1. 欧几里德算法是什么啊
欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：
void swap(int & a, int & b)
{
int c = a;
a = b;
b = c;
}
int gcd(int a,int b)
{
if(0 == a )
{
return b;
}
if( 0 == b)
{
return a;
}
if(a > b)
{
swap(a,b);
}
int c;
for(c = a % b ; c > 0 ; c = a % b)
{
a = b;
b = c;
}
return b;
}
参考资料：internet
2. 扩展欧几里得算法求乘法逆元1234
Q X1 X2 X3 Y1 Y2 Y31 0 4321 0 1 12343 0 1 1234 1 -3 6191 1 -3 619 -1 4 6151 -1 4 615 2 -7 4153 2 -7 4 -307 1075 31 -307 1075 2 309 -1082 14321-1082=3239
3. 在有限域中怎么求一个多项式的逆元
把生成这个有限域的生成多项式作为模多项式，用辗转相除法（欧几里得算法）不停模生成多项式得余式直到1（肯定是1啊，因为给出的多项式有逆元，和模多项式互质的）。（可能模多项式次数比给出的多项式次数高，第一步除以模多项式，商式是0，余式是给出的多项式）
然后如同求ax=1(mod m)一样反向进行，把1用模多项式和给出的多项式的“线性组合”表示出来，给出的多项式的“系数”多项式就是这个多项式的逆元啦。
可以检查一下算错没有，求出逆元后和给出的多项式在模生成多项式下相乘，看是否等于1。
过程中涉及多项式长除法，挺费纸的。
我在网络搜到几篇博客，都是通过mod（x^(n/2)）找到与mod(x^n)的关系，求解方法还涉及FFT,这应该属于偏工程的算法吧，没仔细看不是很清楚。
4. 欧几里得辗转相除法
辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是：用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。 另一种求两数的最大公约数的方法是更相减损法。辗转相除法是用来计算两个整数的最大公约数。假设两个整数为a和b，他们的公约数可以表示为gcd(a,b)。如果gcd(a,b) = c,则必然a = mc和b = nc。a除以b得商和余数，余数r可以表示为r = a - bk，k这里是系数。因为c为 a和b的最大公约数，所以c也一定是r的最大公约数，因为r = mc - nck = (m-nk)c。
因此gcd(a,b) = gcd(b,r)，相当于把较大的一个整数用一个较小的余数替换了，这样不断地迭代，直到余数为0，则找到最大公约数。
举例两个整数为1071和462：
第一步：1071 / 462 = 2 * 462 + 147
第二步：462 / 147 = 3 * 147 + 21
第三步：147 / 21 = 7 * 21 + 0
此时余数为零，则21为两个数的最大公约数。
贝祖公式表明对于任意两个整数a和b，都可以找到一对可为负的整数x和y，可以使等式xa + yb = m，其中m为a和b的最大公约数，合理性稍加思考可得。如果m为1说明a和b互素。所以在互素的情况下，xa + yb = 1。这个等式对于求乘法逆元有很大的帮助。
那么如何通过贝祖公式及扩展欧几里得算法来求乘法逆元呢？举一个例子来描述什么是乘法逆元。如果ab mod m = 1，或者可以表示为ab ≡ 1 mod m，这里b就是a关于模数m的乘法逆元。计算乘法逆元的方法就是扩展欧几里得算法，以下通过一个例子来帮助理解：
假设我们要求3 关于模26的乘法逆元(隐含了3和26的最大公约数为1，即互素)。当a = 3，b = 26，则根据贝祖公式，存在整数x和y，3x + 26y = 1。
思路就是等号两边同时mod 26，等式则变成(3x + 26y) mod 26 = 1 mod 26，根据模运算的性质(a + b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m。
所以展开等式(3x mod 26 + 26y mod 26) mod 26 = 1 mod 26。化简最终得到(3x mod 26) mod 26 = 1 mod 26。我们发现3x mod 26 = 1正好符合了乘法逆元的定义，所以欧几里得算法就是解x的关键。
下面将通过辗转相除法来求x：
第一步：26 = 3 * 8 + 2
第二步：3 = 2 * 1 + 1
统一将余数换到等号左边：
2 = 26 - 3 * 8
1 = 3 - 2 * 1
将第一行的2替换到第二行，保证等式左边永远为1，等式右边变成仅由3x + 26y组成。
1 = 3 - (26 - 3 * 8) * 1 = 3 * 9 + (-1) * 26
可得x = 9
最后9就是3关于模26的乘法逆元。它可以应用于仿射加密。
附：仿射加密的公式e(x) = ax + b mod m， 其中a与m互素， b为移动距离。
仿射解密公式d(x) = a-1(x - b) mod m
5. 【总结】逆元的求法
即
由费马小定理得：
那么将就可以将 拆成 ，得：
根据逆元的定义 就是 的逆元
然而 就可以用快速幂来求
source:
根据上面对逆元的解释：
利用扩展欧几里得算法：
那么对于数 的逆元就是用扩欧找到一个 使
source:
以下公式都应该是在模p意义下的
因为
即
挪一下再调个边
那么
，这数学公式用的好爽！
参考博客： boshi 基本是抄的
6. 用c语言编写扩展欧几里德算法用来求乘法逆元ab=1 mod(n) 要求我输入b，n，求出a。请编译运行通过，谢谢啦
这是一个错误的算法啊
7. 点的逆元怎么求
1、首先可以使用扩展欧几里得算法求点的逆元。
2、其次可以使用费马小定理或者欧拉定理求点的逆元。
3、最后可以使用递推求点的逆元。
8. 素数定理-欧几里得算法-乘法逆元
素数定理给出的是估计素数个数的方法：
设π(x)是小于x的素数的个数，则
π(x)≈x/lnx
eg：
64位二进制表示的素数的个数为
(1)欧拉定理
提及欧拉定理，需要先引出欧拉函数的定义：
欧拉函数Φ(n)是定义在正整数上的函数，Φ(n)的值等于序列0,1,2,3,…,n-1中与n互素的数的个数
欧拉函数的性质：
(1)m的素数时，有Φ(m)=m-1
(2)m=pq,且p和q均是素数时，有Φ(m)=Φ(p)Φ(q)=(p-1)(q-1)
(3)若m和n互素，则Φ(m×n)=Φ(m)×Φ(n)
(4)若p是一个素数，则Φ(p^e)=p^e-p^(e-1)
(5)
由欧拉函数可以延伸出欧拉定理的内容：
欧拉定理:
对于任何互素的两个整数a和n，有
1(mod n)
如果n=p是素数,则有
1(mod p)
显然欧拉定理可以看成是费马定理的推广形式。
欧拉定理可以用来简化幂的模运算
Eg：
求 的后三位数字
解： (mod 1000)的结果
有 (mod 1000)
(2)费马定理
如果p是素数，a是正整数，且gcd(a,p)=1，那么
1(mod p)
另一种形式：
如果p是素数，a是任意正整数，则对gcd(a,p)=1,有
(mod p)
(3)二次探测定理
如果p是一个素数，且0<x<p,则方程 1(mod p)的解为 x = -1、p-1。
即如果符合 1(mod p)，那么p很有可能是素数，但是仍不能肯定p就是素数。
(1)Wilson定理
对于给定的正整数n，判断n是一个素数的充要条件是 -1(mod n)。
虽然是充要条件，且Wilson的定理有很高的的理论介质。因为带有阶乘，在检测的时候计算量大，不适合检测较大素数的检测。
(2)米勒-拉宾算法
米勒-拉宾算法是一个多项式算法，能以接近概率1保证判断结果的正确性。
Miller-Rabin(n)
把n-1写成 ，其中m是一个奇数
选取随机整数a，使得
(mod n)
If (mod n)
Return (‘n是素数’)
End
For i=0到k-1
If b≡-1(mod n)
Return (‘n是素数’)
Else
b=b^2(mod n)
End
End
Return(‘n是合数’)
欧几里得算法描述：
两个整数用a，b表示，商用q表示，余数用r表示
Step1 取a，b较大者为a，较小者为b
Step2 做除法，计算并保留余数r=mod(a,b)
Step3 将原来的除数改做被除数，余数作为除数a=b,b=r
重复Step1和Step2直到r=0,返回b
乘法逆元的定义：
假设gcd(a,n)=1,则存在整数s，使得 (mod n)，即s是a(mod n)的乘法逆元素。
关于ax+by=d
设a和b是两个正整数(至少有一个非零)，d=gcd(a,b),则存在整数x和y使得ax+by=d成立，如果a、b互素，那 么存在整数x和y使得ax+by=1成立，此时可以求出ax≡1(mod b)中的x，即为逆元。
扩展欧几里得算法：
构造两个数列：
Eg：
求28mod75的乘法逆元(a=75,b=28)
gcd(28,75)=1 所以存在逆元
75=2×28+19
28=1×19+9
19=2×9+1
9=9×1+0
3×78+(-8)×28=1
所以28mod75的乘法逆元为-8
中国剩余定理完整版
Eg：
已知下列同余方程组，求解x
第一步：求M
M=2×3×5×7=210
第二步：求
第三步：求
1(mod )(i=1,2,...,k)
第四步:
(mod M)
(105×1×1+70×1×2+42×3×3+30×4×5)(mod 210)
173(mod 210)
9. 用C语言编制的求模逆元的扩展欧几里德算法，只要能基本上实现这个功能就行
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。
下面是一个使用C语言的实现：
intexGcd(inta,intb,int&x,int&y)
{
if(b==0)//当b==0时，得到解
{
x=1;y=0;
returna;
}
intr=exGcd(b,a%b,x,y);//递归调用自身，求解
intt=x;x=y;y=t-a/b*y;
returnr;
}