研究生数学建模算法总结

㈠ 【数学建模算法】(29)数据的统计描述和分析（上）

数理统计 研究的对象是受随机因素影响的数据，以下数理统计就简称统计，统计是以概率论为基础的一门应用学科。
数据样本少则几个，多则成千上万，人们希望能用少数几个包含其最多相关信息的数值来体现数据样本总体的规律。描述性统计就是搜集、整理、加工和分析统计数据，使之系统化、条理化，以显示出数据资料的趋势、特征和数量关系。它是统计推断的基础，实用性较强，在统计工作中经常使用。
面对一批数据如何进行描述与分析，需要掌握 参数估计 和 假设检验 这两个数理统计的最基本方法。
我们将用 Matlab 的统计工具箱(Statistics Toolbox)来实现数据的统计描述和分析。

一组数据（样本）往往是杂乱无章的，做出它的频数表和直方图，可以看作是对这组数据的一个初步整理和直观描述。
将数据的取值范围划分为若干个区间，然后统计这组数据在每个区间中出现的次数，称为 频数 ，由此得到一个频数表。以数据的取值为横坐标，频数为纵坐标，画出一个阶梯形的图，称为 直方图 ，或 频数分布图 。
若样本容量不大，能够手工做出频数表和直方图，当样本容量较大时则可以借助Matlab这样的软件了。让我们以下面的例子为例，介绍频数表和直方图的作法。

（1）数据输入
数据输入通常有两种方法，一种是在交互环境中直接输入，如果在统计中数据量比较大，这样作不太方便；另一种办法是先把数据写入一个纯文本数据文件data.txt中，数据列之间用空格和Tab键分割，之后以data.txt为文件名存放在某个子目录下，用Matlab中的load命令读入数据，具体做法是：
先把txt文件移入Matlab的工作文件夹中，之后在Matlab命令行或脚本中输入：

这样就在内存中建立了一个变量data它是一个包含有 个数据的矩阵。
为了得到我们需要的100个身高和体重均为一列的数据，我们对矩阵做如下处理：

（2）作频数表及其直方图
求频数用hist函数实现，其用法是：

得到数组（行列均可） 的频数表。它将区间 等分为 份（缺省时 为10）， 返回 个小区间的频数， 返回 个小区间的中点。

同样的一个函数名hist还可以用来画出直方图。
对于本例的数据，可以编写如下程序画出数据的直方图。

得直方图如下：

下面我们介绍几种常用的统计量。

算术平均值 （简称均值）描述数据取值的平均位置，记作 ，

中位数 是将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值。
Matlab 中 mean(x)返回 x 的均值，median(x)返回中位数。

标准差 定义为：

它是各个数据与均值偏离程度的度量，这种偏离不妨称为 变异 。

方差 是标准差的平方 。

极差 是 的最大值与最小值之差。

Matlab 中 std(x)返回 x 的标准差，var(x)返回方差，range(x)返回极差。

你可能注意到标准差 s 的定义（2）中，对 的平方求和却被 除，这是出于无偏估计的要求。若需要改为被 除，Matlab 可用 std(x,1)和 var(x,1)来实现。

随机变量 的 阶 中心距 为 。

随机变量 的 偏度 和 峰度 指的是 的标准化变量 的三阶中心矩和四阶中心矩：

偏度反映分布的对称性， 称为右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的多； 称为左偏态，情况相反；而 接近 0 则可认为分布是对称的。

峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为 3，若 比 3 大得多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数据，因而峰度可以用作衡量偏离正态分布的尺度之一。

Matlab 中 moment(x,order)返回 x 的 order 阶中心矩，order 为中心矩的阶数。skewness(x)返回 x 的 偏度 ，kurtosis(x)返回 峰度 。

在以上用 Matlab 计算各个统计量的命令中，若 x 为矩阵，则作用于 x 的列，返回一个行向量。

对例1给出的学生身高和体重，用Matlab 计算这些统计量，程序如下：

统计量中最重要、最常用的是均值和标准差，由于样本是随机变量，它们作为样本的函数自然也是随机变量，当用它们去推断总体时，有多大的可靠性就与统计量的概率分布有关，因此我们需要知道几个重要分布的简单性质。

随机变量的特性完全由它的（概率）分布函数或（概率）密度函数来描述。设有随机变量 ，其分布函数定义为 的概率，即 。若 是连续型随机变量，则其密度函数 与 的关系为：

上 分位数是下面常用的一个概念，其定义为：对于 ，使某分布函数 的 ，称为这个分布的上 分位数，记作 。
我们前面画过的直方图是频数分布图，频数除以样本容量 ，称为频率， 充分大时频率是概率的近似，因此直方图可以看作密度函数图形的（离散化）近似。

正态分布可以说是最常见的（连续型）概率分布，成批生产时零件的尺寸，射击中弹着点的位置，仪器反复量测的结果，自然界中一种生物的数量特征等，多数情况下都服从正态分布，这不仅是观察和经验的总结，而且有着深刻的理论依据， 即在大量相互独立的、作用差不多大的随机因素影响下形成的随机变量，其极限分布为正态分布 。

鉴于正态分布的随机变量在实际生活中如此地常见，记住下面 3 个数字是有用的：

若 为相互独立的、服从标准正态分布 的随机变量，则它们的平方和 服从 分布，记作 ， 称为自由度，它的期望 ，方差 。

若 ，且相互独立，则 服从 分布，记作 称自由度。
分布的密度函数曲线和 曲线形状相似。理论上 时， ，实际上当 时它与 就相差无几了。

若 ，且相互独立，则 服从 分布，记作 称自由度。

Matlab统计工具箱中有27种概率分布，这里只对上面所述4中分布列出命令的字符：

工具箱对每一种分布都提供五类函数，其命令的字符是：

当需要一种分布的某一种函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数就行了，如：

设总体 ， 为一容量 的样本，其均值 和标准差 由式（1），（2）确定，则用 和 构造的下面两个分布在统计中是非常有用的。
或


设有两个总体 和 ，及由容量分别为 的两个样本确定的均值 和标准差 ，则：


其中：
且要求

㈡ 数学建模做题技巧

一． 数学的重要性：
学了这么多年的书，感觉最有用的就是数学课了，相信还是有很多人和我一样的想法的
。 大家回想一下：有什么课自始至终都用到？我想了一下只有数学了，当然还有英语。
特别到了大学，学信号处理和通信方面的课时，更是感到了数学课的重要性。计算机：
数据结构，编程算法....哪个不需要数学知识和思想。有这样的说法，数学系的人学计
算机才是最牛的。信号与系统：这个变换那个变换的。通信：此编码彼编码的。数字图
像与模式识别：这个概率论和数理统计到处都是。线性代数和矩阵论也是经常出现。
二． 数学的学习方法：
最重要的是遇到问题首先不畏惧，然后知道类似的问题别人是如何处理，我们是否可以
借鉴，然后再比较我们的问题和已有的问题有何异同，已有的方法有什么不足，我们应
从哪里着手考虑新方法。思考路线比具体推导更重要。数学并非说得越玄乎越显水平。
真正的理解在于抓住实质，"如果你还觉得某个东西很难、很繁、很难记住，说明你还沉
迷于细节，没有抓住实质，抓住了实质，一切都是简单的。"这是概率之父Kolmogorov的
名言。我们平时在学习数学时，也时刻问自己，能不能向一个外行讲清楚这是怎么回事
，如果不能，说明我们自己还没有真正理解。数学推导的功夫应该是在课下通过大量的
练习得到的，在课下花的时间要远大于课上的时间。
三． 数学软件介绍：
在当今30多个数学类（为区别于文字处理和作图类而加的修饰词）科技应用软件中，就
软件数学处理的原始内核而言，可分为两大类。一类是数值计算（Number Crunching）
）型软件，如Matlab， Xmath，MLAB等。这类软件对大批数据具有较强的管理、计算和
可视化能力，运行效率高。另一类是数学分析（Math Analysis）型软件，如Mathemati
ca、Maple，Macsyma等。它们以符号计算见长，并可得到解析符号解和任意精度解，但
处理大量量数据时运行效率较低。经过多年的国际竞争，MATLAB已经占据了数值型软件
市场的主导地位，处于其后的是Xmath;而Maple，Mathematica，Macsyma位居符号软件的
前三名（见IEEE Spectrum）。 在国际流行的科技应用软件中，Mathcad 别具特色。该
软件的开发商Mathsoft公司一开始就把面向教学和办公作为Mathcad的市场目标。在对待
数值计算、符号分析、文字处理、图形能力的开发商，不以专业水准为追求，而尽力集
各种功能于一体。MathWorks公司顺应多功能需求之潮流，在其卓越数值计算和图视能力
的基础商，又率先在专业水平上开拓其符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控
制能力，精心营造适合多学科、多部门要求的新一代科技应用软件MATLAB。
对电子系同学最常用的软件而且基本上唯一使用的数学软件就是matlab了。Matlab 5.3
版本（最新版本6.0版）完全安装，包括帮助、以及各种工具箱一共竟需要1G多硬盘空间
。当然，这一个G的容量并不是被各种垃圾文件所充斥，相反的，它是由无数在Matlab系
统上运行的函数文件所占据。由此可以看出Matlab的功能是多么的全面。1984年，计算
数学家Steve Bangert、Steve Kleiman、John Little、Cleve Morer在原来 FORTRAN程
序的基础上开发了一个解决线性系统计算问题的C语言程序，他们给它起了个响亮的名字
Matlab(Matrix Laboratory)。从此以后，Matlab系统便一发而不可收拾，成千上万的软
件工程师、计算科学家、和各种应用领域的科技工作人员加入了Matlab的开发者的行列
。他们把各自科研、应用领域中的常用算法用Matlab系统提供的编程语言做成程序集，
于是就产生了Matlab的特色之一："工具箱系统"(Toolbox)。在Matlab5.3 中大约有几十
个工具箱，其中包括通信，信号系统分析、离散信号分析、优化、偏微分方程、小波变
换、地图、财经、电力系统、神经网络，数值计算等等。工具箱中每一个函数都是采用
了该领域中最先进的高效算法，无数这样的函数文本文件组成了Matlab这个巨无霸，由
此可见，Matlab对于解决工程问题是极其具有优越性的。是我们电子系学生的最爱。上
面介绍了Matlab的主要特色之一：工具箱。下面来谈谈它的另一个特色，就是与其他语
言和编译器之间的接口。这个问题一直是关于Matlab的最热门的话题。原因很简单，1.
Matlab如此全面高效的算法和功能都是建立在Matlab提供的平台上才能运行，这样限制
了这些程序的使用范围，即如果想应用这些程序，你首先必需在你的计算机上安装一个
多达几百兆的Matlab，给使用带来了不便。另外，由于Matlab采用的是逐行解释的方式
来执行代码，因此运行速度比编译为exe 的二进制文件要慢，因此，利用编译器，把m文
件变为二进制的exe或dll文件，会大大缩短计算时间. 尽管Matlab是一个完善的系统，
但毕竟术业有专攻，各种语言的可视化编程环境(如VC，C++Builder，Delphi等)在用户
界面设计和其他系统功能方面具有Matlab不能比拟的快捷和高效，因此，如何把Matlab
强大的数值计算功能与可视编程集成环境IDE结合起来，开发用户操作方便、计算功能完
备、运行快捷的应用程序便成为程序开发者的最大愿望。Matlab中包含了大量的矩阵运
算、数值运算函数、图形操作函数、用户图形界面函数等等，用他可以象C语言一样书写
函数流程，而且开发WIN图形界面的用户程序。Matlab强大的功能、方便的操作给它赢得
了世界上最流行的数学软件的桂冠。难怪在网上大家奔走相告"出国前一定要把Matlab学
好"。
四． 其他数学软件简介（也算开开眼界尽管基本上不用（除了第一个外））：
1． Matcom：Matcom是MathTools开发的一个m文件解释器（即将Matlab中的编程语
言解
释为C语言），不仅可以把m文件编译为可以独立执行的exe或dll文件，而且可以自动产
生C源代码，供其他高级语言编译器使用。Matcom所实现的在C语言中直接书写类似于ma
tlab语句的功能，带来了以下几个明显的优点：一，是利用Matcom编制的程序可以在任
何不安装 Matlab系统的计算机上运行; 二是运行速度比m文件快了数倍；三是实现了Ma
tlab强大的计算功能与各种C编译器界面设计 的完美组合。我现在最喜欢用的就是在vc
上作界面来方便用户操作，用Matcom库实现算法计算，这样相得益彰，用这种方法编成
的程序，操作方便简洁，计算图形功能强大，速度快。
2． Mathmatica：最令人着迷的是它的完美的符号运算功能。所谓符号运算是指它
所处
理的对象不仅仅是常见的数字（如12或3.14），而是一些带有代数符号的表达式，我们
在代数中曾经学过运用代数的运算规则，对一个含有符号的表达式进行恒等变换，一个
函数就是一种规则或者说映射，比如定义如下一个规则，我们就可以运用这法则将下式
变换。而Mathematica正是具有这种类似人类思维的功能，它能不断学会并记忆各种变化
规则，并把这些各式各样的变化应用到各种表达式上，无论形式多么复杂，总能得到我
们想得到的带有代数符号的结果。而在C语言或其他编程语言中，对于一个符号，必须先
声明，然后赋值才能使用。因此它所表达的含意是有限的，而Mathematica完全抛开了这
种限制，一个符号可以表示任意对象，没有类型限制，真正实现了"代数"中的"代"字。
Mathematica象一个不知疲倦的公式推导家，它能在一秒钟之内将一个复杂的函数关系复
合上万次，它能在各种复杂表达式形式中找到最简单的。Mathematica对于大一、大二的
同学可能是一个福音，对于大家在高等数学、线性代数中常碰到的对表达式求极限、微
分、定积分、不定积分、级数、向量代数等内容在Mathematica都有内部函数来直接计算
结果。当然，希望大家还是自己动手练一练公式推导的基本功，把Mathematica当作一个
检验工具是无可厚非。Mathematica4.0中， 系统函数涵盖了微积分、线性代数、概率、
几何、图论、组合数学、数论数学、特殊函数等绝大多数常用数学分支。
3． Mathcad 8.0，Maple 5： 着名的符号运算数学软件，与Mathematica 类似，内
存管
理较好，SAS 6.12 统计学专业软件，压缩文件100多M（最权威的统计软件）。
4． 其他：SPSS 8.0 社会科学统计软件包；Lindo/Lingo 50线性、非线性规划软件
；A
nsys 5.4 权威的有限元法（FEM）计算软件，安装文件约200~300M ；Algo 有限元法软
件包；Statistics 统计软件 ；Datafit 数值拟合专业软件 ；Origin 6.0 微软的数据
分析绘图软件，可以与Excel数据库通讯；Netlib 网络并行计算库 ；Isoft 电磁仿真软
件 ；Auto 非线性动力系统计算软件 ；Flexpde 2.10 求解偏微分方程的数值软件；Te
cplot 8.0流速与值线流体力学 ；RATS 数值分析软件。
一、是数学建模竞赛
数学建模竞赛就是这样。它名曰数学，当然要用到数学知识，但却与以往所说的那种数
学竞赛(那种纯数学竞赛)不同。它要用到计算机，甚至离不开计算机，但却不是纯粹的
计算机竞赛，它涉及物理，化学，生物，电子，农业，管理等各学科，各领域的知识，
但也不是这些学科领域里的纯知识竞赛。它涉及各学科，各领域，但又不受任何一个具
体的学科，领域的局限。它要用到各方面的综合的知识，但还不限此。选手们不只是要
有各方面的知识，还要有驾域这些知识，应用这些知识处理实际问题的能力。知识是无
止境的，你还必须有善于获得新的知识的能力。总之，数学建模竞赛，即要比赛各方面
的综合知识，也比赛各方面的综合能力。它的特点就是综合，它的优点也是综合。在这
个意义上看，它与任何一个学科领域内的知识竞赛都不相同的特点就是不纯，它的优点
也就是不纯，综合就是不纯。纯数学竞赛，如中学生的国际数学奥林匹克竞赛，或美国
大学生的普特南数学竞赛，已经有很长的历史，也为大家所熟悉。特别是近若干年来我
国选手在国际数学奥林匹克竞赛中年年取得好成绩，更使这项竞赛在我国有很高的知名
度，在全国各地的质量教高的中学中广泛开展。纯数学竞赛主要考核选手对数学基础知
识的掌握情况逻辑推理及证明的能力和技巧思维是否敏捷，计算能力的强弱等。试题都
是纯数学问题，考试方式是闭卷考试。参赛学生在规定的时间(一般每次为三小时)内独
立做题，不准交头接耳相互讨论，不准看任何书籍和参考资料，不准用计算机(器) 。考
题都有标准答案。当然，选手的解答方法可以与标准答案不同，但其解答方法的正确与
否也是绝对的，特别是计算题的得数一定要与标准答案相同。考试结果，对每个选手的
答案给出分数，按分数高低来判定优劣。 尽管也要对参赛的团体(代表一个国家，地区
或学校)计算团体总分，但这个团体总分也是将每个团体的选手得分加起来得到的，在比
赛过程中同一团体的选手们绝对不能互相帮助。因此，这样的竞赛从本质上说是个人赛
而不相帮助。因此，这样的竞赛从本质上说是个人赛而不是团体赛。团体要获胜主要靠
每名选手个自的水平高低而不存在互相配合的问题(当然在训练过程中可以互相帮助)。
这样的竞赛，对于吸引青年人热爱数学从而走上数学研究的道路，对于培养数学家和数
学专门人才，起了很大的作用。
随着社会的发展，数学在社会各领域中的应用越来越广泛，作用越来越大，不但运用于
自然科学各个领域，各学科，而且渗透到经济，军事，管理以至于社会科学和社会活动
的各个领域。但是，社会对数学的需求并不只是需要在各部门中从事实际工作的人善于
运用数学知识及数学大思维放法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益
和社会效益。他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题(就象在学校里做数学应用题)
，而是为了解决实际问题而需要用到数学。而且不止是要用到数学，很可能还要用到别
的学科，领域的知识，要用到工作经验和常识。特别是在现代社会，要真正解决一个实
际问题几乎都离不开计算机。可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用
现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。你所能遇到的都是数学和其他东西混杂
在一起的问题，不是"干净的"数学，而是"脏"的数学。其中的数学奥妙不是明摆在那里
等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。也就是说，你要对复杂的问题进行分析
，发现其中的可用数学语来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这
就称为数学模型，建立数学模型的这个过程就称为数学建模。模型这个词对我们来说并
不陌生，它可以说是对某种事物的一种仿制品。比如飞机模型，就是模仿飞机造出来的
。既然是仿造，就不是真的，只能是"假冒"，但不能是"伪劣"，必须真实地反映所模仿
的对象的某一方面的属性。如果只是模仿飞机的模样，这样的飞机模型只要看起像飞机
就行了，可以摆在展览馆供人参观，照相，但不能飞。如果要模仿飞机的飞行原理，就
得造一个能飞起来的飞机模型，比如航空模型比赛的作品，它在空气中的飞行原理与飞
机有相同之处。但当然不像飞机那样靠烧燃料来飞行，外观上也不必那么像飞机，可见
，模型所模仿的都只是真实事物的某一方面的属性。而数学模型，就是用数学语言(可能
包括数学公式)去描述和模仿实际问题中的数量关系，空间形式等。这种模仿当然是近似
的，但又要尽可能的逼真。实际问题中的许多因素，在建立数学模型时你不可能，也没
有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑，只能考虑其中的最主要的因素，舍弃其中的次
要因素，数学模型建立起来后，实际问题化成数学问题，就可以用数学工具，数学方法
去解答。如果有现成的数学工具当然好。如果没有现成的数学工具，就促使数学家们(也
包括建立数学模型的人)寻找和发展出新的数学工具去解决它，这又推动了数学本身的发
展。例如，开普勒由行星运动的观测数据总结出开普勒三定理(这就是行星运行的数学模
型)，牛顿试图用自己发现的力学定理去解释它，但当时的数学工具是不够用的，这使了
微积分的发明。求解数学模型，除了用到数学推理以外，通常还要处理大量数据，进行
大量计算。这在电子计算机发明之前是很难实现的。因此，很多数学模型，尽管从数学
理论上解决了，但由于计算量太大而没法得到有用的结果，还是只有束之高阁。而计算
机的出现和迅速发展，给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路。而在现在，要真
正解决一个实际问题，离了计算机几乎是不行的。数学模型建立起来了，也用数学方法
或数据方法求出了解答，是不是就万事大吉了呢?不是。既然数学模型只能近似地反映实
际问题中的关系和规律，到底反应的好不好，还需要接受检验。如果数学模型建立的不
好，如果没有正确地描述所给的实际问题，数学解答再正确也是没有用的。因此，在得
出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的考察，看它是否合理，是否可行。如果不
符合实际，还应设法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较合理可行
，才算是得到一个解答，可以先付诸实施，但是，十全十美的答案是没有的，已得到的
答案一定还有改进的余地，还可以根据实际情况，或者继续研究和改进;或者暂停告一段
落，待将来有新的情况和要求后再作该进。
上面所说的建立数学模型来解决问题的过程，是各行各业各个领域大量需要的，也是我
们的学生在走上工作单位后常常要做的工作。做这样的事情，所需要的远不只是数学知
识和解数学题的能力，而需要多方面的综合能力。社会对具备这种能力的人的需求，比
对数学专门人才的需求要多的多。因此，在学校里就应当努力陪养和提高学生在这方面
的能力。当然有多种形式来达到这个目的。比如开设数学模型方面的课程;让学生多接触
实际工作，得到锻炼，获得知识及其他各方面的能力)去参与解决问题的全过程。这些实
际问题并不限于某一方面，可以涉及非常广泛的，并不固定的范围。这样来促进应用人
才的培养。
二、数学模型的基础
1． 数学模型的定义
现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同: 的角度可以有不同的定义
。不过我们可以给出如下定义。: "数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作
的一个抽象的、简化的结构。" : 具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数
学及其它:数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特
征及其内在联系的数学结构表达式。
2．建立数学模型的方法和步骤
第一、 模型准备 (问题的提出与分析)
首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特
征。
第二、 模型假设与符号说明
根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设
，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法
欠佳的行为，: 所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力 ，善于辨别主次
，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
第三、 模型的建立与求解
通过对问题的分析和模型假设后建立数学模型（模型运用数学符号和数学语言来描述）
，并过设计算法、运用计算机实现等途径（根据模型的特征和要求确定）求解模型！此
过程是整：个数模过程的最重要部分，需慎重对待！
第四、 型的检验
即通过问题所提供的数据或相对于实际生活中的情况对模型的合理性、准确性等进行判
别模型的优劣！可通过计算机模拟等手段来完成！
第五、 模型的完善与推广
此步骤可根据建模时具体情况而定！
关于建模的步骤并不一定必须按照以上几步进行，有兴趣的同仁可参考建模的相关书籍
。
三、数学建模参考资料：
1、《数学模型基础》 王树禾 中国科学技术大学出版社 1996
2、《数学模型》 谭永基，俞文 复旦大学出版社 1997
3、《数学建模竞赛教程》 李尚志 江苏教育出版社 1996
这些书均可在图书馆借到或在九章书店买到。其他方面的书也很多，有足够时间可以去
翻翻。全国大学生数学建模竞赛的有关信息，可在Internet上中国工业与应用数学学业
会 （CSIAM）的主页内浏览，网址为：http://www.csiam.e.cn/。数学建模比赛每年
的9月下旬举行，每年6月份报名，三人组成一个参赛队。欲参加比赛的同学应该到数学
系旁听数学模型课或者选修公共选修课"数学模型"。
《吉米多维奇数学分析习题集》
本书只适合超级大牛同学做。图书馆有借和海淀图书城的九章数学书店有售。
《数学分析中的典型问题与方法》
裴礼文着，高教出版社。本书可谓宝典级的圣书。适合一般牛的同学。图书馆不多，九
章书店有售。
《大学生数学竞赛试题解析选编》
第二版，李心灿等编，高教出版社。凡是科协课外小组的同学要求人手一本。里面收集
了北京市大学生数学竞赛的历年真题，比较好，对于水平中等及中等以上的同学均有意
义。九章数学书店有售。
《高等数学复习题解与指导》
陈文灯着，上下两本，北京理工大学出版社：该书讲解十分详尽，对于各类水平的同学
均有很大的帮助。呕血推荐！！！九章书店有售。
《数学复习指南》
理工类，陈文灯等着。该书高数内容与上本书基本一致。但该书还有线性代数，概率论
等部分，非常全面。图书馆有借。各大书店均有售。适合所有水平的同学。
《高等数学解题过程的分析和研究》
钱昌本着。该书主要介绍高等数学的思维方法。例题很有启发性。图书馆有借。九章书
店有售。
从常微分方程开始，数学课就变成没底的东西，每一个标题做下去都是数学研究里面庞
大的一块。对于一门基本课程应该讲些什么也始终讨论不断。下面开始说参考书，毫无
疑问，我们还是得从我们强大的北方邻国说起。
《常微分方程讲义》
彼得罗夫斯基。在20世纪数学史上，这位前莫斯科大学校长占据着一个非常特殊的地位
。从学术上说，他在偏微那一块有非常好的工作，五十年代谷先生去苏联读学位的时候
还参加过他主持的讨论班。他从三十年代末开始就转向行政工作。在他早年的学生里面
有许多后来苏联的高官，所以他就利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了一个
保护伞，他这本书在相当长的时期里是标准教材。
《常微分方程》
庞特里亚金。庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故双目失明，在母亲的鼓励和帮助
下，他以惊人的毅力走上了数学道路，别的不说，光看看他给后人留下的"连续群"，"最
佳过程的数学理论"，你就不得不对他佩服得五体投地，有六体也投 下来了。他的这本
课本就是李迅经先生他们翻译的。此书影响过很多我们的老师辈的人物。

㈢ 数学建模具体介绍

数学建模可以说是应用数学的方法，建立实际生活中的模型，去解决现实生活中的具体问题，这些问题可以是生活的细小方面，也可以是国计民生的大方面。首先要有一定的数学理论基础，学习多元统计分析中插值拟合等数据处理方法，学习图论、最优化、预测等等各种算法，有人总结过数学建模十大算法，可以去看看。不过数学建模的算法却不止只有十来个；然后可以多看看一些学者专家写的论文，会有很大的帮助的。网络里有，万方、维普、知网也有很多专业的。学习建模是个艰辛的过程，每年九月会有全国大学生数学竞赛，相信通过努力，一定会取得好成绩的。

㈣ 关于数学建模

数学建模
数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。
过程
模型准备
了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
模型假设
根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
模型建立
在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。
模型求解
利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。
模型分析
对所得的结果进行数学上的分析。
模型检验
将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。
模型应用
应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

大学生数学建模竞赛
全国大学生数学建模竞赛
全国大学生数学建模竞赛是国家教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向全国大学生的群众性科技活动，目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过普通高校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解，计算方法的设计和计算机实现，结果的分析和检验，模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。 全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集中的形式进行；竞赛一般在每年9月末的三天内举行；大学生以队为单位参赛，每队3人，专业不限。
全国大学生数学建模竞赛章程（2008年）
第一条 总则 全国大学生数学建模竞赛（以下简称竞赛）是教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向全国大学生的群众性科技活动，目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。 第二条 竞赛内容 竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过高等学校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。 第三条 竞赛形式、规则和纪律 1．全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集中的形式进行。 2．竞赛每年举办一次，一般在某个周末前后的三天内举行。 3．大学生以队为单位参赛，每队3人（须属于同一所学校），专业不限。竞赛分本科、专科两组进行，本科生参加本科组竞赛，专科生参加专科组竞赛（也可参加本科组竞赛），研究生不得参加。每队可设一名指导教师（或教师组），从事赛前辅导和参赛的组织工作，但在竞赛期间必须回避参赛队员，不得进行指导或参与讨论，否则按违反纪律处理。 4．竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在国际互联网上浏览，但不得与队外任何人（包括在网上）讨论。 5．竞赛开始后，赛题将公布在指定的网址供参赛队下载，参赛队在规定时间内完成答卷，并准时交卷。 6．参赛院校应责成有关职能部门负责竞赛的组织和纪律监督工作，保证本校竞赛的规范性和公正性。 第四条 组织形式 1．竞赛由全国大学生数学建模竞赛组织委员会（以下简称全国组委会）主持，负责每年发动报名、拟定赛题、组织全国优秀答卷的复审和评奖、印制获奖证书、举办全国颁奖仪式等。 2．竞赛分赛区组织进行。原则上一个省（自治区、直辖市）为一个赛区，每个赛区应至少有6所院校的20个队参加。邻近的省可以合并成立一个赛区。每个赛区建立组织委员会（以下简称赛区组委会），负责本赛区的宣传发动及报名、监督竞赛纪律和组织评阅答卷等工作。未成立赛区的各省院校的参赛队可直接向全国组委会报名参赛。 3．设立组织工作优秀奖，表彰在竞赛组织工作中成绩优异或进步突出的赛区组委会，以参赛校数和队数、征题的数量和质量、无违纪现象、评阅工作的质量、结合本赛区具体情况创造性地开展工作以及与全国组委会的配合等为主要标准。 第五条 评奖办法 1．各赛区组委会聘请专家组成评阅委员会，评选本赛区的一等、二等奖（也可增设三等奖），获奖比例一般不超过三分之一，其余凡完成合格答卷者可获得成功参赛证书。 2．各赛区组委会按全国组委会规定的数量将本赛区的优秀答卷送全国组委会。全国组委会聘请专家组成全国评阅委员会，按统一标准从各赛区送交的优秀答卷中评选出全国一等、二等奖。 3．全国与各赛区的一、二等奖均颁发获奖证书。 4．对违反竞赛规则的参赛队，一经发现，取消参赛资格，成绩无效。对所在院校要予以警告、通报，直至取消该校下一年度参赛资格。对违反评奖工作规定的赛区，全国组委会不承认其评奖结果。 第六条 异议期制度 1．全国（或各赛区）获奖名单公布之日起的两个星期内，任何个人和单位可以提出异议，由全国组委会（或各赛区组委会）负责受理。 2．受理异议的重点是违反竞赛章程的行为，包括竞赛期间教师参与、队员与他人讨论，不公正的评阅等。对于要求将答卷复评以提高获奖等级的申诉，原则上不予受理，特殊情况可先经各赛区组委会审核后，由各赛区组委会报全国组委会核查。 3．异议须以书面形式提出。个人提出的异议，须写明本人的真实姓名、工作单位、通信地址（包括联系电话或电子邮件地址等），并有本人的亲笔签名；单位提出的异议，须写明联系人的姓名、通信地址（包括联系电话或电子邮件地址等），并加盖公章。全国组委会及各赛区组委会对提出异议的个人或单位给予保密。 4．与受理异议有关的学校管理部门，有责任协助全国组委会及各赛区组委会对异议进行调查，并提出处理意见。全国组委会或各赛区组委会应在异议期结束后两个月内向申诉人答复处理结果。 第七条 经费 1．参赛队所在学校向所在赛区组委会交纳参赛费。 2．赛区组委会向全国组委会交纳一定数额的经费。 3．各级教育管理部门的资助。 4．社会各界的资助。 第八条 解释与修改 本章程从2008年开始执行，其解释和修改权属于全国组委会。

㈤ 数学建模算法有哪些

1. 蒙特卡罗算法。 该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。
2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。 比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。
3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。 建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。
4. 图论算法。 这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。 这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。
6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。 这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7. 网格算法和穷举法。 两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。 很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9. 数值分析算法。 如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10. 图象处理算法。 赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。
以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。
以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。
2 十类算法的详细说明
2.1 蒙特卡罗算法
大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。
举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法
数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。此类问题在MATLAB中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
2.3 规划类问题算法
竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B 题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。
2.4 图论问题
98 年B 题、00 年B 题、95 年锁具装箱等问题体现了图论问题的重要性，这类问题算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。每一个算法都应该实现一遍，否则到比赛时再写就晚了。
2.5 计算机算法设计中的问题
计算机算法设计包括很多内容：动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界。比如92 年B 题用分枝定界法，97 年B 题是典型的动态规划问题，此外98 年B 题体现了分治算法。这方面问题和ACM 程序设计竞赛中的问题类似，推荐看一下《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
2.6 最优化理论的三大非经典算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。近几年的赛题越来越复杂，很多问题没有什么很好的模型可以借鉴，于是这三类算法很多时候可以派上用场，比如：97 年A 题的模拟退火算法，00 年B 题的神经网络分类算法，象01 年B 题这种难题也可以使用神经网络，还有美国竞赛89 年A 题也和BP 算法有关系，当时是86 年刚提出BP 算法，89 年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。03 年B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
2.7 网格算法和穷举算法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。比如要求在N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在[a; b] 区间内取M +1 个点，就是a; a+(b-a)/M; a+2 (b-a)/M; …… ; b 那么这样循环就需要进行(M + 1)N 次运算，所以计算量很大。比如97 年A 题、99 年B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快
的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用MATLAB 做网格，否则会算很久的。穷举法大家都熟悉，就不说了。
2.8 一些连续数据离散化的方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
2.9 数值分析算法
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为象数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
2.10 图象处理算法
01 年A 题中需要你会读BMP 图象、美国赛98 年A 题需要你知道三维插值计算，03 年B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。

㈥ 【数学建模算法】(14)排队论：基本概念

排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。

排队论 又称**随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科，它研究的内容主要有以下三部分：

下面将对排队论的基本知识进行介绍：

下图是排队论的一般模型：

图中虚线所包含的部分为排队系统。各个顾客从顾客源出发，随机地来到服务机构，按一定的排队规则等待服务，直到按一定的服务规则接受完服务后离开排队系统。

一般的排队过程都由 输入过程，排队规则，服务过程 三部分组成，现分述如下：

输入过程 是指顾客到来时间的规律性，可能有下列不同情况：

排队规则指到达排队系统的顾客按怎样的规则排队等待，可分为 损失制，等待制和混合制 三种。

举例：小张去银行取钱，发现前面一个顾客身边摆了4个麻袋的硬币要存钱，于是悻悻地换了一个窗口。

举例：小张去银行取钱，发现前面有一条队的人很少，于是赶紧挤上前去排队。

举例：小张发现柜台前面有一条排队等待线，排队队伍长度不能够超过这条线，于是换到了还没有达到排队限度的队伍里。

1.服务机构
单服务台 ， 多服务台并联 （每个服务台同时为不同顾客服务）； 多服务台串联 （多服务台依次为同一顾客服务）； 混合制 。
2.服务规则
(1)先到先服务
(2)后到先服务
(3)随机服务，在队列中随机选人进行服务
(4)特殊优先服务，对病情危急的病人优先治疗。

：顾客到达流或顾客到达时间的分布。
：服务时间的分布。
：服务台数目。
：系统容量限制。
：顾客源数目。
：服务规则。（先到先服务FCFS，后到先服务LCFS）

1.平均队长 ： 正在被服务和正在等待服务 的顾客数之和的数学期望。
2.平均排队长 ：指系统内 等待服务 的顾客数的数学期望。
3.平均逗留时间 ：顾客在系统内逗留时间（包括排队等待的时间和接受服务的时间）。
4.平均等待时间 ：指一个顾客在排队系统中排队等待时间。
5.平均忙期 ：指服务机构连续繁忙时间（顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次空闲止的时间）长度的数学期望。

还有由于顾客被拒绝而使企业受到损失的 损失率以及以后经常遇到的 服务强度等，这些都是很重要的指标。

计算这些指标的基础是表达系统状态的概率。所谓 系统的状态即指系统中顾客数，如果系统中有 n 个顾客就说系统的状态是 n ，它的可能值是：
1.队长没有限制时：
2.队长有限制，最大数为 时，
3.损失制，服务台个数是 时，
这些状态的概率一般是随时刻 而变化，所以在时刻 ，系统状态为 的概率用 表示。稳态时系统状态为 的概率用 表示。

㈦ 如何学好数学建模

一、数学模型的定义

现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：
数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。

二、建立数学模型的方法和步骤

1.
模型准备
要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2.
模型假设
根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3.
模型构成
根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
4.
模型求解
可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。
5.
模型分析
对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。

三、数模竞赛出题的指导思想

传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成。对此而言，数模竞赛题是一个“课题”，大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。其答案往往不是唯一的（数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的），呈报的成果是一编“论文”。由此可见“数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。

四、竞赛中的常见题型

赛题题型结构形式有三个基本组成部分：
1.
实际问题背景
涉及面宽——有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。一般都有一个比较确切的现实问题。
2．
若干假设条件
有如下几种情况：
1）只有过程、规则等定性假设，无具体定量数据；
2）给出若干实测或统计数据；
3）给出若干参数或图形；
4）蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。
3．
要求回答的问题
往往有几个问题，而且一般不是唯一答案。一般包含以下两部分：
1）比较确定性的答案（基本答案）；
2）更细致或更高层次的讨论结果（往往是讨论最优方案的提法和结果）。

五、提交一篇论文，基本内容和格式是什么？

提交一篇论文，基本内容和格式大致分三大部分：
1.
标题、摘要部分
题目——写出较确切的题目（不能只写a题、b题）。
摘要——200-300字，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果。
内容较多时最好有个目录。
2.
中心部分
1）问题提出，问题分析。
2）模型建立：
①
补充假设条件，明确概念，引进参数；
②
模型形式（可有多个形式的模型）；
③
模型求解；
④
模型性质；
3）计算方法设计和计算机实现。
4）结果分析与检验。
5）讨论——模型的优缺点，改进方向，推广新思想。
6）参考文献——注意格式。
3.
附录部分
计算程序，框图。
各种求解演算过程，计算中间结果。
各种图形、表格。

六、参加数学建模竞赛是不是需要学习很多知识？

没有必要很系统的学很多数学知识，这是时间和精力不允许的。很多优秀的论文，其高明之处并不是用了多少数学知识，而是思维比较全面、贴合实际、能解决问题或是有所创新。有时候，在论文中可能碰见一些没有学过的知识，怎么办？现学现用，在优秀论文中用过的数学知识就是最有可能在数学建模竞赛中用到的，你当然有必要去翻一翻。
具体说来，大概有以下这三个方面：
第一方面：数学知识的应用能力
归结起来大体上有以下几类：
1）概率与数理统计
2）统筹与线轴规划
3）微分方程；
还有与计算机知识交叉的知识：计算机模拟。
上述的内容有些同学完全没有学过，也有些同学只学过一点概率与数理统计，微分方程的知识怎么办呢？一个词“自学”，我曾听到过数模评卷的负责教师范毅说过“能用最简单浅易的数学方法解决了别人用高深理论才能解决的答卷是更优秀的答卷”。
第二方面：计算机的运用能力
一般来说凡参加过数模竞赛的同学都能熟练地应用字处理软件“word”，掌握电子表格“excel”的使用；“mathematica”软件的使用，最好还具备语言能力。这些知识大部分都是学生自己利用课余时间学习的。
第三方面：论文的写作能力
前面已经说过考卷的全文是论文式的，文章的书写有比较严格的格式。要清楚地表达自己的想法并不容易，有时一个问题没说清楚就又说另一个问题了。评卷的教师们有一个共识，一篇文章用10来分钟阅读仍然没有引起兴趣的话，这一遍文章就很有可能被打入冷宫了。

七、小组中应该如何分工？

传统的标准答案是——数学，编程，写作。其实分工不用那么明确，但有个前提是大家关系很好。不然的话，很容易产生矛盾。分工太明确了，会让人产生依赖思想，不愿去动脑子。
理想的分工是这样的：数学建模竞赛小组中的每一个人，都能胜任其它人的工作，就算小组只剩下她（他）一个人，也照样能够搞定数学建模竞赛。
在竞赛中的分工，只是为了提高工作的效率，做出更好的结果。
具体的建议如下：一定要有一个人脑子比较活，善于思考问题，这个人勉强归于数学方面吧；一定要有一个人会编程序，能够实现一些算法。另外需要有一个论文写的比较好，不过写不好也没关系，多看一看别人的优秀论文，多用几次word，visio就成了。
一、写好数模答卷的重要性

1.
评定参赛队的成绩好坏、高低，获奖级别，数模答卷，是唯一依据。
2.
答卷是竞赛活动的成绩结晶的书面形式。
3.
写好答卷的训练，是科技写作的一种基本训练。

二、答卷的基本内容，需要重视的问题

1
．评阅原则
假设的合理性，建模的创造性，结果的合理性，表述的清晰程度。
2
．答卷的文章结构
1）摘要。
2）问题的叙述，问题的分析，背景的分析等。
3）模型的假设，符号说明（表）。
4）模型的建立（问题分析，公式推导，基本模型，最终或简化模型等）。
5）模型的求解计算方法设计或选择；算法设计或选择，算法思想依据，步骤及实现，计算框图；所采用的软件名称；引用或建立必要的数学命题和定理；求解方案及流程。
6）结果表示、分析与检验，误差分析，模型检验。
7）模型评价，特点，优缺点，改进方法，推广。
8）参考文献。
9）附录、计算框图、详细图表。
3.
要重视的问题
1）摘要。包括：
a.
模型的数学归类（在数学上属于什么类型）；
b.
建模的思想（思路）；
c.
算法思想（求解思路）；
d.
建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验……）；
e.
主要结果（数值结果，结论；回答题目所问的全部“问题”）。
▲
注意表述：准确、简明、条理清晰、合乎语法、字体工整漂亮；打印最好，但要求符合文章格式。务必认真校对。
2）问题重述。
3）模型假设。
根据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要。
a.
根据题目中条件作出假设
b.
根据题目中要求作出假设
关键性假设不能缺；假设要切合题意。
4）
模型的建立。
a.
基本模型：
ⅰ）首先要有数学模型：数学公式、方案等；
ⅱ）基本模型，要求
完整，正确，简明；
b.
简化模型：
ⅰ）要明确说明简化思想，依据等；
ⅱ）简化后模型，尽可能完整给出；
c.
模型要实用，有效，以解决问题有效为原则。
数学建模面临的、要解决的是实际问题，不追求数学上的高（级）、深（刻）、难（度大）。
ⅰ）能用初等方法解决的、就不用高级方法；
ⅱ）能用简单方法解决的，就不用复杂方法；
ⅲ）能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少数人看懂、理解的方法。
d．鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异。数模创新可出现在：
▲
建模中，模型本身，简化的好方法、好策略等；
▲
模型求解中；
▲
结果表示、分析、检验，模型检验；
▲
推广部分。
e．在问题分析推导过程中，需要注意的问题：
ⅰ）分析：中肯、确切；
ⅱ）术语：专业、内行；
ⅲ）原理、依据：正确、明确；
ⅳ）表述：简明，关键步骤要列出；
ⅴ）忌：外行话，专业术语不明确，表述混乱，冗长。
5）模型求解。
a.
需要建立数学命题时：
命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密。
b.
需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。
若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称。
c.
计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出。
d.
设法算出合理的数值结果。
6）
结果分析、检验；模型检验及模型修正；结果表示。
a.
最终数值结果的正确性或合理性是第一位的；
b.
对数值结果或模拟结果进行必要的检验；
结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，
对算法、计算方法、或模型进行修正、改进。
c.
题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出；
d.
列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据；
e.
结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析。
▲
数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式。
▲
求解方案，用图示更好。
7）必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。最后结论要明确。
8）模型评价
优点突出，缺点不回避。
改变原题要求，重新建模可在此做。
推广或改进方向时，不要玩弄新数学术语。
9）参考文献
10）附录
详细的结果，详细的数据表格，可在此列出，但不要错，错的宁可不列。主要结果数据，应在正文中列出，不怕重复。
检查答卷的主要三点，把三关：
a.
模型的正确性、合理性、创新性
b.
结果的正确性、合理性
c.
文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩

三、关于写答卷前的思考和工作规划

答卷需要回答哪几个问题――建模需要解决哪几个问题；
问题以怎样的方式回答――结果以怎样的形式表示；
每个问题要列出哪些关键数据――建模要计算哪些关键数据；
每个量，列出一组还是多组数――要计算一组还是多组数。

四、答卷要求的原理

1.
准确
――科学性；
2.
条理
――逻辑性；
3.
简洁
――数学美；
4.
创新
――研究、应用目标之一，人才培养需要；
5.
实用
――建模、实际问题要求。

五、建模理念

1.
应用意识
要解决实际问题，结果、结论要符合实际；
模型、方法、结果要易于理解，便于实际应用；站在应用者的立场上想问题，处理问题。
2.
数学建模
用数学方法解决问题，要有数学模型；
问题模型的数学抽象，方法有普适性、科学性，不局限于本具体问题的解决。
3.
创新意识
建模有特点，更加合理、科学、有效、符合实际；更有普遍应用意义；不单纯为创新而创新。

1
．时间和体力的问题
竞赛中时间分配也很重要，分配不好可能完不成论文，所以开始时要大致做一下安排，
不必分的太细，比如第一天做第一小题，第二天做第二小题，这样反而会有压力。开始阶段不忙写作，可以将一些小组讨论的要点记录下来，不要太工整，随便一下，到第三天再开始写论文也不迟的。另外要说的就是体力要跟上，三天一般睡眠只有不到10个小时。建议是赛前熬夜编程几次，但比赛前一天可不许熬呀，呵呵。
2
．团队合作是能否获奖的关键
三天的比赛中，团队交流所占用的时间可能会超过一半。当出现分歧的时候应当如何解决是很关键的，甚至直接决定你是否可以获奖，我的建议是“妥协”，不要总认为自己的观点是正确的，多听听别人的观点，在两者之间谋求共同点。合作在竞赛前就应当培养，比如一块儿做一道题什么的，充分利用每个人的优点，也可以张三准备图论，李四准备最优化方法，然后几天后大家一块交流，这些都是可以磨合团队之间的关系的。
3
．重视摘要
摘要首先不要写废话，也不要照抄题目的一些话，直奔主题，要写明自己怎样分析问题，
用什么方法解决问题，最重要的是结论是什么要说清楚，在中国的竞赛中不写结论的话是一定不会得奖的。摘要至少需要琢磨两个小时，不要轻视了它的重要性。多看看优秀论文的摘要是如何去写的很有必要的，并要作为赛前准备的课题之一。
4
．论文写作要正规
论文一定要大致按照摘要、问题重述、模型假设、符号说明、问题分析、（建立、分析
、求解模型）、……、参考文献、附录等等的方式来写。一般初评会先淘汰一些结构失败的文章，如果没有论文的结构，内容再好也没有用。论文前面的结构一般都不会变的，后面可以按照实际情况来安排自己的结构，省略的部分可以有结果说明、灵敏度分析、其他模型、模型扩展、优缺点分析等等的东西，多看些优秀论文就知道还有哪些形式的了，附录可以贴一些算法流程图或比较大的结果或图表等等。
5
．模型的假设与模型的建立
评委看完摘要后紧接着就是看模型假设了，有一个万能的方法就是可以抄题目中可以作为假设的几句话，这样会给人留下好的印象，毕竟说明你审题了。但不能全抄，要加上自己论文中的一些假设，最好不要太具体了，一些重要参数不要被定死只能取某些值，这样会让人感觉到论文的局限性较强。模型的建立是根据你对问题分析而来的，提出的数学符号和建立模型最好要比较接近，在同一页最好，以便评委可以对照符号来看，数学公式要严谨，推导要严密，这些都反映了一个人的数学素质和能力，即使你推导不对，别人看到你的阵势也首先会误以为你是对的。
6
．图文表并茂可以增色
我听说一个不确切的信息是评委老师喜欢用matlab编程的论文，不知道有没有这回事，但这说明了老师需要看一个具有图或表在其中的论文，一篇如果像政治书那样写的论文估计没有人会对它感兴趣的，尤其是科技论文。matlab编程之所以受到青睐是因为matlab提供的图形处理能力很强大，图表的说明性特别强，如果结论有很多数据的话，最好做成图表的形式加以说明，会令你的论文更有说服力，也更加会受到评委的好评。

一、数学建模竞赛中应当掌握的十类算法

1
．蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。
2
．数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用matlab作为工具。
3
．线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用lindo、lingo软件实现。
4
．图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5
．动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
6
．最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7
．网格算法和穷举法
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8
．一些连续离散化方法
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9
．数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10
．图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用matlab进行处理。

二、数学软件的主要分类有哪些？各有什么特点？

数学软件从功能上分类可以分为通用数学软件包和专业数学软件包，通用数学包功能比较完备，包括各种数学、数值计算、丰富的数学函数、特殊函数、绘图函数、用户图形届面交互功能，与其他软件和语言的接口及庞大的外挂函数库机制（工具箱）。
常见的通用数学软件包包括matlab和mathematica和maple，其中matlab是一个高性能的科技计算软件，广泛应用于数学计算、建模、仿真和数据分析处理及工程作图，mathematica
是数值和符号计算的代表性软件，maple以符号运算、公式推导见长。
专用数学包包括绘图软件类mathcad，tecplot，idl，surfer，origin,
smartdraw,dsp2000），数值计算类：（matcom，
idl，
datafit，s-spline，lindo，lingo，o-matrix，scilab，octave）,
数值计算库（linpack/lapack/blas/germs/imsl/cxml）,
有限元计算类（ansys，marc，parstran，fluent，femlab，flexpde，algor，cosmos,
abaqus，adina），计算化学类（gaussian98，spartan，adf2000，chemoffice），数理统计类（gauss，spss，sas，
splus，statistica，minitab）,
数学公式排版类（mathtype，miktex，scientific
workplace，scientific
nootbook）。

三、关于数模竞赛的几本好书

▲
姜启源，《数学模型（第二版）》，高等教育出版社
▲
姜启源、谢金星、叶俊《数学建模（第三版）》，高等教育出版社
▲
萧树铁等，《数学实验》，高等教育出版社
▲
朱道元，《数学建模案例精选》，科学出版社
▲
雷功炎，《数学模型讲义》，北京大学出版社
▲
叶其孝等，《大学生数学建模竞赛辅导教材（一）~（四）》，湖南教育出版社
▲
江裕钊、辛培清，《数学模型与计算机模拟》，电子科技大学出版社
▲
杨启帆、边馥萍，《数学模型》，浙江大学出版社
▲
赵静等，《数学建模与数学实验》，高等教育出版社，施普林格出版社

四、基础学科

1．数学分析
2．高等代数
3．概率与数理统计
4．最优化理论
5．图论
6．组合数学
7．微分方程稳定性分析
8．排队论

㈧ 参加数学建模有哪些必学的算法

1. 蒙特卡洛方法：
又称计算机随机性模拟方法，也称统计实验方法。可以通过模拟来检验自己模型的正确性。

2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理
比赛中常遇到大量的数据需要处理，而处理的数据的关键就在于这些方法，通常使用matlab辅助，与图形结合时还可处理很多有关拟合的问题。

3. 规划类问题算法：
包括线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等；竞赛中又很多问题都和规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件，几个函数表达式作为目标函数的问题，这类问题，求解是关键。
这类问题一般用lingo软件就能求解。

4. 图论问题：
主要是考察这类问题的算法，包括：Dijkstra、Floyd、Prime、Bellman-Ford，最大流、二分匹配等。熟悉ACM的人来说，应该都不难。

5. 计算机算法设计中的问题：
算法设计包括：动态规划、回溯搜索、分治、分支定界法（求解整数解）等。

6. 最优化理论的三大非经典算法：
a) 模拟退火法（SA）
b) 神经网络（NN）
c) 遗传算法（GA）

7. 网格算法和穷举算法

8. 连续问题离散化的方法
因为计算机只能处理离散化的问题，但是实际中数据大多是连续的，因此需要将连续问题离散化之后再用计算机求解。
如：差分代替微分、求和代替积分等思想都是把连续问题离散化的常用方法。

9. 数值分析方法
主要研究各种求解数学问题的数值计算方法，特别是适用于计算机实现的方法与算法。
包括：函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性返程的数值解法、数值代数、常微分方程数值解等。
主要应用matlab进行求解。

10. 图像处理算法
这部分主要是使用matlab进行图像处理。
包括展示图片，进行问题解决说明等。

㈨ 【数学建模算法】(16)排队论：常用的几种概率分布及产生

区间 内的 均匀分布 记做 。服从 分布的随机变量又称为随机数，它是产生其他随机变量的基础。如若 为 分布，则 服从 。

以 为期望， 为方差的 正态分布 记做 。正态分布的应用十分广泛。正态分布还可以作为二项分布一定条件下的近似。

指数分布 是单参数 的非对称分布，记做 ，概率密度函数为：

数学期望为 ，方差为 。指数分布是唯一具有无记忆性的连续型随机变量，既有 ，在排队论，可靠性分析中有广泛应用。

Gamma分布是双参数 的非对称分布，记做 ，期望是 。 时退化为指数分布。 个相互独立，同分布（参数 ）的指数分布之和是Gamma分布 。Gamma分布可用于服务时间，零件寿命等。
Gamma分布又称为埃尔朗分布。

Weibull分布是双参数 的非对称分布，记做 。 时退化为指数分布。作为设备，零件的寿命分布在可靠性分析中有非常广泛的应用。

Beta分布是区间 内的双参数，非均匀分布，记做 。

伯努利分布是 处取值的概率分别是 和 的两点分布，记做 。用于基本的离散模型。

泊松分布与指数分布有密切的关系。当顾客平均到达率为常数 的到达间隔服从指数分布时，单位时间内到达的顾客数 服从泊松分布，即单位时间内到达 位顾客的概率为：

记做 。泊松分布在排队服务，产品检验，生物与医学统计，天文，物理等领域都有广泛应用。

在独立进行的每次试验中，某事件发生的概率为 ，则 次实验中该事件发生的次数 服从二项分布，即发生 次的概率为：

记做 。二项分布是 个独立的伯努利分布之和。它在产品检验，保险，生物和医学统计等领域有着广泛的应用。
当 很大时， 近似于正态分布 ；当 很大， 很小，且 约为常数 时， 近似于

㈩ 数学建模有几种分类方法

数学模型有以下几种分类方法

1. 按模型的数学方法分：

几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模

型、马氏链模型等。

2. 按模型的特征分：

静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线

性模型和非线性模型等。

3. 按模型的应用领域分：

人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。

4. 按建模的目的分： ：

预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。

一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往

往也和建模的目的对应

5. 按对模型结构的了解程度分： ：

有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。

比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。

6. 按比赛命题方向分：

国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、

运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述来建立数学模型。