一个完整的递归算法必须包含

A. 递归算法 求详细过程

递归算法是把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题。然后递归调用函数（或过程）来表示问题的解。
递归算法解决问题的特点：
(1) 递归就是在过程或函数里调用自身。
(2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。
(3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法设计程序。
(4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。所以一般不提倡用递归算法设计程序。
递归算法要求
递归算法所体现的“重复”一般有三个要求：
一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)；
二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；
三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。
举例
描述：把一个整数按n(2<=n<=20)进制表示出来，并保存在给定字符串中。比如121用二进制表示得到结果为：“1111001”。
参数说明：s: 保存转换后得到的结果。
n: 待转换的整数。
b: n进制（2<=n<=20）
void
numbconv(char *s, int n, int b)
{
int len;
if(n == 0) {
strcpy(s, "");
return;
}
/* figure out first n-1 digits */
numbconv(s, n/b, b);
/* add last digit */
len = strlen(s);
s[len] = ""[n%b];
s[len+1] = '\0';
}
void
main(void)
{
char s[20];
int i, base;
FILE *fin, *fout;
fin = fopen("palsquare . in", "r");
fout = fopen("palsquare.out", "w");
assert(fin != NULL && fout != NULL);
fscanf(fin, "%d", &base);
/*PLS set START and END*/
for(i=START; i <= END; i++) {
numbconv(s, i*i, base);
fprintf(fout, "%s\n", s);
}
exit(0);
}
C#:例子
例：一列数的规则如下: 1、1、2、3、5、8、13、21、34...... 求第30位数是多少。
public class MainClass
{
public static void Main()
{
Console.WriteLine(Foo(30));
}
public static int Foo(int i)
{
if (i <= 0)
return 0;
else if(i > 0 && i <= 2)
return 1;
else return Foo(i -1) + Foo(i - 2);
}
}

B. 递归算法要有哪两个要素

终止条件和递推公式。

C. 按要求设计递归算法。只需写出伪代码或画流程图，不需语言实现，但算法必须完整清晰。

arrs[100000][100000];
a[100000];
f(i,){
if(i==4){
arrs[]=a;
return;
}
a[i]=;
f(i+1,+3);
f(i+1,+4);
}
f(0,0)
arrs就是结果，并且是排了序的。

D. 一个递归算法必须包括什么

递归算法包含的两个部分：

1、由其自身定义的与原始问题类似的更小规模的子问题（只有数据规模不同），它使递归过程持续进行，称为一般条件。

2、所描述问题的最简单的情况，它是一个能控制递归过程结束的条件，称为基本条件。（递归出口）

递归的定义：

如果一个对象部分地由它自身组成或按它自己定义，则称它是递归的，所以说递归就是函数/过程/子过程在运行过程中直接或间接调用自身而产生的重入现象。

递归的基本思想：

就是把一个规模大的问题分为若干个规模较小的子问题求解，而每一个子问题又可以分为几个规模更小的子问题。基本上，所有的递归问题都可以用递推公式来表示。

最重要的一点就是假设子问题已经解决了，现在要基于已经解决的子问题来解决当前问题；或者说，必须先解决子问题，再基于子问题来解决当前问题或者可以这么理解：递归解决的是有依赖顺序关系的多个问题。

递归的优缺点：

优点：逻辑清楚，结构清晰，可读性好，代码简洁，效率高（拓展：DFS深度优先搜素，前中后序二叉树遍历）

缺点：函数调用开销大，空间复杂度高，有堆栈溢出的风险

E. java中递归算法是什么怎么算的

Java递归算法是基于Java语言实现的递归算法。递归算法是一种直接或者间接调用自身函数或者方法的算法。递归算法实质是把问题分解成规模缩小的同类问题的子问题，然后递归调用方法表示问题的解。递归往往能给我们带来非常简洁非常直观的代码形式，从而使我们的编码大大简化，然而递归的思维确实跟我们的常规思维相逆的，通常都是从上而下的思维问题，而递归趋势从下往上的进行思维。

二、递归算法解决问题的特点：

【1】递归就是方法里调用自身。

【2】在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。

【3】递归算法代码显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。所以不提倡用递归设计程序。

【4】在递归调用的过程中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等，所以一般不提倡用递归算法设计程序。

【5】在做递归算法的时候，一定把握出口，也就是做递归算法必须要有一个明确的递归结束条件。这一点是非常重要的。其实这个出口就是一个条件，当满足了这个条件的时候我们就不再递归了。

三、代码示例：

代码执行流程图如下：

此程序中n=5就是程序的出口。

F. 选择题：一个递归算法必须包括（）

一个递归算法必须包括B、终止条件和递归部分。

递归算法在计算机科学中是指一种通过重复将问题分解为同类的子问题而解决问题的方法。

递归式方法可以被用于解决很多的计算机科学问题，因此它是计算机科学中十分重要的一个概念。绝大多数编程语言支持函数的自调用，在这些语言中函数可以通过调用自身来进行递归。

尾部递归：

递归函数在调用自身后直接传回其值，而不对其再加运算。尾部递归与循环是等价的，而且在一些语言（如Scheme中）可以被优化为循环指令。

因此，在这些语言中尾部递归不会占用调用堆栈空间。以下Scheme程序同样计算一个数字的阶乘，但是使用尾部递归。

G. 一个递归算法必须包括什么

一个递归算法必须包括终止条件和递归部分。

一般循环就是：

int multi = 1;

if (x <=1) return (1);

for(int i=1;i<=x;i++)multi = multi*i;

return(multi);

递归把x！看作x*(x-1)!

int multi(int x){if(x==0||x==1) return 1;else return x*multi(x-1);}

尾部递归：

而不对其再加运算。尾部递归与循环是等价的，而且在一些语言（如Scheme中）可以被优化为循环指令。

在这些语言中尾部递归不会占用调用堆栈空间。以下Scheme程序同样计算一个数字的阶乘，但是使用尾部递归：(define(factorialn)(define(iterproctcounter)(if(>countern)proct(iter(*counterproct)(+counter1))))(iter11))。

H. 递归算法必须包括什么

递归算法，必须包含递归过程，也必须包括退出递归的条件。

I. 07《算法入门教程》递归算法

本节内容是递归算法系列之一：递归的介绍，主要介绍了递归的定义，选择了数学归纳法这一数学模型帮助大家可以更好的理解递归的概念，然后明确了一个递归算法必须要具备的三要素，最后说明了一下哪些问题适合应用递归算法求解分析。

递归（Recursion），是计算机科学与技术领域中一种常见的算法思想。

在数学和计算机领域中，递归主要是指在函数的定义中使用函数自身的方法。顾名思义，递归主要包含两个意思， 递 和 归 ，这个是递归思想的精华所在。递归就是有去（递去）有回（归来）。“有去” 是指递归问题可以分解成若干个规模较小、与原问题形式相同的子问题，这些子问题可以和原问题用相同的方法来求解。“有回” 是指这些问题的演化过程是一个从大到小，并且最终会有一个明确的终点，一旦达到终点，就可以从终点原路返回，解决原问题。

很多时候，大家都在思考递归在数学上面应该如何表示了，毕竟对于数学的简单理解比起我们直接写代码起来还是要简单很多的。观察递归，我们会很容易发现递归的数学模型类似于 数学归纳法 ，这个在高中的数列里面就已经开始应用了。数学归纳法常见的描述如下

数学归纳法适用于将需要解决的原问题转换为解决他的子问题，而其中的子问题又可以变成子问题的子问题，而且这些问题都是同一个模型，可以用相同的处理逻辑归纳处理。当然有一个是例外的，就是归纳结束的那一个处理方法不能适用于其他的归纳处理项。递归同样的是将大的问题分解成小问题处理，然后会有一个递归的终止条件，满足终止条件之后开始回归。

数学里面有一个很有名的斐波那契数列，我们在编程求解斐波那契数列的时候就会用到递归的思想，在后续的内部中会具体讲到。

在明确递归的定义及数学模型之后，我们需要掌握递归的三要素：

按照之前的说明，递归应该是有去有回的，这样递归就必须有一个明确的分界点，递归可以在什么时候结束。程序一旦达到这个临界点，就不用继续递归重复下去了。简单来说，递归的终止条件就是为了防止出现无限递归的情况。

如前面说到递归需要一个终止条件一样，在达到递归的终止条件时，需要有一个对应终止条件的程序处理方法。一般而言，在达到递归的终止条件时，对应的问题都是很容易解决的，可以快速的给出问题的解决方案。

递归的本质上还是要将一个大的问题分解成各个逻辑相同的小问题，所以递归过程中一个重要的步骤就是提取递归中重复的逻辑规则，以便利用相同的处理方式进行处理。

按照以上递归的三要素，递归程序的一般处理可以总结成下面的伪代码：

在日常的生活学习中，递归算法一般可以用来解决很多实际问题。回顾一下我们之前学习的排序算法，其中快速排序利用了递归的思想进行解决。总而言之，递归在很多场景中都有应用。

比如说一个常见的对于操作系统里面删除指定路径下的文件夹里内容以及子文件夹里面内容的操作，就可以利用递归思想完成。这个时候递归的终止条件就是判断当前路径是文件，就可以直接删除；发现当前路径是文件夹，则递归调用方法，进入文件夹内部删除里面的文件内容。

总而言之，递归问题在现实学习科研中经常会遇到，这是一种解决问题的思路与方法，将大问题拆分成小问题，然后求解小问题之后回归归纳，得出整个问题的求解结果。

本节主要介绍了递归的定义及基本概念，在学完本节课程之后，需要明白递归的基础逻辑是什么样的，如何自己去设计一个递归算法，在设计一个递归算法时需要考虑到哪些问题，以及我们日常中常见的递归问题。