凸边形算法复杂度

‘壹’ 什么是凸边形

凸多边形是一个内部为凸集的简单多边形。凸多边形（Convex Polygon）指如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是优角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。

凸多边形的内角均小于或等于180°，边数为n（n属于Z且n大于2）的凸多边形内角和为（n2）×180°，但任意凸多边形外角和均为360°，并可通过反证法证明凸多边形内角中锐角的个数不能多于3个。

凸多边形所有对角线都在内部，边数为n的凸多边形对角线条数为2-1n(n-3)，其中通过任一顶点可与其余n－3个顶点连对角线。

‘贰’ 什么是凸边形，什么是凹边形

初中的是凸边形

将图形的任意一边无限延长，如果延长线与图形有交点就是凹边形
反之就是凸边形
我记得课本上好象有这个的概念吧

‘叁’ 凸包的发展历史,急需，越详细越好，谢谢！！！！

⒈对于一个集合D，D中任意有限个点的线性组合的全体称为D的凸包。 ⒉对于一个集合D，所有包含D的凸集之交称为D的凸包。 可以证明，上述两种定义是等价的 概念
1 点集Q的凸包（convex hull）是指一个最小凸多边形，满足Q中的点或者在多边形边上或者在其内。右图中由红色线段表示的多边形就是点集Q={p0,p1,...p12}的凸包。 2 一组平面上的点，求一个包含所有点的最小的凸多边形，这就是凸包问题了。这可以形象地想成这样：在地上放置一些不可移动的木桩，用一根绳子把他们尽量紧地圈起来，并且为凸边形，这就是凸包了。编辑本段平面凸包求法常见求法
2.0 Graham's Scan法求解凸包问题
概念 凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的。严谨的定义和相关概念参见维基网络：凸包。 这个算法是由数学大师葛立恒（Graham）发明的，他曾经是美国数学学会（AMS）主席、AT&T首席科学家以及国际杂技师协会（IJA）主席。（太汗了，这位大牛还会玩杂技~） 问题 给定平面上的二维点集，求解其凸包。 过程 ⒈ 在所有点中选取y坐标最小的一点H，当作基点。如果存在多个点的y坐标都为最小值，则选取x坐标最小的一点。坐标相同的点应排除。然后按照其它各点p和基点构成的向量<H,p>；与x轴的夹角进行排序，夹角由大至小进行顺时针扫描，反之则进行逆时针扫描。实现中无需求得夹角，只需根据向量的内积公式求出向量的模即可。以下图为例，基点为H，根据夹角由小至大排序后依次为H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面进行逆时针扫描。 ⒉ 线段<H,K>；一定在凸包上，接着加入C。假设线段<K,C>；也在凸包上，因为就H，K，C三点而言，它们的凸包就是由此三点所组成。但是接下来加入D时会发现，线段<K,D>；才会在凸包上，所以将线段<K,C>；排除，C点不可能是凸包。 ⒊ 即当加入一点时，必须考虑到前面的线段是否会出现在凸包上。从基点开始，凸包上每条相临的线段的旋转方向应该一致，并与扫描的方向相反。如果发现新加的点使得新线段与上线段的旋转方向发生变化，则可判定上一点必然不在凸包上。实现时可用向量叉积进行判断，设新加入的点为pn + 1，上一点为pn，再上一点为pn - 1。顺时针扫描时，如果向量<pn - 1,pn>；与<pn,pn + 1>；的叉积为正（逆时针扫描判断是否为负），则将上一点删除。删除过程需要回溯，将之前所有叉积符号相反的点都删除，然后将新点加入凸包。 在上图中，加入K点时，由于线段<H,K>；相对于<H,C>；为顺时针旋转，所以C点不在凸包上，应该删除，保留K点。接着加入D点，由于线段<K,D>；相对<H,K>；为逆时针旋转，故D点保留。按照上述步骤进行扫描，直到点集中所有的点都遍例完成，即得到凸包。 复杂度 这个算法可以直接在原数据上进行运算，因此空间复杂度为O⑴。但如果将凸包的结果存储到另一数组中，则可能在代码级别进行优化。由于在扫描凸包前要进行排序，因此时间复杂度至少为快速排序的O(nlgn）。后面的扫描过程复杂度为O(n），因此整个算法的复杂度为O(nlgn）。 ⒉1凸包最常用的凸包算法是Graham扫描法和Jarvis步进法。 对于一个有三个或以上点的点集Q，过程如下： 计算点集最右边的点为凸包的顶点的起点，如上图的P3点。 Do For i = 0 To 总顶点数 计算有向向量P3->Pi If 其余顶点全部在有向向量P3->Pi的左侧或右侧，则Pi点为凸包的下一顶点 Pi点加入凸包列表 GoTo 1 End If Next Exit Do 1: Loop 此过程执行后，点按极角自动顺时针或逆时针排序，只需要按任意两点的次序就可以了。而左侧或右侧的判断可以用前述的矢量点积性质实现。
特殊算法
⒉2求凸包有很多方法，不过最适合OIer和ACMer的估计还是Graham's Scan这个方法了。它的大致方法是这样的：首先，找到所有点中最左边的（y坐标最小的），如果y坐标相同，找x坐标最小的；以这个点为基准求所有点的极角（atan2(y-y0,x-x0）），并按照极角对这些点排序，前述基准点在最前面，设这些点为P[0]..P[n-1]；建立一个栈，初始时P[0]、P[1]、P[2]进栈，对于P[3..n-1]的每个点，若栈顶的两个点与它不构成“向左转”的关系，则将栈顶的点出栈，直至没有点需要出栈以后将当前点进栈；所有点处理完之后栈中保存的点就是凸包了。 如何判断A、B、C构成的关系不是向左转呢？如果b-a与c-a的叉乘小于0就不是。a与b的叉乘就是a.x*b.y-a.y*b.x。 上面的这个Graham的实现比我原来按照USACO里的课文写得简单多了，主要是它通过简单的预处理保证了P[0]、P[1]以及P[n-1]肯定是凸包里的点，这样就可以避免在凸包“绕回来”的时候繁杂的处理。
中心法
先构造一个中心点，然后将它与各点连接起来，按斜率递增的方法，求出凸包上部；再按斜率递减的方法，求出凸包下部。
水平法
从最左边的点开始，按斜率递增的方法，求出凸包上部；再按斜率递减的方法，求出凸包下部。水平法较中心法减少了斜率无限大的可能，减少了代码的复杂度。编辑本段代码例代码一
（在编辑器中将"_ "(下划线+空格）替换成两个空格即可编译； 注意要去掉开通的双字节中文空格，蛋疼的网络。）

‘肆’ 试探索出凸N边的三角形外角和计算公式

因为:

N边形的内角与外角的总和:N×180度

N边形的内角和:(N-2)×180度

所以:

N边形的外角和为:(N×180度)-(N-2)×180度

‘伍’ 凸边形内角和

一、方法1、用数学归纳法,三角形内角和为180度,假定n的时候成立,有内角和为（n-2 -1 )×180；那么当为n+1边形的时候,总是可以通过连接其相隔1个点的2个点,把它转化为n边形+1个三角形,这时候其内角和为（n-2 -1 )×180 + 180 = （n-2)×180
方法2、用连线拆分法,通过顶点连线,把凸n边形可以拆分成互补重叠的n-2个三角形,而每个三角形内角和为180度,所以凸n边形内角和为（n-2)×180度
二、凸n边形 外角和 = n个顶点的外角之和 = n*360度 - 凸n边形内角和 = 360度
三、同上,自己推导下.

‘陆’ 什么是凸n边形啊

1、作n边形任何一条边的延长线，如果n边形都位于延长线的一侧，这个n边形就是凸n边形；
2、任何一个内角都小于180度的n边形；
3、所有对角线都位于多边形内的n边形。

以上三条是从不同角度来说明凸n边形的特点，满足任何一条均可（实际上只要满足一条，那同时也就满足另两条了）。

‘柒’ 试探索出凸N边形的外角和计算公式

可敬的“695206511”：
（1）凸N边形的外角和为360度.（三角形、四边形、十边形……的外角和都是360度）.
（2）凸N边形的内角和为（N-2）×180度.读几年级了,这道题老师讲过吗,祝身体健康,再见.

‘捌’ 什么图形叫做凸多边行，它有哪些特点，如何求一个凸多边形的总的对角线

凸多边形:每个内角都是锐角或钝角,也就是没有大于180°的优角的多边形。

一个凸n边形的总的对角线条数=n(n-3)/2

‘玖’ 什么是凸n边形,请给出详细描述!

把一个多边形的任意一条边延长,多边形的其他边都在这条边所在直线的同侧,这样的多边形叫凸多边形

‘拾’ 试探索出凸N边形的外角和计算公式

可敬的“695206511”：您好。
（1）凸N边形的外角和为360度。（三角形、四边形、十边形……的外角和都是360度）。
（2）凸N边形的内角和为（N-2）×180度。读几年级了，这道题老师讲过吗，祝身体健康，学习进步，生活愉快，再见。