Python計算一維薛定諤方程

『壹』 一維薛定諤方程的原理是什麼

第一項可視為動能，第三項是總能量。
波函數對時間求導得出總能量與波函數（以及虛數單位與約化普朗克常數）的乘積，其實就是從波函數中提取出總能量的信息。
同理，波函數對位移求一階導數是從波函數中提取出動量的信息，對位移求二階導數則是從波函數中提取出動量平方的信息，動量平方再除以2m就得到了動能。

『貳』 一維薛定諤方程 源程序

一維薛定諤方程介紹:

當年輕氣盛的海森堡在哥廷根披荊斬棘的時候，埃爾文·薛定諤（Erwin Schrodinger）
已經是瑞士蘇黎世大學的一位有名望的教授。當然，相比海森堡來說，薛定諤只能算是大
器晚成。這位出生於維也納的奧地利人並沒有海森堡那麼好的運氣，在一個充滿了頂尖精
英人物的環境里求學，而幾次在戰爭中的服役也阻礙了他的學術研究。但不管怎樣，薛定
諤的物理天才仍然得到了很好的展現，他在光學、電磁學、分子運動理論、固體和晶體的
動力學方面都作出過突出的貢獻，這一切使得蘇黎世大學於1921年提供給他一份合同，聘
其為物理教授。而從1924年起，薛定諤開始對量子力學和統計理論感到興趣，從而把研究
方向轉到這上面來。

和玻爾還有海森堡他們不同，薛定諤並不想在原子那極為復雜的譜線迷宮里奮力沖突，撞
得頭破血流。他的靈感，直接來自於德布羅意那巧妙絕倫的工作。我們還記得，1923年，
德布羅意的研究揭示出，伴隨著每一個運動的電子，總是有一個如影隨形的「相波」。這
一方面為物質的本性究竟是粒子還是波蒙上了更為神秘莫測的面紗，但同時也已經提供通
往最終答案的道路。

薛定諤還是從愛因斯坦的文章中得知德布羅意的工作的。他在1925年11月3日寫給愛因斯
坦的信中說：「幾天前我懷著最大的興趣閱讀了德布羅意富有獨創性的論文，並最終掌握
了它。我是從你那關於簡並氣體的第二篇論文的第8節中第一次了解它的。」把每一個粒
子都看作是類波的思想對薛定諤來說極為迷人，他很快就在氣體統計力學中應用這一理論，
並發表了一篇題為《論愛因斯坦的氣體理論》的論文。這是他創立波動力學前的最後一篇
論文，當時距離那個偉大的時刻已經只有一個月。從中可以看出，德布羅意的思想已經最
大程度地獲取了薛定諤的信任，他開始相信，只有通過這種波的辦法，才能夠到達人們所
苦苦追尋的那個目標。

1925年的聖誕很快到來了，美麗的阿爾卑斯山上白雪皚皚，吸引了各地的旅遊度假者。薛
定諤一如既往地來到了他以前常去的那個地方：海拔1700米高的阿羅薩（Arosa）。自從
他和安妮瑪麗·伯特爾（Annemarie Bertel）在1920年結婚後，兩人就經常來這里度假。
薛定諤的生活有著近乎刻板的規律，他從來不讓任何事情干擾他的假期。而每次夫婦倆來
到阿羅薩的時候，總是住在赫維格別墅，這是一幢有著尖頂的，四層樓的小屋。

不過1925年，來的卻只有薛定諤一個人，安妮留在了蘇黎世。當時他們的關系顯然極為緊
張，不止一次地談論著分手以及離婚的事宜。薛定諤寫信給維也納的一位「舊日的女朋友」，
讓她來阿羅薩陪伴自己。這位神秘女郎的身份始終是個謎題，二戰後無論是科學史專家還
是八卦新聞記者，都曾經竭盡所能地去求證她的真面目，卻都沒有成功。薛定諤當時的日
記已經遺失了，而從留下的蛛絲馬跡來看，她又不像任何一位已知的薛定諤的情人。但有
一件事是肯定的：這位神秘女郎極大地激發了薛定諤的靈感，使得他在接下來的12個月里
令人驚異地始終維持著一種極富創造力和洞察力的狀態，並接連不斷地發表了六篇關於量
子力學的主要論文。薛定諤的同事在回憶的時候總是說，薛定諤的偉大工作是在他生命中
一段情慾旺盛的時期做出的。從某種程度上來說，科學還要小小地感謝一下這位不知名的
女郎。

回到比較嚴肅的話題上來。在咀嚼了德布羅意的思想後，薛定諤決定把它用到原子體系的
描述中去。我們都已經知道，原子中電子的能量不是連續的，它由原子的分立譜線而充分
地證實。為了描述這一現象，玻爾強加了一個「分立能級」的假設，海森堡則運用他那龐
大的矩陣，經過復雜的運算後導出了這一結果。現在輪到薛定諤了，他說，不用那麼復雜，
也不用引入外部的假設，只要把我們的電子看成德布羅意波，用一個波動方程去表示它，
那就行了。

薛定諤一開始想從建立在相對論基礎上的德布羅意方程出發，將其推廣到束縛粒子中去。
為此他得出了一個方程，不過不太令人滿意，因為沒有考慮到電子自旋的情況。當時自旋
剛剛發現不久，薛定諤還對其一知半解。於是，他回過頭來，從經典力學的哈密頓-雅可
比方程出發，利用變分法和德布羅意公式，最後求出了一個非相對論的波動方程，用希臘
字母ψ來代表波的函數，最終形式是這樣的：

△ψ[8(π^2)m/h^2](E-V)ψ=0

這便是名震整部20世紀物理史的薛定諤波函數。當然對於一般的讀者來說並沒有必要去探
討數學上的詳細意義，我們只要知道一些符號的含義就可以了。三角△叫做「拉普拉斯算
符」，代表了某種微分運算。h是我們熟知的普朗克常數。E是體系總能量，V是勢能，在
原子里也就是-e^2/r。在邊界條件確定的情況下求解這個方程，我們可以算出E的解來。

如果我們求解方程sin＝0，答案將會是一組數值，x可以是0，π，2π,或者是nπ。si
n的函數是連續的，但方程的解卻是不連續的，依賴於整數n。同樣，我們求解薛定諤
方程中的E，也將得到一組分立的答案，其中包含了量子化的特徵：整數n。我們的解精確
地吻合於實驗，原子的神秘光譜不再為矩陣力學所專美，它同樣可以從波動方程中被自然
地推導出來。

現在，我們能夠非常形象地理解為什麼電子只能在某些特定的能級上運行了。電子有著一
個內在的波動頻率，我們想像一下吉他上一根弦的情況：當它被撥動時，它便振動起來。
但因為吉他弦的兩頭是固定的，所以它只能形成整數個波節。如果一個波長是20厘米，那
么弦的長度顯然只能是20厘米、40厘米、60厘米……而不可以是50厘米。因為那就包含了
半個波，從而和它被固定的兩頭互相矛盾。假如我們的弦形成了某種圓形的軌道，就像電
子軌道那樣，那麼這種「軌道」的大小顯然也只能是某些特定值。如果一個波長20厘米，
軌道的周長也就只能是20厘米的整數倍，不然就無法頭尾互相銜接了。

從數學上來說，這個函數叫做「本徵函數」（Eigen function），求出的分立的解叫做
「本徵值」（Eigen value）。所以薛定諤的論文叫做《量子化是本徵值問題》，從1926
年1月起到6月，他一連發了四篇以此為題的論文，從而徹底地建立了另一種全新的力學體
系——波動力學。在這四篇論文中間，他還寫了一篇《從微觀力學到宏觀力學的連續過渡》
的論文，證明古老的經典力學只是新生的波動力學的一種特殊表現，它完全地被包容在波
動力學內部。

薛定諤的方程一出台，幾乎全世界的物理學家都為之歡呼。普朗克稱其為「劃時代的工作」，
愛因斯坦說：「……您的想法源自於真正的天才。」「您的量子方程已經邁出了決定性的
一步。」埃侖費斯特說：「我為您的理論和其帶來的全新觀念所著迷。在過去的兩個禮拜
里，我們的小組每天都要在黑板前花上幾個小時，試圖從一切角度去理解它。」薛定諤的
方程通俗形象，簡明易懂，當人們從矩陣那陌生的迷宮里抬起頭來，再次看到自己熟悉的
以微分方程所表達的系統時，他們都像聞到了故鄉泥土的芬芳，有一種熱淚盈眶的沖動。
但是，這種新體系顯然也已經引起了矩陣方面的注意，哥廷根和哥本哈根的那些人，特別
是海森堡本人，顯然對這種「通俗」的解釋是不滿意的。

海森堡在寫給泡利的信中說：

「我越是思考薛定諤理論的物理意義，就越感到厭惡。薛定諤對於他那理論的形象化的描
述是毫無意義的，換一種說法，那純粹是一個Mist。」Mist這個德文，基本上相當於英語
里的bullshit或者crap。

薛定諤也毫不客氣，在論文中他說：

「我的理論是從德布羅意那裡獲得靈感的……我不知道它和海森堡有任何繼承上的關系。
我當然知道海森堡的理論，它是一種缺乏形象化的，極為困難的超級代數方法。我即使不
完全排斥這種理論，至少也對此感到沮喪。」

矩陣力學，還是波動力學？全新的量子論誕生不到一年，很快已經面臨內戰。

二

回顧一下量子論在發展過程中所經歷的兩條迥異的道路是饒有趣味的。第一種辦法的思路
是直接從觀測到的原子譜線出發，引入矩陣的數學工具，用這種奇異的方塊去建立起整個
新力學的大廈來。它強調觀測到的分立性，跳躍性，同時又堅持以數學為唯一導向，不為
日常生活的直觀經驗所迷惑。但是，如果追究根本的話，它所強調的光譜線及其非連續性
的一面，始終可以看到微粒勢力那隱約的身影。這個理論的核心人物自然是海森堡，波恩，
約爾當，而他們背後的精神力量，那位幕後的「教皇」，則無疑是哥本哈根的那位偉大的
尼爾斯·玻爾。這些關系密切的科學家們集中資源和火力，組成一個堅強的戰斗集體，在
短時間內取得突破，從而建立起矩陣力學這一壯觀的堡壘來。

而沿著另一條道路前進的人們在組織上顯然鬆散許多。大致說來，這是以德布羅意的理論
為切入點，以薛定諤為主將的一個派別。而在波動力學的創建過程中起到關鍵的指導作用
的愛因斯坦，則是他們背後的精神領袖。但是這個理論的政治觀點也是很明確的：它強調
電子作為波的連續性一面，以波動方程來描述它的行為。它熱情地擁抱直觀的解釋，試圖
恢復經典力學那種形象化的優良傳統，有一種強烈的復古傾向，但革命情緒不如對手那樣
高漲。打個不太恰當的比方，矩陣方面提倡徹底的激進的改革，摒棄舊理論的直觀性，以
數學為唯一基礎，是革命的左派。而波動方面相對保守，它強調繼承性和古典觀念，重視
理論的形象化和物理意義，是革命的右派。這兩派的大戰將交織在之後量子論發展的每一
步中，從而為人類的整個自然哲學帶來極為深遠的影響。

在上一節中，我們已經提到，海森堡和薛定諤互相對對方的理論表達出毫不掩飾的厭惡
（當然，他們私人之間是無怨無仇的）。他們各自認定，自己的那套方法才是唯一正確的。
這是自然的現象，因為矩陣力學和波動力學看上去是那樣地不同，而兩人的性格又都以好
勝和驕傲聞名。當衰敗的玻爾理論退出歷史舞台，留下一個權力真空的時候，無疑每個人
都想佔有那一份無上的光榮。不過到了1926年4月份，這種對峙至少在表面上有了緩和，
薛定諤，泡利，約爾當都各自證明了，兩種力學在數學上來說是完全等價的！事實上，我
們追尋它們各自的家族史，發現它們都是從經典的哈密頓函數而來，只不過一個是從粒子
的運動方程出發，一個是從波動方程出發罷了。而光學和運動學，早就已經在哈密頓本人
的努力下被聯系在了一起，這當真叫做「本是同根生」了。很快人們已經知道，從矩陣出
發，可以推導出波動函數的表達形式來，而反過來，從波函數也可以導出我們的矩陣。
1930年，狄拉克出版了那本經典的量子力學教材，兩種力學被完美地統一起來，作為一個
理論的不同表達形式出現在讀者面前。

但是，如果誰以為從此就天下太平，萬事大吉，那可就大錯特錯了。雖然兩種體系在形式
上已經歸於統一，但從內心深處的意識形態來說，它們之間的分歧卻越來越大，很快就形
成了不可逾越的鴻溝。數學上的一致並不能阻止人們對它進行不同的詮釋，就矩陣方面來
說，它的本意是粒子性和不連續性。而波動方面卻始終在談論波動性和連續性。波粒戰爭
現在到達了最高潮，雙方分別找到了各自可以依賴的政府，並把這場戰爭再次升級到對整
個物理規律的解釋這一層次上去。

「波，只有波才是唯一的實在。」薛定諤肯定地說，「不管是電子也好，光子也好，或者
任何粒子也好，都只是波動表面的泡沫。它們本質上都是波，都可以用波動方程來表達基
本的運動方式。」

「絕對不敢苟同。」海森堡反駁道，「物理世界的基本現象是離散性，或者說不連續性。
大量的實驗事實證明了這一點：從原子的光譜，到康普頓的實驗，從光電現象，到原子中
電子在能級間的跳躍，都無可辯駁地顯示出大自然是不連續的。你那波動方程當然在數學
上是一個可喜的成就，但我們必須認識到，我們不能按照傳統的那種方式去認識它——它
不是那個意思。」

「恰恰相反。」薛定諤說，「它就是那個意思。波函數ψ（讀作psai）在各個方向上都是
連續的，它可以看成是某種振動。事實上，我們必須把電子想像成一種駐在的本徵振動，
所謂電子的「躍遷」，只不過是它振動方式的改變而已。沒有什麼『軌道』，也沒有什麼
『能級』，只有波。」

「哈哈。」海森堡嘲笑說，「你恐怕對你自己的ψ是個什麼東西都沒有搞懂吧？它只是在
某個虛擬的空間里虛擬出來的函數，而你硬要把它想像成一種實在的波。事實上，我們絕
不能被日常的形象化的東西所誤導，再怎麼說，電子作為經典粒子的行為你是不能否認的。」

「沒錯。」薛定諤還是不肯示弱，「我不否認它的確展示出類似質點的行為。但是，就像
一個椰子一樣，如果你敲開它那粒子的堅硬的外殼，你會發現那裡面還是波動的柔軟的汁
水。電子無疑是由正弦波組成的，但這種波在各個尺度上伸展都不大，可以看成一個『波
包』。當這種波包作為一個整體前進時，它看起來就像是一個粒子。可是，本質上，它還
是波，粒子只不過是波的一種衍生物而已。」

正如大家都已經猜到的那樣，兩人誰也無法說服對方。1926年7月，薛定諤應邀到慕尼黑大
學講授他的新力學，海森堡就坐在下面，他站起來激烈地批評薛定諤的解釋，結果悲哀地
發現在場的聽眾都對他持有反對態度。早些時候，玻爾原來的助手克萊默接受了烏特勒支
（Utrecht）大學的聘書而離開哥本哈根，於是海森堡成了這個位置的繼任者——現在他
可以如夢想的那樣在玻爾的身邊工作了。玻爾也對薛定諤那種回歸經典傳統的理論觀感到
不安，為了解決這個問題，他邀請薛定諤到哥本哈根進行一次學術訪問，爭取在交流中達
成某種一致意見。

9月底，薛定諤抵達哥本哈根，玻爾到火車站去接他。爭論從那一刻便已經展開，日日夜
夜，無休無止，一直到薛定諤最終離開哥本哈根為止。海森堡後來在他的《部分與整體》
一書中回憶了這次碰面，他說，雖然平日里玻爾是那樣一個和藹可親的人，但一旦他捲入
這種物理爭論，他看起來就像一個偏執的狂熱者，決不肯妥協一步。爭論當然是物理上的
問題，但在很大程度上已經變成了哲學之爭。薛定諤就是不能相信，一種「無法想像」的
理論有什麼實際意義。而玻爾則堅持認為，圖像化的概念是不可能用在量子過程中的，它
無法用日常語言來描述。他們激烈地從白天吵到晚上，最後薛定諤筋疲力盡，他很快病倒
了，不得不躺到床上，由玻爾的妻子瑪格麗特來照顧。即使這樣，玻爾仍然不依不饒，他
沖進病房，站在薛定諤的床頭繼續與之辯論。當然，最後一切都是徒勞，誰也沒有被對方
說服。

物理學界的空氣業已變得非常火熱。經典理論已經倒塌了，現在矩陣力學和波動力學兩座
大廈拔地而起，它們之間以某種天橋互相聯系，從理論上說要算是一體。可是，這兩座大
廈的地基卻仍然互不關聯，這使得表面上的親善未免有那麼一些口是心非的味道。而且，
波動和微粒，這兩個300年來的宿敵還在苦苦交戰，不肯從自己的領土上後退一步。雙方
都依舊宣稱自己對於光、電，還有種種物理現象擁有一切主權，而對手是非法武裝勢力，
是反政府組織。現在薛定諤加入波動的陣營，他甚至為波動提供了一部完整的憲法，也就
是他的波動方程。在薛定諤看來，波動代表了從惠更斯，楊一直到麥克斯韋的舊日帝國的
光榮，而這種貴族的傳統必須在新的國家得到保留和發揚。薛定諤相信，波動這一簡明形
象的概念將再次統治物理世界，從而把一切都歸結到一個統一的圖像里去。

不幸的是，薛定諤猜錯了。波動方面很快就要發現，他們的憲法原來有著更為深長的意味。
從字里行間，我們可以讀出一些隱藏的意思來，它說，天下為公，哪一方也不能獨占，雙
方必須和談，然後組成一個聯合政府來進行統治。它還披露了更為驚人的秘密：雙方原來
在血緣上有著密不可分的關系。最後，就像阿爾忒彌斯廟里的祭司所作出的神喻，它預言
在這種聯合統治下，物理學將會變得極為不同：更為奇妙，更為神秘，更為繁榮。

好一個精彩的預言。

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飯後閑話：薛定諤的女朋友

2001年11月，劇作家Matthew Wells的新作《薛定諤的女朋友》（Schrodinger's
Girlfriend）在舊金山著名的Fort Mason Center首演。這出喜劇以1926年薛定諤在阿羅
薩那位神秘女友的陪伴下創立波動力學這一歷史為背景，探討了愛情、性，還有量子物理
的關系，受到了評論家的普遍好評。今年（2003年）初，這個劇本搬到東岸演出，同樣受
到歡迎。近年來形成了一股以科學人物和科學史為題材的話劇創作風氣，除了這出《薛定
諤的女朋友》之外，恐怕更有名的就是那個東尼獎得主，Michael Frayn的《哥本哈根》
了。

不過，要數清薛定諤到底有幾個女朋友，還當真是一件難事。這位物理大師的道德觀顯然
和常人有著一定的距離，他的古怪行為一直為人們所排斥。1912年，他差點為了喜歡的一
個女孩而放棄學術，改行經營自己的家庭公司（當時在大學教書不怎麼賺錢），到他遇上
安妮瑪麗之前，薛定諤總共愛上過4個年輕女孩，而且主要是一種精神上的戀愛關系。對
此，薛定諤的主要傳記作者之一，Walter Moore辯解說，不能把它簡單地看成一種放縱行
為。

如果以上都還算正常，婚後的薛定諤就有點不拘禮法的狂放味道了。他和安妮的婚姻之路
從來不曾安定和諧，兩人終生也沒有孩子。而在外沾花惹草的事，薛定諤恐怕沒有少做，
他對太太也不隱瞞這一點。安妮，反過來，也和薛定諤最好的朋友之一，赫爾曼·威爾
（HermannWeyl）保持著曖昧的關系（威爾自己的老婆卻又迷上了另一個人，真是天昏地
暗）。兩人討論過離婚，但安妮的天主教信仰和昂貴的手續費事實上阻止了這件事的發生。
《薛定諤的女朋友》一劇中調笑說：「到底是波-粒子的二象性難一點呢，還是老婆-情人
的二象性更難？」

薛定諤，按照某種流行的說法，屬於那種「多情種子」。他邀請別人來做他的助手，其實
卻是看上了他的老婆。這個女人（Hilde March）後來為他生了一個女兒，令人驚奇的是，
安妮卻十分樂意地照顧這個嬰兒。薛定諤和這兩個女子公開同居，事實上過著一種一妻一
妾的生活（這個妾還是別人的合法妻子），這過於驚世駭俗，結果在牛津和普林斯頓都站
不住腳，只好走人。他的風流史還可以開出一長串，其中有女學生、演員、OL，留下了若
干私生子。但薛定諤卻不是單純的慾望的發泄，他的內心有著強烈的羅曼蒂克式的沖動，
按照段正淳的說法，和每個女子在一起時，卻都是死心塌地，恨不得把心掏出來，為之譜
寫了大量的情詩。我希望大家不要認為我過於八卦，事實上對情史的分析是薛定諤研究中
的重要內容，它有助於我們理解這位科學家極為復雜的內在心理和帶有個人色彩的獨特性
格。

最最叫人驚訝的是，這樣一個薛定諤的婚姻後來卻幾乎得到了完美的結局。盡管經歷了種
種風浪，穿越重重險灘，他和安妮卻最終白頭到老，真正像在誓言中所說的那樣：to have
and to hold, in sickness and in health, till death partsus。在薛定諤生命的最後
時期，兩人早已達成了諒解，安妮說：「在過去41年裡的喜怒哀樂把我們緊緊結合在一起，
這最後幾年我們也不想分開了。」薛定諤臨終時，安妮守在他的床前握住他的手，薛定諤
說：「現在我又擁有了你，一切又都好起來了。」

薛定諤死後葬在Alpbach，他的墓地不久就被皚皚白雪所覆蓋。四年後，安妮瑪麗·薛定
諤也停止了呼吸。

三

1926年中，雖然矩陣派和波動派還在內心深處相互不服氣，它們至少在表面上被數學所統
一起來了。而且，不出意外地，薛定諤的波動方程以其琅琅上口，簡明易學，為大多數物
理學家所歡迎的特色，很快在形式上佔得了上風。海森堡和他那屈聱牙的方塊矩陣雖然不
太樂意，也只好接受現實。事實證明，除了在處理關於自旋的幾個問題時矩陣占點優勢，
其他時候波動方程搶走了幾乎全部的人氣。其實嗎，物理學家和公眾想像的大不一樣，很
少有人喜歡那種又難又怪的變態數學，既然兩種體系已經被證明在數學上具有同等性，大
家也就樂得選那個看起來簡單熟悉的。

甚至在矩陣派內部，波動方程也受到了歡迎。首先是海森堡的老師索末菲，然後是建立矩
陣力學的核心人物之一，海森堡的另一位導師馬科斯·波恩。波恩在薛定諤方程剛出爐不
久後就熱情地贊嘆了他的成就，稱波動方程「是量子規律中最深刻的形式」。據說，海森
堡對波恩的這個「叛變」一度感到十分傷心。

但是，海森堡未免多慮了，波恩對薛定諤方程的贊許並不表明他選擇和薛定諤站在同一條
戰壕里。因為雖然方程確定了，但怎麼去解釋它卻是一個大大不同的問題。首先人們要問
的就是，薛定諤的那個波函數ψ（再提醒一下，這個希臘字讀成psai），它在物理上代表
了什麼意義？

我們不妨再回顧一下薛定諤創立波動方程的思路：他是從經典的哈密頓方程出發，構造一
個體系的新函數ψ代入，然後再引用德布羅意關系式和變分法，最後求出了方程及其解答，
這和我們印象中的物理學是迥然不同的。通常我們會以為，先有物理量的定義，然後才談
得上尋找它們的數學關系。比如我們懂得了力F，加速度a和質量m的概念，之後才會理解
F=ma的意義。但現代物理學的路子往往可能是相反的，比如物理學家很可能會先定義某個
函數F，讓F＝ma，然後才去尋找F的物理意義，發現它原來是力的量度。薛定諤的ψ，就
是在空間中定義的某種分布函數，只是人們還不知道它的物理意義是什麼。

這看起來頗有趣味，因為物理學家也不得不坐下來猜啞謎了。現在讓我們放鬆一下，想像
自己在某個晚會上，主持人安排了一個趣味猜謎節目供大家消遣。「女士們先生們，」他
興高采烈地宣布，「我們來玩一個猜東西的游戲，誰先猜出這個箱子里藏的是什麼，誰就
能得到晚會上的最高榮譽。」大家定睛一看，那個大箱子似乎沉甸甸的，還真像藏著好東
西，箱蓋上古色古香寫了幾個大字：「薛定諤方程」。

「好吧，可是什麼都看不見，怎麼猜呢？」人們抱怨道。「那當然那當然。」主持人連忙
說，「我們不是學孫悟空玩隔板猜物，再說這裡面也決不是破爛溜丟一口鍾，那可是貨真
價實的關繫到整個物理學的寶貝。嗯，是這樣的，雖然我們都看不見它，但它的某些性質
卻是可以知道的，我會不斷地提示大家，看誰先猜出來。」

眾人一陣鼓噪，就這樣游戲開始了。「這件東西，我們不知其名，強名之曰ψ。」主持人
清了清嗓門說，「我可以告訴大家的是，它代表了原子體系中電子的某個函數。」下面頓
時七嘴八舌起來：「能量？頻率？速度？距離？時間？電荷？質量？」主持人不得不提高
嗓門喊道：「安靜，安靜，我們還剛剛開始呢，不要亂猜啊。從現在開始誰猜錯了就失去
參賽資格。」於是瞬間鴉雀無聲。

「好。」主持人滿意地說，「那麼我們繼續。第二個條件是這樣的：通過我的觀察，我發
現，這個ψ是一個連續不斷的東西。」這次大家都不敢說話，但各人迅速在心裏面做了排
除。既然是連續不斷，那麼我們已知的那些量子化的條件就都排除了。比如我們都已經知
道電子的能級不是連續的，那ψ看起來不像是這個東西。

「接下來，通過ψ的構造可以看出，這是一個沒有量綱的函數。但它同時和電子的位置有
某些聯系，對於每一個電子來說，它都在一個虛擬的三維空間里擴展開去。」話說到這里
好些人已經糊塗了，只有幾個思維特別敏捷的還在緊張地思考。

「總而言之，ψ如影隨形地伴隨著每一個電子，在它所處的那個位置上如同一團雲彩般地
擴散開來。這雲彩時而濃厚時而稀薄，但卻是按照某種確定的方式演化。而且，我再強調
一遍，這種擴散及其演化都是經典的，連續的，確定的。」於是眾人都陷入冥思苦想中，
一點頭緒都沒有。

「是的，雲彩，這個比喻真妙。」這時候一個面容瘦削，戴著夾鼻眼睛的男人呵呵笑著站
起來說。主持人趕緊介紹：「女士們先生們，這位就是薛定諤先生，也是這口寶箱的發現
者。」大家於是一陣鼓掌，然後屏息凝神地聽他要發表什麼高見。

「嗯，事情已經很明顯了，ψ是一個空間分布函數。」薛定諤滿有把握地說，「當它和電
子的電荷相乘，就代表了電荷在空間中的實際分布。雲彩，尊敬的各位，電子不是一個粒
子，它是一團波，像雲彩一般地在空間四周擴展開去。我們的波函數恰恰描述了這種擴展
和它的行為。電子是沒有具體位置的，它也沒有具體的路徑，因為它是一團雲，是一個波，
它向每一個方向延伸——雖然衰減得很快，這使它粗看來像一個粒子。女士們先生們，我
覺得這個發現的最大意義就是，我們必須把一切關於粒子的假相都從頭腦里清除出去，不
管是電子也好，光子也好，什麼什麼子也好，它們都不是那種傳統意義上的粒子。把它們
拉出來放大，仔細審視它們，你會發現它在空間里融化開來，變成無數振動的疊加。是的，
一個電子，它是塗抹開的，就像塗在麵包上的黃油那樣，它平時蜷縮得那麼緊，以致我們
都把它當成小球，但是，這已經被我們的波函數ψ證明不是真的。多年來物理學誤入歧途，
我們的腦袋被光譜線，躍遷，能級，矩陣這些古怪的東西搞得混亂不堪，現在，是時候回
歸經典了。」

「這個寶箱，」薛定諤指著那口大箱子激動地說

『叄』 薛定諤方程的求解過程

<<薛定諤方程是錯誤的>>

一、薛定諤方程是假定

是由奧地利物理學家薛定諤提出的量子力學中的一 個基本方程，也是量子力學的一個基本假定。是將物質波的概念和波動方程相結合建立的二階偏微分方程。

二、薛定諤方程的錯誤

「並不能由實驗直接測量，薛定諤方程只能是依據二象性的考慮，用類比的方法寫出所滿足的波動方程，並由它導來的結果，證明其正確性。」摘自《工科物理教程》403頁。

這段話有三點可以證實：薛定諤方程是錯誤的。

1，從這里看出，薛定諤方程是建立在二象性基礎上的理論。我們已經證實《二象性是錯誤的》，所以，薛定諤方程是錯誤的。

2，「類比的方法」，我們知道物質沒有波動性，不存在物質波。見《光不是波，光和機械波不是一類，不可類比，更不可套用機械波的公式》。比如：光是物質，波是運動形式，不是一個概念，不可類比。所以，這種推理方式在這里運用是錯誤的。

3，「由它導來的結果，證明其正確性。」這里犯了循環論證的錯誤。而且，它導來的結果並不是都合適，它導來的結果有些根本沒有物理意義，即：不符合事實。所以薛定諤方程的要附加很多條件，才能有合適的解。這就是在拼湊結果，這根本不是具有普遍意義的方程，而是根據二象性、波動方程、德布羅意公式，拼湊出的一個不是方程的方程。

公式：用數學符號表示各個量之間的一定關系的等式叫公式。在自然科學中用數學符號表示幾個量之間關系的式子。具有普遍性，適合於同類關系的所有問題。很顯然，薛定諤方程不適合同類關系的『所有問題』，它是『一個問題』一個方程。很明顯的在拼湊結果。

方程是：含有未知數的等式叫方程。方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。在物理學方面，如果方程的解不符合事實，這就說明：這個方程是錯誤的。薛定諤方程的解很多都不符合事實，只有E為特定的值，才能求得與事實不違背的解，這就說明：薛定諤方程是錯誤的。應該說：它導出來的結果，證實其錯誤性。

三、薛定諤方程的推導

「薛定諤方程的推導：粒子服從波動的傳播規律，所以，可以設想ψ滿足波動方程。

式中u為波的相速度，等於λν，現在的任務是：把這個普遍的波動方程改寫為適用於物質波的形式。

對於一個沿著χ軸方向運動的、具有能量E和動量P的自由粒子，其物質波的相速度應可由德布羅意公式求得，即：

u=λν=E/P

於是，反映出自由粒子二象性的一維波動方程便是：

應該指出，此式中，粒子的能量E和動量p，並沒有隱含在波函數之中，因此，此式只能用於具有特定的E和P之中，不能代表一般物質波的普遍規律。但我們只希望借它來闡明量子力學基本方程的思路」摘自《工科物理教程》403頁。

從這段話看出，薛定諤方程推導過程中的三點錯誤：

1， 運用了類比方式，直接認為粒子服從波動規律，然後套用機械波波動方程。這是錯誤的。物質與波不可類比。

2 ， u=λν是錯誤的，因為我們之前說了：《光根本沒有波長》。

3， 在 《德布羅意物質波理論是錯誤的》裡面我們已經證實：德布羅意公式不存在，所以，公式的推導是錯誤的。

推理過程全部是錯誤的，所以，薛定諤方程是錯誤的。

四、關於量子『隧道效應』

隧道效應說明構成物體的分子之間有空隙。有些粒子不能夠穿過某個勢壘，有些能量粒子可以穿過勢壘。勢壘越窄，量子隧道效應越明顯，粒子可以穿過勢壘的概率越高，反之，勢壘越寬，量子隧道效應越不明顯，當勢壘寬到一定程度的時候，隧道效應消失。

就和油從鋼管中沁出是一個意思，說明分子之間有空隙。

五、關於薛定諤的貓

薛定諤貓佯謬是個實驗：將一隻貓關在箱子里，箱內還放有一小塊鈾、一個盛有毒氣的玻璃瓶，以及一套受檢測器控制的、由錘子構成的執行機構。鈾是不穩定的元素，衰變時放出射線觸發檢測器，驅動錘子打碎玻璃瓶，釋放出毒氣將貓毒死。鈾未衰變前，毒氣未放出，貓是活的。鈾原子在何時衰變是不確定的，所以它處於疊加態。薛定諤挖苦說：在箱子 未打 開進行觀測前，按照量子力學的解釋，箱中之貓處於「死－活疊加態 」——既死了 又活著！要等有人打開箱子看一眼才能決定貓的生死。

「要等有人打開箱子看一眼才能決定貓的生死。」這是胡說。誰都知道箱中貓的死活是否有人打開箱子進行觀察毫不相干，如果鈾衰變了，不打開箱子 也知道貓是死的。如果鈾沒有衰變，不打開箱子也知道貓是活的。貓的死活決定於鈾是否衰變，而不決定於打開不打開箱子.

另外，貓也沒有處於什麼「死－活疊加態」——如果死了，就 是死了，打不打開箱子， 貓都死了，這就是客觀性。如果活著，就在活著，這就是客觀性。所以，『薛定諤的貓理論』違背客觀性，是胡言亂語，一則冷笑話。

六、為什麼有人信奉薛定諤的理論？為什麼沒有質疑？

我就不明白了，薛定諤方程，沒有經過驗證，就可以被承認，為什麼?
而且，為了薛定諤方程，教科書能夠說出「由其導來的結果，證實其正確性』，這么嚴重違反邏輯的話都可以堂而皇之的說出來。波動論很多公式，就是這樣確立的。
可惜，薛定諤方程導來的的結果都不符合事實，還仍然被承認，為什麼?即使『導來的結果也不能證明其正確性』，他們還有辦法，就是：規定某些值才符合這個公式。。。。。。再不能成立的方程，經過這樣的處理過程，也可以成立了。
『薛定諤方程是一個基本假定』，呵呵即使是一個假定，也有基本和不基本的稱謂，呵呵，不能不說某些人的腦子就是奴才思維，只要是某些權威人士說的，如果再加上獲過諾貝爾獎的，不合理也會用胡言亂語的胡話，給他圓場。這一切都是為什麼呢？這是對待科學的態度？

對待權威的理論我們不能多一些審視、多一些思考、多一些質疑的聲音呢？
『打開、看一眼才決定生死』『死——活疊加態」這樣違背常識的理論，都可以被推崇。難道越離譜越正確？那麼，鬼片是不是科學理論的最高境界呢？

摘自《揭開能量的神秘面紗》李青梅著

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『肆』 薛定諤方程怎麼解

一維定態薛定諤方程的建立和求解舉例
https://wenku..com/view/70ae53ee102de2bd96058898.html

『伍』 薛定諤方程的具體介紹

一維薛定諤方程

三維薛定諤方程

定態薛定諤方程

單粒子薛定諤方程的數學表達形式
這是一個二階線性偏微分方程，ψ(x，y，z)是待求函數，它是x,y,z三個變數的復數函數（就是說函數值不一定是實數，也可能是虛數）。式子最左邊的倒三角是拉普拉斯算符，意思是分別對ψ(x，y，z)的梯度求散度。 這是一個描述一個粒子在三維勢場中的定態薛定諤方程。所謂勢場，就是粒子在其中會有勢能的場，比如電場就是一個帶電粒子的勢場；所謂定態，就是假設波函數不隨時間變化。其中，E是粒子本身的能量；U（x，y，z）是描述勢場的函數，假設不隨時間變化。薛定諤方程有一個很好的性質，就是時間和空間部分是相互分立的，求出定態波函數的空間部分後再乘上時間部分e^（-t*i*E*2π/h）以後就成了完整的波函數了。
薛定諤方程的解——波函數的性質
簡單系統，如氫原子中電子的薛定諤方程才能求解，對於復雜系統必須近似求解。因為對於有Z 個電子的原子，其電子由於屏蔽效應相互作用勢能會發生改變，所以只能近似求解。近似求解的方法主要有變分法和微擾法。
在束縛態邊界條件下並不是E 值對應的所有解在物理上都是可以接受的。主量子數、角量子數、磁量子數都是薛定諤方程的解。要完整描述電子狀態，必須要四個量子數。自旋磁量子數不是薛定諤方程的解，而是作為實驗事實接受下來的。
主量子數n和能量有關的量子數。原子具有分立能級，能量只能取一系列值，每一個波函數都對應相應的能量。氫原子以及類氫原子的分立值為：
En=-1/n*2×2.18×10*(-18)J，n 越大能量越高電子層離核越遠。主量子數決定了電子出現的最大幾率的區域離核遠近，決定了電子的能量。N=1，2，3，……；常用K、L、M、N……表示。
角量子數l和能量有關的量子數。電子在原子中具有確定的角動量L，它的取值不是任意的，只能取一系列分立值，稱為角動量量子化。L=√l(l+1) ·(h/2π) ，l=0，1，2，……（n-1）。l 越大，角動量越大，能量越高，電子雲的形狀也不同。l=0，1，2，……常用s，p，d，f，g 表示，簡單的說就是前面說的電子亞層。角量子數決定了軌道形狀，所以也稱為軌道形狀量子數。s 為球型，p 為啞鈴型，d 為花瓣，f 軌道更為復雜。
磁量子數m是和電子能量無關的量子數。原子中電子繞核運動的軌道角動量，在外磁場方向上的分量是量子化的，並由量子數m 決定，m 稱為磁量子數。對於任意選定的外磁場方向Z，角動量L 在此方向上的分量Lz只能取一系列分立值，這種現象稱為空間量子化。Lz=m·h/2π，m=0，±1，±2……±l。磁量子數決定了原子軌道空間伸展方向，即原子軌道在空間的取向，s 軌道一個方向（球），p 軌道3 個方向，d 軌道5 個，f 軌道7 個……。l 相同，m 不同即形狀相同空間取向不同的原子軌道能量是相同的。不同原子軌道具有相同能量的現象稱為能量簡並。
能量相同的原子軌道稱為簡並軌道，其數目稱為簡並度。如p 軌道有3 個簡並軌道，簡並度為3。簡並軌道在外磁場作用下會產生能量差異，這就是線狀譜在磁場下分裂的原因。
粒子的自旋也產生角動量，其大小取決於自旋磁量子數（ms）。電子自旋角動量是量子化的其值為Ls=√s（s+1）·（h/2π），s= 1/2 ，s 為自旋量子數，自旋角動量的一個分量Lsz 應取下列分立值：Lsz= ms（h/2π）, ms=±1/2。
原子光譜，在高分辨光譜儀下，每一條光線都是由兩條非常接近的光譜線組成，為解釋這一現象提出了粒子的自旋。電子的自旋表示電子的兩種不同狀態，這兩種狀態有不同的自旋角動量。
電子的自旋不是機械的自身旋轉，它是本身的內稟屬性，也是新的自由度，如質量和電荷一樣是它的內在屬性，電子的自旋角動量：ħ /2。 希爾伯特空間與薛定諤方程
一般，物理上將物理狀態與希爾伯特空間上的向量（vector），物理量與希爾伯特空間上的算符相對應。這種形式下的薛定諤方程如右圖所示。H為哈密頓算符。這個方程在這個形式下充分顯示出了時間與空間的對應性（時間與能量相對應，正如空間與動量相對應，後述）。這種算符（物理量）不隨時間變化而狀態隨時間變化的對自然現象的描述方法被稱為薛定諤繪景，與之對應的是海森伯繪景。
空間坐標算符x與其對應的動量算符p滿足以下交換關系：
所謂的薛定諤表示就是將空間算符直接作為x，而動量算符為下面的包含微分的微分算符：

『陸』 薛定諤方程怎麼解啊

這得具體看勢能再決定怎麼解吧，一維方勢阱和方勢壘，還有三維的氫原子都能解析解出來。一維的很簡單，引入邊界條件很好解，就是二階常微分方程而已。三維的你就得會分離變數了，分離後得到的三個常微分方程，第一個很簡單，第二個和第三個分別是伴隨勒讓德方程和貝塞爾方程，看起來復雜，但也不是很難，級數展開解就可以了。全靠自己完成會比較難，推薦你還是先看看數理方程，之後自己解一解練練手，以後就不會忘了。我已經兩年沒推了，但我現在完全從頭開始推，不翻任何參考書的話頂多兩至三個小時就能把氫原子解出來。

『柒』 薛定諤方程共軛式

在量子力學中，單粒子服從的運動方程是薛定諤方程。薛定諤方程在量子力學中的地位相當於牛頓第二定律在經典力學中的地位。
一維的含時薛定諤方程形式為，其中為勢函數，相當於牛頓第二定律的力的地位。因此，理論上只要給定一個確定的勢函數，以及一個確定的初始條件，就能得到粒子後續的運動情況。

特別地，當勢函數不顯含時間的情況下，有

此時可用分離變數法求解，即令，則有

代入上式可得

觀察上式，左邊為的函數，右邊為的函數。那麼等式成立的條件為，兩邊都等於一個常數，設此常數為，則可以得到兩個常微分方程

其中式（1）稱為定態薛定諤方程，之所以稱之為定態，原因如下：

解方程（2）可得，設此時相應的方程（1）的解為，那麼有,則由波函數的統計詮釋，概率密度與時間無關！因此稱式（1）為定態薛定諤方程，其中定態的意思即與概率密度與時間無關，式（1）的解稱為定態解。

一般地，給定勢函數後，滿足條件的不止一個，可記為.求得的定態解為,相應的式（2）的解為,則總的定態解為.

含時薛定諤方程的解可由疊加原理得到，即為定態解的線性組合

在給定了初始條件後，可以求出各系數,進而求得含時解。

一般地，在勢函數不顯含時間的情形下，求解含時的薛定諤方程可以先通過求解定態薛定諤方程，再通過線性組合得到含時解。

參考資料

【1】《量子力學概論》——大衛|格里菲斯