cnk算法

❶ 冷凝组合公式原理

原理：用排列公式证明，从n个互不相同的小球中取出k个的所有取法数就是组合数，把每种组合进行全排列，把所有组合的排列数加起来就是从n个中取出k个的排列数。

从而排列数就等于组合数乘每种组合的全排列数，用公式就是：Ank=Cnk*k！而组合Cnk=Ank/k！证毕，排列数Ank的计算方法是很容易得出来的，只用一个一个取小球，把每次的取法乘起来就行了，全排列也可以同理得出。

定义及公式

排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。

❷ 程序员的数学-读书笔记

计数法分为 按位计数法 和 罗马计数法
按位计数法常用的有2进制、8进制、10进制、16进制等几种。

理论上多少进制在数学上都可以存在，玛雅人用20进制，巴比伦人用10进制和60进制的混合计数法。玛雅人20进制可能是和手脚趾加起来的数量有关。巴比伦人采用60进制也可能是因为记录数字的黏土版比较难记录文字记号，为了在大数的书写上少占位便采用了60进制。
从这一点来看，环境对文明和文化的形成真的是有决定性的影响。假如巴比伦人掌握了造纸术或者在竹子上书写文字的话，60进制这种违反人类天性的计数方法一定不会出现。话说，汉莫拉比法典就是写在黑色的玄武岩上的。能够记录的文字也就屈指可数吧。

作者提到了其实人也是可以采用2进制计数法的，可是同样大小的数字用2进制书写起来位数太多，一来书写不方便，二来计算时易发生马虎出现错误。而10进制的数天生就是顺应人类人性的，即使是幼儿也可以通过数手指头的方式来计数。
相反对于计算机的物理构造来讲，0代表开关断开，1代表开关连接，这种二极管的物理限制正好决定了计算机较为适用2进制。不过如果你想做出一个10进制的计算机也不是没有可能的。

这一章比较有趣的是罗马计数法，我以前也没有接触过超过20的罗马数字，也不知道罗马数字各个数位上的数字相加之和为数字本身所代表的量。例如：

反观阿拉伯数字

由此引发作者在两个程序领域上的思考：

关键词：真值表、文氏图、逻辑表达式、卡诺图、三值逻辑、完整性、排他性

- 能够判断对错的陈述句叫做命题（proposition）

逻辑非 --不是A

逆命题

逆否命题

德摩根定律

卡诺图 （二灯游戏、三灯游戏引出）

未定义逻辑（undefined）

三值逻辑的德摩根定律

本章探讨的是通过余数来解决存在规律、周期性的问题。通过规律和周期性的重复，将大问题简化成容易解决的小问题。

首先作者通过解决星期几问题，引入了余数的思考概念。

上面的问题在 大问题通过余数规律简化为小问题 这个方法上表现的还不明显，于是引入了第三个问题：1234567^7654321的个位数是多少。

以上三个问题是小学奥赛便涉及到的问题，然而其思想在解决真实面对的复杂问题或具象的实际问题时却很好用。

将一个数字除以2，他的余数应该为0或者1二者之一。我们也可以叫 奇偶问题 。
书中有几个案例：

这样分析过来就很好解决七桥问题，确定每个点所连接的桥的点数，与上述结论做对比。
A点为3，B点为，C点为3，D点为3.
由此可以得出七桥问题不可能实现。这个问题的解决也是通过奇偶性来解决的。

作者举了高斯求和的故事来讲如何用数学归纳法来解决无穷数列的求和问题。
两个小例子便是从0开始到N的和，以及1开始的奇数和。

数学归纳法 是证明[ 有关整数的断言对于0以上的所有整数（0,1,2...）是否成立 ]所用的方法。
证明方法归结为两歩：

根据上述方法，假若某个假设成立，那么P(0)成立，因为P(0)成立，所以P(0+1)即P(1)也成立。反复如此，对于无穷数列遵守这个规律的证明，就像多米诺骨牌，推到第一个，后面的都会按照第一个的规则倒下去。

然而要避免整个证明出错，就要重视第二个步骤，也就是归纳。归纳在证明时一定要考虑 是否在所有定义条件下均成立 ，尤其要注意的是在P(0)的条件下是否实现。

课后对话很有意思：

计数是人类每天生活都要运用的方法。
计数的关键就在于 注意“遗漏”和“重复”
例如：

综上，在计数时要发现事物的规则。
要 认清计数对象的本质
要 认清计数对象的本质
要 认清计数对象的本质
重要的事情说三遍。

将计数对象进行 归纳总结 ，使其作为普通规则来掌握。这样一般不容易出错。

接下来，作者在 加法法则 里写到：

乘法法则 的概念比较有意思。

接下来，本章提到了置换、排列、组合3个概念。以下是几个小例子。

最后提到的 重复组合 里的思考问题比较有趣。

解答的思想是：

这是一种典型的将复杂问题简单化，并规律化的解答方法。

最后还是要强调下：
要 认清计数对象的本质

递归与归纳的区别

归纳（inctive） 是从个别性前提推出一般性结论。

本质上都是 将复杂问题简化 ，但方向不同。
个人理解是

递归是发现第n项和前一两项之间的关系，实证确定后，往回不断递推的一种个别性结论。
即这个结论不是在n为任何自然数时都成立的。需要注意n为0和1的两项。

通过递归解决问题的线路是： 找到递归结构——建立递推公式——找到解析式（只带n的式子） ，如果不能以解析式的方式描述递归结构，也可以用递推公式的方法描述。如下图所示的汉诺塔的递推公式：（它也可以描述成解析式的方式）

归纳所谓的个别性前提是指

斐波那契数列就是运用了递归的思想。通过研究和思考复杂问题，抓住事务本质，得到f(n)=f(n-1)+f(n-2)

所以当我们想要用递归的方法解决问题时，注意思考第n元素与前后元素的关系。由一个点推开，成一条贯穿始终的线。

利用帕斯卡三角形来研究Cnk=Cn-1(k-1) + Cn-1k的思考方式另辟蹊径。将两个加数假设成组合问题里含一个元素和不含那个元素的两个情况。从而证明了式子。利用的便是组合的数学分析法。（这句话组合的意思不是数学意义上的）。

所以以上将复杂问题简化的方法是递归解法之一，是为了在复杂问题中找到隐含的递归结构。其思路是：

通过思考一张1mm的纸，折多少次能够有地月距离那么厚，作者引出指数的概念。

这一章的内容比较简单，对于 指数爆炸 大家应该都不陌生。而 对数 估计也很熟悉。之前接触到的汉诺塔问题的解析式和斐波那契数列都属于指数的范畴。

然而在解决 测试所有设定选项的程序时，检查次数也是一个指数问题 。所以我们应该如何轻松的解决这类问题呢？

利用二分法查找

利用二分法，先询问最中间的人，如果在左边，就继续在左边的范围内重复此项方法，直到找到罪犯。这便被称为 2分法 。他和汉诺塔的解析式如出一辙，可以利用指数原理经过很少的步骤便可找到目标。

二分法本身也是 递归结构 ，经过n次询问，可以在2^n-1人中确定目标。每判断一次就可以查找近一半的对象。
二分法需要注意的是，所有元素一定要 按顺序排列 ，这点至关重要。

指数思想也被用于加密的实现中。因为每多加密一位，暴力破解就需要指数次的运算能力的提升。原则上有限时间里根本不可能破解。指数以其数字的巨大增长能力在加密领域有基本性的作用。

对于指数问题的解决方法，主要有4种，但均不太容易应付规模大的数字。

作为指数函数的逆函数，文章涉及了对数。同时也简单介绍了古代科学家用过的计算尺。

无穷可以分为 可数无穷 和 不可数无穷 。
所谓 可数无穷 是指 可以按照一定的规律或者表达方式来表达 。
即集合中所有元素都与正整数一一对应。如果每一个元素都可以与1.2.3....等数字对应，也就是说可以按规律表达出来就是可数无穷。
例如：

所以有不可数的集合吗？
此时运用到了 对角论证法 和 反证法（也叫归谬法）
假设我们要证明 所有整数数列的集合是不可数的 ，那么反证就是 假设所有整数数列的集合是可数的 ，此处是运用的反证法。
现在我们按下图的方式来列出所有整数数列，编号为k的整数列在表的k行。

如果按照图中第k行的第k个元素ak单独组出一组数列{a1,a2,a3......}的话，他也是应该包含在所有整数数列里的，然而并没有，他是游离在所有整数数列之外的。此处得出矛盾，说明命题错误，命题 所有整数数列的集合是不可数的 为真。此方法被称为 对角论证法
除此之外
-所有实数的集合是不可数的
-所有函数的集合也是不可数的

随后书中讨论到了不可解的问题
对于不可解的问题的定义是

事实上，不能写成程序的函数是存在的。
有些函数不能用文字表达，而且要写成程序的函数必须 严谨定义确切和文字表达 两个概念。

停机问题
不可解问题的一例。定义是

有限时间并不指时间长短，而是指无论耗时多长，只要能有终止的一刻就好。
事实上，程序本身并不能判断某一程序是否可以在有限时间内结束运行
所以停机问题也是 不可解问题 之一。

这一章是对之前8章的回顾和总结。

前几章作者分别对 0的意义、逻辑、余数、数学归纳、排列组合、递归、指数爆炸、不可解问题 进行了简单的介绍和探讨。其实所有的章节最后都是在引领读者产生如何解决问题的思考。

1.认清模式，进行抽象化

2.由不擅长催生出的智慧

3.幻想法则

本书比较适合作为第一本接触算法的书籍。目前开始在上 Khan的Algorithms ，9月份跟上 coursera的Algorithms Part I 的开课。

前方的路注定不好走，但是要慢慢尝试和坚持。

❸ 硬币概率问题

大家说得都不对，第一次投正面的几率为50%。

然后如果第一次投背面，要想在达到终点就要连续投三次正面，这样投四次要想第一次背面，第二次，第三次，第四次都是正面的机会率是6.25%，所以这两次都能达到终点的机率为56.25%。

但是如果第二三四次中有一次是反面，那么我们就需要在第五六七次都抛出正面，也就是说在投7次中，第一次是背面后，第二三四次中任何一次也是背面，其余全部是正面，这样的几率是3/128=2.34%。总体几率就是58.6%。

以后的以此类推，1次反需要2+1次正，2次反需要4+1次正，3次反需要6+1次正，4次反需要8+1次正。。。如果这么计算还是很容易，但是有一个抛出反面的分布问题，比如2次反5次正必须是第一次反，和第2，3，4次中有一次反。我列出以下投10次可以可以达到终点的概率算法：1/2+1/16+3/128+12/1024=59%

后面的自己算吧。

感谢铁砣陈， 给我提醒，最后铁托陈给出最后的正确答案是黄金比例点，也就是61.8%。个人感觉很靠谱的数字。

❹ (x+y)^n的展开公式

(x+y)^n=x^n+C(n,1)*x^(n-1)*y+C(n,2)*x^(n-2)*y^2+.....+C(n,n)*y^n。

解：根据二项式定理，

其中(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)=C(n,k)。

所以(x+y)^n的展开式为，

(x+y)^n=C(n,0)*x^n*y^0+C(n,1)*x^(n-1)*y^1+C(n,2)*x^(n-2)*y^2+...+C(n,k)*x^(n-k)*y^k+...+C(n,n)*x^(n-n)*y^n

即(x+y)^n=x^n+C(n,1)x^(n-1)y+C(n,2)x^(n-2)y²+.....+C(n,n)y^n。

(4)cnk算法扩展阅读：

二项式定理的验证推导

当n=1时，则(a+b)^1=C(1,0)*a^1*b^0+C(1,1)*a^0*b^1=a+b。

假设二项展开式在n=m时成立。

设n=m+1，则有，

(a+b)^(m+1)=a*(a+b)^m+b*(a+b)^m

=a*(a^n+C(m,1)a^(m-1)b+.....+C(m,m)b^m)+b*(a^m+C(m,1)a^(m-1)*b+.....+C(m,m)b^m)

=a^(m+1)+C(m,1)a^m*b+.....+C(m,m)a*b^m+a^m*b+C(m,1)a^(m-1)b^2+.....+C(m,m)b^(m+1)

=C(m+1,0)*a^(m+1)+C(m+1,1)*a^m*b+C(m+1,2)*a^(m-1)*b^2+...+C(m+1,m)*a*b^n+C(m+1,m+1)b^(m+1)

因此可推知(a+b)^n=a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+.....+C(n,n)*b^n。

参考资料来源：网络-二项式定理

❺ paperpass检查是30%,知网会是多少

这个没有确切答案，因为数据是不固定的。

PaperPass查重比知网高多少，PaperPass和知网重复率差多少，这个很难说，其实是不一样的。有的时候知网高，有的时候PaperPass高。但是毋庸置疑，学校最后检测用的才是最好的。很多同学会问“paperpass30%知网多少”,再或者“paperpass查重20%知网多少”；

其实更多的是“PaperPass查重30%知网多少”。因为30%是个临界点，很多学生都比较关心。PaperPass和知网查重差别多少很难确定，只能作为参考，具体原因如下：

1、查重语种

中国知网cnk：可以检测中英文，而PaperPass：只检测中文。

2、查重算法

知网cnki：以13字左右为单位检测的，外加系统自动识别功能。而PaperPass是以句子为最小单位检测的。

3、准确权威程度

中国知网cnki：中国知识基础设施工程（China National Knowledge Infrastructure）。CNKI工程是以实现全社会知识资源传播共享与增值利用为目标的信息化建设项目，由清华大学、清华同方发起，始建于1999年6月。是公认的中国最权威的学术不端检测系统。

paperpass是以句为单位

如果只是无关的橙色和概念重复的话，知网更低一般是个位数，如果是整段抄袭后简单降重知网会更高。paperpass是以句为单位，一句内出现相同几个词就认为抄袭，短句就很明显。

总而言之，具体哪个高是无法确定的。只能根据经验提供一些参考性的分析而已。毋庸置疑的只有学校最后检测用的才是最好的。

❻ 数学难题

数码相机定位（数学建模） 我们组的答案，文章中的有些公式复制不上，大家就凑和这看吧，呵呵

数码相机定位

【摘要】 双目测试法的数码相机定位，精度准确的关键在于对相机内外参数的标定[1]。在不考虑切向畸和变径向畸变的前提下建立理想的针孔成像模型，通过基于Sobel算子图像的边缘检测法确定靶标上偏移以后的象上成像边缘在平面中的坐标，然后根据基于随机Hough变换的图形检测法确定成像上的靶标的圆心的坐标，采用传统的线性法求出相机参数初值，再用最小二乘法进行线性拟合优化初值，利用投影成像的几何关系容易得出要特征点在相机坐标系的坐标，进而求出相机的相对位置。

【关键词】双目测试 相机标定 线性法 靶标定位最小二乘法 Sobel算子边缘检测 随机Hough变换

一、 模型的基本假设与符号说明

1.模型的基本假设：

（1）假设拍摄时光线正常。

（2）假设 , 位于图像中心[2]

（3）假设成像过程严格遵守针孔成像模型无几何畸变

（4）假设实体靶标平面平行与世界坐标系的Ow-XwYw即 =0

2.符号说明：

（1） 以实物的固定点为原点建立世界坐标系Ow-XwYwZw。

（2） Pw表示实物上的观测点。

（3） 以O为原点建立以像素为单位的像平面的坐标系O-UV。

（4） 以主光轴和像平面的交点为原点建立以mm为单位的像平面物理坐标系O1-XY。

（5） Pd 为实际在像平面上的影像。

（6） 以相机的固定点为原点建立相机的坐标系Oc-XcYcZc.

二、 模型的建立

1.相机成像模型

相机的成像过程可以用传统的针孔成像模型来模拟，那么建立模型如图1所示包含世界坐标系Ow-XwYwZw、相机坐标系Oc-XcYcZc、像平面坐标系O-UV(像素单位)、像平面物理坐标系O1-XY(毫米单位)。Pw(Xw,Yw,Zw) 为世界坐标系中点Pw的坐标，Pc (Xc,Yc,Zc)为同一点在相机坐标系下的坐标, Pu(u,v)为理想针孔模型下Pw的像点坐标, Pu(x,y)则为理想情况下的像平面物理坐标。

图1-1

1.1针孔成像模型

根据针孔成像原理，世界坐标点Pw(Xw,Yw,Zw)到理想坐标点Pu(u,v)的齐次变换如下：

= (1-1)

其中A为内参矩阵，[R T]为相机外参矩阵，和T分别为平板相对相机的旋转矩阵和平移矩阵。定义如下[3]：

, ，

其中 , 分别分别表示在x方向和y方向上像点的物理坐标到图像坐标的比例系数， 、 表示主光轴与像平面交点的图像坐标。设世界坐标系的0-XY面平行于平板，则 =0，代入公式(1-1)式可得：

(1-2)

进一步消去s即可得到理想针孔成像的数学模型：

(1-3)

而实际像点物理坐标 到实际像点 的关系如下：

(1-4)

那么由公式(1-3)、(1-4)可得理想象点的物理坐标与世界坐标之间的关系：

(1-5)

2.相机标定模型

从实际成像模型可以看出需要标定的有6个外部参数，即旋转矩阵中反映的绕3个坐标轴的旋转角以及平移矩阵中沿3个坐标轴方向的位移，4个内部参数，即 、 , 。这里采用逐步推导求解的方法。

2.1投影矩阵模型

根据题意可知 在图像中心，所以选择其为初值，由公式(1-2)可得

(1-6)

那么可以设投影矩阵

(1-7)

则(1-9)可以重写为

(1-8)

将(1-8)消去 ，移项整理得

(1-9)

其中 T

每组像点与世界坐标点可以确定一个方程组，8组对应点则可求出未知参数 ，而图像坐标的取值存在误差，实际标定点应该多于8个，然后统计结果用正态分布来获取最接近实际值的结果。

2.2转换矩阵模型(外部参数)

先利用旋转矩阵R的正交性，通过变换可得

然后便可根据(1-7)求出旋转矩阵R和平移矩阵T。

2.3内部参数模型

根据转换矩阵模型可计算出 ，则由消去S的理想针孔成像模型(1-3)解得 。

3.求取成像坐标的模型的建立

依据图像处理算法得到的图象二值化、高通滤波、Sobel边缘算子的处理结果，再用Sobel算子进行处理后，又对它进行了二值化处理，最终得到了成像边缘上的一个点在成像平面上的坐标，把坐标值D[0][0]存放到数组D[m][n]中。如此重复有限次，获得图象边缘上的足够多的点，并把点的坐标值D[i][j]保存到数组D[m][n]中。在数组D[m][n]中任意取三点D[X1][Y1]、D[X2][Y2]、D[X3][Y3]根据基于随机Hough变换为基础直接提取椭圆的技术获取椭圆的重心这个重心就是实际图像对应的靶标Pd

3.1图像边缘检测

采用边缘检测来在实际的成像中取出任意多个份额有效的点常用的边缘检测算子有五种（梯度算法、Prewitt，Sobel，Roberts，Robins．Mar-Hildret等）在这里主要采用梯度算子，其优点是简单有效。

3.1.1边缘检测算法的基本步骤：

1)滤波：改善与噪声有关的边缘检测器的性能；一般滤波器降导

致了边缘的损失；增强边缘和降低噪声之间需要折衷。

2)增强：将邻域强度值有显着变化的点突显出来，边缘增强一般

是通过计算梯度幅值来完成的。

3)检测：最简单的边缘检测判据是梯度幅值阀值。

4)定位：边缘的位置和方位在子像素分辨率上估计，在平面坐标系中确定实际成像点的坐标。

3.2定理公式的整理

Sobel算子是一种一阶微分算子，它利用像素邻近区域的梯度值来计算1个像素的梯度，然后根据一定的阈值来取舍。它由下式给出：

M= (2)

其中的偏导数用下式计算

Sx=(a2+ca3+a4)-(a0+cd7+a6)

Sy=(a0+ca1+a2)+(a6+ca5+a4)

其中常熟c=2。Sx、Sy+可用卷积模板来实现，如下图：

-1
0
1

Sx=
-2
0
2

-1
0
1

(图3-1 卷积模板x)

1
2
1

Sy=
0
0
0

-1
-2
-1

(图3-2 卷积模板y)

图像中的每个点都用这两个模板做卷积。一个模板对通常的

垂直边缘响应最大．而另一个对水平边缘响应最大。两个卷积的最大值作为该点的输出值。运算结果是1幅边缘幅度图像。此算子对灰度渐变噪声较多的图像处理得较好

a0
A1
A2

A7
[i.j]
A3

A6
A5
A4

(图3-3 际对应的坐标)

对于平面中不规则图形可以用以及差分代替一阶微分

求梯度时对于平方和运算及开方运算，可以用两个分量的

绝对值之和表示，即：

Sobel梯度算子是先做成加权平均，再微分，然后求梯度，即：

G[f(x,y)]=|Δxf(x,y) |+|Δyf(x,y) |

上述各式中像素之间的关系见下图：

f(x-1,y-1)
f(x,y-1)
F(x+1,y_1)

f(x-1,y)
f(x,y)
f(x+1,y)

f(x-1,y+1)
f(x,y+1)
f(x+1,y+1)

(图3-4 像素关系表)

3.3.基于随机Hough变换的椭圆型检测法求椭圆中心模型

算法简要描述如下:设D为图像空间的边缘点集;P为参数空间的参数单元集，是动态链表结构。从D中随机采样5点，计算这5点所确定的二次曲线参数P，看是否存在一参数PC和P的误差在容许范围之内。若有，则将参数单元PC的计数值score加1并将参数单元PC更新;若没有，则在P中插入新的参数单元P。当参数单元PC的计数值score达到指定阂值Nt(它是一个很小的数，例如2, 3)时，该参数对应的椭圆成为候选椭圆，判断该候选椭圆是否为真实椭圆，若是，则说明已检测到了一个椭圆，将落在该椭圆上的点从D中去掉，并释放P中所有参数单元占用的内存，然后继续检测下一个椭圆;否则，说明该侯选的椭圆为虚假椭圆，从P中去掉该参数单元，继续检测。

4.1具体标定的过程

二次曲线在空间坐标系中的表示：

Ax2+Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 （4-1）

其中(x,y)为图像控件的坐标，A、B、C、D、E、F是二次曲线的参数，其中F是自由参数。

B2-AC<0 (4-2)

B2-AC<0且A=C (4-3)

若A、B、C满足(1-2)二次曲线为椭圆，若A, B, C满足(1-3)则二次曲线为圆。

将随机Hough变换(RHT)直接用于椭圆检测时，需随机采样5个点，由方程(1-1)得5个方程，由它们构成关于参数的线形方程组，对其进行求解，若有解且该解满足式（1-1），则对该解（也就是求得的参数)进行累积。

4.2椭圆中心提取方法

本算法是利用由椭圆的极点一极线性质开发的三点组到椭圆参数的收敛映射，是一个以随机Hough变换为基础直接提取椭圆的技术。

椭圆的基本性质

定义:若椭圆上的任意两点P和Q的切线交于点N，则称这两点间的连线PN为点A所对应的极线，点A为弦PN所对应的极点，三角形APN为椭圆的极三角形。如下图所示：

（图 3-5 椭圆中心的确定示意图）

性质1:如图3-5所示，极点A、极线P口的中点E与椭圆中心。共线。

性质2:如图3-5所示，若点D为射线OA与弧PN的交点，则过点D的切线平行

性质3：如图3-5所示，若三点组K, P和N在椭圆上，则此三点组所对应的3个极三角形APN, BPK, CNK的极线边PN, KP,NK上的中线延长线必共点于椭圆的中心Oo

利用椭圆方程和椭圆的极点一极线性质可推导出椭圆点的方向和中心位置所应满足的约束条件。这样，就可以确定椭圆中心位置。即靶标象Pu的坐标。

在图像上（如下图3-6）根据上述的“求取成像坐标的模型的建立”利用边缘取点法，求取有限组点坐标数据记录到无穷大的一个二维数组D[i][j]记录到下表中

（图3-6 成像照片上的一个变形后的形状）

A'
B'
C'
D'
E'

X坐标
Y坐标
X坐标
Y坐标
X坐标
Y坐标
X坐标
Y坐标
X坐标
Y坐标

102.8
56.9
137.4
61.3
212.8
77.1
87.0
178.8
192.8
180.1

103.6
56.6
139.3
59.4
215.2
68.8
87.4
173.4
198.3
170.2

107.2
54.9
148.7
55.6
220.4
63.8
94.7
106.7
202.5
167.4

112.7
52.5
155.1
57.4
229.2
69.7
99.4
164.9
215.8
169.6

118.0
52.9
162.1
64.3
233.6
64.5
105.7
165.7
216.9
177.3

120.5
53.9
160.8
76.3
238.4
72.7
109.6
167.5
213.2
184.3

126.1
72.6
155.2
81.4
235.2
82.1
112.4
170.0
207.8
188.6

126.8
71.5
151.5
83.1
228.7
87.6
114.1
173.7
202.3
189.2

115.9
81.1
140.1
79.8
223.0
88.5
112.7
180.9
197.6
186.8

108.1
80.1
139.6
79.6
215.3
84.9
108.9
185.1
193.6
182.3

102.8
76.1
136.7
75.5
213.6
82.3
93.3
188.3
192.7
177.9

112.1
65.4
145.3
64.2
220.1
72.1
102.3
179.2
205.1
179.6

113.4
66.8
148.6
69.3
225.4
75.2
100.1
176.9
205.5
177.3

（表3-7 实际测量数据）

然后根据上述的“基于随机Hough变换的椭圆型检测法求椭圆中心模型”确定不规则图形的中心。分别如下：

推算的靶标象的坐标
靶标象对应的坐标

X坐标
Y坐标
X坐标
Y坐标

A'
112.1
65.4
113.4
66.8

B'
145.3
64.2
148.6
69.3

C'
220.1
72.1
225.4
75.2

D'
102.3
179.2
100.1
176.9

E'
205.1
179.6
205.5
177.3

(表3-8 实际靶标的位置和计算的到的靶标 )

4.求两相机距离d的模型

4.1求平面夹角

（图4-1 两平面夹角）

如上图4-1所示：在以左相机为基准的空间坐标系中原图象所在的平面可以通过世界坐标系和基准坐标系的转换公式(1-3)得到其在基准坐标系中的平面表示公式：

(4-1)

即上图中的CDEF平面在基准坐标系中的表示

又由于平面ABCD和基准平面的xy平面相平行，故平面ABCD的坐标表示也可以求出设其表示公式如下：

（4-2）

应为两平面无限延伸会得到一个交线（假设不是在特设的情况下两平面）通过公式()和公式()可以求出一条交线CD在空间坐标系中的表示，其公式表示：

下面利用空间点到直线的距离即图中直线O’Oc’和直线OO’的距离。在由点Oc点O、点O’构成的三角形平面中直线O’Oc’、 直线OO’和直线OOc的三角形中根据余弦定理知道角∠OO’Oc的角度即两个平面平面ABCD和平面CDEF间的面夹角。

4.2

(图4-2 求取d的示意图))

图中点说明：（此图为从整个空间上方的俯视图）

Oc：左侧相机的光学中心即三维原点

Oc’：右侧相机的三维原点

O: 实际物体所在三位坐标的原点该点在平面ABCD中

Pu: 左面相机理想成像点

Pu’: 右面相机理想点成像

直线OO’：Oc和Oc’在平面ABCD中的投影

平面ABCD: 空间俯视后对原图象的平面

通过点Pu向原图象ABCD做垂线，在直角三角形P’PuO和平面ABCD的三垂线定理计算出O’’O与OcO的夹角∠O’’OOc.同理可以求出∠O’OOc’，则根据平角定理可以求出∠OcOoC’：

∠OcOoC’=Л-∠O’OOc’-∠O’’OOc

在三角形O’OOc’中已经知道两边和两边夹角利用余弦定理可以求得相机的相对位置d：

三、 模型的求解

1. 相机成像模型和相机标定模型的求解

求解针孔成像模型必然要先进行相机内外参数的标定即相机标定模型。在引入先前的假设 在图像中心后求的投影矩阵，通过投影矩阵D分离其参数可以简化计算。然后根据多组对应点利用公式(9)即可求得D的参数。这里假设世界坐标的原点为靶标的中心(即正方形中心),则可得对应点的结果：

A
C
D
E

X坐标
Y坐标
X坐标
Y坐标
X坐标
Y坐标
X坐标
Y坐标

世界坐标系的坐标
-50
50
50
50
50
-50
-50
-50

像平面的坐标
113.4
66.8
225.4
75.2
100.1
176.9
205.5
177.3

用MATLAB求得

在利用投影矩阵的变换求得 后，便可通过(7)来求得转换矩阵 ，进而由(1-3)求出 。

2.成像坐标模型的求解

3.两相机距离d模型的求解

四、 模型检验方法和评价

五、 参考文献

[1]马颂德，张正友．《计算机视觉——计算理论与算法基础[M]》．北京：科学出版社，1998

[2] 毛剑飞 邹细勇 诸静. 改进的平面模板两步法标定摄像机 中国图象图形学报：A辑.2004,9(7).-846-852

[3]Heikkila J．Geometric camera calibration using Circular control

points l-J]．IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，2000，22(10)：1066～ 1077．

Tag标签: 数学建模,数码相机定位,双面定位

❼ 求贾宪三角的通项公式或规律，谢谢

通项公式是二项式定理

在我国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中。在阿拉伯数学家卡西的着作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为“帕斯卡三角形”，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。

（1）二项式定理
(a+b)n=cn0an+cn1an-1b+…+cnran-rbr+…+cnnbn（这里的显示有点出路，相信你能看懂），其中r=0,1,2,……，n，n∈N.
其展开式的通项是：
Tr+1=cnran-rbr(r=0,1,…n),
其展开式的二项式余数是：cnr(r=0,1,…n)
(2)二项式余数的性质
①其二项展开式中，与首末两端等距离的二项式余数相等，即cnr=cnn-r(r=0,1,2…n) ②由 cnr≥cnr-1
cnr≥cn+1r
得(n－1)/2≤r≤(n＋1)/2
当n为偶数时，其展开式中央项是Tn/2＋1，其二项式余数cnn/2为最大；
当n为奇数时，其展开式中间两项是T(n+1)/2＋1与T(n+1)/2＋1，其二项式系数cn(n-1)/2(或cn(n+1)/2)
为最大。
③相邻两项二项式系数的关系：cnr+1＝(n＋r)/(r＋1)cnr (r≤n，n∈N，r∈)
④二项展开式的所有二项式系数的和：cn0+cn1+cn2+…+cnn＝Zn,
⑤二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和：
cn0+cn2+cn4+…＝cn1+cn31+cn5+…＝2n-1

可能看起来有点乱，因为这里格式不对
告诉你一个图片，你去看一下应该会明白的
http://www.pep.com.cn/gzwljxyj/jszx/qrzptgjzxjc/dzkb/decxb/200412/W020070327682373018833.jpg

❽ 排列组合cn和an公式

排列的公式：A（n，m）=n×（n-1）...（n-m+1）=n!/（n-m）!（n为下标，m为上标,以下同）。

例如：A（4，2）=4!/2!=4*3=12。

组合的公式：C（n，m）=P（n，m）/P（m，m） =n!/m!*（n-m）!。

例如：C（4，2）=4!/（2!*2!）=4*3/(2*1)=6。

加法原理和分类计数法

1、加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

2、第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。

3、分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

❾ 中国知网怎么检测重复率

在网络上搜索“中国学位学术不端文献检测系统-CNK查重入口”。