最小费用最大流算法证明

⑴ 图论中 最小费用最大流算法 结果是 同时保证费用最小和流最大么感觉怎么可能

最小费用最大流的意思是在保证费用最少的情况下最大的流量是多少以及其路径。不可能同时保证的。呵呵

⑵ 、图论中最大流模型和最小费用最大流模型有什么区别

费用不一样。
1、最小费用最大流是指：满足最大流的情况下，让费用最小。
2、最小费用最大流，是在满足上面所说的前提下，经过的路径要最多。
3、最大流模型，费用高于后者，但是最大流模型流的路径比它更多，覆盖面更广。

⑶ 最小费用最大流问题的解决方法

解决最小费用最大流问题，一般有两条途径。一条途径是先用最大流算法算出最大流，然后根据边费用，检查是否有可能在流量平衡的前提下通过调整边流量，使总费用得以减少？只要有这个可能，就进行这样的调整。调整后，得到一个新的最大流。
然后，在这个新流的基础上继续检查，调整。这样迭代下去，直至无调整可能，便得到最小费用最大流。这一思路的特点是保持问题的可行性（始终保持最大流），向最优推进。另一条解决途径和前面介绍的最大流算法思路相类似，一般首先给出零流作为初始流。这个流的费用为零，当然是最小费用的。然后寻找一条源点至汇点的增流链，但要求这条增流链必须是所有增流链中费用最小的一条。如果能找出增流链，则在增流链上增流，得出新流。将这个流做为初始流看待，继续寻找增流链增流。这样迭代下去，直至找不出增流链，这时的流即为最小费用最大流。这一算法思路的特点是保持解的最优性（每次得到的新流都是费用最小的流），而逐渐向可行解靠近（直至最大流时才是一个可行解）。
由于第二种算法和已介绍的最大流算法接近，且算法中寻找最小费用增流链，可以转化为一个寻求源点至汇点的最短路径问题，所以这里介绍这一算法。
在这一算法中，为了寻求最小费用的增流链，对每一当前流，需建立伴随这一网络流的增流网络。例如图 1 网络G 是具有最小 费用的流，边旁参数为c(e),f(e),w(e），而图 2 即为该网络流 的增流网络G′。增流网络的顶点和原网络相同。按以下原则建 立增流网络的边：若G中边（u，v）流量未饱，即f(u,v) < e(u,v），则G ' 中建边（u,v），赋权w ' (u,v)=w(u,v）；若G中边（u,v）已有流量，即f(u,v）〉0，则G′中建边（v,u），赋权w′（v,u) =-w(u,v）。建立增流网络后，即可在此网络上求源点至汇点的最短路径，以此决定增流路径，然后在原网络上循此路径增流。这里，运用的仍然是最大流算法的增流原理，唯必须选定最小费用的增流链增流。
计算中有一个问题需要解决。这就是增流网络G ′中有负权边，因而不能直接应用标号法来寻找x至y的最短路径，采用其它计算有负权边的网络最短路径的方法来寻找x至y的最短路径，将 大大降低计算效率。为了仍然采用标号法计算最短路径，在每次建立增流网络求得最短路径后，可将网络G的权w(e）做一次修正，使再建的增流网络不会出现负权边，并保证最短路径不至于因此而改变。下面介绍这种修改方法。当流值为零，第一次建增流网络求最短路径时，因无负权边，当然可以采用标号法进行计算。为了使以后建立增流网络时不出现负权边，采取的办法是将 G中有流边（f(e)>0）的权w(e）修正为0。为此， 每次在增流网络上求得最短路径后，以下式计算G中新的边权w (u,v）：
w (u,v)=L(u)-L(v)+w(u,v) (*)
式中 L(u),L(v) -- 计算G′的x至y最短路径时u和v的标号值。第一次求最短径时如果（u,v）是增流路径上的边， 则据最短 路径算法一定有 L(v)=L(u)+w ' (u,v)=L(u)+w(u,v）， 代入（*）式必有
w″（u,v)=0。
如果（u,v）不是增流路径上的边，则一定有：
L(v）≤L(u)+w(u,v）， 代入（*）式则有 w ”(u,v）≥0。
可见第一次修正w(e）后，对任一边，皆有w(e）≥0， 且有流 的边（增流链上的边），一定有w(e)=0。以后每次迭代计算，若 f(u,v)>0，增流网络需建立（v,u）边，边权数w ' (v,u)=-w(u,v) =0，即不会再出现负权边。 此外，每次迭代计算用（*）式修正一切w(e）， 不难证明对每一条x至y的路径而言，其路径长度都同样增加L(x)-L(y）。因此，x至y的最短路径不会因对w(e）的修正而发生变化。
【计算步骤】
⒈ 对网络G=[V,E,C,W]，给出流值为零的初始流。
⒉ 作伴随这个流的增流网络G′=[V′，E′，W′]。G′的顶点同G：V′=V。若G中f(u,v)<c(u,v），则G′中建边（u,v），w(u,v)=w(u,v）。若G中f(u,v)>0，则G′中建边（v,u），w′（v,u)=-w(u,v）。
⒊ 若G′不存在x至y的路径，则G的流即为最小费用最大流， 停止计算；否则用标号法找出x至y的最短路径P。
⒋ 根据P，在G上增流：对P的每条边（u,v），若G存在（u,v），则（u,v）增流；若G存在（v,u），则（v,u）减流。增（减）流后，应保证对任一边有c(e）≥ f(e）≥0。
⒌ 根据计算最短路径时的各顶点的标号值L(v），按下式修 改G一切边的权数w(e):
L(u)-L(v)+w(e）→w(e）。
⒍ 将新流视为初始流，转2。

⑷ 算法Network Flow 请问如何证明寻找流量网路G=（V，E）中的最大流量，递增路径最多只需要搜寻E

中国第一家-----

和引进的最大流量问题，我们举了一个最大的材料处理流程问题。如果这个问题的已知条件，包括每条边运输货物的单位成本，然后如何运输，以获得最大的交通和运输成本至少吗？这是所谓的最小费用最大流问题。
最大流量定义的基础上，如果每个除权号C（E）的边缘（边缘的能力）之外的另一权重W（E）（单位流量成本）网络，并已获得的最大流量值F ，然后最小费用最大流问题，显然可用来描述以下的线性规划模型：

最小ΣW（E）F（E）
E∈E

满足0≤F（E）≤C（E），所有e∈E
F +（V）= F（V），对所有的v∈V
F +（X） = F（最大流量限制）
（或f（y）= F）

解决最小费用最大流问题，有两个一般的方法。的方式计算的最大流量，最大流量算法，然后基于成本的边缘，检查是否有可能通过调整边缘交通流平衡的前提下，使总成本可降低？只要存在这样的可能性，这样的调整。调整到一个新的最大流量。
然后继续检查在这个新的流程的基础上，调整。迭代下去，直到没有调整是可能的，他们将有最小费用最大流。这一思路的特点是保持的可行性问题（始终保持最大流量）的最佳推进。的最大流量算法思想的方式和在前面所描述的另一种解决方案是类似的，通常开始与被给定为零流量的初始流动。此流的成本是零，当然，是最小的成本。流动增值链，然后寻找一个源点到汇点，但这种增加的流动链必须是所有增量流链成本中最小的一个。如果他们能找到，以增加流动链，增加，增加流链，揭示了一个新的流。作为初始流的流治疗，并继续寻找增加流量链增加流量。本次迭代中继续进行，直到没有找到增加的流动链，当流量的最低成本的最大流量。的想法？该算法是其特征在于通过维持最优（每一个新的流是最小费用流），同时逐渐靠近的可行的解决方案（可达的最大流量是一个可行的解决方案）。
由于到第二算法和最大流算法描述的方法和算法，以最小的成本增加流动链，可以转化为求源点??到汇点的最短路径问题，所以在这里介绍的算法。

在该算法中，为了寻求最小费用流链的增加，每个电流的流动，需要建立的网络流量网络流量不断增加。例如，图1 G的网络是一个具有最低成本的，边缘的下一个参数是c（e）中，“中f（E），瓦特（E），而图2是网络的流的增加的流网络G'。网络的顶点和原来的网络流量的增加。在网络边缘增加流量按以下原则：如果G边（u，v）的交通是不完整的，即F（U，V??） 0，G'CCT边（V ，U）授权W'（V，U）= W（U，V）。增加流动网络的建立，可以通过网络和源点的最短路径，汇点，这决定增加流动路径，这条路径在原有的网络流量增加。使用还增加了流动原则的最大流算法，最小费用流链的增加，增加了流动CD必须选择。
计算需要解决的一个问题。这是一个在流网络G'负侧增加，并且因此不能被直接施加到找到的最短路径x到y的标记方法，使用其他方法计算网络的最短路径的负侧，以找到的最短路径x到y，将极大地减少了计算效率。不过标签的方法来计算最短路径，增加的流量每次你创建了一个网络获得的最短路径，在网络G的权重w（E）做了修正，不会出现消极的一面，建立增加流动网络，最短路径不会改变。下面是这种方法。
时的流量值为零，第一建增流网络的最短路径，由于负侧的情况下，当然，可以用标记的方法来计算。之后，以建立一个提高网络消极的一面，采取的方法流边（F（E）> 0）的权利W（E）的G修正0。为此，每增加流动网络获得的最短路径，下面的公式为y =-L G新的边权重W（U，V）：

W（U，V）X（V） L（U）+ W（U V）（*）

其中，L（U），L（V） - G'最短路径计算时，u和v的数值。首先计算最短路径，如果（U，V）的流路侧，根据最短路径算法必须有L（V）= L（U）+ W（U，V）= L（U ）+ W（U，V），成（*），必须

瓦特“（U，V）= 0。

（U，V）不增加流动路径上的优势，你必须具备：
L.（V）≤L（U）+ W（U，V） BR />代（*）W（U，V）≥0。

可见瓦特（e）第一修正案，对任何一方，有W（E）≥0，边缘流（侧链上的流量增加），必须是w（ E）= 0。每次迭代后，如果f（U，V）> 0，由流动网络需要建立（V，U）的边缘，边缘的权重w（V，U）=-W（U，V）= 0，即不再出现在消极的一面。
此外，每次迭代计算（*）的公式解决所有的W（E），它是很容易证明，每个路径的x到y，同样提高其路径的长度L（X）-L（ Y）。因此，x到y的最短路径是不是由于瓦特（五）的变化的校正。

1。流网络G = [V，E，C，W]，初始流量值是零。
2。伴随着的增长的流网络G'= [V'，E'，W']。顶点
G'，G：V'= V
如果G F（U，V??）<C（U，V），G'建设的边缘（U，V）， W（U，V）= W（U，V）。
G，F（U，V??）> 0，则G'中建边（V，U）（V，U）W'= W（U，V）。
3。 G'有没有的路径x，Y G流的最小费用最大流的
停止计算，否则标记方法，找到最短的路径P x到y。
4。 P增加G流：每边的P（U，V），如果G（U，V），（U，V）的流量，如果G（V，U）（V，U）是流。增加（减少）的流量应确保任一侧上的c（五）≥（五）≥0。
5。根据计算出的最短路径的每个顶点的标签值L（V），下面的公式多少G的所有边缘的权重w（五）：

L（U） - L（ V）+ W（E）→W（E）。

6。新的数据流作为初始流动开启2。
-----------------的
======================
>下面是英语-----

最大流问题的介绍中，我们列出了一个流量最大的货物配送。如果这个问题还包括已知的条件下，各单位的交付货物的成本，那么如何运输到最低限度，以获得最多的流量，和运输成本？这是所谓的最大流问题的最低成本。
最大流量的基础上，定义，如果双方的第一优先受偿权数C（E）（即边缘的能力），但也有另一权重W（E）（单位成本流），并一直在寻求最大的网络流量F值，然后最小费用最大流问题，它是清除下面的线性规划模型可以用来描述如下：

最小ΣW（ E）F（E）
?∈E

满足0≤F（E）≤C（E），所有e∈E
F +（V）= F - （V），对所有的v∈V
F +（X）= F（最大流量限制）
（或F-（Y）= F）

]算法思想

解决最小费用最大流问题，一般有两种方式。一种方法是使用的最大流量的算法来计算的最大流量，然后根据在成本方面，检查它是否可以平衡流的流量调节侧，这样就降低总成本吗？只要存在这样的可能性，在这种调整。调整后的新的最大流量。
然后，新的流的基础上，继续检查和调整。迭代下去，直到没有调整可能，他们将有最小费用最大流。这一思路的特点是保持的可行性问题（始终保持最大流量），以促进最佳。到另一个解决方案，并在前面的最大流算法，介绍了类似的思路，首先，由于作为初始零流的一般流程。的流量为零的成本，当然，成本是最小的。 ，然后找到一个源到汇点的流链，这条产业链的要求，必须是一个流的全产业链成本最低。如果我们能找到的流程链，链中的流动，增加流量，一个新的流。将被视为初始流的流动，继续通过增加流的搜索链接。此迭代下去，直到发现通过流链，则该流程是最小费用最大流。 ？的特点，该算法的理念是保持最佳的解决方案（每个新的收费标准是最小的流），但逐渐接近可行的解决方案（最大流量是一个可行的解决方案时）。
第二种算法的结果，并引进的最大流算法发现的最小费用流链的算法，可以变成一个源到汇点的最短路径，因此该算法在这里。

在该算法中，为了寻求增加最小费用流链，目前流通的每一个陪同下，需要建立一个网络流的流量网络。例如，图1是网络G的最小费用流，旁边的参数C（E），F（E），W（E），图2是网络流量的流网络G'。由峰值流作为原来的网络的网络和相同的。通过下面的G中边（u，v）的原则，按照建立网络边缘的流：如果没有足够的流量，即f（U，V） 0，则G'建设边（V，U），使W'（V，U）= - W（U，V）。建立网络的流媒体，你可以在这个网络中寻求的交汇点源最短路径，流动路径所决定的，然后在这条道路在原有的网络流量。在这里，使用的最大流算法的原则，增加流量，但必须选择以最小的链流的成本。
计算，是一个需要解决的问题。这是流网络G'的权利，有消极的一面，因此标签法不能直接找到x到y的最短路径，使用权等消极的一面计算网络的方式的最短路径x y以找到最短路径，将极大地减少了计算效率。为了使用标签的方法来计算最短路径，每个数据流通过网络来??实现的最短路径，在网络G可以是正确的W（E）的修订，这样做流建立网络将不会是一个负的右侧，和保证的最短路径不改变。这种后的方法描述如下。
当流量值为零，第一内置流量网络的最短路径，非负的右侧的结果，当然，可用于计算标签法。为了增加流量的网络负的时间是不成立后，右侧所采取的方法是边流G（F（E）> 0），W（E）修订为0。为此，每次的最短路径，新的瓦特的右侧下面的计算中的G“（U，V）：通过以下方式获得的流网络

瓦特”（U，V）= ?（U）L（V）+ W（U，V）（*）

L（U），L（V） - G'的最短路径x到y的计算时u和v的值的标签。最短路径（U，V）的第一时间，如果是由边缘的流路，然后，根据最短路径算法必须具有L（ⅴ）= L（U）+ w'的（U，V）= L （U）+ W（U，V），代入（*）类型必须

W“（U，V）= 0。

如果（U，V）而不是由侧流道，它必须具备：
L（V）≤L（U）+ W（U，V），
（*）型，W（U ，V）≥0。

可见，W（E），对任何一方的第一次修正，有W（E）≥0，流侧（侧链流），将W（E）= 0。后，每一次迭代计算，如果F（U，V??）> 0，需要建立网络流量（V，U）边，边的权重w（V，U）= - 瓦特（U，V）= 0，即，右侧将不会是一个负侧。
另外，每次迭代的计算与（*）修复了所有的w（五），它是不难证明每个路径x到y，它的所有相同的增加路径长度L（x）的L（y）的，因此，x和y不会是最短路径为w（e）该修正变化。 / a>
] [计算步骤

在网络G = [V，E，C，W]，初始值是零流。
2。陪同这流网络G'= [V'，E'W'。
G'的顶点G：V'= V
如果F（U，V??）中的G 0，则（U，V），然后在建筑物的边缘G'（U，V），W（U，V）= W（U，V）。
G'建设边（V，U），W（V，U）= - W（U，V）。
3。如果G'X到Y的路径不存在，则G是最大流量，最小费用流
要停止计算;否则标记方法，用来找到x到y的最短路径P.
4。据至P，G中的流量增加：每个边缘的P （U，V），如果?（U，V），（U，V）流，如果G（V，U）（V，U），由流动增加（减少）的流量应任一侧上，以确保有是c（五）≥（五）≥0。
5。根据计算的最短路径的标签L的峰值的时间（v）中，按G型的所有边的权重W（E）：

L（U）（V）-L + W（E）→W（E）。
6。新的流作为初始流量为2。=========

希望能满足您的要求----

⑸ 运筹学，最小费用最大流问题。

不必那么麻烦，用excel规划求解，解决此类配送问题，就是几个按键的事轻松搞定。

不懂可以网络HI我。

规划问题专家，轻松帮你搞定规划。

⑹ 高分：网络流问题

一、引言

网络流算法是一种高效实用的算法，相对于其它图论算法来说，它的模型更加复杂，编程复杂度也更高。但是它综合了图论中的其它一些算法（如最短路径、宽度搜索算法），因而适用范围也更广，经常能够很好地解决一些搜索与动态规划无法解决的非np问题。
网络流在具体问题中的应用，最具挑战性的部分是模型的构造，它没用现成的模式可以套用，需要我们对各种网络流的性质了如指掌（比如点有容量、容量有上下限、多重边等等），根据具体的问题发挥我们的创造性。一道问题经常可以建立多种模型，不同的模型对问题的解决效率的影响也是不同的，本文通过实例探讨如何确定适当的模型，提高网络流算法的效率。

二、网络流算法时间效率

当我们确定问题可以使用最大流算法求解后，就根据常用的ford-fulkerson标号法求解；而最小（大）费用最大流问题也可用类似标号法的对偶算法解题。ford-fulkerson标号法的运行时间为o（ve2），对偶法求最小费用流的运行时间大约为o（v3e2）。

显然，影响网络流算法的时间效率的因素主要是网络中顶点的数目与边的数目。这二个因素之间不是相互独立的，而是相互联系，矛盾而统一的。在构造网络模型中，有时，实现了某个因素的优化，另外一个因素也随之得到了优化；有时，实现某个因素的优化却要以增大另一因素为代价。因此，我们在具体问题的解决中，要坚持"全局观"，实现二者的平衡。

三、模型的优化与选择

(一)减少模型的顶点数与边数，优化模型

如果能根据问题的一些特殊性质，减少网络模型中的顶点的数目和边的数目，则可以大大提高算法的效率。

例1：最少皇后控制

在国际象棋中，皇后能向八个方向攻击（如图1(a)所示，图中黑点格子为皇后的位置，标有k的格子为皇后可攻击到的格子）。现在给定一个m*n（n、m均不大于于50）的棋盘，棋盘上某些格子有障碍。每个皇后被放置在无障碍的格子中，它就控制了这个格子，除此，它可以从它能攻击到的最多8个格子中选一个格子来控制，如图1(b)所示，标号为1的格子被一个皇后所控制。

请你编一程序，计算出至少有多少个皇后才能完全控制整个棋盘。

图1(a) 图1(b)

输入格式：
输入文件的第一行有两个整数m和n，表示棋盘的行数与列数。接下来m行n列为一个字符矩阵，用''.''号表示空白的格子，''x''表示有障碍的格子。

输出格式：
输出文件的第一行仅有一个数s，表示需要皇后的数目。
sample input
3 4
x...
x.x.
.x..
sample ouput
5

问题分析]

如果本问题用简单的搜索来做，由于题目给的棋盘很大，搜索算法很难在短时间内出解。由于一个皇后在棋盘最多只能控制两个格子，因此最少需要的皇后数目的下界为[n*m/2]。要使得皇后数目最少，必定是尽量多的皇后控制两个格子。如果我们在每两个能相互攻击到的格子之间加上一条有向弧，则问题很类似于二分图的最大匹配问题。

[模型一]

1． 将每个非障碍的格子按行优先编号(0~m*n-1)。
2． 将上述的每个格子i折成两个格子i''和i''''，作为网络模型中的顶点。
3． 若格子i可以攻击到格子j且i<j，则在模型中顶点i''到j''''之间加上一条有向弧，容量为1。
4． 增加一个源点s，从s点向所有顶点i''添上一条弧；增加一个汇点t，从所有顶点j''''到t添上一条弧，容量均为1。

图1(b)所示的棋盘，对应的模型为：

图2

显然，任一解对应于以上模型的一个最大匹配。且最大匹配中，匹配数必定是偶数。因此至少需要的马匹数为m＊n－障碍数－最大匹配数/2。

[模型二]

如果我们将棋盘涂成黑白相间的格子，则某皇后控制的两个格子一定是一个是黑格，另一个是白格（如图3），不妨设这两个格子中皇后在白格子上。于是，我们将n*m个格子分成两部分白格与黑格。因此我们可以将模型一优化为：

图3

1．将棋盘中的所有格子分成两个部分，对所有的格子进行编号，每个白格与它能攻击到的黑格之间（障碍除外）添上一条从白格到黑格的弧，构成一个二分图。

2．增加一个源点s，从s点向所有非障碍的白格添上一条弧；增加一个汇点t，从所有非障碍的黑格到t添上一条弧。

3．设置所有的弧的流量为1。
图1(b)所示的棋盘，对应的模型为：

图4

[两种模型的比较]

显然，模型二的顶点数与边数大致是模型一的一半。下面是在bp环境下两种模型的时间效率比较(p166/32m)：

模型一 模型二

可扩展性 不易打印出一种解 容易打印出一种解

模型二正是根据问题的特殊性（即马的走法），将网格中的格点分成白与黑两类，且规定马只能从白格跳到黑格，从而避免将每个格点折分成两个点，减少模型的顶点数，同时也大大减少了边的数目。达到了很好的优化效果。

(二)综合各种模型的优点，智能选择模型

有时，同一问题的各种模型各有特色，各有利弊。这种情况下，我们就要综合考虑各种模型的优缺点，根据测试数据智能地选择问题的模型。

例2火星探测器（ioi97）

有一个登陆舱（pod），里边装有许多障碍物探测车（mev），将在火星表面着陆。着陆后，探测车离开登陆舱向相距不远的先期到达的传送器（transmitter）移动，mev一边移动，一边采集岩石（rock）标品，岩石由第一个访问到它的mev所采集，每块岩石只能被采集一次。但是这之后，其他mev可以从该处通过。探测车mev不能通过有障碍的地面。
本题限定探测车mev只能沿着格子向南或向东从登陆处向传送器transmitter移动，允许多个探测车mev在同一时间占据同一位置。

任务：计算出所有探测车的移动途径，使其送到传送器的岩石标本的数量最多，且使得所有的探测车都必须到达传送器。

输入：

火星表面上的登陆舱pod和传送器之间的位置用网络p和q表示，登陆舱pod的位置为（1，1）点，传送器的位置在（p，q）点。

火星上的不同表面用三种不同的数字符号来表示：

0代表平坦无障碍
1代表障碍
2代表石块。
输入文件的组成如下：
numberofvehicles
p
q
(x1y1)(x2y1)(x3,y1)…(xp-1y1)(xpy1)
(x1y2)(x2y2)(x3,y2)…(xp-1y1)(xpy2)
(x1y3)(x2y3)(x3,y3)…(xp-1y3)(xpy3)
…
(x1yq-1)(x2yq-1)(x3,yq-1)…(xp-1yq-1)(xpyq-1)
(x1yq)(x2yq)(x3,yq)…(xp-1yq)(xpyq)
p和q是网络的大小；numberofvehicles是小于1000的整数，表示由登陆舱pod所开出的探测车的个数。共有q行数据，每行表示火星表面的一组数据，p和q都不超过128。

[模型一]

很自然我们以登陆舱的位置为源点，传送器的位置为汇点。同时某块岩石由第一个访问到它的mev所采集，每块岩石只能被采集一次。但是这之后，其他mev可以从该处通过，且允许多个探测车mev在同一时间占据同一位置。因此我们将地图中的每个点分成两个点，即（x,y）à(x,y,0)和(x,y,1)。具体的描述一个火星地图的网络模型构造如下：

1． 将网格中的每个非障碍点分成(x,y)两个点(x,y,0)和(x,y,1)，其中源点s = v(1, 1, 0),汇点t = v(maxx, maxy, 1)。

2． 在以上顶点中添加以下三种类型的边e1,e2,e3，相应地容量和费用分别记为c1、c2、c3以及w1、w2、w3:

u e1 = v(x, y, 0) -> v(x, y, 1),c1 = maxint,w1 = 0。
u e2 = v(x, y, 0) -> v(x, y, 1)，c2 = 1，w2 = -1（这里要求(x, y)必须是矿石）
u e3 = v(x, y, 1) -> v(x'', y'', 0)，c3 = maxint,w3 = 0.

其中x''=x+1 y''=y 或x''=x y''=y+1,1 <= x'' <= maxx，1 <= y'' <= maxy，且(x'' y'')非障碍。

从以上模型中可以看出，在构造的过程中，将地图上的一个点"拆"成了网络的两个节点。添加e1型边使得每个点可以被多次访问，而添加e2型边使得某点上的矿石对于这个网络，从s到t的一条路径可以看作是一辆探测车的行动路线。路径费用就是探测车搜集到的矿石的数目。对于网络g求流量为numberofvehicles的固定最小费用流，可以得到问题的解。

[模型二]

事实上，如果我们只考虑这numberofvehicles辆车中每辆车分别依次装上哪些矿石。则每辆车经过的矿石就是一条流，因此我们以网格中的矿石为网络的顶点建立以下的网络流模型。

1. 将网格中的每个起点(网格左上角)能到达，且能从它能到达终点(右下角)的矿石 (x,y)点分成左点(x,y,0)和右点(x,y,1)两个点，并添加源点s和汇点t。
2. 在以上顶点中添加以下五种类型的边e1,e2,e3，相应地容量和费用分别记为c1、c2、c3以及w1、w2、w3:

u e1 = v(x, y, 0) -> v(x, y, 1),c1 = 1,w1 = -1。
u e2 = v(x, y, 1) -> v(x'', y'', 0)，c2 = 1，w2 = 0（矿石点(x, y)可到达矿石点(x'',y'')）。
u e3 = s -> v(x, y, 0)，c3 = 1,w3 = 0。
u e4 = v(x, y, 1)->t，c4 = 1,w4 = 0。
u e5=s->t,c5=maxint,w5=0。

由于每个石块被折成两个点，且容量为1，就保证了每个石块只被取走一次，同时取走一块石块就得到-1的费用。因此对以上模型，我们求流量为numberofvehicles的最小费用流，就可得到解。

[两种模型的比较]

1.模型一以网格为顶点，模型二以矿石为顶点，因此在顶点个数上模型二明显优于模型一，对于一些矿石比较稀疏，而网格又比较大的数据，模型二的效率要比模型一来得高。且只要矿石的个数不超过一定数目，模型二可以处理p，q很大的数据，而模型一却不行。

2．模型一中边的数目最多为3*p*q，而模型二中边的数目最坏情况下大约为p*q*(p+1)*(q+1)/4-p*q。因此在这个问题中，若对于一些矿石比较密集且网格又比较大的数据，模型二的边数将大大超过模型一，从而使得时间效率大大低于模型一。

下面是网格中都是矿石的情况比较（piii700/128m ，bp7.0保护模式）：
numberofvehicles＝10 模型一 模型二

通过以上数据，可知对于p，q不超过60的情况，模型一都能在10秒内出解。而模型二则对于p、q＝30的最坏情况下速度就很慢了，且p、q超过30后就出现内存溢出情况，而无法解决。

因此，对于本题，以上两种模型各有利弊，我们可根据测试数据中矿石稀疏程度来决定建立什么样的模型。若矿石比较稀疏，则可以考虑用建立如模型二的网络模型；若矿石比较密集则建立模型一所示网络模型。然后，再应用求最小费用最大流算法求解。对于p，q＞60，且矿石比较多情况下，两种模型的网络流算法都无法求解。在实际的应用中问题经常都只要求近似解，此时还可用综合一些其它算法来求解。

四、结束语

综上所述，网络流算法中模型的优化是网络流算法提高效率的根本。我们要根据实际问题，从减少顶点及边的角度综合考虑如何对模型进行优化，选择适当的模型，以提高算法的效率。对于有些题目，解题的各种模型各有优劣时，还可通过程序自动分析测试数据，以决定何种情况下采用何种模型，充分发挥各种模型的优点，以达到优化程序效率的目的。

⑺ 最小费用最大流问题的介绍

最小费用最大流问题是经济学和管理学中的一类典型问题。在一个网络中每段路径都有“容量”和“费用”两个限制的条件下，此类问题的研究试图寻找出：流量从A到B，如何选择路径、分配经过路径的流量，可以在流量最大的前提下，达到所用的费用最小的要求。如n辆卡车要运送物品，从A地到B地。由于每条路段都有不同的路费要缴纳，每条路能容纳的车的数量有限制，最小费用最大流问题指如何分配卡车的出发路径可以达到费用最低，物品又能全部送到。

⑻ 最小费用流和最小费用最大流有什么区别

最小费用最大流是指：满足最大流的情况下，让费用最小。
最小费用流：仅要求费用最小，通常情况下有费用为负的边权(如果费用全为正，那么可以让流量为0，费用也就是0)，可以使用最小费用最大流的算法求解，只不过终止条件变为“从原点到汇点的费用为正”
最小费用最大流算法的原本终止条件为“从原点到汇点的容量为0”

⑼ 关于最小费用最大流

const
maxn=100;
maxq=100000;

var
p,c,f:array[1..maxn,1..maxn] of longint;
dist,path:array[1..maxn] of longint;
q:array[1..maxq] of longint;
check:array[1..maxn] of 0..1;
n,m:longint;
mark:boolean;

procere init;
var
s,t,r,w,i,j:longint;
begin
readln (n);
readln (m);
for i:=1 to m do begin
readln (s,t,r,w);
c[s,t]:=r;p[s,t]:=w;
end;
end;

procere main;
var
i,j,a,r,l,k:longint;
begin
fillchar(f,sizeof(f),0);
mark:=true;
while mark do begin
q[1]:=1;r:=0;l:=1;
mark:=false;
for i:=2 to n do dist[i]:=maxlongint;
fillchar(check,sizeof(check),0);dist[1]:=0;
fillchar(path,sizeof(path),0);
while r<l do begin
inc(r);
for i:=2 to n do if (c[i,q[r]]<>0) or (c[q[r],i]<>0) then begin
if (c[q[r],i]<>0) and (f[q[r],i]<c[q[r],i]) and (dist[q[r]]+p[q[r],i]<dist[i]) then begin
dist[i]:=dist[q[r]]+p[q[r],i];
path[i]:=q[r];
if check[i]=0 then begin inc(l);q[l]:=i;check[i]:=1;end;
end;
if (c[i,q[r]]<>0) and (f[i,q[r]]<>0) and (dist[q[r]]-p[i,q[r]]<dist[i]) then begin
dist[i]:=dist[q[r]]-p[i,q[r]];
path[i]:=-q[r];
if check[i]=0 then begin inc(l);q[l]:=i;check[i]:=1;end;
end;
end;
check[q[r]]:=0;
end;
if path[n]<>0 then begin
mark:=true;
l:=n;a:=maxlongint;
while l<>1 do begin
k:=abs(path[l]);
if path[l]>0 then begin
if c[k,l]-f[k,l]<a then a:=c[k,l]-f[k,l];
end
else begin
if f[l,k]<a then a:=f[l,k];
end;
l:=k;
end;
l:=n;
while l<>1 do begin
k:=abs(path[l]);
if path[l]>0 then inc(f[k,l],a)
else dec(f[l,k],a);
l:=k;
end;
end;
end;
end;

procere print;
var
i,j,s:longint;
begin
s:=0;for i:=1 to n-1 do inc(s,f[i,n]);
writeln (s);
s:=0;
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do inc(s,f[i,j]*p[i,j]);
writeln (s);
end;

begin
init;
main;
print;
end.

最小费用最大流。

你的好长啊。···

把程序看懂后自己可以化嘛。
我暂时找不到用边存储的题目。 化为边后不小心错了也有可能。