分形算法树

A. 什么是分形树

你好！

做植物模拟比较好的是L系统--构造分形的一种方法。
如果只是做棵分形树的话，看点L系统的知识懂点编程足矣。
想研究树的分形的话最好研究一下分形图形学，图论，拓扑学，L系统,IFS。有一个分形网站-----分形频道，蛮出名的哦。里面有分形入门。去看看吧！

PS：~你的采纳是我前进的动力~~
O(∩_∩)O，互相帮助，祝你好运！O(∩_∩)O
————希望可以帮到您！觉得好就请点采纳答案吧，你的采纳是我的动力，谢谢！————

B. 2019622李善友公开课

本资料由混沌北京分社学霸 冯清扬&李敏同学 整理！

持续更新中……

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第一部分：进化论

从个体差异推导出遗传变异，从生存竞争推导出自然选择，遗传变异和自然选择共同推导出达尔文的第一性原理：进化论。

达尔文的根本思想：“存在没有设计师的设计”。

变异+选择=进化

生物自发地变异，自然自发地选择，没有上帝之手设计，自然自发形成最完美的设计。

基于简单法则和反馈，计算机能够自发进化出没有人编写的复杂程序，正如大自然能自发进化出复杂世界，整个过程不需要一个指手画脚的设计师。

变异+选择+隔离=进化

进化算法特别适合用于以下三件事：

1.如何到达你想去却找不到路的领域？

2.如何到达你无法想象的领域？

3.如何开辟全新领域？

进化算法与创新思维：

1.变异：自下而上、多样探索

2.选择：一二曲线、自我破坏

3.隔离：错位竞争、边缘创新

进化算法与创新思维：

1.变异——个体差异：自下而上、多样探索

——企业需要有足够丰富的多样性，多样性是创新的来源。

除非在系统中注入多样性，否则内生增长将彻底消失。

进化算法与创新思维：

2.选择——生存竞争：一二曲线、自我破坏

有利于生存的变异会被选择下来，不利于生存的变异会被淘汰，这就是自然选择。

更为究竟的说：自然只会淘汰不利于生存的变异，有利于生存的变异被剩下来而不是被主动选择。

创新的过程往往就是新组合对旧组合通过竞争热加以消灭的过程。熊彼特把这一过程称为“创造性破坏”。

市场经济就是进化经济，它的核心精神是：想生就生，该死就死

市场的创造性破坏，对于企业增长有什么启示呢？

答：将市场的创造性破坏模式引入到企业中去！

问题1:我们都希望第一曲线基业长青，但是任何曲线豆无法避免极限点，这时候怎么办？

答：一次又一次地跨越第二条曲线。

问题2:什么时候启动第二曲线？

答：第一曲线过了破局点；第一曲线还在增长，但增长加速度开始下降；deadline:第一曲线到达财务极限点之前。

问题3:如果第二曲线已经过了破局点，而且和第一曲线之间形成了竞争，该如何选择？

答：创造性自我破坏。像市场淘汰过气企业一样，企业要破坏自己的过气业务和产品。

在企业中，第二曲线终将超越第一曲线；正如在家庭中，儿子终将代替父亲成为家里的顶梁柱。

进化算法与创新思维：

3.隔离：错位竞争、边缘创新

如果没有隔离，在原有大种群之中，变异很快就被稀释掉了。

地理隔离——生殖隔离——新物种

对于企业而言隔离的含义：

（1）内部：第一二曲线之间的隔离

对内：独立小团队

除非企业成立两个彼此独立的机构（从属于不同的价值网），来应对新的机遇，发展第二曲线。

（2）外部：与在位巨头的错位竞争

对外：错位竞争

与其更好，不如不同——减少竞争

在领先企业已经建立主导性优势的环境中，任何类似产品都会沦为鸡肋。

进化树表现为不断生出侧枝得以发展。进化树的主枝生长最终形成盲端，而生长出的侧枝得以进一步演化，侧枝又会长出新的侧枝演化出新的生物。

企业的进化树：

一条曲线上的指数式增长必将由于临近奇点而崩塌，通过创新重启增长曲线，实现曲线转换，创新与曲线转换的发生将越来越快。

第二部分：熵增理论

对今天所有人影响最大的人是牛顿（没有之一），牛顿机械论世界观：

逻辑奇点：惯性；引力

第一性原理：经典运动定律

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牛顿机械论世界观：宇宙就是一台（封闭）机器。

封闭系统的熵随着时间的推移不断增加，且不可逆。任何封闭系统，最终的命运是死亡。

基于牛顿世界观，科学管理把组织视为机器，把人视为机器的零件。传统商业组织必然是封闭的、机械的、有边界的，因此不得不面对“组织熵增”——涣散化、官僚化、失效化、并最终走向灭亡。

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生命系统是熵增的“特例”，生命以负熵为生。

[强]生命系统是开放系统（耗散结构）：具有不断从外部环境吸收能量（阳光、食物等）和对外输出熵（二氧化碳）的能力。

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相应地，去组织熵增的路径：

①机械型组织（机器） 到 生物型组织（生命）

②控制 到 走出控制（out of control）

③熵增 到 反熵增

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反熵增案例：任正非

任正非及华为价值观背后的思维——反熵增思维

1.任正非第一性原理

（1）年轻时：控制论+军事思想=狼性文化

华为取得长达十年的高速发展。

2000年，机械论世界观+狼文化开始对华为形成一定程度的反噬。

2001-2003，任正非的至暗时刻——阅读和思考，是任正非走出黑暗最重要的依仗，他加速从西方管理学、科学、哲学中汲取养分。

（2）热力学第二定律，犹如为任正非开了天眼。

死亡是一个哲学命题，而活下去则是一个现实命题。

前些年我把“活下去”作为华为的最低纲领，现在我终于明白，“活下去”是企业的最高纲领。

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2.反熵增实践

任正非的反熵增：

耗散结构——优势耗散，把自己的优势耗散出去，把企业的优势耗散出去

（1）财富耗散于人才

“炸开人才金字塔的塔尖”，提高人才浓度。

在华为的投入结构中，人力资本的投入处于优先的、超前的地位，是先有人力资本的投入才有财务资本的增长和高投资回报。

近三年，就有700多名世界顶级科学家加入华为。

例：5G极化码发现者：埃尔多尔.艾利坎

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（2）财富耗散于技术

例：1993年的华为与联想——现在这两家公司成为对方应该成为的样子，因为他们把钱花成了不同的样子。

1998年颁布的《华为基本法》：我们保证按照销售额的10%拨付研发经费。

华为过去十年累计研发投入近4000亿人民币。面向未来，华为将加大基础研究投入，每年150-200亿美元的研发费用中，20-30%将用于基础研究。

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3.华为使命

华为近三年来的使命关键词：连接（三个阶段）

（1）管道连接

通讯连接：运营商管道业务，竞争对手是诺基亚、爱立信等

（2）云管端

CT+IT连接：云管端业务（云计算、运营商管道、手机终端），竞争对手是苹果、思科等。

（3）万物连接

万物连接：构建万物互联的智能世界。

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第三部分：分形创新

❔一个物种怎么可能变成另外一个物种？

达尔文思想一个决定性的转折：尺度变换

生存竞争的主角不是物种，而是同一物种之内的个体；遗传变异的主角甚至不是生物个体，而是基因；基因变异的场景是个体之间的繁殖。

变异+选择=进化（新物种）

达尔文：自然界无飞跃。

“创新无飞跃”

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第二曲线的产生方法

管理创新+市场选择

跟生物学类比：管理=遗传，创新=变异

第一曲线的某一个创新，被挑选出来，成长为第二曲线。

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分形创新的操作步骤

1.第一曲线要素拆解

2.组合创新内部MVP

3.市场选择10倍速增长

4.单一要素最大化

5.成长为第二曲线

案例2:

【好未来的分形创新】

第一曲线：理科+教研+小班+线下

十年前在线下业务如日中天时，开始探索线上业务。

第二曲线：双师模式的网校——学而思网校

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生物从细胞到生态，物种丰富多样，但背后的规律却非常简洁优雅。

从生物视角看企业经济系统：

Step1:变异与多样

Step2:选择与破坏

Step3:隔离与独立

Step4:分形与新生

[强]案例3

【头条的分形创新】

头条第一曲线：今日头条[机智]

新闻资讯时外衣，推荐引擎是内核。

Step1:变异与多样：第一曲线探索分形

Step2:选择与破坏：分形要素十倍变异

内容分形；

呈现形式分形；

分发分形：社交分发

分发分形：商品分发

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Step3:隔离与独立，独立环境隔离成长

每一个新产品立项，负责人就去三个部门挑人，分别负责留存、拉新和变现，临时成立一个虚拟项目组。

若虚拟项目组表现不错，再稳固为独立团队，进化为独立公司。

以最小消耗建立最优路线的自然聚焦。

图片: https://images.smcdn.cn/K5E2rZ4FqukEzXsk/15611869354774.jpgStep4:分形与新生，分形衍生第二曲线

变异+选择+隔离=新物种=第二曲线

图片: https://images.smcdn.cn/lJ6eFgZtOX0qPflH/15611869465676.jpg图片: https://images.smcdn.cn/pulZi96m0iENms85/15611869517379.jpg

【头条第二曲线：抖音】

分形的关键是：有一个可迁移的自相似的同构性。

张一鸣：我觉得我们还是很专注的，其实他们都是一类产品。

张一鸣：这个时代也许是进化论的最好证明。

在全世界范围内促进信息的创造（分形业务）和流动（主航道）。

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分形实际上是一门关于混沌的复杂性数学

李善友：分形是我个人的第一性原理

视频：分形学（强烈推荐，同学们可以搜索看一下）

[嘿哈]

【分形算法】

分形创新可以极大地缓解创业中的竞争和增长压力。打破“增长魔咒”，打破”组织熵增“。

分形算法逆熵的核心机制是：增加了维度。

常规战略：平面思维，静态思维（地盘之争，你有我无）

分形创新：从二维穿透，增加了维度（同一尺度没有空间，但从细分切口突破进去，无限空间！）

击穿阈值点，一花一世界。

案例1:美团酒旅——本地住宿

✌案例2:拼多多——货找人

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分形算法，是一种创新哲学，也是一种过程哲学。

常规思维：未来是“一”。结果是目的，过程服务于结果。

过程哲学：当下是“一”。过程本身就是目的，结果反而不再重要。——活在当下

【分形算法】

1.互指迭代。2.过程哲学。

案例：

乔布斯——”乔布斯深受禅的影响”。

让生命服务于使命——一方面，他追寻个人精神世界的领悟；另一方面，他想要打造足以改变世界的产品。禅使他得以将这两个目标融为一体：作出伟大的产品成为乔布斯独特的禅修方式。

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第四部分：涌现创新

《复杂》一书中指出“随着成员数目的增加，成员之间的相互作用呈指数增长，当连接度超过某一临界值时引发涌现。”

✨涌现是一种特殊的分形。涌现，整体大于部分之和。

单个神经元的行为特别简单，但无数神经元组合在一起，就涌现出思维和意识。

《失控》中指出“成千上万条沙丁鱼如一头巨兽游动，破浪前行，它们如同一个整体，这种一致性从何而来？”

答案是涌现的层次性：大量个体合成了一个更高层次的新秩序。

重新定义什么叫“涌现”：涌现就是出现新的超生命体。涌现就是生命。——“涌现论世界观”，这是一种彻底告别物理学机械论的新世界观。

自组织：大量个体基于简单规则的相互作用，无需中央调控，就能涌现出整体上的新秩序。

自组织的关键特征：同步性

鱼群同步的简单规则：

规则1:跟上前面的鱼

规则2:与身边的鱼保持同步

规则3:与后面的鱼保持距离

Boids鱼群模拟软件“博德三原则”

视频名称→【Boids仿真鱼群】

机械系统总是无法抵抗衰败，生命系统总是可以不断进化。

❔冯诺伊曼的革命性问题：生命有自组织，机器能否自复制？——寻找抵抗熵增定律的另类途径

1957 年冯诺伊曼从数学上证明了：自复制机器原则上是可能的。

复杂性系统的理想模型：“元胞自动机”

✌视频→【生命游戏】

三、信息流

同构性问题：进化是随机的吗？

答：第一步，产生可遗传的变异，这一步具有偶然性。

第二步，对各种变异的自然选择。——正反馈

正反馈是如何产生的？

答案：蚁群算法——蚂蚁自组织的两种规则①集中行动②随机探索

1.进化学：变异+选择=进化

2.遗传学：基因型决定表现型

生命遗传的“中心法则”：

遗传型：自指性（DNA是复制蛋白质的遗传密码，DNA也包含能够复制自己的遗传密码）——第一性原理是自指性法则

遗传型到表现型：单向性

破界创新：用第一性原理的推理方式去发现更大尺度的第一性原理（自指性）

为什么蚂蚁“众愚成智”，而人类“众智成愚”（乌合之众）？

涌现的关键含义是：涌现就是生命！

涌现世界观：把你做的事情当作一条命！一条真正的生命！

人类比动物多了小我，我们的世界产生了二元对立，我们认为我们做的事情是为“我”服务的。

使命涌现，人生随之改变。

上半场：成功

下半场：意义+成功——这样做不但人生有了幸福感，事业反而更成功。

案例1:“产品之神”乔布斯：苹果的产品要有灵魂。

案例2:“寿司之神”小野二郎：（1）你必须爱自己的工作。（2）做寿司是奏交响乐。（3）职人精神，一生悬命。

✨“天命所归的事儿”

1.喜欢的（心流）

2.擅长的（天赋）

3.有意义（至善）

一个组织里，如果能够鼓励每个成员去寻找自己的使命，个体使命与组织使命的同频共振，就是涌现。

在一个涌现的组织里，创新将是自然而然的结果，自组织，自复制，自生长。

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C. 分形维数的计算方法有那些能具体说一下吗

被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。二1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。1975年，曼德尔布罗特用法文出版了分形几何第一部着作《分开：形状、机遇和维数》。1977年该书再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想，它将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓朴维数的集合，总结了根据自相似性计算实验维数的方法，由于相似维数只对严格自相似这一小类集有意义，豪斯道夫维数虽然广泛，但在很多情形下难以用计算方法求得，因此分形几何的应用受到局限。1982年，曼德尔布罗特的新着《自然界的分形几何》出版，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为避免这一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充维数，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普罗克西娅（I.Procaccia）提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。1985年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1982年德金（F.M.Dekking）研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。德金获得维数上界。1989年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，1982年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。 自然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切。确定性的古典分形集加入随机性，就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1968年，曼德尔布罗特研究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1974年他又提出了分形渗流模型。1988年，柴叶斯（j.T.Chayes）给出了详细的数学分析。1984年，扎乐（U.Zahle）通过随机删除而得到十分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。三动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。1963年，气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的第一个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。1976年，法国天文学家伊侬（M.Henon）考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质。1986年劳威尔（H.A.Lauwerier）将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。1985年，迈克多纳（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型：（！）局部不连通的分形集；（2）局部连通的分形拟圆周；（3）既不局部连能又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。 动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚（G.Julia）和法图（P.Fatou）于1918-1919年间开创这一研究。他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力，因此他们的智力成就受到局限。随后50年间，这方面的研究没有得到什么进展。随着可用机算机来做实验，这一研究课题才又获得生机。1980年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特集（M集）的第一张图来。1982道迪（A.Douady）构造了含参二次复映射fc ，其朱利亚集J（fc）随参数C的变化呈现各种各样的分形图象，着名的有道迪免子，圣马科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集与映射系数的关系，解新局面了解析映射击集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫维数的数值解法。1983年，韦当（M.Widom）进一步推广了部分结果 。法图1926年就就开始整函数迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）证明指数映射的J集为复平面，解决了法图提出的问题，引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J的性质差异，1984年德万尼（R.L.Devanney）证明指数映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或复平面而J（fc）是康托尘或连通集。 复平面上使J（fc）成为连通集的点C组成M集即曼德尔布罗特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）认为，M集的性质过去一直是并且将来继续是数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在这方面进行的基础性研究工作，在解决这一难题方面已取得重大进展，使人们加深了对M集的了解。道迪和扈巴德1982年证明M集是连通的和单连通的，人们猜测M集是局部连通的，目前每一张计算机图形都证实了这一猜测，但至今还没有人能给予证明。M是否为弧连通，目前尚不清楚。M集边界的维数也是值得研究的问题之一。 M集除了将J集分成连通与非连通的两类之外，还起着无穷个J集的图解目录表作用，即把M集C点周围的图形放大就是与C点有关的J集的组成部分。但这一发现的数学密性至今仍未确定，谭磊（Tan Lei）1985年证明了在每一个密休威茨点邻近M集与相关的J集之间存在着相似性。尤金斯等在M集的静电位研究中获得与自然形貌相似的分形图象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机活动录象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得进展。1990年德万尼通过数值实验观察到M集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。1991年黄永念运用他提出的代数分析法证明了这一事实，研究了M集及其广义情况周期轨道整体解析特性。 巴斯莱（B.M.Barnsley）和德门科（S.Demko）1985年引入迭代函数系统，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。1985年巴斯莱等研究含参数的函数系迭代动力系统，得到M集D并D与M在连通性上的差异。在一线性映射系迭代下，可以产生着名的分形曲线——双生龙曲线。1986年水谷（M.Mitzutani）等对其动力系统进行了研究。 一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对于有迭式构造的分形集，贝德浮德（T.Bedford）等在1986年已给出卓有成效的算法，但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维数dH的结论与算法实际上没有。卡普兰（j.L.Kaplan）和约克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测dL=dH。1981年勒拉皮尔证明dH≤dL。杨（L.S.Young）1982年证明二维情况下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年给出例子说明高维情形卡普兰-约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引子维数推断混沌力学，这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。 多重分形（multifractals）是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德布罗特和伦依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年博尔（T.Bohr）等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。1988年，阿内多（A.Arneodo）等人将子波变换用于多重分形研究。费德（J.Feder）、特尔（T.Tel）等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维数进行了修正。李（J.Lee）等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年，伯克（C.Beck）得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。1991年科维克（Z.Kov.acs）等引入双变量迭代系统，最大特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。四分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可操作性强，是喁喁分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集）、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。 在哲学方面，人们的兴趣在于自相似性的普适性，M集和J集表现出的简单性与复杂性，复数与实数的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界（SOC）现象的刻画以及分形体系内部的各种矛盾的转化等。可以预言，一场关于分形科学哲学问题的讨论即将在国内展开。

D. 2022-03-29

分形几何 是几何数学中的一个分支，也称大自然几何学，由着名数学家本华曼德勃罗（ 法语：BenoitB.Mandelbrot）在 1975 年构思和发展出来的一种新的几何学。

分形几何是对大自然中 微观与宏观 和谐统一之美的发现，分形几何最大的特点：

整体与局部的相似性：  一个完整的图形是由诸多相似的微图形组成，而整体图形又是微图形的放大。

局部是整体的缩影，整体是局部的放大。

具有自我叠加性：  整体图形是由微图形不断重复叠加构成，且具有无限叠加能力。

什么是分形算法？

所谓 分形算法 就是使用计算机程序模拟出大自然界的分形几何图案，是 分形几何数学 与 计算机科学 相融合的艺术。

由于分形图形相似性的特点，分形算法多采用递归实现。

2. 分形算法

2.1 科赫雪花

科赫雪花是由瑞典数学家科赫在 1904 年提出的一种不规则几何图形，也称为雪花曲线。

分形图形的特点是 整体几何图形 是由一个 微图形结构 自我复制、反复叠加形成，且最终形成的整体图案和微图形结构一样。在编写分形算法时，需要先理解微图案的生成过程。

科赫雪花的微图案生成过程：

先画一条直线。科赫雪花本质就由一条直线演化而成。

三等分画好的直线。

取中间线段，然后用夹角为 60° 的两条等长线段替代。

可在每一条线段上都采用如上方式进行迭代操作，便会构造出多层次的科赫雪花。

科赫微图形算法实现：

使用  Python  自带小海龟模块绘制，科赫雪花递归算法的出口的是画直线。

importturtle'''

size：直线的长度

level: 科赫雪花的层次

'''defkoch(size, level):ifn ==1:        turtle.fd(size)else:foriin[0,60, -120,60]:            turtle.left(i)# 旋转后，再绘制koch(size //3, level -1)

参数说明：

size：  要绘制的直线长度。

level：  科赫雪花的层次。

0 阶和 1 阶 科赫雪花递归流程：

importturtleturtle.speed(100)defke_line(line_, n):ifn ==0:        turtle.fd(line_)else:        line_len = line_ //3foriin[0,60, -120,60]:            turtle.left(i)            ke_line(line_len, n -1)# 原始直线长度line =300# 移动小海龟到画布左下角turtle.penup()turtle.goto(-150, -150)turtle.pendown()# 1 阶科赫雪花di_gui_deep =1ke_line(line, di_gui_deep)turtle.done()

2 阶科赫雪花：

可以多画几个科赫雪花，布满整个圆周。

importturtleturtle.speed(100)defke_line(line_, n):ifn ==0:        turtle.fd(line_)else:        line_len = line_ //3foriin[0,60, -120,60]:            turtle.left(i)            ke_line(line_len, n -1)# 原始线长度line =300# 移动小海龟画布左下角turtle.penup()turtle.goto(-150, -150)turtle.pendown()# 几阶科赫雪花di_gui_deep =int(input("请输入科赫雪花的阶数："))whileTrue:# 当多少科赫雪花围绕成一个圆周时，就构成一个完整的雪花造型count =int(input("需要几个科赫雪花："))if360% count !=0:print("请输入 360 的倍数")else:breakforiinrange(count):    ke_line(line, di_gui_deep)    turtle.left(360// count)turtle.done()

4 个 3 阶科赫雪花：  每画完一个后旋转 90 度，然后再绘制另一个。

6 个 3 阶科赫雪花：  每画完一个后，旋转 60 度再画另一个。

科赫雪花的绘制并不难，本质就是画直线、旋转、再画直线……

2.2 康托三分集

由德国数学家 格奥尔格·康托尔 在1883年引入，是位于一条线段上的一些点的集合。最常见的构造是 康托尔三分点集 ，由去掉一条线段的中间三分之一得出。

构造过程：

绘制一条给定长度的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留下两段。

再将剩下的两段再分别三等分，同样各去掉中间一段，剩下更短的四段……

将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集。

E. 分形树是几维的

可以搜搜关于波洛克作品维度计算的资料。

F. matlab 分形中一排树怎么做

给你两个我以前做分形的例子

G. 求改正，这个随机分形树的MATLAB程序到底哪儿错了，运行错误

代码有很多小错误，我帮你修改了下，

这是函数文件

function S1tree(n)

clc;

S='F';a=pi/10;A=pi/2;z=0;zA=[0,pi/2];

p1='FF+[+F+F]-[+F]';

p2='F[+F]F[-F[+F]]';

p3='FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]';

for k=2:n

c=rand(1);

if c>=0.7 S=strrep(S,'F',p1);

elseif c>=0.35 S=strrep(S,'F',p2);

else S=strrep(S,'F',p3);

end

end

figure;

for k=1:length(S)

switch S(k)

case 'F'

plot(real(z+2*exp(i*A)),imag(z+2*exp(i*A)),'g','LineWidth',2);

hold on;

z=z+2*exp(i*A);

case '+'

A=A+a;

case '-'

A=A-a;

case '['

zA=[zA;[z,A]];

case ']'

z=zA(end,1);

A=zA(end,2);

zA(end,:)=[];

otherwise

end

end

在主窗口中输入

S1tree(7)

画出的图如下（由于每次运行S1tree(7)代码产生随机数不一样，得到的图不一样但是类似）

H. 关于用几何画板制作分形树

迭代是分形的基础，但被称为分形树的作品很多。不知道你想要哪个？在几何画板安装路径下，有一个help文件夹，其中有一个“迭代全解”，其中就有介绍迭代和迭代树的做法。