二面角角度算法

A. 求二面角的方法(越详细越好)

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面)。二面角的大小可以用它的平面角度来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

0≤θ≤π（不小于0°，不大于180°）

（注：既然二面角是空间立体图形，那么我们可以将180°～360°的另一边看成0°～180°）

作二面角的平面角的常用方法有六种：

1、定义法：在棱上取一点A，然后在两个平面内分别作过棱上A点的垂线。有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。

2、垂面法：作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角

3、面积射影定理：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。即公式cosθ=S'/S（S'为射影面积，S为斜面面积）。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。

4、三垂线定理及其逆定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。

5、向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。

6、转化法：在二面角α-l-β其中一个半平面α上找一点P，求出P到β的距离h和P到l的距离d，那么arcsin(h/d)（二面角为锐角）或π-arcsin(h/d)（二面角为钝角）就是二面角的大小。

7,、三面角余弦定理法：详细见相关词条。

8、三正弦定理法：详细见相关词条。

9、异面直线的距离法：设二面角为C-AB-D，其中AC和BD互为异面直线且AC⊥AB，BD⊥AB（即AB是异面直线AC和BD的公垂线）。设AB=d，CD=l，AC=m，BD=n，根据

来求异面直线所成角θ。利用该方法求θ必须先由图像判断二面角是锐角还是钝角。如果是锐角，那么取正号；钝角，那么取负号。待求出θ以后，如果二面角是锐角，那么二面角的大小就是θ；钝角，那么二面角的大小就是π-θ。

其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。

二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。

几何法

（1）作出二面角的平面角

A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；

B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；

C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；

D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。

（2）证明该角为平面角

（3）归纳到三角形求角

B. 二面角的做法

高中数学二面角不会做？来传授你不一样的空间角解法！

立体几何空间角考点在高考会如何考查，有无更加简便快捷的解题方法解题？A+课堂区今天给大家来点不一样的空间角解法！

二面角是高考理科数学的常客，出现的几率超过80%，通常最直接的考法就是让你求出二面角或者是二面角的各种三角函数值，另外的一种则是给出某个二面角的三角函数值作为条件。

而同学们在遇到第一种情况的时候，通常通过建立空间直角坐标系，求出法向量的办法来解决，但是遇到第二种情况的时候，更多的同学则是无从下手。

究其原因，就是从2004年高考引入空间直角坐标系的做法之后，很多同学都开始不重视二面角或者其他空间角的本质，不懂如何画出空间角的平面角，更不要说用别的方法来解决这类型的题目了，这样的情况就导致了去年全国一卷里面的一道需要求出异面直线的夹角选择题，文科的同学大面积失分，而部分的理科同学虽然通过建立坐标系解决了本题，但是却失去了很多宝贵的时间，最终分数没达到理想。

下面我们来看看例题↓↓

这个方法是求异面直线求角的基本方法，通过平移成角，最后连线在三角形里面简单的运用解三角形的方法求出角的大小。

这种异面直线的夹角由于文科的考生也会考，所以，还是有些同学懂的，但是假如是理科中二面角的题目，如果不让建系，估计大部分的同学都两眼一黑，晕倒了。其实，在考试中，如果我们能够熟练地运用不建系的方法来解决二面角的问题的话，将会大大地节省各位的时间，另外，面对二面角的条件，也能更好地运用了。

简单来说，传统的二面角求法有类似异面直线的直接法，还有射影法等等，这次我们就通过2017年广州一模理科数学的第19题，给大家简单介绍一下这两种方法是如何运用的。

2017年广州一模理科数学19（本小题满分12分）↓↓

这就是我们常见的传统求二面角大小的两种方法，假如大家能掌握的话，自然在高考中会比其他同学要节省下不少时间。当然，对于实在喜欢建系解题的同学，其实法向量也有另外一种更加方便的求法——行列式秒杀法向量大法。这一个方法在我们的寒假直播课有讲到，想学的同学可以看看我在寒假班所讲的内容。

另外，行列式除了能够秒杀法向量的题目以外，还有很多妙用，想学的同学请留意A+课堂直播课的内容。