巧妙的欧拉算法

❶ 欧拉公式的三种形式

欧拉公式的三种形式如下：R+V-E=2，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理，它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。

欧拉公式又称为欧拉定理，也称为尤拉公式，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，之所以叫作欧拉公式，那是因为欧拉公式是由莱昂哈德·欧拉提出来的，所以用他的名字进行了命名。

为什么欧拉公式被称为世界上最完美的公式了？

欧拉公式的巧妙之处在于，它没有任何多余的内容，将数学中最基本的e、i、π放在了同一个式子中，同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1，再以简单的加号相连。高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。”虽然不敢肯定她是世界上“最伟大公式"，但是可以肯定它是最完美的数学公式之一。

❷ 改进欧拉法的改进的算法

先用欧拉法求得一个初步的近似值，称为预报值，然后用它替代梯形法右端的yi+1再直接计算fi+1，得到校正值yi+1，这样建立的预报-校正系统称为改进的欧拉格式：
预报值 y~i+1=yi + h*f(xi,yi)
校正值 yi+1 =yi+(h/2)*[f(xi,yi)+f(xi+1,y~i+1)]
它有下列平均化形式：
yp=yi+h*f(xi,yi)
且 yc=yi+h*f(xi+1,yp)
且 yi+1=(yp+yc)/2
它的局部截断误差为O(h^3)，可见，改进欧拉格式较欧拉格式提高了精度，其截断误差比欧拉格式提高了一阶。
注：欧拉法用差商 [y(xi+1)-y(xi)]/h 近似代替y(xi)的导数，局部截断误差较大；改进欧拉法先用欧拉法求出预报值，再利用梯形公式求出校正值，局部截断误差比欧拉法低了一阶，较大程度地提高了计算精度。

❸ 改进欧拉法的欧拉算法

所谓数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。对于常微分方程：


可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xi点有y'(xi)=f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xi+1)-y(xi))/h= f(xi,y(xi))，在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi点的数值计算出yi+1来：
yi+1= yi+h*f(xi ,yi)，i=0,1,2,L
这就是欧拉公式，若初值yi+1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解y1,y2,L。
为简化分析，人们常在yi为准确即yi=y(xi)的前提下估计误差y(xi+1)-yi+1，这种误差称为局部截断误差。
如果一种数值方法的局部截断误差为O(h^（p+1）)，则称它的精度是p阶的，或称之为p阶方法。欧拉格式的局部截断误差为O(h^2)，由此可知欧拉格式仅为一阶方法。

❹ 欧拉公式为什么叫上帝公式是什么

欧拉公式欧拉恒等式，它是数学里最令人着迷的公式之一，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数自然对数的底e，圆周率π，两个单位，虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。因此，数学家们评价它是上帝创造的公式，我们只能看它而不能理解它。

欧拉恒等式是指下列关系式

eiπ＋1=0。

其中e是自然指数的底，i是虚数单位，π是圆周率。

这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introction。这是复分析的欧拉公式的特例：对任何实数x，作代入即给出恒等式。

理乍得·费曼称这恒等式为数学最奇妙的公式，因为它把5个最基本的数学常数简洁地联系起来。

欧拉这个公式已经融合于广义相对论和量子力学结合的m理论。详见网络费马大定理，霍奇猜想。成为虚时间的基本架构。也是光量子纠缠的数学表示。

❺ 改进的欧拉公式是什么

y(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)且xi=x0+i*h (i=0,1,2,…,n-1)，局部截断误差是O(h^2)。

改进欧拉法是对欧拉算法的改进方法。微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这个过程称为离散化。

实现离散化的基本途径是用向前差商来近似代替导数，这就是欧拉算法实现的依据。欧拉(Euler)算法是数值求解中最基本、最简单的方法，但其求解精度较低，一般不在工程中单独进行运算。

注意：

欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理乍得·费曼(Richard Phillips Feynman)将欧拉公式称为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”。

法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace)曾这样评价欧拉对于数学的贡献：“读欧拉的着作吧，在任何意义上，他都是我们的大师”。

❻ “欧拉问题”的数学题是怎样的

无独有偶。大数学家欧拉也很重视数学的普及教育。他经常亲自到中学去讲授数学知识，为学生编写数学课本。尤其感人的是，1770年，年迈的欧拉双目都已失明了，仍然念念不忘给学生编写《关于代数学的全面指南》。这本着作出版后，很快就被译成几种外国文字流传开来，直到20世纪，有些学校仍然用它作基本教材。

为了搞好数学普及教育，欧拉潜心研究了许多初等数学问题，还编了不少有趣的数学题。也许因为欧拉是历史上最伟大的数学家之一，这些题目流传特别广。例如，在各个国家的数学课外书籍里，都能见到下面这道叫做“欧拉问题”的数学题。

“两个农妇共带了100只鸡蛋去集市上出售。两人的鸡蛋数目不一样，赚得钱却一样多。第一个农妇对第二个农妇说：‘如果我有你那么多的鸡蛋，我就能赚15枚铜币。’第二个农妇回答说：‘如果我有你那么多的鸡蛋，我就只能赚6枚铜币。’问两个农妇各带了多少只鸡蛋？”

历史上，像这样由对话形式给出等量关系的题目并不少见。例如公元前3世纪时，古希腊数学家欧几里得曾编了一道驴和骡对话的习题：

“驴和骡驮着货物并排走在路上，驴不住地抱怨驮的货物太重，压得受不了。骡子对它说：‘你发什么牢骚啊！我驮的比你更重。如果你驮的货物给我1口袋，我驮的货物就比你重1倍；而我若给你1口袋，咱俩才刚一般多。’问驴和骡各驮了几口袋货物？”

12世纪时，印度数学家婆什迦罗也曾编了一道相似的习题：

“某人对一个朋友说：‘如果你给我100枚铜币，我将比你富有2倍。’朋友回答说：‘你只要给我10枚铜币，我就比你富有6倍。’问两人各有多少铜币？”

但是，“欧拉问题”却编出了新意，由于两种“如果”出的答数无倍数关系可言，使得题中蕴含的等量关系更加行踪难觅，解题途径与上述两题也不相同。

下面是欧拉提供的一种解法。

假设第二个农妇的鸡蛋数目是第一个农妇的m倍。因为最后两人赚得的钱一样多。所以，第一个农妇出售鸡蛋的价格必须是第二个农妇的m倍。

如果在出售之前，两个农妇已将所带的鸡蛋互换，那么，第一个农妇带有的鸡蛋数目和出售鸡蛋的价格，都将是第二个农妇的m倍。也就是说，她赚得的钱数将是第二个农妇的m2倍。

于是有m2＝15∶62/3。

舍去负值后得m＝3/2，即两人所带鸡蛋数目之比为3∶2。这样，由鸡蛋总数是100，就不难算出题目的答案了。

想出这种巧妙的解法是很不容易，连一贯谨慎的欧拉也忍不住称赞自己的解法是“最巧妙的解法”。

❼ 欧拉的算法

这是个没有通常意义极限的病态级数，比如:
(1-1)+(1-1)+..+(1-1)+...=0
1+(-1+1)+(-1+1)+... =1
根据1+x+...+x^n+..=1/(1-x)，虽然收敛域(-1,1),但把(-1)代进去就得到1/2,又是另一种答案
在数学分析的高级教程中应该对这种病态级数的和有一个严格定义，使得计算出的结果唯一。但我对这方面的知识也不了解。你可以去找找相关资料。

❽ 欧拉算法怎么实现 javascript

欧拉算法
微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这个过程称为离散化。实现离散化的基本途径是用向前差商来近似代替导数，这就是欧拉算法实现的依据。欧拉(Euler)算法是数值求解中最基本、最简单的方法，但其求解精度较低，一般不在工程中单独进行运算。所谓数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。对于常微分方程：
dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b]
y(a)=y0
可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xi点有y'(xi)=f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xi+1)-y(xi))/h= f(xi,y(xi))，在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi点的数值计算出yi+1来：
yi+1= yi+h*f(xi ,yi)，i=0,1,2,L
这就是欧拉格式，若初值yi+1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解y1,y2,L。
为简化分析，人们常在yi为准确即yi=y(xi)的前提下估计误差y(xi+1)-yi+1，这种误差称为局部截断误差。
如果一种数值方法的局部截断误差为O(h^p+1)，则称它的精度是p阶的，或称之为p阶方法。欧拉格式的局部截断误差为O(h^2)，由此可知欧拉格式仅为一阶方法。
欧拉公式：
y(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)
且xi=x0+i*h (i=0,1,2,…,n-1)
局部截断误差是O(h^2)

改进的欧拉算法
先用欧拉法求得一个初步的近似值，称为预报值，然后用它替代梯形法右端的yi+1再直接计算fi+1，得到校正值yi+1，这样建立的预报-校正系统称为改进的欧拉格式：
预报值 y~i+1=yi+1 + h*f(xi,yi)
校正值 yi+1 =yi+(h/2)*[f(xi,yi)+f(xi+1,y~i+1)]
它有下列平均化形式：
yp=yi+h*f(xi,yi)
且 yc=yi+h*f(xi+1,yp)
且 yi+1=(xp+yc)/2
它的局部截断误差为O(h^3)，可见，改进欧拉格式较欧拉格式提高了精度，其截断误差比欧拉格式提高了一阶。
注：欧拉法用差商 [y(xi+1)-y(xi)]/h 近似代替y(xi)的导数，局部截断误差较大；改进欧拉法先用欧拉法求出预报值，再利用梯形公式求出校正值，局部截断误差比欧拉法低了一阶，较大程度地提高了计算精度。

改进欧拉算法
#include<iostream.h>
#define N 20
void ModEuler(float (*f1)(float,float),float x0,float y0,float xn,int n)
{
int i;
float yp,yc,x=x0,y=y0,h=(xn-x0)/n;
cout<<"x[0]="<<x<<'t'<<"y[0]"<<y<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
{
yp=y+h*f1(x,y);
x=x0+i*h;
yc=y+h*f1(x,yp);
y=(yp+yc)/2.0;
cout<<"x["<<i<<"]="<<x<<" y["<<i<<"]="<<y<<endl;
}
}
void main()
{
float xn=5.0,x0=0.0,y0=2.0;
float f1(float ,float);
ModEuler(f1,x0,y0,xn,N);
}
float f1(float x,float y)
{
return -x*y*y;
}

❾ 什么是欧拉方法(Euler's method)

欧拉法是常微分方程的数值解法的一种，其基本思想是迭代。其中分为前进的EULER法、后退的EULER法、改进的EULER法。所谓迭代，就是逐次替代，最后求出所要求的解，并达到一定的精度。误差可以很容易地计算出来。欧拉法是考察流体流动的一种方法。通常考察流体流动的方法有两种，即拉格朗日法和欧拉法。

欧拉法的特点

单步，显式，一阶求导精度，截断误差为二阶。

欧拉法的缺点

欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。

❿ 图论中，求欧拉路径的算法有哪些

首先要根据欧拉路径的存在条件来判断一个图是否存在欧拉路径,判断条件为如下3条
对于一个无向图，如果它每个点的度都是偶数，那么它存在一条欧拉回路；
如果有且仅有2个点的度为奇数，那么它存在一条欧拉路；
如果超过2个点的度为奇数，那么它就不存在欧拉路了。
然后可以用Fleury算法求欧拉路径,可以参照
http://www.cnblogs.com/Lyush/archive/2013/04/22/3036659.html