智能算法参数优化

Ⅰ 智能优化算法：灰狼优化算法

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摘要：受 灰 狼 群 体 捕 食 行 为 的 启 发，Mirjalili等[1]于 2014年提出了一种新型群体智能优化算法：灰狼优化算法。GWO通过模拟灰狼群体捕食行为，基于狼群群体协作的机制来达到优化的目的。 GWO算法具有结构简单、需要调节的参数少，容易实现等特点，其中存在能够自适应调整的收敛因子以及信息反馈机制，能够在局部寻优与全局搜索之间实现平衡，因此在对问题的求解精度和收敛速度方面都有良好的性能。

灰狼属于犬科动物，被认为是顶级的掠食者，它们处于生物圈食物链的顶端。灰狼大多喜欢群居，每个群体中平均有5-12只狼。特别令人感兴趣的是，它们具有非常严格的社会等级层次制度，如图1所示。金字塔第一层为种群中的领导者，称为 α 。在狼群中 α 是具有管理能力的个体，主要负责关于狩猎、睡觉的时间和地方、食物分配等群体中各项决策的事务。金字塔第二层是 α 的智囊团队，称为 β 。 β 主要负责协助α 进行决策。当整个狼群的 α 出现空缺时，β 将接替 α 的位置。 β 在狼群中的支配权仅次于 α，它将 α 的命令下达给其他成员，并将其他成员的执行情况反馈给 α 起着桥梁的作用。金字塔第三层是 δ ，δ 听从 α 和 β 的决策命令，主要负责侦查、放哨、看护等事务。适应度不好的 α 和 β 也会降为 δ 。金字塔最底层是 ω ，主要负责种群内部关系的平衡。

<center>图1.灰狼的社会等级制度

此外，集体狩猎是灰狼的另一个迷人的社会行为。灰狼的社会等级在群体狩猎过程中发挥着重要的作用，捕食的过程在 α 的带领下完成。灰狼的狩猎包括以下 3个主要部分：
1）跟踪、追逐和接近猎物；
2）追捕、包围和骚扰猎物，直到它停止移动；
3）攻击猎物

在狩猎过程中，将灰狼围捕猎物的行为定义如下：

式（1）表示个体与猎物间的距离，式（2）是灰狼的位置更新公式。其中, 是目前的迭代代数， 和 是系数向量， 和 分别是猎物的位置向量和灰狼的位置向量。 和 的计算公式如下：

其中， 是收敛因子，随着迭代次数从2线性减小到0, 和 的模取[0,1]之间的随机数。

灰狼能够识别猎物的位置并包围它们。当灰狼识别出猎物的位置后，β 和 δ 在 α 的带领下指导狼群包围猎物。在优化问题的决策空间中，我们对最佳解决方案（猎物的位置）并不了解。因此，为了模拟灰狼的狩猎行为，我们假设 α ，β 和 δ 更了解猎物的潜在位置。我们保存迄今为止取得的3个最优解决方案，并利用这三者的位置来判断猎物所在的位置，同时强迫其他灰狼个体（包括 ω ）依据最优灰狼个体的位置来更新其位置，逐渐逼近猎物。狼群内个体跟踪猎物位置的机制如图2所示。

<center>图2.GWO 算法中灰狼位置更新示意图

灰狼个体跟踪猎物位置的数学模型描述如下:

其中， 分别表示分别表示 α ， β 和 δ 与其他个体间的距离。 分别代表 α ， β 和 δ 的当前位置； 是随机向量， 是当前灰狼的位置。

式(6)分别定义了狼群中 ω 个体朝向 α ，β 和 δ 前进的步长和方向，式(7)定义了 ω 的最终位置。

当猎物停止移动时，灰狼通过攻击来完成狩猎过程。为了模拟逼近猎物， 的值被逐渐减小，因此 的波动范围也随之减小。换句话说，在迭代过程中，当 的值从2线性下降到0时，其对应的 的值也在区间[-a,a]内变化。如图3a所示，当 的值位于区间内时，灰狼的下一位置可以位于其当前位置和猎物位置之间的任意位置。当 时，狼群向猎物发起攻击（陷入局部最优）。

灰狼根据 α ,β 和 δ 的位置来搜索猎物。灰狼在寻找猎物时彼此分开，然后聚集在一起攻击猎物。基于数学建模的散度，可以用 大于1 或小于-1 的随机值来迫使灰狼与猎物分离，这强调了勘探（探索）并允许 GWO 算法全局搜索最优解。如图3b所示， 强迫灰狼与猎物（局部最优）分离，希望找到更合适的猎物（全局最优）。GWO 算法还有另一个组件 来帮助发现新的解决方案。由式(4)可知， 是[0,2]之间的随机值。 表示狼所在的位置对猎物影响的随机权重， 表示影响权重大，反之，表示影响权重小。这有助于 GWO算法更随机地表现并支持探索，同时可在优化过程中避免陷入局部最优。另外，与 不同 是非线性减小的。这样，从最初的迭代到最终的迭代中，它都提供了决策空间中的全局搜索。在算法陷入了局部最优并且不易跳出时， 的随机性在避免局部最优方面发挥了非常重要的作用，尤其是在最后需要获得全局最优解的迭代中。

<center>图4.算法流程图

[1] Seyedali Mirjalili,Seyed Mohammad Mirjalili,Andrew Lewis. Grey Wolf Optimizer[J]. Advances in Engineering Software,2014,69.

[2] 张晓凤,王秀英.灰狼优化算法研究综述[J].计算机科学,2019,46(03):30-38.

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文献复现：
文献复现：基于翻筋斗觅食策略的灰狼优化算法（DSFGWO）
[1]王正通,程凤芹,尤文,李双.基于翻筋斗觅食策略的灰狼优化算法[J/OL].计算机应用研究:1-5[2021-02-01]. https://doi.org/10.19734/j.issn.1001-3695.2020.04.0102 .

文献复现：基于透镜成像学习策略的灰狼优化算法（LIS-GWO）
[1]龙文,伍铁斌,唐明珠,徐明,蔡绍洪.基于透镜成像学习策略的灰狼优化算法[J].自动化学报,2020,46(10):2148-2164.

文献复现：一种优化局部搜索能力的灰狼算法（IGWO）
[1]王习涛.一种优化局部搜索能力的灰狼算法[J].计算机时代,2020(12):53-55.

文献复现：基于自适应头狼的灰狼优化算法（ALGWO）
[1]郭阳,张涛,胡玉蝶,杜航.基于自适应头狼的灰狼优化算法[J].成都大学学报(自然科学版),2020,39(01):60-63+73.

文献复现：基于自适应正态云模型的灰狼优化算法 （CGWO）
[1]张铸,饶盛华,张仕杰.基于自适应正态云模型的灰狼优化算法[J/OL].控制与决策:1-6[2021-02-08]. https://doi.org/10.13195/j.kzyjc.2020.0233 .

文献复现：改进非线性收敛因子灰狼优化算法
[1]王正通,尤文,李双.改进非线性收敛因子灰狼优化算法[J].长春工业大学学报,2020,41(02):122-127.

文献复现：一种基于收敛因子改进的灰狼优化算法
[1]邢燕祯,王东辉.一种基于收敛因子改进的灰狼优化算法[J].网络新媒体技术,2020,9(03):28-34.

文献复现:基于莱维飞行和随机游动策略的灰狼算法（GWOM ）
[1]李阳,李维刚,赵云涛,刘翱.基于莱维飞行和随机游动策略的灰狼算法[J].计算机科学,2020,47(08):291-296.

文献复现:一种改进的灰狼优化算法(EGWO)
[1]龙文,蔡绍洪,焦建军,伍铁斌.一种改进的灰狼优化算法[J].电子学报,2019,47(01):169-175.

文献复现:改进收敛因子和比例权重的灰狼优化算法(CGWO)
[1]王秋萍,王梦娜,王晓峰.改进收敛因子和比例权重的灰狼优化算法[J].计算机工程与应用,2019,55(21):60-65+98.

文献复现:一种改进非线性收敛方式的灰狼优化算法研究(CGWO)
[1]谈发明,赵俊杰,王琪.一种改进非线性收敛方式的灰狼优化算法研究[J].微电子学与计算机,2019,36(05):89-95.

文献复现:一种基于Tent 映射的混合灰狼优化的改进算法(PSOGWO)
[1]滕志军,吕金玲,郭力文,许媛媛.一种基于Tent映射的混合灰狼优化的改进算法[J].哈尔滨工业大学学报,2018,50(11):40-49.

文献复现:基于差分进化与优胜劣汰策略的灰狼优化算法(IGWO)
[1]朱海波,张勇.基于差分进化与优胜劣汰策略的灰狼优化算法[J].南京理工大学学报,2018,42(06):678-686.

文献复现:基于 Iterative 映射和单纯形法的改进灰狼优化算法(SMIGWO)
[1]王梦娜,王秋萍,王晓峰.基于Iterative映射和单纯形法的改进灰狼优化算法[J].计算机应用,2018,38(S2):16-20+54.

文献复现:一种基于混合策略的灰狼优化算法(EPDGWO)
[1]牛家彬,王辉.一种基于混合策略的灰狼优化算法[J].齐齐哈尔大学学报(自然科学版),2018,34(01):16-19+32.

文献复现:基于随机收敛因子和差分变异的改进灰狼优化算法(IGWO)
[1]徐松金,龙文.基于随机收敛因子和差分变异的改进灰狼优化算法[J].科学技术与工程,2018,18(23):252-256.

文献复现:一种基于差分进化和灰狼算法的混合优化算法(DEGWO)
[1]金星,邵珠超,王盛慧.一种基于差分进化和灰狼算法的混合优化算法[J].科学技术与工程,2017,17(16):266-269.

文献复现:协调探索和开发能力的改进灰狼优化算法(IGWO)
[1]龙文,伍铁斌.协调探索和开发能力的改进灰狼优化算法[J].控制与决策,2017,32(10):1749-1757.

文献复现:基于Cat混沌与高斯变异的改进灰狼优化算法(IGWO)
[1]徐辰华,李成县,喻昕,黄清宝.基于Cat混沌与高斯变异的改进灰狼优化算法[J].计算机工程与应用,2017,53(04):1-9+50.

文献复现:具有自适应搜索策略的灰狼优化算法(SAGWO)
[1]魏政磊,赵辉,韩邦杰,孙楚,李牧东.具有自适应搜索策略的灰狼优化算法[J].计算机科学,2017,44(03):259-263.

文献复现:采用动态权重和概率扰动策略改进的灰狼优化算法(IGWO)
[1]陈闯,Ryad Chellali,邢尹.采用动态权重和概率扰动策略改进的灰狼优化算法[J].计算机应用,2017,37(12):3493-3497+3508.

文献复现:具有自适应调整策略的混沌灰狼优化算法(CLSGWO)
[1]张悦,孙惠香,魏政磊,韩博.具有自适应调整策略的混沌灰狼优化算法[J].计算机科学,2017,44(S2):119-122+159.

文献复现:强化狼群等级制度的灰狼优化算法(GWOSH)
[1]张新明,涂强,康强,程金凤.强化狼群等级制度的灰狼优化算法[J].数据采集与处理,2017,32(05):879-889.

文献复现:一种新型非线性收敛因子的灰狼优化算法(NGWO)
[1]王敏,唐明珠.一种新型非线性收敛因子的灰狼优化算法[J].计算机应用研究,2016,33(12):3648-3653.

文献复现:重选精英个体的非线性收敛灰狼优化算法(EGWO)
[1]黎素涵,叶春明.重选精英个体的非线性收敛灰狼优化算法[J].计算机工程与应用,2021,57(01):62-68.

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Ⅱ 什么是智能优化算法

智能优化算法是一种启发式优化算法，包括遗传算法、蚁群算法、禁忌搜索算法、模拟退火算法、粒子群算法等。·智能优化算法一般是针对具体问题设计相关的算法，理论要求弱，技术性强。一般，我们会把智能算法与最优化算法进行比较，相比之下，智能算法速度快，应用性强。

Ⅲ 智能优化算法：哈里斯鹰算法

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摘要：2019 年 Heidari 等人提出哈里斯鹰优化算法(Harris Hawk Optimization, HHO)，该算法有较强的全局搜索能力，并且需要调节的参数较少的优点。

哈里斯鹰优化算法是一种模拟哈里斯鹰捕食行为的智能优化算法，主要由 3 部分组成：搜索阶段、搜索与开发的转换和开发阶段。

哈里斯鹰随机栖息在某个地方，通过 2 种策略找到猎物：

其中， 分别为当前和下一次迭代式时个体的位置， 为迭代次数， 为随机选出的个体位置， 为猎物位置，即拥有最优适应度的个体位置， 都是[0,1]之间的随机数。 用来随机选择要采用的策略， 为个体平均位置，表达式为：

其中， 为种群中第 个个体的位置， 为种群规模。

HHO 算法根据猎物的逃逸能量在搜索和不同的开发行为之间转换，逃逸能量定义为：

其中， 是猎物的初始能量，为 [-1,1] 之间的随机数，每次迭代时自动更新，t为迭代次数，T 为最大迭代次数。当 时进入搜索阶段， 当时进入开发阶段。

定义r为[0,1] 之间的随机数，用于选择不同的开发策略。当 且 时，采取软围攻策略进行位置更新：

其中， 表示猎物位置与个体当前位置的差值， 为 [0, 2] 之间的随机数。

当 且 时采取硬围攻策略进行位置更新：

当 且 时，采取渐近式快速俯冲的软包围策略进行位置更新：

其中， 为适应度函数， 为 2 维随机向量，元素为[0,1] 之间的随机数， 是莱维飞行的数学表达式。

当 且 时，采取渐近式快速俯冲的硬包围策略进行位置更新：

算法步骤：

步骤 1：种群初始化。根据搜索空间每一维的上界和下界，初始化每个个体。

步骤 2：计算初始适应度。将适应度最优的个体位置设为当前猎物位置。

步骤 3：位置更新。先通过更新猎物逃逸能量，然后根据逃逸能量和生成的随机数执行搜索或开发行为中对应的位置更新策略。

步骤 4：计算适应度。计算位置更新后的个体适应度，并与猎物适应度值进行比较，若位置更新后的个体适应度值优于猎物，则以适应度
值更优的个体位置作为新的猎物位置。

重复步骤 3 和步骤 4，当算法迭代次数达到最大迭代次数时。输出当前猎物位置作为目标的估计位置。

[1] HEIDARI A A, MIRJALILI S, FARIS H, et al. Harris hawks optimization: algorithm and applications[J]. Future Generation Computer Systems, 2019, 97: 849-872.

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文献复现：
[1]汤安迪,韩统,徐登武,谢磊.混沌精英哈里斯鹰优化算法[J/OL].计算机应用:1-10[2021-01-29]. http://kns.cnki.net/kcms/detail/51.1307.TP.20210114.0947.032.html .
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Ⅳ 什么是智能优化算法

群体智能优化算法是一类基于概率的随机搜索进化算法，各个算法之间存在结构、研究内容、计算方法等具有较大的相似性。因此，群体智能优化算法可以建立一个基本的理论框架模式：

Step1：设置参数，初始化种群；

Step2：生成一组解，计算其适应值；

Step3：由个体最有适应着，通过比较得到群体最优适应值；

Step4：判断终止条件示否满足？如果满足，结束迭代；否则，转向Step2；

各个群体智能算法之间最大不同在于算法更新规则上，有基于模拟群居生物运动步长更新的（如PSO，AFSA与SFLA），也有根据某种算法机理设置更新规则（如ACO）。

(4)智能算法参数优化扩展阅读

优化算法有很多，经典算法包括：有线性规划，动态规划等；改进型局部搜索算法包括爬山法，最速下降法等，模拟退火、遗传算法以及禁忌搜索称作指导性搜索法。而神经网络，混沌搜索则属于系统动态演化方法。

优化思想里面经常提到邻域函数，它的作用是指出如何由当前解得到一个（组）新解。其具体实现方式要根据具体问题分析来定。

Ⅳ 智能优化算法：自私羊群优化算法

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摘要：自私羊群优化 （Selfish Herds optimization，SHO） 算法是由 Fausto 于 2017 年提出的元启发式算法。该算法主要模拟羊群受到捕食者攻击时的自私行为（尽量聚集到牧群中心远离捕食者），它具有易于理解和实施的特点。

SHO 算法它主要基于汉密尔顿提出的自私群理论来模拟猎物与捕食者之间的狩猎关系。当群体中的个体受到捕食者的攻击时，为了增加生存机会，群体中的个体产生聚集行为，个体更有可能移动到相对安
全的位置（群体的中心位置），并且群体的边缘个体更容易受到攻击，这也导致群体的边缘个体逃离群体，以增加他们被捕食者攻击时的生存机会。该方法假设整个平原是一个解空间，该算法包含两个不同的搜索因子：被狩猎群和狩猎群。每个搜索因子通过一组不同的进
化算子指导算法的计算，以便更好地模拟猎物与捕食者关系之间的关系。

假设自私羊群体优化算法的群体集合是 ，它包含 个种群个体，种群中的每一个体被定义为 ，其代表个体在种群中的位置信息，n 代表解决方案的大小。整个种群组的初始化公式如下：

其中 和 分别表示解空间的下限和上限。算法参数值的范围: 和 。 表示随机函数，生成值的范围落在区间[0,1]内。

在自私羊群优化算法中，整个种群 被分为两个子群： 和 代表一群猎物， 代表一群捕食者。在自然界中，猎物的数量通常多于捕食者的数量。在 SHO 中，猎物 的数量占总个体的 70%~90% ( ) ，其余的个体被认为是捕食者 ( ) 。 和 按以下公式计算:

其中， 表示一个随机数，其值范围为 0.7到 0.9， 表示将实数转换为整数的函数。

在 SHO 中，为整个种群 ( ) 的每个体 ( ) 分配一个生存值 ( ) ，其代表个体的生存能力，有机会在攻击中生存或成功杀死攻击中的猎物。生存价值的数学公式定义如下：

其中， 代表目标函数， 和 分别代表目标函数的最佳值和最差值。对 70%~90%的猎物计算生存价值，生存价值最高的为猎物领袖，生存价值越低的为最容易被捕获的猎物。

基于 SHO 的算法的结构主要包括四个方面：① 猎物（被捕食者）领袖的运动；② 猎物追随者的跟随运动或逃脱运动；③ 捕食者的狩猎运动；④ 捕食阶段和恢复阶段。

猎物的领导者被定义为猎物种群中最大的生存价值。定义公式如下：

猎物领袖的位置更新如下：

代表区间[0，1]之间的随机数， 越大，位置更新越快，捕获的猎物越多； 越小，捕获的猎物越少。 代表个体之间的吸引力， 代表猎物的相对危险位置， 与 定义如下:

在猎物种群中，猎物追随者分为跟随猎物 ( ) 和逃生猎物 ( ) ，跟随猎物又分为优势猎物 ( ) 和下属猎物 ( ) 。其定义如下：

其中 代表猎物生存价值的平均值，定义如下：

跟随猎物的位置更新公式如下：

其中， 表示区间[0，1]内的随机数形式， 表示局部最优个体， 表示猎物的相对安全位置，其定义如下：

其中 代表猎物个体之间的欧几里德距离。逃生猎物的位置更新公式如下：

其中， 表示全局最优位置， 和 表示在区间[0，1]内的随机数， 表示距离猎物领袖位置， 越小，表示距离越近； 表示控制随机偏移值的长短， 越小，表示偏移值越小。 表示空间解中的随机方向。

在捕食者种群中，捕食者的位置更新公式如下：

其中， 代表区间[0，1]之间的随机数， 值越大，位置更新越远，越容易忽略猎物。 是基于捕食概率从猎物种群中随机选择的猎物，捕食概率 定义如下:

表示捕食者和猎物之间的吸引力，吸引力的数学公式定义如下：

其中 代表 和 之间的欧几里德距离。

捕食阶段：每个猎物都有一个危险的区域，如果它属于这个领域，很可能被捕食者捕杀。危险域通常是一个圆，其半径定义为：

危险区域的猎物收集定义如下：

猎物在危险区域被猎杀的概率定义如下：

恢复阶段：在 SHO 中，被捕食者猎杀的所有猎物都将被新生的猎物所取代，新的猎物将通过交配操作产生，SHO通过交配概率选择交配猎物，其定义如下:

其中 代表一群没有被捕食者捕杀的猎物集，交配操作定义如下：

函数 用于从不同个体 中选择维度组件。

算法流程如下：

1.Input
2.Begin

3.利用公式初始化所有个体 S

4.定义羊群成员和捕食者的个数，利用公式（1）并将S 分为两组：H 与 P
5.For entire S do

6.利用公式（3）计算生存值
7.End For
8.While（t <Max number of iterations）

9.执行自私羊群移动操作

[1] Fausto F，Cuevas E，Valdivia A，et al.A global optimization
algorithm inspired in the behavior of selfish herds[J].
BioSystems，2017，160：39-55.

[2] 朱惠娟,王永利,陈琳琳.面向三维模型轻量化的自私羊群优化算法研究[J].计算机工程与应用,2020,56(03):42-48.

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Ⅵ 智能优化算法：平衡优化器算法

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摘要：平衡优化器（equilibrium optimizer, EO）是于2020年提出的一种全新的基于控制容积质量平衡物理现象启发的优化算法。具有寻优能力强，收敛速度快的特点。

平衡优化器(equilibrium optimizer, EO) 主要是受控制容积强混合型动态质量平衡的物理启发式优化算法。质量平衡方程体现了控制容积内质量进入、离开及生成的物理过程，一般采用一阶微分方程来描述，如下：

式中 为控制容积； 为控制容积内的浓度； 为流进或流出控制容积的容量流率； 表示控制容积内部在无质量生成(即平衡状态下)时的浓度； 为控制容积内部的质量生成速率。

通过求解式(1)描述的微分方程，可求得:

式中 为指数项系数； 为流动率； 为控制容积在时间 的初始浓度。

平衡优化器主要基于式(2)展开迭代寻优。对于一个优化问题，等式左边的浓度 代表新产生的当前解； 代表上一次迭代得到的解； 代表算法当前找到的最好的解。类似经典 PSO 算法速度更新方程，这里的浓度即代表个体的解，解的更新包括了当前最优解附近的局部搜索和寻优空间内的全局随机搜索，如图 1所示。为满足不同问题的优化需求，算法对具体的操作过程及参数设计如下：

2)平衡状态池：为提高算法的全局搜索能力，避免陷入低质量的局部最优解，式(2)中的平衡状态(即最优个体)将从 5 个当前最优的候选解里面选择(见图 1)，这些候选解构成的平衡状态池如下：

式中 分别为截止当前迭代找到的最好的四个解； 代表这四个解的平均状态。值得注意的是，这 5 个候选解被选择的概率是一样的，均为 0.2。

式中 为生成速率控制参数向量； 为随机数向量，其维度跟优化空间维度一致，每个元素值均为 0 至 1 的随机数； 为 0 至 1 范围内的随机数。

算法流程：

Step1.初始化算法参数

Step2.计算适应度值

Step3.根据式（5）确定当前平衡池状态。

Step4.根据式（6）更新指数项系数。

Step5.根据式（7）（8）更新质量生成系数

Step6.根据式（9）更新个体当前解

step7.判断是否满足停止条件，如果满足则输出最终结果，否则重复Step2-Step6。

[1]杨蕾,李胜男,黄伟,张丹,杨博,张孝顺.基于平衡优化器的含高比例风光新能源电网无功优化[J/OL].电力系统及其自动化学报:1-9[2020-12-18]. https://doi.org/10.19635/j.cnki.csu-epsa.000555 .

[1]Afshin Faramarzi,Mohammad Heidarinejad,Brent Stephens,Seyedali Mirjalili. Equilibrium optimizer: A novel optimization algorithm[J]. Knowledge-Based Systems,2020,191.

https://mianbaoo.com/o/bread/YZWYmZlu

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Ⅶ 智能优化算法：供需优化算法

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摘要：供需优化(supply-demand-based optimization,SDO)算法是 Zhao 等于 2019 年受经济学供需机制的启发而提出的一种新型元启发式优化算法。该算法在数学上模拟了消费者的需求关系和生产者的供给关系，通过将供求机制之稳定模式和非稳定模式引入到 SDO 算法中，利用两种模式在给定空间中进行局部搜索和全局搜索求解待优化问题。与传统群智能算法相比，SDO 算法收敛速度快、寻优精度高、调节参数少，具有较好的探索和开发能力。

SDO 数学描述简述如下:

(1) SDO 算法初始化。假设有 个市场，每个市场有 种不同的商品，每种商品都有一定的数量和价格。市场中 种商品价格表示优化问题 维变量的一组候选解，同时将市场中 种商品数量作为一组可行解进行评估，如果可行解优于候选解，则可行解替换候选解。 个市场商品价格和商品数量分别用 、 两个矩阵表示:

式中: 和 分别为第 个商品价格和数量; 和 分别为第 个商品在第 个市场中的价格和数量。

利用适应度函数分别对每个市场中的商品价格和数量进行评估，对于 个市场，商品价格和商品数量的适应度分别为:

(2)商品均衡数量与均衡价格。假设每种商品的均衡价格 和均衡数量 在每次迭代过程中都是可变的，从每个市场商品数量集合中选择一种商品数量作为其数量均衡向量，其市场适应度值越大，表示每个市场所选商品数量的概率就越大。同时，每个市场也可以根据其概率从商品价格集合中选择一种商品价格或以所有市场商品价格的平均值作为均衡价格。商品均衡数量 表示如下:

其中：

式中: 为商品数量 的适应度值; 为比选算子(roulette wheel selection)。

商品均衡价格 表示如下:

其中：

式中: 为商品价格 的适应度值; 为[0,1]中的随机数。

供给函数和需求函数。依据均衡数量 、均衡价格 分别给出供给函数和需求函数:

式中: 和 分别为第 次迭代第 个商品价格和数量; 和 分别为需求权重和供给权重，通过调整 对均衡价格和均衡数量进行更新。

将式(6)插入式(7)中，可以将需求算式重写为:

供应权重 和需求权重 分别为:

式中: 为最大迭代次数。用变量 表示供应权重 和需求权重 的乘积，可以得到:

变量 有助于 SDO 算法在勘探和开发之间平稳过渡。 属稳定模式，通过调整供应权重 和需求权重 得到均衡价格 周围不同的商品价格，这些商品价格可以通过随机数 在当前价格和均衡价格之间随机变化，稳定模式机制强调“开发”以改善SDO 算法的局部勘探能力。 属非稳定模式，它允许任何市场中的商品价格远离均衡价格，非稳定模式机制迫使每个市场在搜索空间中加强“勘探”未知区域以提高 SDO 算法的全局搜索能力。

算法步骤：

step1：设置 SDO 算法市场群体数 ，最大迭代次数 ，问题维度，搜索空间。随机初始化商品价格 和商品数量 ，令当前迭代次数 t=0。

step2:计算商品价格 和商品数量 的适应度值 和 ，如果 优于 ，则用 代替 ，保存 为当前最优解。

step3确定供应权重 和需求权重

step4:对于每个市场，利用式(4)确定均衡数量 ;利用式(5)确定均衡价格 。

step5:利用式(6) 更新商品数量 ;利用式(7)更新商品价格 。基于式(14)计算商品价格 和商品数量 的适应度值 和 ，如果 优于 ，则用 代替 ，保存 为当前最优解。

step6:令 t=t+1。判断算法是否达到终止条件，若是，输出最优解 x best ，算法结束;否则重复step2～step6。

[1] Engineering; Hebei University of Engineering Details Findings in Engineering (Supply-demand-based Optimization: a Novel Economics-inspired Algorithm for Global Optimization)[J]. Journal of Engineering,2019,{4}{5}:

[1]崔东文,李代华.基坑变形预测的改进供需优化算法-指数幂乘积模型[J].水利水电科技进展,2020,40(04):43-50.

Ⅷ 智能优化算法：生物地理学优化算法

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摘要：Alfred Wallace和Charles Darwin在19世纪提出了生物地理学理论，研究生物物种栖息地的分布、迁移和灭绝规律。Simon受到生物地理学理论的启发，在对生物物种迁移数学模型的研究基础上，于 2008年提出了一种新的智能优化算法 — 生物地理学优化算法（Biogeography-Based Optimization，BBO）。BBO算法是一种基于生物地理学理论的新型算法，具有良好的收敛性和稳定性，受到越来越多学者的关注。

BO算法的基本思想来源于生物地理学理论。如图1所示，生物物种生活在多个栖息地（Habitat）上，每个栖息地用栖息适宜指数（Habitat Suitability Index，HSI）表示，与HSI相关的因素有降雨量、植被多样性、地貌特征、土地面积、温度和湿度等，将其称为适宜指数变量（Suitability Index Variables，SIV）。

HSI是影响栖息地上物种分布和迁移的重要因素之一。较高 HSI的栖息地物种种类多；反之，较低 HSI的栖息地物种种类少。可见，栖息地的HSI与生物多样性成正比。高 HSI的栖息地由于生存空间趋于饱和等
问题会有大量物种迁出到相邻栖息地，并伴有少量物种迁入；而低 HSI的栖息地其物种数量较少，会有较多物种的迁入和较少物种的迁出。但是，当某一栖息地HSI一直保持较低水平时，则该栖息地上的物种会趋于灭绝，或寻找另外的栖息地，也就是突变。迁移和突变是BBO算法的两个重要操作。栖息地之间通过迁移和突变操作，增强物种间信息的交换与共享，提高物种的多样性。

BBO算法具有一般进化算法简单有效的特性，与其他进化算法具有类似特点。
（1）栖息适宜指数HSI表示优化问题的适应度函数值，类似于遗传算法中的适应度函数。HSI是评价解集好坏的标准。
（2）栖息地表示候选解，适宜指数变量 SIV 表示解的特征，类似于遗传算法中的“基因”。

（3）栖息地的迁入和迁出机制提供了解集中信息交换机制。高 HSI的解以一定的迁出率将信息共享给低HSI的解。
（4）栖息地会根据物种数量进行突变操作，提高种群多样性，使得算法具有较强的自适应能力。

BBO算法的具体流程为：
步骤1 初始化BBO算法参数，包括栖息地数量 、迁入率最大值 和迁出率最大值 、最大突变率 等参数。
步骤2 初始化栖息地，对每个栖息地及物种进行随机或者启发式初始化。
步骤3 计算每个栖息地的适宜指数HSI；判断是否满足停止准则，如果满足就停止，输出最优解；否则转步骤4。
步骤4 执行迁移操作，对每个栖息地计算其迁入率和迁出率，对SIV进行修改，重新计算适宜指数HSI。
步骤5 执行突变操作，根据突变算子更新栖息地物种，重新计算适宜指数HSI。
步骤6 转到步骤3进行下一次迭代。

1.1 迁移操作

如图2所示，该模型为单个栖息地的物种迁移模型。

横坐标为栖息地种群数量 S ，纵坐标为迁移比率 η，λ(s) 和 μ(s) 分别为种群数量的迁入率和迁出率。当种群数量为 0 时，种群的迁出率 μ(s) 为 0，种群的迁入率λ(s) 最大；当种群数量达到 S max 时，种群的迁入率 λ(s)为0，种群迁出率 u(s) 达到最大。当种群数量为 S 0 时，迁出率和迁入率相等，此时达到动态平衡状态。根据图2，得出迁入率和迁出率为：

迁移操作的步骤可以描述为：
Step1：for i= 1 to N do
Step2： 用迁入率 选取

Step3： if （0，1）之间的均匀随机数小于 then
Step4： for j= 1 to N do
Step5： 用迁出率 选取
Step6： if （0，1）之间的均匀随机数小于 then
Step7： 从 中随机选取一个变量SIV
Step8： 用SIV替换 中的一个随机SIV
Step9： end if
Step10： end for
Step11： end if
Step12：end for

1.2 突变（Mutation）操作

突变操作是模拟栖息地生态环境的突变，改变栖息地物种的数量，为栖息地提供物种的多样性，为算法提供更多的搜索目标。栖息地的突变概率与其物种数量概率成反比。即

其中： 为最大突变率； 为栖息地中物种数量为 对应的概率； 为 的最大值； 是栖息地中物种数量为 对应的突变概率。

突变操作的步骤可以描述为：
Step1：for i= 1 to N do
Step2： 计算突变概率
Step3： 用突变概率 选取一个变量
Step4： if （0，1）之间的均匀随机数小于 then
Step5： 随机一个变量代替 中的SIV
Step6： end if
Step7：end for

[1] Simon D.Biogeography-based optimization[J].IEEE Trans-
actions on Evolutionary Computation，2008（6）：702-713.

[2]张国辉,聂黎,张利平.生物地理学优化算法理论及其应用研究综述[J].计算机工程与应用,2015,51(03):12-17.

https://mianbaoo.com/o/bread/aJqZmZ8=

https://mianbaoo.com/o/bread/YZaXmJpq

Ⅸ 智能优化算法：人工蜂群算法

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摘要：人工蜂群算法(artificial bee colony，ABC)是由土耳其学者Karaboga 于 2005 年提出，它是模拟蜜蜂的采蜜行为来解决生活中一些多维和多模的优化问题，它最初应用于数值优化问题，自提出以来受到了众多学者极大的关注，并广泛应用到神经网络、数据挖掘、工程应用、图像识别等多个领域。

在 ABC 算法里，用蜜源的位置来表示解，用蜜源的花粉数量表示解的适应值。所有的蜜蜂划分为雇佣蜂、跟随蜂、探索蜂三组。雇佣蜂和跟随蜂各占蜂群总数的一半。雇佣蜂负责最初的寻找蜜源并采蜜分享信息，跟随蜂负责呆在蜂巢里根据雇佣蜂提供的信息去采蜜，探索蜂在原有蜜源被抛弃后负责随机寻找新的蜜源来替换原有的蜜源。与其他群智能算法一样，ABC 算法是迭代的。对蜂群和蜜源的初始化后，反复执行三个过程，即雇佣蜂、跟随蜂、探索蜂阶段，来寻找问题的最优解。每个阶段描述如下:

对 ABC 算法的参数进行初始化，这些参数有蜜源数 、蜜源确定被抛弃的次数 、迭代终止次数。在标准 ABC 算法里，蜜源的数目 与雇佣蜂数相等，也与跟随蜂数相等。产生某个蜜源的公式为:

其中: 代表第 个蜜源 的第 维度值， 取值于 ， 取值于 ; 和 分别代表第 维的最小值和最大值。初始化蜜源就是对每个蜜源的所有维度通过以上公式赋一个在取值范围内的随机值，从而随机生成 个最初蜜源。

在雇佣蜂阶段，雇佣蜂用以下公式来寻找新蜜源:

其中: 代表邻域蜜源， 取值于 ，且 不等于 ; 是取值在[-1,1]的随机数，通过式(2)得到新蜜源后，利用贪婪算法，比较新旧蜜源适应值，选择优者。

雇佣蜂阶段结束，跟随蜂阶段开始。在该阶段，雇佣蜂在舞蹈区分享蜜源信息。跟随蜂分析这些信息，采用轮盘赌策略来选择蜜源跟踪开采，以保证适应值更高的蜜源开采的概率更大。跟随蜂开采过程与雇佣蜂一样，利用式(2)找寻新蜜源，并留下更优适应者。
蜜源拥有参数 ，当蜜源更新被保留时， 为 0;反之， 加 1。从而 能统计出一个蜜源没有被更新的次数。

如果一个蜜源经过多次开采没被更新，也就是 值过高，超过了预定阈值 ，那么需抛弃这个蜜源，启动探索蜂阶段。这体现了 ABC 里自组织的负反馈和波动属性 。在该阶段里，探索蜂利用式(3)随机寻找新的蜜源来代替被抛弃蜜源。

人工蜂群算法流程

step1.初始化算法参数，生成蜜蜂初始位置

step2.雇佣蜂计算适应度值，比较并保存最优值

step3.跟随蜂选择雇佣蜂更新蜜源位置，计算适应度值，保存最佳值

step4.若有侦察蜂出现，则重新生成初始位置并执行更新选优，否则继续执行step5

step5.若迭代次数小于预设的迭代次数，则转到step2；否则输出最优解

[1]何尧,刘建华,杨荣华.人工蜂群算法研究综述[J].计算机应用研究,2018,35(05):1281-1286.

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