有限單元法基礎及matlab編程pdf

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❷ MATLAB編程及應用-第5章 多項式與數據分析

本章將介紹如何使用MATLAB來解決一些基本的數學運算問題，主要包括多項式的相關計算，數據插值，曲線擬合以及數據統計處理等相關的內容。本章的主要內容如下：

在MATLAB中，多項式是以行向量的形式存放的，並且約定多項式以降冪的形式出現，如果多項式中缺少某冪次項，則該冪次項的系數為0。例如，多項式 可以表示為：p1=[1 21 20 0]，其中常數項為0。

本節將全面介紹與多項式有關的各種計算，包括多項式的四則運算、導函數運算、求值、求根以及分部展開。

多項式的加減運算並無特別，可以使用向量的加減運算實現。多項式的乘除運算比較復雜，為此MATLAB提供了專門的運算函數 conv 和 deconv 。
函數 conv 用於求多項式P1和P2的乘積，它的調用格式如下：

其中，P1、P2是兩個多項式系數向量。
函數 deconv 用於對多項式P1和P2作除法運算，它的調用格式如下：

其中，Q返回多項式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。返回的Q和r仍是多項式系數向量。

可以將除法運算deconv看作是乘法運算conv的逆運算，即有P1=conv(P2,Q)+r。

下面通過示例介紹多項式的表示和多項式的四則運算。

使用函數poly2str顯示多項式p1和p2相乘後生成的新多項式，如下所示：
>> poly2str(y,'x') %以比較習慣的方式顯示多項式
ans =
2 x^6 + 15 x^5 - 5 x^4 + 24 x^3 - 20 x^2 + 10 x - 30

MATLAB提供了polyder函數，用於求多項式的導函數。該函數的格式如下：

其中，參數P和Q是多項式的系數向量，返回結果p和q也是多項式的系數向量。

MATLAB提供了兩種求多項式值的函數：polyval與polyvalm，它們的輸入參數均為多項式系數向量P和自變數x，但是兩者是有很大區別的，前者是按數組運算規則對多項式求值，而後者是按矩陣運算規則對多項式求值。具體的調用格式如下所示。

>> p3=[2 6 8 0 5 9 4] %生成多項式系數
>> A=rand(3) %生成隨機矩陣
①使用函數polyval按數組運算規則求A中的每個元素對於多項式p3的值。在命令窗口中輸入如下內容：
>> Y=polyval(p3,A)
運算結果如下：
Y =
7.2917 15.2885 5.4763
5.8986 7.2672 15.8387
5.9409 11.3612 8.3376
②使用函數polyvalm按矩陣運算規則求以方陣A為自變數的多項式p3的值。在命令窗口中輸入如下內容：
>> Y1=polyvalm(p3,A)
運算結果如下：
Y1 =
13.6694 21.1448 16.7431
8.7641 22.5846 21.5403
8.4161 19.5396 22.2629
③如果函數polyval和polyvalm的第二個參數為數值，仍然可以按照數組和矩陣的運算規則計算求多項式在該參數下的結果。在命令窗口中輸入如下內容：
>> A=3
分別使用函數polyval和polyvalm計算多項式的值，具體操作及返回結如下：
>> Y=polyval(p3,A)
Y =
3640
>> Y1=polyvalm(p3,A)
Y1 =
3640
④如果函數ployval和ployvalm的第二個參數為一向量，前者按照數組運算規則仍然可以計算求多項式在該參數下的結果，但是後者按矩陣運算規則計算則會提示錯誤信息。在命令窗口中輸入如下內容：
>> p4=[4 8 0 0 0 3 6]
分別使用函數polyval和polyvalm計算多項式的值，具體操作及返回結果如下：
>> Y=polyval(p3,p4) %第二個參數為向量
Y =
16504 754060 4 4 4 3640 150574
>> Y1=polyvalm(p3,p4) %第二個參數必須為方陣或數值
??? Error using ==> polyvalm
Matrix must be square.

n次多項式具有n個根，這些根可能是實根，也可能含有若干對共軛復根。MATLAB提供了roots函數用於求多項式的全部根，該函數的調用格式為：

其中，P為多項式的系數向量，返迴向量x為多項式的根，即x(1),x(2),…,x(n)分別代表多項式的n個根。

另外，如果已知多項式的全部根，MATLAB還提供了函數poly用來建立該多項式，該函數的調用格式為：

其中，x為多項式的根，返迴向量P為多項式的系數向量。

對於一個方陣s，可以用函數poly來計算矩陣的特徵多項式的系數。特徵多項式的根即為特徵值，可以用roots函數來計算。

MATLAB提供函數 resie 可以實現將分式表達式進行多項式的部分分式展開。
對於 ,函數的調用格式如下：

其中，b和a分別是分子和分母多項式系數行向量；返回值r是[r1 r2 …rn]留數行向量，p為[p1 p2 …pn]極點行向量，k為直項行向量。下面通過示例來講述該函數的使用。

多項式的微分MATLAB提供了函數 polyder 來實現，前面介紹多項式的導函數時已經介紹了該函數的具體使用。但是對於多項式的積分運算MATLAB沒有提供專門的函數，但可以用 [p./length(p):-1:1,k] 的方法來完成積分，其中k為常數。下面通過示例講解如何進行多項式的積分運算。

插值運算是根據數據點的規律，首先找到一個多項式連接這些已知的數據點，然後根據該多項式計算出要得到的與已知數據點相鄰的點對應的數值。數據的插值運算在信號和圖象處理等領域使用比較廣泛。MATLAB提供了專用的函數來處理數據的插值問題，下面將詳細的介紹使用這些插值函數的方法。

一維插值是指對一個自變數的插值，實現一維數據插值的函數是interp1，該函數的調用格式為：

interp1函數的功能是根據X，Y的值，計算出在X1處的值，並返回給Y1。其中，X和Y是兩個等長的已知向量，分別描述采樣點和樣本值；X1是一個向量或標量，描述欲插值的點，返回值Y1是與X1等長的插值結果；method是插值函數的類型，允許的取值有「linear」（線性插值）、「nearest」（用最接近的相鄰點插值）、「cubic」（三次插值）和「spline」（三次樣條插值），linear為默認值。

除此之外，MATLAB還提供了一個專門的用於3次樣條插值的函數spline，功能與函數 Y1=interp1(X,Y,X1,『spline』) 完全相同，使用方法也類似。該函數的調用格式如下：

除前面介紹的一維數據的插值，MATLAB還提供用於解決二維插值問題的函數 interp2 ，該函數的調用格式為：

其中，X和Y是兩個向量，分別描述兩個參數的采樣點，Z是與參數采樣點對應的函數值，X1，Y1是兩個向量或標量，描述欲插值的點。返回值Z1是根據相應的插值方法得到的插值結果。method的取值與一維插值函數相同。X，Y，Z也可以是矩陣形式。

多項式曲線擬合是用一個多項式來逼近一組給定的數據，擬合的准則是最小二乘法，即找出使 的 .
在MATLAB中，用 polyfit 函數來求得最小二乘擬合多項式的系數，計算得到多項式後可以用 polyval 函數計算所給出點的近似值。polyfit函數的調用格式為：

polyfit 函數根據采樣點X和采樣點函數值Y，返回一個m次多項式P及供polyval使用的結構數組S，S有三個域：S.R給出QR分解後滿足Q·R=V的矩陣R，S.df給出相應χ2量的自由度，S.normr給出擬合殘數的2—范數。其中X,Y是兩個等長的向量，P是一個長度為m+1的向量，P的元素為多項式系數。

>> Y=polyval(P,x) %根據多項式系數向量計算對應點x處的擬合函數值
即可計算得到擬合多項式在給定點的函數值。

本節介紹數據統計處理方法，包括最大（小）值運算、求和（積）運算、平均值（中值）運算、累加（乘）運算、標准方差、相關系數以及排序運算。

MATLAB提供的求數據序列的最大值和最小值的函數分別為max和min，兩個函數的調用格式和操作過程類似，可以分別用來求向量或矩陣的最大值和最小值。

（1）求向量的最大值和最小值

求向量的最大值和最小值的函數調用格式見表5.1。

表5.1 求向量最大值、最小值函數

（2）求矩陣的最大值和最小值
求矩陣的最大值和最小值的函數調用格式見表5.2。

表5.2 求矩陣的最大值、最小值函數

（3）兩個向量或矩陣對應元素的比較

函數max和min還能對兩個同型的向量或矩陣進行比較，函數調用格式見表5.3。

表5.3 最大值、最小值函數

MATLAB提供的數據序列求和與求積的函數分別是sum和prod，這兩個函數的使用方法類似，分別可以用來對向量和矩陣求和與求積。函數調用格式及功能見表5.4。
表5.4 求和與求積函數

在命令窗口中輸入：
>> prod(B) %返回各列元素的積
計算得到的各列元素的積如下：
ans =
0.0648 0.0057 0.1780 0.0487
③可以採用下列的方式返回矩陣B各列元素的和與矩陣B各列元素的乘積，具體輸入內容和計算返回結果如下：
>> sum(B,1) %返回各列元素的和
ans =
2.2741 2.1284 2.6735 2.2420
>> prod(B,1) %返回各列元素的積
ans =
0.0648 0.0057 0.1780 0.0487
④返回矩陣B各行所有元素的和與矩陣B各行所有元素的積，在命令窗口中輸入：
>> sum(B,2) %返回各行元素的和
>> prod(B,2) %返回各行元素的積

MATLAB提供了求數據序列平均值的函數mean與數據序列中值的函數median，函數調用格式及功能見表5.5。
表5.5 求平均值與中值函數

④求矩陣A的各行的算術平均值與中值，在命令窗口中輸入：
>> mean(A,2) %計算得到矩陣A各行的算術平均值
>> median(A,2) %計算得到矩陣A各行的中值

在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函數能方便地求得向量和矩陣元素的累加和與累乘積向量，函數調用格式及功能見表5.6。
表5.6 累加和與累加積函數

在MATLAB中，提供了計算數據序列的標准方差的函數std。該函數對於向量X返回一個標准方差；對於矩陣A返回一個行向量，它的各個元素便是矩陣A各列或各行的標准方差。調用格式為：
Y=std(A,flag,dim)
其中，dim可以取1或2。當dim=1時，求各列元素的標准方差；當dim=2時，則求各行元素的標准方差。flag可以取0或1，當flag=0時，置前因子為 ；否則置前因子為 。預設flag=0和dim=1。

MATLAB提供了corrcoef函數，可以求出數據的相關系數矩陣。調用格式為：

corrcoef函數返回從矩陣X形成的一個相關系數矩陣。此相關系數矩陣的大小與矩陣X一樣。它把矩陣X的每列作為一個變數，然後求它們的相關系數。其中X，Y是向量，與corrcoef([X,Y])的作用一樣。

>> corrcoef(A) % 求解矩陣A形成的一個相關系數矩陣
返回相關系數矩陣如下：
ans =
1.0000 -0.2608 0.5478 -0.7232
-0.2608 1.0000 -0.9397 0.2996
0.5478 -0.9397 1.0000 -0.3984
-0.7232 0.2996 -0.3984 1.0000
②可以求向量B形成的一個相關系數矩陣。在命令窗口中輸入以下內容：
>> corrcoef(B) %求取向量B形成的一個相關系數矩陣
返回相關系數矩陣如下：
ans =
1

MATLAB提供了sort函數來實現排序功能，調用格式如下：

函數返回一個對X中的元素按升序排列的新向量，Y是排序後的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。其中，dim指明對矩陣A的列還是行進行排序。若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排。

Y =
0.5226 0.1730 0.0118 0.1991
0.7948 0.2523 0.1365 0.2987
0.8801 0.2714 0.7373 0.6614
0.9568 0.9797 0.8757 0.8939
I =
3 1 4 2
1 4 3 3

本章重點介紹了MATLAB提供的基本的數學運算功能，主要包括多項式的相關運算、數據的插值與擬合運算、數據統計處理運算以及傅立葉變換等內容。

多項式部分通過實例重點介紹了多項式運算相關的內容，主要包括多項式的表示方法、多項式的四則運算、多項式的求導運算、多項式的求值與求根運算、多項式的展開以及多項式的積分運算等內容。掌握多項式運算內容是深入學習MATLAB其他內容的基礎。

數據插值部分和擬合部分通過實例介紹了MATLAB提供的數據處理時經常使用的數據插值和擬合運算函數，其中插值部分包括一維和二維數據的插值運算。曲線擬合運算時要正確的選擇所要擬合的多項式的階，並不是擬合多項式的階越高精度越好，一般擬合多項式的階不超過5階。

數據統計處理部分通過實例詳細介紹一些常用的數據統計處理方法，主要包括數據的最大值與最小值運算、求和與求積運算、平均值與中值運算、累加和與累乘積運算、標准方差、相關系數以及排序等運算。

❸ Matlab編程基礎及應用

MATLAB的教程很多，好些英文的教程不錯，需要的話我可以發給你

呃~~~~~要視頻教程啊，這個真沒有

❹ 計算流體力學有限元方法及其編程詳解怎麼樣

有限元方法是計算流體力學的一個重要分支，在工程計算領域中的應用越來越廣泛。本書內容從最基本的有限元基礎知識講起，難度逐漸加深，每一章都是針對一個計算實例進行理論講解和公式推導的，在此基礎上，每個實例都配置有十分清晰的程序代碼。
畢超編著的《計算機流體力學有限元方法及其編程詳解》共分8章，第1章以有限元方法求解常微分方程為例，講解有限元方法求解微分方程的基礎知識；第2章以理想流體流動為例，介紹有限元方法求解Laplace方程的方法；第3章講述速度-壓力有限元法和罰函數有限元法求解牛頓流體Navier-Stocks(簡記為N-S)方程組的方法，為後續章節奠定基礎；第4章講述非牛頓流體問題的求解方法；第5章講解考慮慣性項時N-S方程組的求解方法；第6章講述與時間有關的流體流動問題的求解方法；第7章講述與時間有關的熱傳導問題的求解方法；第8章講述速度與溫度耦合問題的有限元求解方法。
《計算機流體力學有限元方法及其編程詳解》採用MATLAB語言編寫計算程序，以便於讀者閱讀。本書可作為本科生或研究生計算流體力學課程教材，也可作為相關課程的輔導教材。
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畢超編著的《計算機流體力學有限元方法及其編程詳解》採用新穎的理論講解和實例編程相結合的撰寫模式，講述了計算流體力學有限元方法的基本理論。書中內容難度由淺人深，將計算實例、理論推導、編程邏輯、程序編寫及結果分析有機結合，歸納簡化了使用有限元方法求解計算流體力學和傳熱學問題的復雜煩瑣過程，講述了理想流體、牛頓流體、非牛頓流體流動問題的有限元求解方法，特別是還包括了考慮慣性項影響、非定常流動以及流熱耦合等多種復雜非線性問題的求解方法。該書內容豐富、理論深入、邏輯清晰，有利於讀者更加清晰地了解計算流體力學有限元方法的基本理論，不僅可以作為計算流體力學領域本科生和研究生的課程教材，而且書中內容還可以為開發具有自主知識產權的大型工程計算軟體提供理論基礎。該書是近些年來我國計算流體力學領域為數不多的理論和實踐並重的專業性著作。

❺ 我對MATLAB面向對象編程很感興趣，請問哪位有《MATLAB面向對象編程——從入門到設計》電子版 謝謝了

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❼ 有限單元法及其應用彭細榮怎麼樣

簡述了有限單元法的提出過程，發展歷史及基本思想，重點論述了有限單元法的基本解題步驟及有限單元法的發展趨勢。文章最後介紹了一個基於ANSYS軟體運用有限單元法分析某隧道的實例.
《有限單元法及其應用》主要講述線彈性有限元法的基本理論、matlab編程實現及相應商業有限元軟體的應用，對線彈性動力有限元法及材料、幾何和接觸三類非線性有限元法的基本概念和程序應用也進行了介紹。

《有限單元法及其應用》公式推導詳盡，matlab符號運算及演算法簡單易懂，理論介紹與軟體應用連接緊密，適合作為非力學專業高年級本科生及研究生教材使用，也可作為有限元應用領域內工程技術人員的參考書。
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❽ 有限單元法

有限單元方法（FEM）自20世紀50年代開始，已經在工程技術領域獲得了極為廣泛的應用，目前也成為處理岩土工程問題的有力工具；邊界元方法是20世紀70年代興起的一種數值方法，該方法具有降維作用，對於解決無限域或半無限域問題尤為理想^［2］。有限單元方法以連續介質力學為基礎，要考慮物質的連續性、介質物理力學性質的連續性及力學反應的連續性，將岩體在一定條件下視為連續介質或結合某種特殊單元（如節理單元）來模擬節理岩體的力學行為。

1.1.1.1 有限單元法的基本原理

有限單元法的基本原理用一彈性薄板為例來敘述說明，如圖1.1 所示。任意彈性薄板受到一定外力作用時，薄板內要產生相應的變形和應力，這種變形可用水平與垂直方向的位移分量 u、v 來表示，u、v 大小與位置（坐標）有關，即：

圖1.1 任意彈性薄板

u=u（x，y） v=v（x，y） （1.1）

由於u、v與位置有關，故將u、v稱為位移函數。

若求得上述的位移函數，則可由彈性力學的基本公式求得薄板中任一點的應變與應力，即：

非連續變形分析方法及其在地下工程中的應用

可見，若求得薄板中任一點的應力，必須先求得位移函數，這種通過位移函數求得應力的方法稱為「按位移求解」。

1.1.1.2 有限單元法的基本方程

從數學角度來看，有限單元法是把求解域內的連續場函數轉化為求解有限個離散點處的場函數值，顯然這種離散化的處理是一種近似，因此當單元劃分的適當時，才能保證求解精度。由於所劃分的單元足夠小，在一個微小的單元內，未知的場函數就可以採用十分簡單的代數多項式來近似地表示，即

非連續變形分析方法及其在地下工程中的應用

或

非連續變形分析方法及其在地下工程中的應用

式中：N為行函數矩陣，N=［N₁，N₂，N₃，N₄］，通常為坐標的函數；δ^e為單元的節點位移向量。

單元內的應變可由（1.2）式求得，即：

ε=Bδ^e=∑B_iδ_i （1.5）

式中B為應變矩陣，直接用節點位移來表示：

非連續變形分析方法及其在地下工程中的應用

同樣由（1.3）可求出單元應力矩陣：

σ=Eε=EBδ^e （1.6）

式中E為彈性矩陣：

非連續變形分析方法及其在地下工程中的應用

單元能量泛函為：

非連續變形分析方法及其在地下工程中的應用

根據最小勢能原理，在所有可能的位移函數中，真實位移使結構體系的總勢能有最小值，即：

非連續變形分析方法及其在地下工程中的應用

因此有 ∫_SB^TEBdSδ^e-f^e=0

令 k^e=∫_SB^TEBdS （1.8）

則 f^e=k^eδ^e （1.9）

嚴格地說，岩體是非連續介質，為了能應用連續介質力學原理解決岩體工程問題而提出了各種准則，如尺度相對性准則、主應力差效應准則等^［3］；孫廣忠^［4］認為完整結構岩體、斷續結構岩體、散體結構岩體以及碎裂結構岩體在一定條件下可當作連續介質。隨著對岩體的深入理解，逐步認識到岩體中包含的大量結構面對岩體力學特性和工程穩定起控製作用，並認為這是構成岩體和岩塊力學與工程特性差異的根本原因。

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【作者】劉浩，韓晶編著
【形態項】 708
【出版項】 北京：電子工業出版社 , 2015.01
【ISBN號】978-7-121-24499-5
【中圖法分類號】TP317
【原書定價】79.80
【主題詞】MATLAB軟體
【參考文獻格式】 劉浩，韓晶編著. MATLAB R2014a完全自學一本通. 北京：電子工業出版社, 2015.01.
內容提要:
本書根據內容的側重點不同，全書分為4部分共20章：第1～5章為基礎部分，講解MATLABR2014a概述、MATLAB基礎知識、數組與矩陣、MATLAB編程基礎及數據可視化等；第6～8章為數學應用部分，講解數據分析、符號數學計算和概率統計等；第9～15章為工程應用部分，講解偏微分方程、優化、圖像處理、信號處理、小波分析等工具箱，Simulink模擬基礎及應用等。
是這本嗎？

❿ 用MATLAB編個有限單元法的程序計算簡支梁的撓度和應力。 拜謝！

這個有啥難的，剛剛編了一個計算預應力梁的非線性分析程序，模擬計算其M-φ曲線！