凹凸性求解壓軸題

1. 七、函數的單調性與凹凸性

函數單調性判定法：

由上可知我們可由導數f'(x)的正負性來判斷函數單調性，此外函數單調性改悉敗變往往發生在駐點（f'(x)=0）和導數不存在點，因此可以先根據這兩類點來劃分區間，再討論單調性。

（從上面圖形可以看到凹函數的切線斜率是單調遞增的，凸函數是單調遞減，結合函數單調性判定可得。）
此外函數睜孝顫凹凸性改變往往發生在拐點（f''(x)=0）和二階導數不存在點（其實也可以叫拐點），因此可以先根據這兩類點來劃分區慎和間，再討論凹凸性。

可導函數極值性質：

函數極值判定方法一：

上述定理描述的是x漸進並經過x0時，如果導數由正到負則x0處取到局部最大值，由負到正x0取到局部最小值。
求解法：

求解法：

註：這個不是充要條件，一階導為零，二階導也為零，函數同樣可能取到極值。

2. 有哪些大學定理可以解中學數學題（尤其是幾何題），比如（梅涅勞斯定理），謝謝。

洛必達法喚如則，在求解極值中很常用，尤其是高中數學壓軸題，有時候會問這些，一般都是野鏈世用基本不等式來解，有的做不出來，但是用這個可以很快得到答案。我們老師頌肢說的！好像講過一點

3. 函數y=e^-x 在（-∞，+∞）內的凹凸性，求解過程，謝謝

解法一：因為F'(x）=-（e^-x），F『』(x）=（則灶櫻e^-x)在（-∞，+∞）恆大於辯搜零，所以y=e^-x 在（-∞，+∞）為下孫叢凸函數，為凹函數。
解法二設X1小於X2，因為[F(X1)+F(X2)]/2>F[(X1﹢X2﹚/2],所以為凹函數。高中證明判斷凹凸性常用第二種解法

4. 琴生不等式秒殺高考導數壓軸是什麼

琴生不等式秒殺高考導數壓軸是以丹麥數學家約翰·琴生（Johan Jensen）命名的一個重要不等式，琴生不等式也稱之為詹森不等式，它本質上是對函數凹凸性的應用。

琴生不等式具有許多作用，尤其是在證明不等式中發揮著巨大的作用，應用琴生不等式證明往往比藉助其他一般性理論更為容易。

函數的凹凸性在高中數學中不做具體要求，事實上這是高等數學研究的函數的一個重要性質。琴生不等式也經常在高中數學練習或高考試題中出現，這也說明了高考命題的原則是源於教材而高於教材，同時也體現了為高燃祥校輸送優秀人才的選拔功能性。

具備性質

不等式性質1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變。

不等式性質2：不等式的兩邊同時乘掘段鄭（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

不等式性質3：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向變。

總結：當兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值；當兩個正數的和判頌為定值時，它們的積有最大值。

5. 求解該題凹凸性和拐點，多謝

如下：
如果函數f(x)在區間I上二階可導，則f(x)在區間I上是凹函數的充扒畝要條件是f''(x)>=0;f(x)在區間I上是凸函數的充要條件是f''(x)<=0;
一般的，設y=f(x)在區間I上連續，x0是I的內點（除端點外的I內的點）。如果曲線y=f(x)在經過點(x0,f(x0))時，曲線的凹凸性改變了，那麼就稱點(x0,f(x0))為這曲線的拐點。

(1）函數的二階導數為y"=e^x>0,故函數為棚此仔凹函數,因y"=e^x>0,則函數無拐點
(2)函數的二階導數y"=-sinx
-sinx在區間[0,pi）鏈汪恆小於等於0,當且公當，x=0時為零，
-sinx;在區間(pi,2pi]大於等於0，當且公當，x=2pi時為零，
則y=sinx在區間[0,pi）為凸函數;在區間(pi,2pi]為凹函數
函數y=sinx在[0,2pi]上均連續，
x=pi處左右凹凸性改變，即，x=pi為函數的拐點
(3)函數的二階導數為y"=-2/9x^(5/3)
當x>0,時y"<0;當x<0,時y">0
當x>0,函數為凸函數;當x<0,函數為凹函數
函數在x=0處，y=0,連續，並且，當x>0,時y"<0;當x<0,時y">0
則點(0,0)是函數的一個拐點

6. 曲線與曲線相切的公式

一、概念引入：

教材中並沒有曲線與曲線相切的概念，為了便利後文的敘述和對兩個函數之間關系的理解，對於f（x）和g（x），我們定義：

若在處有且,即共點共切線，則我們稱f（x）和g（x）在處相切。

特殊地，若在處有且在的鄰域內總有或，稱f（x）和g（x）在處同側相切。

二、舉例：

以下幾組函數圖像將幫大彎行家直唯鬧碧觀地感受同側相切：

①和在x=1處同側相切

不得不說，lsh的數學太細了。。。

4.求分式的極值：

有時我們會遇到形如這樣的問題：求的最大值或最小值。

以求最大值為例：當f(x)和g(x)恆正時，不妨設該分式的最大值為k，在處取到，則原式可變形為，且在處等號成立。

令，則有，且在的鄰域內有，因此，因此和在處同側相切。

求最小值時過程同理。

綜上，我們得出了是原式取到最大值或最小值的一個必要條件。

例4：（高考押題卷T16）

函數的最小值為________

解：我們令，，設函數

由上文的分析得

取到等號時的是的一個超越解。事實上，由於在求解方程組時我們可以運用有效的代換，可以越過x直接求得k的值。綜上，最小值為

5.一些特殊的運用

這一塊內容仍有待發掘，在此舉一例函數相切與反函數的結合：

例5：（極其經典的老題）

a>1時，若函數與函數恰有一個交點，則a=_______

解：函數與函數互為反函數，因此兩函數關於對稱，因此與的交點即為與的交點。分析可得，與恰好相切時滿足題意，設切點為。

得到

綜上，

有興趣的朋友可以考慮a＜1的情況，更加復雜但仍然可解。

四、總結：

共點共切線模型化抽象為具體，著眼於極限情況，對幫助理解函數有一定作用，在很多問題上都能找到其影子。在實際計算中，處理指對數的式子需要一定的技巧，需多加嘗試

7. 求函數的凹凸區間和拐點步驟

①求出函數一階導。

②求出函數二階導。

③求拐點，令二階導數等於0，在二階導數零點處右極限異號。

④二階導數大於0，凹區間，反之凸區間。

(7)凹凸性求解壓軸題擴展閱讀：

可導，即設y=f(x)是一個單變數函數， 如果y在x=x0處左右導數分別存在且相等，則稱y在x=x[0]處可導。如果一個函數在x0處可導，那麼它一定在x0處是亂伍連續函數。

函數可導猛蠢的條件：

如果一個函數的定義域為全體實數，即函數在其上都有定義。函數在定義域中一點可導需要一定的條件：函數在該點的左右導數存在且相等，不能證明這點導數存在。只有左右導數存在且相等枝陪陪，並且在該點連續，才能證明該點可導。

可導的函數一定連續；連續的函數不一定可導，不連續的函數一定不可導。

8. 不能理解函數凹凸性的求解公式，求幫助解釋公式各部分含義。

你看一下函數圖知橋像，當λ從1變化到0的時候，
λx1+(1-λ)x2就是x軸上x1到x2這一段坐標，f(λx1+(1-λ)x2)就是函數圖像從x1到x2的這一段

而λf(x1)+(1-λ)f(x2)是點（x1，f（x1））到（x2，f（x2））的直線橘猛鉛

凹的意思就是說，整個函數圖像段都在那條直線之下，就比如說二次函數y=x^2
你畫張圖，標一下x1和x2就知圓好道了

9. 一道高數題求解這道題

求導一次正負表示函數增減性

求導兩次次正負表示函培配數凹凸性 兩次求導不變號，說明凹凸性不變

極值賣中租點為凹凸性改變處的點 兩次求導不變號，說明凹凸性不變，極值點不存在

有無零點需根據曲率圓來判斷凹凸性

先了解曲率圓，如下圖

x²+y²=2表示以原點為圓心半徑中兆為根號2的圓 曲率為半徑分之1>0 曲線為凹曲線

凹曲線必然會與坐標軸有交點 即該函數有零點

望採納