣點，實現了和全采樣一樣的效果。

【嵌牛鼻子】壓縮感知，欠采樣，稀疏恢復

【嵌牛提問】壓縮感知相比奈奎斯特采樣定律的主要突破是什麼？

【嵌牛正文】

1.CS的初步理解

    CS是一個針對信號采樣的技術，是在采樣過程中完成數據壓縮的過程。我們知道在對模擬信號按一定采樣頻率進行采樣並得到數字信號的過程中，要想完整保留原始信號中的信息，采樣頻率必須大於信號中最高頻率的2倍（奈奎斯特采樣定理）。但Candes等人又提出了，如果信號在頻域是稀疏的，那麼它可以由遠低於采樣定理要求的采樣點重建恢復。Nyquist定理中的采樣為等間距采樣，若采樣頻率低必然會引起混疊，如果不等間距采樣呢？如果是隨機采樣呢？隨機采樣必然會發生頻譜泄露，但泄露會均勻分布在整個頻域且泄露值都較小，而最大的幾個峰值可以通過設置閾值檢測出來，從而有了恢復出原始信號的可能。

    圖1展示了一原始的模擬信號在頻域是稀疏的，僅由三個頻率分量組成，為了得到數字信號，首先要在時域對其進行采樣，根據壓縮感知理論，可以在時域進行隨機亞采樣，之後得到的頻譜會產生如圖所示的泄露，但可以通過閾值檢測求出原始信號的真實頻率分量，從而恢復出原始信號。

2. CS的數學模型

    CS有兩個前提條件：

假設：x是長度為N的原信號，稀疏度為k，它是未知的；Φ為測量矩陣，對應采樣過程，也就是壓縮的過程，如隨機采樣，是已知的；采樣後的結果為：y=Φx，也是已知的；因此壓縮感知問題是：在已知測量值y和測量矩陣Φ的基礎上，求解原信號x的過程。然而一般信號x本身並不稀疏，需要在某種稀疏基上進行稀疏表示，即x=Ψs, 其中s為稀疏向量，即為所求的稀疏信號；Ψ為稀疏基矩陣，也叫稀疏變換矩陣，如傅里葉變換。

於是最終問題表示為：

                                                                                  y = ΦΨs = Θs                                                                                      （1）

已知y，Φ，Ψ，求s， Θ稱為感知矩陣。感知矩陣需要滿足約束等距原則（RIP），因此需要測量矩陣Φ和稀疏基Ψ滿足不相關，即采樣過程與稀疏過程不相關。Candes等人又找到了獨立同分布的高斯隨機測量矩陣可以稱為普適的壓縮感知測量矩陣，於是滿足高斯分布的隨機測量矩陣就成了CS最常用的觀測矩陣。

3. CS的常用方法

已知(1)方程有無數解，因此需要通過增加約束來得到唯一解。方程是稀疏的，因此我們需要找到這個方程里所有解中最稀疏的內個就行了。

求解上述方程一般有三種思路：凸優化演算法，貪婪演算法，貝葉斯理論。CS常用演算法有：

基追蹤重構演算法 （Basis Pursuit, BP）：BP演算法是一種凸優化方法。

正交匹配追蹤演算法 （OMP）：OMP屬於貪婪演算法。

閾值迭代演算法 ： 包括軟閾值迭代（ISTA）和迭代硬閾值（IHT）。ISTA的一種改進方法為快速閾值迭代（FISTA）。

【嵌牛參考】

[1]. Dandes, E. J. . 「Near-optimal signal recovery from random projections.」 Universal encoding strategies IEEE Transactions on Information Theory 52(2006).

[2]. Donoho, D. L. . 「Compressed sensing.」 IEEE Transactions on Information Theory 52.4(2006):1289-1306.

❻ 壓縮感測的原理

核心思想是將壓縮與采樣合並進行，首先採集信號的非自適應線性投影 (測量值)，然後根據相應重構演算法由測量值重構原始信號。壓縮感測的優點在於信號的投影測量數據量遠遠小於傳統采樣方法所獲的數據量，突破了香農采樣定理的瓶頸，使得高解析度信號的採集成為可能。
信號的稀疏表示就是將信號投影到正交變換基時，絕大部分變換系數的絕對值很小，所得到的變換向量是稀疏或者近似稀疏的，以將其看作原始信號的一種簡潔表達，這是壓縮感測的先驗條件，即信號必須在某種變換下可以稀疏表示。 通常變換基可以根據信號本身的特點靈活選取， 常用的有離散餘弦變換基、快速傅里葉變換基、離散小波變換基、Curvelet基、Gabor 基 以及冗餘字典等。 在編碼測量中， 首先選擇穩定的投影矩陣，為了確保信號的線性投影能夠保持信號的原始結構， 投影矩陣必須滿足約束等距性 (Restricted isometry property, RIP)條件， 然後通過原始信號與測量矩陣的乘積獲得原始信號的線性投影測量。最後，運用重構演算法由測量值及投影矩陣重構原始信號。信號重構過程一般轉換為一個最小L0范數的優化問題，求解方法主要有最小L1 范數法、匹配追蹤系列演算法、最小全變分方法、迭代閾值演算法等。
采樣定理（又稱取樣定理、抽樣定理）是采樣帶限信號過程所遵循的規律，1928年由美國電信工程師H.奈奎斯特首先提出來的，因此稱為奈奎斯特采樣定理。1948年資訊理論的創始人C.E.香農對這一定理加以明確說明並正式作為定理引用，因此在許多文獻中又稱為香農采樣定理。該理論支配著幾乎所有的信號/圖像等的獲取、處理、存儲、傳輸等，即：采樣率不小於最高頻率的兩倍(該采樣率稱作Nyquist采樣率)。該理論指導下的信息獲取、存儲、融合、處理及傳輸等成為信息領域進一步發展的主要瓶頸之一，主要表現在兩個方面：
(1)數據獲取和處理方面。對於單個(幅)信號/圖像，在許多實際應用中(例如，超寬頻通信，超寬頻信號處理，THz成像，核磁共振，空間探測，等等）， Nyquist采樣硬體成本昂貴、獲取效率低下，在某些情況甚至無法實現。為突破Nyquist采樣定理的限制，已發展了一些理論，其中典型的例子為Landau理論， Papoulis等的非均勻采樣理論，M. Vetterli等的 finite rate of innovation信號采樣理論，等。對於多道(或多模式)數據(例如，感測器網路，波束合成，無線通信，空間探測，等)，硬體成本昂貴、信息冗餘及有效信息提取的效率低下，等等。
(2)數據存儲和傳輸方面。通常的做法是先按照Nyquist方式獲取數據，然後將獲得的數據進行壓縮，最後將壓縮後的數據進行存儲或傳輸，顯然，這樣的方式造成很大程度的資源浪費。另外，為保證信息的安全傳輸，通常的加密技術是用某種方式對信號進行編碼，這給信息的安全傳輸和接受帶來一定程度的麻煩。
綜上所述：Nyquist-Shannon理論並不是唯一、最優的采樣理論，研究如何突破以Nyquist-Shannon采樣理論為支撐的信息獲取、處理、融合、存儲及傳輸等的方式是推動信息領域進一步往前發展的關鍵。眾所周知：(1)Nyquist采樣率是信號精確復原的充分條件，但絕不是必要條件。(2)除帶寬可作為先驗信息外，實際應用中的大多數信號/圖像中擁有大量的structure。由貝葉斯理論可知：利用該structure信息可大大降低數據採集量。(3) Johnson-Lindenstrauss理論表明：以overwhelming性概率，K+1次測量足以精確復原N維空間的K-稀疏信號。
由D. Donoho(美國科學院院士)、E. Candes(Ridgelet, Curvelet創始人)及華裔科學家T. Tao(2006年菲爾茲獎獲得者，2008年被評為世界上最聰明的科學家)等人提出了一種新的信息獲取指導理論，即，壓縮感知或壓縮感測（Compressive Sensing(CS) or Compressed Sensing、Compressed Sampling）。該理論指出：對可壓縮的信號可通過遠低於Nyquist標準的方式進行采樣數據，仍能夠精確地恢復出原始信號。該理論一經提出，就在資訊理論、信號/圖像處理、醫療成像、模式識別、地質勘探、光學/雷達成像、無線通信等領域受到高度關注，並被美國科技評論評為2007年度十大科技進展。CS理論的研究尚屬於起步階段，但已表現出了強大的生命力，並已發展了分布CS理論(Baron等提出)，1-BIT CS理論(Baraniuk等提出)，Bayesian CS理論(Carin等提出)，無限維CS理論(Elad等提出)，變形CS理論(Meyer等提出)，等等，已成為數學領域和工程應用領域的一大研究熱點。

❼ 壓縮感知的主要應用

認知無線電方向：寬頻譜感知技術是認識無線電應用中一個難點和重點。它通過快速尋找監測頻段中沒有利用的無線頻譜，從而為認知無線電用戶提供頻譜接入機會。傳統的濾波器組的寬頻檢測需要大量的射頻前端器件，並且不能靈活調整系統參數。普通的寬頻接收電路要求很高的采樣率，它給模數轉換器帶來挑戰，並且獲得的大量數據處理給數字信號處理器帶來負擔。針對寬頻譜感知的難題，將壓縮感知方法應用到寬頻譜感知中：採用一個寬頻數字電路，以較低的頻譜獲得欠采樣的隨機樣本，然後在數字信號處理器中採用稀疏信號估計演算法得到寬頻譜感知結果。
信道編碼：壓縮感測理論中關於稀疏性、隨機性和凸最優化的結論可以直接應用於設計快速誤差校正編碼, 這種編碼方式在實時傳輸過程中不受誤差的影響。在壓縮編碼過程中, 稀疏表示所需的基對於編碼器可能是未知的. 然而在壓縮感測編碼過程中, 它只在解碼和重構原信號時需要, 因此不需考慮它的結構, 所以可以用通用的編碼策略進行編碼. Haupt等通過實驗表明如果圖像是高度可壓縮的或者SNR充分大, 即使測量過程存在雜訊, 壓縮感測方法仍可以准確重構圖像。 波達方向估計：目標出現的角度在整個掃描空間來看，是極少數。波達方向估計問題在空間譜估計觀點來看是一個欠定的線性逆問題。通過對角度個數的稀疏限制，可以完成壓縮感知的波達方向估計。
波束形成：傳統的 自適應波束形成因其高解析度和抗干擾能力強等優點而被廣泛採用。但同時它的高旁瓣水平和角度失匹配敏感度高問題將大大降低接收性能。為了改進Capon 波束形成的性能，這些通過稀疏波束圖整形的方法限制波束圖中陣列增益較大的元素個數，同時鼓勵較大的陣列增益集中在波束主瓣中，從而達到降低旁瓣水平同時，提高主瓣中陣列增益水平，降低角度失匹配的影響。例如，最大主瓣旁瓣能量比，混合范數法，最小全變差。 運用壓縮感測原理, RICE大學成功研製了單像素壓縮數碼照相機。 設計原理首先是通過光路系統將成像目標投影到一個數字微鏡器件(DMD)上, 其反射光由透鏡聚焦到單個光敏二極體上, 光敏二極體兩端的電壓值即為一個測量值y, 將此投影操作重復M次, 得到測量向量 , 然後用最小全變分演算法構建的數字信號處理器重構原始圖像。數字微鏡器件由數字電壓信號控制微鏡片的機械運動以實現對入射光線的調整。 由於該相機直接獲取的是M次隨機線性測量值而不是獲取原始信號的N(M，N)個像素值, 為低像素相機拍攝高質量圖像提供了可能.。
壓縮感測技術也可以應用於雷達成像領域, 與傳統雷達成像技術相比壓縮感測雷達成像實現了兩個重要改進: 在接收端省去脈沖壓縮匹配濾波器; 同時由於避開了對原始信號的直接采樣, 降低了接收端對模數轉換器件帶寬的要求. 設計重點由傳統的設計昂貴的接收端硬體轉化為設計新穎的信號恢復演算法, 從而簡化了雷達成像系統。 生物感測中的傳統DNA晶元能平行測量多個有機體, 但是只能識別有限種類的有機體, Sheikh等人運用壓縮感測和群組檢測原理設計的壓縮感測DNA晶元克服了這個缺點。 壓縮感測DNA晶元中的每個探測點都能識別一組目標, 從而明顯減少了所需探測點數量. 此外基於生物體基因序列稀疏特性, Sheikh等人驗證了可以通過置信傳播的方法實現壓縮感測DNA晶元中的信號重構。