积分求和的运算法则

❶ 定积分的运算公式

具体计算公式参照如图：

定积分

限多个原函数。

定积分 （definite integral）

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；

若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

积分在实际问题中的应用

（一）经济问题

某工厂技术人员告诉他的老板某种产品的总产量关于时间的变化率为R′（t）=50+5t-0.6t2，现在老板想知道4个小时内他的工人到底能生产出多少产品。

如果我们假设这段时间为[1，5]，生产的产品总量为R，则总产量R在t时刻的产量，即微元dR=R′（t）dt=（50+5t-0.6t2）dt。因此，在[1，5]内总产量为

（二）压缩机做功问题

在生产生活过程中，压缩机做功问题由于关系到能源节约问题，因此备受大家关注。假设地面上有一个底半径为5 m， 高为20 m的圆柱形水池， 往里灌满了水。

如果要把池中所有的水抽出，则需要压缩机做多少功？此时，由于考虑到池中的水被不间断地抽出，可将抽出的水分割成不同的水层。

同时， 把每层的水被抽出时需要的功定义为功微元。这样，该问题就可通过微元法解决了。

具体操作如下： 将水面看做是原点所在的位置， 竖直向下做x轴。当水平从x处下降了dx时， 我们近似地认为厚度为dx的这层水都下降了x，因而这层水所做的功微元dw≈25πxdx（J）。当水被完全抽出， 池内的水从20 m下降为 0 m。

根据微元法， 压缩机所做的功为W=25πxdx=15708（J） 。

（三）液体静压力问题

在农业生产过程中，为了保证农田的供水，常常需要建造各种储水池。因此，我们需要了解有关静压力问题。

在农田中有一个宽为 4 m， 高为3 m， 且顶部在水下 5 m的闸门， 它垂直于水面放置。此闸门所受的水压力为多少？我们可以考虑将闸门分成若干个平行于水面的小长方体。

此时， 闸门所受的压力可看做是小长方体所受的压力总和。 当小长方体的截面很窄的情况下， 可用其截面沿线上的压强来近似代替各个点处的压强。 任取一小长方体，其压强可表示为1・x=x， 长方体截面的面积为ΔA=4dx， 从而ΔF≈x・4dx，

利用微元法求解定积分，还可以解决很多实际工程问题，关键是要掌握好换“元” 的技巧。这就需要我们解决问题时，要特别注意思想方法。思想方法形式多种多样，如以直代曲、以均匀代不均匀、以不变代变化等。

参考资料：

网络-定积分

❷ 高等数学里 求和符号∑的运算法则是什么跪求详细一点的回答～～～～

求和法则：∑j=1+2+3+…+n。

大写Σ用于数学上的总和符号，比如：∑Pi，其中i=1,2,...,T，即为求P1 + P2 + ... + PT的和。小写σ用于统计学上的标准差。∑公式计算：表示起和止的数。比如说下面n=2,上面数字10，表示从2起到10止。

例一：

100

∑ n

n=1

式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以用“1+2+3+4+5+…+100”表示。

例二：

10

∑2i

i=2

表示和式：(2*2)+(2*3)+(2*4)+......+(2*10），即从4开始，一直到40的偶数的和。

(2)积分求和的运算法则扩展阅读：

数学其他常用符号

1、数量符号：如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。

2、运算符号：如加号（＋），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（∫）等。

3、关系符号：如“＝”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“→ ”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“‖”是平行符号。

4、结合符号：如小括号“（）”中括号“〔〕”，大括号“｛｝”横线“—”。

5、性质符号：如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“‖”。

❸ 有关积分 求和

考虑
∑1，n 1/(i^2) x^i x为任意常数
=∑1，n {∫d[1/(i^2)x^i]/dx }
∑1，n {∫（1/i）x^（i-1）dx}
=∑1，n {∫1/x*（1/i）x^idx}
=∑1，n {∫1/x∫x^（i-1）dxdx}
根据性质，求和号可以提进积分号：
= ∫1/x∫∑（1，n）x^（i-1）dxdx
=∫1/x[∫(1-x^n)/(1-x)]dxdx
=∫1/x*(1+x+x^2+...+x^(n-1))dx
=∫(1/x+1+x+...x^(n-2))dx
=lnx+x+x^2+...x^(n-1)

令x=1，则∑1，n 1/(i^2) x^i=∑1，n 1/(i^2)
所以∑1，n 1/(i^2)=0+1+1...+1=n-1