python拋硬幣

『壹』 python拋硬幣正反各出現一次的概率

假設拋一次硬幣出現正面的概率是p，則出現反面的概率是蘆數1-p。

要正反各出現一次，需要先出現一次正面，再出現一次反面，或者先出現一次反面，再出現一次正面。

因此，正反各出現一次的概率為：

P = 2 * p * (1-p) = 2 * (1-p) * p

其中，2表和羨示兩種情況的組合數。

由於硬幣只有正反兩面，因此p+（1-p）=1，即p=0.5。

帶入公式得到：

P = 2 * 0.5 * 0.5 = 0.5

因此，python拋硬幣正反各陪棚首出現一次的概率是0.5。

『貳』 如何在Python中實現這五類強大的概率分布

R編程語言已經成為統計分析中的事實標准。但在這篇文章中，我將告訴你在Python中實現統計學概念會是如此容易。我要使用Python實現一些離散和連續的概率分布。雖然我不會討論這些分布的數學細節，但我會以鏈接的方式給你一些學習這些統計學概念的好資料。在討論這些概率分布之前，我想簡單說說什麼是隨機變數（random variable）。隨機變數是對一次試驗結果的量化。

舉個例子，一個表示拋硬幣結果的隨機變數可以表示成

Python

1

2

X = {1 如果正面朝上,

2 如果反面朝上}

隨機變數是一個變數，它取值於一組可能的值（離散或連續的），並服從某種隨機性。隨機變數的每個可能取值的都與一個概率相關聯。隨機變數的所有可能取值和與之相關聯的概率就被稱為概率分布（probability distributrion）。

我鼓勵大家仔細研究一下scipy.stats模塊。

概率分布有兩種類型：離散（discrete）概率分布和連續（continuous）概率分布。

離散概率分布也稱為概率質量函數（probability mass function）。離散概率分布的例子有伯努利分布（Bernoulli distribution）、二項分布（binomial distribution）、泊松分布（Poisson distribution）和幾何分布（geometric distribution）等。

連續概率分布也稱為概率密度函數（probability density function），它們是具有連續取值（例如一條實線上的值）的函數。正態分布（normal distribution）、指數分布（exponential distribution）和β分布（beta distribution）等都屬於連續概率分布。

若想了解更多關於離散和連續隨機變數的知識，你可以觀看可汗學院關於概率分布的視頻。

二項分布（Binomial Distribution）

服從二項分布的隨機變數X表示在n個獨立的是/非試驗中成功的次數，其中每次試驗的成功概率為p。

E(X) =np, Var(X) =np(1−p)

如果你想知道每個函數的原理，你可以在IPython筆記本中使用help file命令。E(X)表示分布的期望或平均值。

鍵入stats.binom?了解二項分布函數binom的更多信息。

二項分布的例子：拋擲10次硬幣，恰好兩次正面朝上的概率是多少？

假設在該試驗中正面朝上的概率為0.3，這意味著平均來說，我們可以期待有3次是硬幣正面朝上的。我定義擲硬幣的所有可能結果為k = np.arange(0,11)：你可能觀測到0次正面朝上、1次正面朝上，一直到10次正面朝上。我使用stats.binom.pmf計算每次觀測的概率質量函數。它返回一個含有11個元素的列表（list），這些元素表示與每個觀測相關聯的概率值。

結語（Conclusion）

概率分布就像蓋房子的藍圖，而隨機變數是對試驗事件的總結。我建議你去看看哈佛大學數據科學課程的講座，Joe Blitzstein教授給了一份摘要，包含了你所需要了解的關於統計模型和分布的全部。

『叄』 1-簡單的Python程序-模擬拋硬幣

我們這次的任務是利用Python來模擬拋硬幣的情況，並且記錄正面朝上占所有試驗中的比率，大家是不是想起了課堂中提到過的蒲豐，皮爾遜等人做的試驗？當然，我們現在已經不再需要再去扔幾千次，幾萬次硬幣了；Python為我們提供了一個相當便捷的解決方案。Python 的randint（0,1）函數可以等概率，隨機地返回0與1兩個數，我們可以將返回的數值0記為硬幣的反面，1記為硬幣的正面，所以問題就轉換成了：統計大量重復試驗中，結果為1占總試驗次數的比例。

簡單地畫一個流程圖，希望有助於大家理解。

*流程圖是網上使用ProcessOn畫的，一個免費的在線流程圖繪制平台，簡單容易上手，強烈安利給大家~

廢話不多說，上圖：

可以看見，隨著硬幣投擲次數的增加，正面朝上的幾率逐漸穩定在0.5，這就是我們在課堂上講過的內容：在重復試驗中，我們可以使用頻率的穩定值作為事件發生的概率。
怎麼樣，是不是學到了一招？

在這個程序的基礎上，我相信大家有能力進行進一步地延伸與發散。
大家可以嘗試著去完成這樣三個問題：
1，比較一下當投擲次數為100次，1000次與10000次的圖像差別（提示：為了使區別更加顯著，大家可以嘗試將X軸使用對數坐標表示）

好的，就先寫到這里，感覺有意思的話點個贊再走唄~

『肆』 統計學入門級：常見概率分布+python繪制分布圖

如果隨機變數X的所有取值都可以逐個列舉出來，則稱X為離散型隨機變數。相應的概率分布有二項分布，泊松分布。

如果隨機變數X的所有取值無法逐個列舉出來，而是取數軸上某一區間內的任一點，則稱X為連續型隨機變數。相應的概率分布有正態分布，均勻分布，指數分布，伽馬分布，偏態分布，卡方分布，beta分布等。(真多分布，好恐怖~~)

在離散型隨機變數X的一切可能值中，各可能值與其對應概率的乘積之和稱為該隨機變數X的期望值，記作E(X) 。比如有隨機變數，取值依次為：2，2，2，4，5。求其平均值：(2+2+2+4+5)/5 = 3。

期望值也就是該隨機變數總體的均值。 推導過程如下：
= (2+2+2+4+5)/5
= 1/5 2 3 + 4/5 + 5/5
= 3/5 2 + 1/5 4 + 1/5 5
= 0.6 2 + 0.2 4 + 0.2 5
= 60% 2 + 20% 4 + 20%*5
= 1.2 + 0.8 + 1
= 3

倒數第三步可以解釋為值為2的數字出現的概率為60%，4的概率為20%，5的概率為20%。 所以E(X) = 60% 2 + 20% 4 + 20%*5 = μ = 3。

0-1分布（兩點分布），它的隨機變數的取值為1或0。即離散型隨機變數X的概率分布為：P{X=0} = 1-p, P{X=1} = p，即：

則稱隨機變數X服從參數為p的0-1分布，記作X~B（1，p)。

在生活中有很多例子服從兩點分布，比如投資是否中標，新生嬰兒是男孩還是女孩，檢查產品是否合格等等。

大家非常熟悉的拋硬幣試驗對應的分布就是二項分布。拋硬幣試驗要麼出現正面，要麼就是反面，只包含這兩個結果。出現正面的次數是一個隨機變數，這種隨機變數所服從的概率分布通常稱為 二項分布 。

像拋硬幣這類試驗所具有的共同性質總結如下：（以拋硬幣為例）

通常稱具有上述特徵的n次重復獨立試驗為n重伯努利試驗。簡稱伯努利試驗或伯努利試驗概型。特別地，當試驗次數為1時，二項分布服從0-1分布(兩點分布)。

舉個栗子：拋3次均勻的硬幣，求結果出現有2個正面的概率 。
已知p = 0.5 (出現正面的概率) ，n = 3 ，k = 2

所以拋3次均勻的硬幣，求結果出現有2個正面的概率為3/8。

二項分布的期望值和方差 分別為：

泊松分布是用來描述在一 指定時間范圍內或在指定的面積或體積之內某一事件出現的次數的分布 。生活中服從泊松分布的例子比如有每天房產中介接待的客戶數，某微博每月出現伺服器癱瘓的次數等等。 泊松分布的公式為 ：

其中 λ 為給定的時間間隔內事件的平均數，λ = np。e為一個數學常數，一個無限不循環小數，其值約為2.71828。

泊松分布的期望值和方差 分別為：

使用Python繪制泊松分布的概率分布圖：

因為連續型隨機變數可以取某一區間或整個實數軸上的任意一個值，所以通常用一個函數f(x)來表示連續型隨機變數，而f(x)就稱為 概率密度函數 。

概率密度函數f(x)具有如下性質 ：

需要注意的是，f(x)不是一個概率，即f(x) ≠ P(X = x) 。在連續分布的情況下，隨機變數X在a與b之間的概率可以寫成：

正態分布（或高斯分布）是連續型隨機變數的最重要也是最常見的分布，比如學生的考試成績就呈現出正態分布的特徵，大部分成績集中在某個范圍（比如60-80分），很小一部分往兩端傾斜（比如50分以下和90多分以上）。還有人的身高等等。

正態分布的定義 ：

如果隨機變數X的概率密度為( -∞<x<+∞)：

則稱X服從正態分布，記作X~N(μ,σ²)。其中-∞<μ<+∞，σ>0， μ為隨機變數X的均值，σ為隨機變數X的標准差。 正態分布的分布函數

正態分布的圖形特點 ：

使用Python繪制正態分布的概率分布圖：

正態分布有一個3σ准則，即數值分布在(μ-σ,μ+σ)中的概率為0.6827，分布在（μ-2σ,μ+2σ)中的概率為0.9545，分布在(μ-3σ,μ+3σ)中的概率為0.9973，也就是說大部分數值是分布在(μ-3σ,μ+3σ)區間內，超出這個范圍的可能性很小很小，僅占不到0.3%，屬於極個別的小概率事件，所以3σ准則可以用來檢測異常值。

當μ=0，σ=1時，有

此時的正態分布N(0,1) 稱為標准正態分布。因為μ，σ都是確定的取值，所以其對應的概率密度曲線是一條 形態固定 的曲線。

對標准正態分布，通常用φ(x)表示概率密度函數，用Φ(x)表示分布函數：

假設有一次物理考試特別難，滿分100分，全班只有大概20個人及格。與此同時語文考試很簡單，全班絕大部分都考了90分以上。小明的物理和語文分別考了60分和80分，他回家後告訴家長，這時家長能僅僅從兩科科目的分值直接判斷出這次小明的語文成績要比物理好很多嗎？如果不能，應該如何判斷呢？此時Z-score就派上用場了。 Z-Score的計算定義 ：

即 將隨機變數X先減去總體樣本均值，再除以總體樣本標准差就得到標准分數啦。如果X低於平均值，則Z為負數，反之為正數 。通過計算標准分數，可以將任何一個一般的正態分布轉化為標准正態分布。

小明家長從老師那得知物理的全班平均成績為40分，標准差為10，而語文的平均成績為92分，標准差為4。分別計算兩科成績的標准分數：
物理：標准分數 = (60-40)/10 = 2
語文：標准分數 = (85-95)/4 = -2.5

從計算結果來看，說明這次考試小明的物理成績在全部同學中算是考得很不錯的，而語文考得很差。

指數分布可能容易和前面的泊松分布混淆，泊松分布強調的是某段時間內隨機事件發生的次數的概率分布，而指數分布說的是 隨機事件發生的時間間隔 的概率分布。比如一班地鐵進站的間隔時間。如果隨機變數X的概率密度為：

則稱X服從指數分布，其中的參數λ>0。 對應的分布函數 為：

均勻分布的期望值和方差 分別為：

使用Python繪制指數分布的概率分布圖：

均勻分布有兩種，分為 離散型均勻分布和連續型均勻分布 。其中離散型均勻分布最常見的例子就是拋擲骰子啦。拋擲骰子出現的點數就是一個離散型隨機變數，點數可能有1，2，3，4，5，6。每個數出現的概率都是1/6。

設連續型隨機變數X具有概率密度函數：

則稱X服從區間(a,b)上的均勻分布。X在等長度的子區間內取值的概率相同。對應的分布函數為：

f(x)和F(x)的圖形分別如下圖所示：

均勻分布的期望值和方差 分別為：

『伍』 python 3.7寫一個程序：拋硬幣一百萬次現實正面與反面的次數 要用到循環語句 求大神指點

Python 代碼實現：

fromrandomimportchoice
fromcollectionsimportCounter

print(Counter([choice(['正面','反面'])forkinrange(1,1000001)]))

解釋：

• for k in range(1, 1000001) 循環 100 萬次

• choice(['正面', '反面'])
  用於在序列中隨機選擇一個元素，模擬出拋硬幣的隨機性

• Counter 用於統計前面循環 100 萬次拋出的硬幣的列表數據

附運行效果圖：

『陸』 用python做一個程序：扔100次硬幣，然後分別顯示出擲出正面和反面的次數

7行代碼即可寫出程序，詳細步驟：

1、首先打開python自帶的IDLE，打開IDLE並ctrl+n新建如圖界面。

『柒』 python統計拋硬幣連續出現6次相同面的概率

假設拋硬幣的結果是隨機的，並且正反兩面出現的概率相等。那麼，拋一枚硬幣連續出現6次相同面的概率為：
cssCopy codeP = (1/2)^6 = 1/64 ≈ 0.0156

即每次拋硬幣連續出現6次相同面的概率大約為0.0156。
下面是一個簡單的Python程序，可以模擬拋硬幣並計算連續出現6次相同面的概率：
pythonCopy codeimport random

n = 1000000 # 拋硬幣的次數count = 0 # 記錄連續出現6次相同面的次數for i in range(n):
result = [random.randint(0, 1) for j in range(6)] # 拋6次硬幣
if result.count(0) == 6 or result.count(1) == 6: # 判斷是否連續出現6次相同面
count += 1print("連續出現6次相同面的概率為：", count/n)

在這個程序中，我們拋了100萬次硬幣，並記錄了連續出現6次相同面的次數。最後，我們通過除以總次數來計算概率，並輸出結果。
需要注孝碰意的是，這個程序中的結果是基於隨機抽樣的統計，因此和理論值略有偏差。但是，當拋硬幣的次數足巧衡談夠大時，實驗結果會趨近於理攔汪論值。

『捌』 如何在Python中實現這五類強大的概率分布

Python – 伯樂在線
首頁所有文章觀點與動態基礎知識系列教程實踐項目工具與框架工具資源Python小組伯樂在線 > Python - 伯樂在線 > 所有文章 > 實踐項目 > 如何在Python中實現這五類強大的概率分布如何在Python中實現這五類強大的概率分布
2015/04/25 · 實踐項目 · 概率分布
分享到： 12
本文由 伯樂在線 - feigao.me 翻譯，Daetalus 校稿。未經許可，禁止轉載！
英文出處：www.bigdataexaminer.com。歡迎加入翻譯組。
R編程語言已經成為統計分析中的事實標准。但在這篇文章中，我將告訴你在Python中實現統計學概念會是如此容易。我要使用Python實現一些離散和連續的概率分布。雖然我不會討論這些分布的數學細節，但我會以鏈接的方式給你一些學習這些統計學概念的好資料。在討論這些概率分布之前，我想簡單說說什麼是隨機變數（random variable）。隨機變數是對一次試驗結果的量化。
舉個例子，一個表示拋硬幣結果的隨機變數可以表示成Python
X = {1 如果正面朝上,
2 如果反面朝上}
12X = {1 如果正面朝上,
2 如果反面朝上}
隨機變數是一個變數，它取值於一組可能的值（離散或連續的），並服從某種隨機性。隨機變數的每個可能取值的都與一個概率相關聯。隨機變數的所有可能取值和與之相關聯的概率就被稱為概率分布（probability distributrion）。
我鼓勵大家仔細研究一下scipy.stats模塊。
概率分布有兩種類型：離散（discrete）概率分布和連續（continuous）概率分布。
離散概率分布也稱為概率質量函數（probability mass function）。離散概率分布的例子有伯努利分布（Bernoulli distribution）、二項分布（binomial distribution）、泊松分布（Poisson distribution）和幾何分布（geometric distribution）等。
連續概率分布也稱為概率密度函數（probability density function），它們是具有連續取值（例如一條實線上的值）的函數。正態分布（normal distribution）、指數分布（exponential distribution）和β分布隱塵（beta distribution）等都屬於連續概率分布。
若想了解更多關於離散和連續隨機變數的知識，你可以觀看可汗學院關於概率分布的視頻。
二項分布（Binomial Distribution）
服從二項分布的隨機變數X表示在n個獨立的是/非試驗中成功的次數，其中每次試驗的成功概率為p。
E(X) = np, Var(X) = np(1?p)
如果你想知道每個函數的原理，你可以在IPython筆記本中使用help file命令。 E(X)表示分布的期望或平均值。
鍵入stats.binom?了解二項分布函數binom的更多信息。
二項分布的例子：拋擲10次硬幣，恰好兩次正面朝上的概率是多少？
假設在該試驗中正面朝上的概率為0.3，這意味著平均來說，我們可以期待有3次是硬幣正面朝上的。我定義擲硬幣的所有可能結果為k = np.arange(0,11)：你可能觀測到0次正面朝上、1次正面朝上，一直到10次正面朝上。我使用stats.binom.pmf計算每次觀測的概率質量函數。它返回一個含有11個元素的列表（list），這些元素表示與每個觀測相關聯的概率值。
您可以使用.rvs函數模擬一個二項隨機變數，其中參數size指定你要進行模擬的次數。我讓Python返回10000個參數為n和p的二項式隨機變數。我將輸出這些隨機變數的平均值和標准差，然後畫出所有的隨機變數的直方圖。
泊松分布（Poisson Distribution）
一個服從泊松分布的隨機變數X，表示在具有比率參數（rate parameter）λ的一段固定時間間隔內，事件發生的次數。參數λ告訴你該事件發生的比率。隨機變數X的平均值和方差都是λ。
E(X) = λ, Var(X) = λ
泊松分布的例子：鋒纖已知某路口發生事故的比率是每天2次，那麼在此處一天內發生4次事故的概率是多少？
讓我們考慮這個平均每天發生2起事故灶基禪的例子。泊松分布的實現和二項分布有些類似，在泊松分布中我們需要指定比率參數。泊松分布的輸出是一個數列，包含了發生0次、1次、2次，直到10次事故的概率。我用結果生成了以下圖片。
你可以看到，事故次數的峰值在均值附近。平均來說，你可以預計事件發生的次數為λ。嘗試不同的λ和n的值，然後看看分布的形狀是怎麼變化的。
現在我來模擬1000個服從泊松分布的隨機變數。
正態分布（Normal Distribution）
正態分布是一種連續分布，其函數可以在實線上的任何地方取值。正態分布由兩個參數描述：分布的平均值μ和方差σ2 。
E(X) = μ, Var(X) = σ2
正態分布的取值可以從負無窮到正無窮。你可以注意到，我用stats.norm.pdf得到正態分布的概率密度函數。
β分布（Beta Distribution）
β分布是一個取值在 [0, 1] 之間的連續分布，它由兩個形態參數α和β的取值所刻畫。
β分布的形狀取決於α和β的值。貝葉斯分析中大量使用了β分布。
當你將參數α和β都設置為1時，該分布又被稱為均勻分布（uniform distribution）。嘗試不同的α和β取值，看看分布的形狀是如何變化的。
指數分布（Exponential Distribution）
指數分布是一種連續概率分布，用於表示獨立隨機事件發生的時間間隔。比如旅客進入機場的時間間隔、打進客服中心電話的時間間隔、中文維基網路新條目出現的時間間隔等等。
我將參數λ設置為0.5，並將x的取值范圍設置為 $[0, 15]$ 。
接著，我在指數分布下模擬1000個隨機變數。scale參數表示λ的倒數。函數np.std中，參數ddof等於標准偏差除以 $n-1$ 的值。
結語（Conclusion）
概率分布就像蓋房子的藍圖，而隨機變數是對試驗事件的總結。我建議你去看看哈佛大學數據科學課程的講座，Joe Blitzstein教授給了一份摘要，包含了你所需要了解的關於統計模型和分布的全部。

『玖』 概率論中常見分布總結「轉」

本文主要是基於下面優秀博客文的總結和梳理：
概率論中常見分布總結以及python的scipy庫使用：兩點分布、二項分布、幾何分布、泊松分布、均勻分布、指數分布、正態分布
（侵刪。）

概率分布有兩種型別：離散（discrete）概率分布和連續（continuous）概率分布。

離散概率分布也稱為概率質量函式（probability mass function）。離散概率分布的例子有伯努利分布（Bernoulli distribution）、二項分布（binomial distribution）、泊松分布（隱簡Poisson distribution）和幾何分布（geometric distribution）等。

連續概率分布也稱為概率密度函式（probability density function），它們是具有連續取值（例如一條實線上的值）的函式。正態分布（normal distribution）、指數分布（exponential distribution）和β分布（beta distribution）等都屬於連續概率分布。

一些分析結論和注意點：

1）PDF是連續變數特有的，PMF是離散隨機變數特有的；

2）PDF的取值本身不是概率，它是一種趨勢（密度）只有對連續隨機變數的取值進行積分後才是概率，也就是說對於連續值確定它在某一點的概率是沒有意義的；

3）PMF的取值本身代表該值的概率。
PDF -(積分)-> CDF
PDF描述了CDF的變化趨勢，即曲線的斜率。

PMF [離散隨機變數 概率]

伯努利試驗：

伯努利試驗是在同樣的條件下重復地灶衫褲、各次之間相互獨立地進行的一種試驗。

即只先進行一次伯努利試驗，該事件發生的概率為p，不發生的概率為1-p。這是一個最簡單的分布，任何一個只有兩種結果的隨機現象都服從0-1分布塌清。

最常見的例子為拋硬幣

其中:

即做n個兩點分布的實驗

其中:

對於二項分布，可以參考 https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.binom.html

二項分布的應用場景主要是，對於已知次數n，關心發生k次成功。

，即為二項分布公式可求。

對於拋硬幣的問題，做100次實驗，觀察其概率分布函式：

[圖片上傳失敗...(image-dbd774-1517353918840)]
觀察概率分布圖，可以看到，對於n = 100次實驗中，有50次成功的概率（正面向上）的概率最大。

『拾』 編寫一個Python程序, 模擬拋硬幣一百萬次,顯示出現正面和反面的次數.

import random
count = 0 # 1 正面 0 反面 記錄1的次數
for i in range(10000000):
n = random.randint(0,1)
if n == 1:
count += 1
print(u'正面{0}次,反面{1}次'.format(count,1000000-count))