线性选择算法时间复杂度

❶ 在任意一个基本线性表中插入一个新结点的算法时间复杂度是都是相等的嘛

一个算法有最好、平均、最坏时间复杂度。比如直接插入法的时间复杂度在最好情况（线性表有序）下是O(n)，最坏和平均是都是O(n^2)。

一般情况下，如果没有特别指出，时间复杂度都是指平均时间复杂度。
所以如果是相同算法，一般语境下时间复杂度是相等的。

❷ 算法的时间复杂度是什么

算法的时间复杂度，是一个用于度量一个算法的运算时间的一个描述，本质是一个函数。

根据这个函数能在不用具体的测试数据来测试的情况下，粗略地估计算法的执行效率，换句话讲时间复杂度表示的只是代码执行时间随数据规模增长的变化趋势。

常用大O来表述，这个函数描述了算法执行所要时间的增长速度，记作f(n)。算法需要执行的运算次数（用函数表示）记作T(n)。存在常数 c 和函数 f(n)，使得当 n >= c 时 T(n) <= f(n)，记作 T(n) = O(f(n))，其中，n代表数据规模也就是输入的数据。

时间复杂度如何计算

1、常量阶：只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

2、线性阶、n方阶：一般情况下，如果循环体内循环控制变量为线性增长，那么包含该循环的算法的时间复杂度为O(n)，线性阶嵌套线性阶的算法时间复杂度为O(nⁿ)，涉及下文乘法法则。

3、线性对数阶：当一个线性阶代码段法嵌套一个对数阶代码段，该算法的时间复杂度为O(nlogn)。

4、指数阶和阶乘阶：根据函数，随着n的增加，运行时间会无限急剧增加，因此效率非常低下。

❸ 如何分析时间复杂度(线性表)

算法分析

同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。

1、时间复杂度

（1）时间频度

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

（2）时间复杂度

在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),

线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...，

k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

2、空间复杂度

与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作:

S(n)=O(f(n))

我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。

❹ 排序算法的时间复杂度如何

排序算法的时间复杂度是若文件的初始状态是正序的，一趟扫描即可完成排序。

比较是相邻的两个元素比较，交换也发生在这两个元素之间。所以，如果两个元素相等，是不会再交换的；如果两个相等的元素没有相邻，那么即使通过前面的两两交换把两个相邻起来，这时候也不会交换，所以相同元素的前后顺序并没有改变，所以冒泡排序是一种稳定排序算法。

次线性时间

对于一个算法，若其匹配T(n) = o(n)，则其时间复杂度为次线性时间（sub-linear time或sublinear time）。实际上除了匹配以上定义的算法，其他一些算法也拥有次线性时间的时间复杂度。例如有O(n)葛罗佛搜索算法。

常见的非合次线性时间算法都采用了诸如平行处理（就像NC1matrix行列式计算那样）、非古典处理（如同葛罗佛搜索那样），又或者选择性地对有保证的输入结构作出假设（如幂对数时间的二分搜索）。

不过，一些情况，例如在头 log(n) 比特中每个字符串有一个比特作为索引的字符串组就可能依赖于输入的每个比特，但又匹配次线性时间的条件。

“次线性时间算法”通常指那些不匹配前一段的描述的算法。它们通常运行于传统计算机架构系列并且不容许任何对输入的事先假设。但是它们可以是随机化算法，而且必须是真随机算法除了特殊情况。

❺ 算法复杂度：时间复杂度和空间复杂度

本文部分摘抄于此
算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；
而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。
（算法的复杂性体现在运行该算法时的计算机所需资源的多少上，计算机资源最重要的是时间和空间（即寄存器）资源，因此复杂度分为时间和空间复杂度）。

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时， T(n)/f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O(f(n)), 称 O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句，通常是最内层循环的循环体。

只需计算基本语句执行次数的数量级，这就意味着只要保证基本语句执行次数的函数中的最高次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。这样能够简化算法分析，并且使注意力集中在最重要的一点上：增长率。

将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。

如果算法中包含嵌套的循环，则基本语句通常是最内层的循环体，如果算法中包含并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。

第一个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为Ο( n 2)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n+ n 2)=Ο( n 2)。

Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1)。其中 Ο(log2n)、Ο(n)、 Ο(nlog2n)、Ο(n2)和Ο(n3) 称为多项式时间， 而Ο(2n)和Ο(n!)称为指数时间 。计算机科学家普遍认为前者（即多项式时间复杂度的算法）是有效算法，把这类问题称为 P（Polynomial,多项式）类问题 ，而把后者（即指数时间复杂度的算法）称为 NP（Non-Deterministic Polynomial, 非确定多项式）问题 。

（4）在计算算法时间复杂度时有以下几个简单的程序分析法则:

(1).对于一些简单的输入输出语句或赋值语句,近似认为需要O(1)时间

(2).对于顺序结构,需要依次执行一系列语句所用的时间可采用大O下"求和法则"

求和法则:是指若算法的2个部分时间复杂度分别为 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),则 T1(n)+T2(n)=O(max(f(n), g(n)))

特别地, 若T1(m)=O(f(m)), T2(n)=O(g(n)),则 T1(m)+T2(n)=O(f(m) + g(n))

(3).对于选择结构,如if语句,它的主要时间耗费是在执行then字句或else字句所用的时间,需注意的是检验条件也需要O(1)时间

(4).对于循环结构,循环语句的运行时间主要体现在多次迭代中执行循环体以及检验循环条件的时间耗费,一般可用大O下"乘法法则"

乘法法则 : 是指若算法的2个部分时间复杂度分别为 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),则T1 * T2=O(f(n) * g(n))

(5).对于复杂的算法,可以将它分成几个容易估算的部分,然后利用求和法则和乘法法则技术整个算法的时间复杂度

另外还有以下2个运算法则:(1) 若g(n)=O(f(n)),则O(f(n))+ O(g(n))= O(f(n))；(2) O(Cf(n)) = O(f(n)),其中C是一个正常数

（5）下面分别对几个常见的时间复杂度进行示例说明：

(1)、O(1)

​ Temp=i; i=j; j=temp;

以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。 注意：如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

(2)、O(n2)

2.1. 交换i和j的内容

解： 因为Θ(2n2+n+1)=n2（Θ即：去低阶项，去掉常数项，去掉高阶项的常参得到），所以T(n)= =O(n2)；

2.2.

​

解： 语句1的频度是n-1

一般情况下，对步进循环语句只需考虑循环体中语句的执行次数，忽略该语句中步长加1、终值判别、控制转移等成分，当有若干个循环语句时，算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度f(n)决定的。

(3)、O(n)

解：

(4)、O(log2n)

解：

(5)、O(n3)

解：

（5）常用的算法的时间复杂度和空间复杂度

一个经验规则： 其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 n log2n ,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是 2n * , 3n ,n!，那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。

​ 算法时间复杂度分析是一个很重要的问题，任何一个程序员都应该熟练掌握其概念和基本方法，而且要善于从数学层面上探寻其本质，才能准确理解其内涵。

2、算法的空间复杂度

​ 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度。

空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。一个算法在计算机存储器上所占用的存储空间，包括存储算法本身所占用的存储空间，算法的输入输出数据所占用的存储空间和算法在运行过程中临时占用的存储空间这三个方面。

算法的输入输出数据所占用的存储空间是由要解决的问题决定的，是通过参数表由调用函数传递而来的，它不随本算法的不同而改变。存储算法本身所占用的存储空间与算法书写的长短成正比，要压缩这方面的存储空间，就必须编写出较短的算法。

算法在运行过程中临时占用的存储空间随算法的不同而异，有的算法只需要占用少量的临时工作单元，而且不随问题规模的大小而改变，我们称这种算法是“就地"进行的，是节省存储的算法，如这一节介绍过的几个算法都是如此；

有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如将在第九章介绍的快速排序和归并排序算法就属于这种情况。

如当一个算法的空间复杂度为一个常量，即不随被处理数据量n的大小而改变时，可表示为O(1)；当一个算法的空间复杂度与以2为底的n的对数成正比时，可表示为O(log2n)；当一个算法的空I司复杂度与n成线性比例关系时，可表示为O(n).

【1】如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

解答：
T(n)=O(1)，
这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1100次，但是我们看到n没有?
没。这段程序的运行是和n无关的，
就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数

【2】当有若干个循环语句时，算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度f(n)决定的。

该程序段中频度最大的语句是(5)，内循环的执行次数虽然与问题规模n没有直接关系，但是却与外层循环的变量取值有关，而最外层循环的次数直接与n有关，因此可以从内层循环向外层分析语句(5)的执行次数：
则该程序段的时间复杂度为T(n)=O(n3/6+低次项)=O(n3)

【3】算法的时间复杂度不仅仅依赖于问题的规模，还与输入实例的初始状态有关。

在数值A[0..n-1]中查找给定值K的算法大致如下：

此算法中的语句(3)的频度不仅与问题规模n有关，还与输入实例中A的各元素取值及K的取值有关:

（5）时间复杂度评价性能

有两个算法A1和A2求解同一问题，时间复杂度分别是T1(n)=100n2，T2(n)=5n3。
（1）当输入量n＜20时，有T1(n)＞T2(n)，后者花费的时间较少。
（2）随着问题规模n的增大，两个算法的时间开销之比5n3/100n2=n/20亦随着增大。
即当问题规模较大时，算法A1比算法A2要有效地多。它们的渐近时间复杂度O(n2)和O(n3)从宏观上评价了这两个算法在时间方面的质量。

在算法分析时，往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分，而经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。

其实生活很美好，只是你想的太多了。没有，不会，有差距很正常，因为我不会

❻ 算法的空间复杂度和时间复杂度的关系

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算法的时间复杂度和空间复杂度-总结 原创
2013-09-20 16:01:26
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zolalad

码龄9年

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算法的时间复杂度和空间复杂度-总结
通常，对于一个给定的算法，我们要做 两项分析。第一是从数学上证明算法的正确性，这一步主要用到形式化证明的方法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。而在证明算法是正确的基础上，第二部就是分析算法的时间复杂度。算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣与否。因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析方法是很有必要的。
算法执行时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。而度量一个程序的执行时间通常有两种方法。

一、事后统计的方法

这种方法可行，但不是一个好的方法。该方法有两个缺陷：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，必须先依据算法编制相应的程序并实际运行；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优势。

二、事前分析估算的方法

因事后统计方法更多的依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优劣。因此人们常常采用事前分析估算的方法。

在编写程序前，依据统计方法对算法进行估算。一个用高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：

(1). 算法采用的策略、方法；(2). 编译产生的代码质量；(3). 问题的输入规模；(4). 机器执行指令的速度。

一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。为了便于比较同一个问题的不同算法，通常的做法是，从算法中选取一种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执行的次数作为算法的时间量度。

1、时间复杂度
（1）时间频度 一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
（2）时间复杂度 在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

另外，上面公式中用到的 Landau符号其实是由德国数论学家保罗·巴赫曼（Paul Bachmann）在其1892年的着作《解析数论》首先引入，由另一位德国数论学家艾德蒙·朗道（Edmund Landau）推广。Landau符号的作用在于用简单的函数来描述复杂函数行为，给出一个上或下（确）界。在计算算法复杂度时一般只用到大O符号，Landau符号体系中的小o符号、Θ符号等等比较不常用。这里的O，最初是用大写希腊字母，但现在都用大写英语字母O；小o符号也是用小写英语字母o，Θ符号则维持大写希腊字母Θ。
T (n) = Ο(f (n)) 表示存在一个常数C，使得在当n趋于正无穷时总有 T (n) ≤ C * f(n)。简单来说，就是T(n)在n趋于正无穷时最大也就跟f(n)差不多大。也就是说当n趋于正无穷时T (n)的上界是C * f(n)。其虽然对f(n)没有规定，但是一般都是取尽可能简单的函数。例如，O(2n2+n +1) = O (3n2+n+3) = O (7n2 + n) = O ( n2 ) ，一般都只用O(n2)表示就可以了。注意到大O符号里隐藏着一个常数C，所以f(n)里一般不加系数。如果把T(n)当做一棵树，那么O(f(n))所表达的就是树干，只关心其中的主干，其他的细枝末节全都抛弃不管。
在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。 按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...， k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

从图中可见，我们应该尽可能选用多项式阶O(nk)的算法，而不希望用指数阶的算法。

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!)

一般情况下，对一个问题（或一类算法）只需选择一种基本操作来讨论算法的时间复杂度即可，有时也需要同时考虑几种基本操作，甚至可以对不同的操作赋予不同的权值，以反映执行不同操作所需的相对时间，这种做法便于综合比较解决同一问题的两种完全不同的算法。

（3）求解算法的时间复杂度的具体步骤是：

⑴ 找出算法中的基本语句；

算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句，通常是最内层循环的循环体。

⑵ 计算基本语句的执行次数的数量级；

只需计算基本语句执行次数的数量级，这就意味着只要保证基本语句执行次数的函数中的最高次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。这样能够简化算法分析，并且使注意力集中在最重要的一点上：增长率。

⑶ 用大Ο记号表示算法的时间性能。

将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。

如果算法中包含嵌套的循环，则基本语句通常是最内层的循环体，如果算法中包含并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。例如：

for (i=1; i<=n; i++)
x++;
for (i=1; i<=n; i++)
for (j=1; j<=n; j++)
x++;
第一个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为Ο(n2)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2)=Ο(n2)。

Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1)。其中Ο(log2n)、Ο(n)、 Ο(nlog2n)、Ο(n2)和Ο(n3)称为多项式时间，而Ο(2n)和Ο(n!)称为指数时间。计算机科学家普遍认为前者（即多项式时间复杂度的算法）是有效算法，把这类问题称为P（Polynomial,多项式）类问题，而把后者（即指数时间复杂度的算法）称为NP（Non-Deterministic Polynomial, 非确定多项式）问题。

一般来说多项式级的复杂度是可以接受的，很多问题都有多项式级的解——也就是说，这样的问题，对于一个规模是n的输入，在n^k的时间内得到结果，称为P问题。有些问题要复杂些，没有多项式时间的解，但是可以在多项式时间里验证某个猜测是不是正确。比如问4294967297是不是质数？如果要直接入手的话，那么要把小于4294967297的平方根的所有素数都拿出来，看看能不能整除。还好欧拉告诉我们，这个数等于641和6700417的乘积，不是素数，很好验证的，顺便麻烦转告费马他的猜想不成立。大数分解、Hamilton回路之类的问题，都是可以多项式时间内验证一个“解”是否正确，这类问题叫做NP问题。

（4）在计算算法时间复杂度时有以下几个简单的程序分析法则:

(1).对于一些简单的输入输出语句或赋值语句,近似认为需要O(1)时间

(2).对于顺序结构,需要依次执行一系列语句所用的时间可采用大O下"求和法则"

求和法则:是指若算法的2个部分时间复杂度分别为 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),则 T1(n)+T2(n)=O(max(f(n), g(n)))

特别地,若T1(m)=O(f(m)), T2(n)=O(g(n)),则 T1(m)+T2(n)=O(f(m) + g(n))

(3).对于选择结构,如if语句,它的主要时间耗费是在执行then字句或else字句所用的时间,需注意的是检验条件也需要O(1)时间

(4).对于循环结构,循环语句的运行时间主要体现在多次迭代中执行循环体以及检验循环条件的时间耗费,一般可用大O下"乘法法则"

乘法法则: 是指若算法的2个部分时间复杂度分别为 T1(n)=O(f(n))和 T2(n)=O(g(n)),则 T1*T2=O(f(n)*g(n))

(5).对于复杂的算法,可以将它分成几个容易估算的部分,然后利用求和法则和乘法法则技术整个算法的时间复杂度

另外还有以下2个运算法则:(1) 若g(n)=O(f(n)),则O(f(n))+ O(g(n))= O(f(n))；(2) O(Cf(n)) = O(f(n)),其中C是一个正常数

（5）下面分别对几个常见的时间复杂度进行示例说明：

(1)、O(1)

Temp=i; i=j; j=temp;

以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。注意：如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。
(2)、O(n2)

2.1. 交换i和j的内容

sum=0； （一次）
for(i=1;i<=n;i++) （n+1次）
for(j=1;j<=n;j++) （n2次）
sum++； （n2次）
解：因为Θ(2n2+n+1)=n2（Θ即：去低阶项，去掉常数项，去掉高阶项的常参得到），所以T(n)= =O(n2)；

2.2.

for (i=1;i<n;i++)
{
y=y+1; ①
for (j=0;j<=(2*n);j++)
x++; ②
}
解： 语句1的频度是n-1
语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n2-n-1
f(n)=2n2-n-1+(n-1)=2n2-2；

又Θ(2n2-2)=n2
该程序的时间复杂度T(n)=O(n2).

一般情况下，对步进循环语句只需考虑循环体中语句的执行次数，忽略该语句中步长加1、终值判别、控制转移等成分，当有若干个循环语句时，算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度f(n)决定的。

(3)、O(n)

a=0;
b=1; ①
for (i=1;i<=n;i++) ②
{
s=a+b;③
b=a;④
a=s;⑤
}
解： 语句1的频度：2,
语句2的频度： n,
语句3的频度： n-1,
语句4的频度：n-1,
语句5的频度：n-1,
T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
(4)、O(log2n)

i=1; ①
while (i<=n)
i=i*2; ②
解： 语句1的频度是1,
设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
取最大值f(n)=log2n,
T(n)=O(log2n )

(5)、O(n3)

for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n3).

（5）常用的算法的时间复杂度和空间复杂度

一个经验规则：其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 n*log2n ,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是2n ,3n ,n!，那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。

算法时间复杂度分析是一个很重要的问题，任何一个程序员都应该熟练掌握其概念和基本方法，而且要善于从数学层面上探寻其本质，才能准确理解其内涵。

2、算法的空间复杂度

类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)S(n)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度。
空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。一个算法在计算机存储器上所占用的存储空间，包括存储算法本身所占用的存储空间，算法的输入输出数据所占用的存储空间和算法在运行过程中临时占用的存储空间这三个方面。算法的输入输出数据所占用的存储空间是由要解决的问题决定的，是通过参数表由调用函数传递而来的，它不随本算法的不同而改变。存储算法本身所占用的存储空间与算法书写的长短成正比，要压缩这方面的存储空间，就必须编写出较短的算法。算法在运行过程中临时占用的存储空间随算法的不同而异，有的算法只需要占用少量的临时工作单元，而且不随问题规模的大小而改变，我们称这种算法是“就地\"进行的，是节省存储的算法，如这一节介绍过的几个算法都是如此；有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如将在第九章介绍的快速排序和归并排序算法就属于这种情况。

如当一个算法的空间复杂度为一个常量，即不随被处理数据量n的大小而改变时，可表示为O(1)；当一个算法的空间复杂度与以2为底的n的对数成正比时，可表示为0(10g2n)；当一个算法的空I司复杂度与n成线性比例关系时，可表示为0(n).若形参为数组，则只需要为它分配一个存储由实参传送来的一个地址指针的空间，即一个机器字长空间；若形参为引用方式，则也只需要为其分配存储一个地址的空间，用它来存储对应实参变量的地址，

❼ 时间复杂度

算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度，一个好的算法应该具体执行时间短，所需空间少的特点。

随着计算机硬件和软件的提升，一个算法的执行时间是算不太精确的。只能依据统计方法对算法进行估算。

我们抛开硬件和软件的因素，算法的好坏直接影响程序的运行时间。

我们看一下小例子：

     int value = 0;                         // 执行了1次

     for (int i = 0; i < n; i++) {       // 执行了n次

          value += i;

     }

     这个算法执行了 1 + n 次，如果n无限大，我们可以把前边的1忽略，也就是说这个算法执行了n次

     时间复杂度常用大O符号表示，这个算法的时间复杂度就是O(n).

     概念： 一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一函数f(n),因此，算法的时间复杂度记做 T(n) = O(f(n))。 随着模块n的增大，算法执行的时间增长率f(n)的增长率成正比，所以f(n)越小，算法 的时间复杂度越低，算法的效率越高。

计算时间复杂度

     1.去掉运行时间中的所有加法常数。

     2.只保留最高阶项。

     3.如果最高阶项存在且不是1，去掉与这个最高阶相乘的常数得到时间复杂度

我们看一个例子

     for (int i = 0; i < n; i++) {

          for (int j = i; j < n; j++) {

               // do .....

          }

     }

当 i = 0 时 里面的fo循环执行了n次，当i等待1时里面的for循环执行了n -  1次，当i 等于2里里面的fro执行了n - 2次........所以执行的次数是

根据我们上边的时间复杂度算法

1.去掉运行时间中的所有加法常数： 没有加法常数不用考虑

2.只保留最高阶项:只保留

3. 去掉与这个最高阶相乘的常数:  去掉

只剩下

最终这个算法的时间复杂度为

再看一个线性的

      for ( int i = 0; i < n; i++) {

          // do .....

     }

     因为循环要执行n次所以时间复杂度为O(n)

其它的我也就不一个一个算了，下面给出了常用的时间复杂度

❽ 各种算法的时间复杂度

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

一般时间复杂度到了2 n(指数阶)及更大的时间复杂度,这样的算法我们基本上不会用了,太不实用了.比如递归实现的汉诺塔问题算法就是O(2 n).

平方阶(n^2)的算法是勉强能用,而nlogn及更小的时间复杂度算法那就是非常高效的算法了啊.

空间复杂度
冒泡排序,简单选择排序,堆排序,直接插入排序,希尔排序的空间复杂度为O(1),因为需要一个临时变量来交换元素位置,(另外遍历序列时自然少不了用一个变量来做索引)

快速排序空间复杂度为logn(因为递归调用了) ,归并排序空间复杂是O(n),需要一个大小为n的临时数组.

基数排序的空间复杂是O(n),桶排序的空间复杂度不确定

原文： https://blog.csdn.net/weiwenhp/article/details/8622728

❾ 算法时间复杂度有几种

算法时间复杂度有3种：

1、常数阶O(1),对数阶O(log2n)(以2为底n的对数，下同),线性阶O(n),

2、线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),...，

3、k次方阶O(n^k),指数阶O(2^n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

(9)线性选择算法时间复杂度扩展阅读：

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),存在一个正常数c使得fn*c>=T(n)恒成立。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n^2+3n+4与T(n)=4n^2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n^2)。

❿ 算法时间复杂度

O(N!)、O(2 ^N)、O(N 2)、O(NlogN)、O(N)、O(logN)、O(1)...
代表： 最坏情况的用时

一个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。自然数n的阶乘写作n!。1808年，基斯顿·卡曼引进这个表示法。

N 的 N 次方，^ 是上标的意思

如果 aˣ = N（a>0，且a≠1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x=logaN，读作以 a 为底 N 的对数，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即 x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为 x= aʸ 。因此指数函数里对于 a 的规定，同样适用于对数函数。

描述算法复杂度时,常用o(1), o(n), o(logn), o(nlogn)表示对应算法的时间复杂度，是算法的时空复杂度的表示。不仅仅用于表示时间复杂度，也用于表示空间复杂度。
O后面的括号中有一个函数，指明某个算法的耗时/耗空间与数据增长量之间的关系。其中的n代表输入数据的量。

时间复杂度为O(n)，就代表数据量增大几倍，耗时也增大几倍，线性增长，比如常见的：

时间复杂度O(n^2)，就代表数据量增大n倍时，耗时增大n的平方倍，这是比线性更高的时间复杂度。比如：

O(nlogn)同理，就是n乘以logn，当数据增大256倍时，耗时增大256*8=2048倍。这个复杂度高于线性低于平方。比如：

当数据增大n倍时，耗时增大logn倍（这里的log是以2为底的，比如，当数据增大256倍时，耗时只增大8倍，是比线性还要低的时间复杂度）。比如：

O(1)就是最低的时空复杂度了，也就是耗时/耗空间与输入数据大小无关，无论输入数据增大多少倍，耗时/耗空间都不变。 比如：

代入 N 以后的数值，和耗时的关系， 10 ^ 8 => 秒级 ，最大的 N 分别是：