极限计算法则例题

‘壹’ 高中数学极限题怎么求解

一、利用极限四则运算法则求极限

函数极限的四则运算法则：设有函数，若在自变量f（x），g（x）的同一变化过程中，有limf（x）=A，limg（x）=B，则

lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B

lim［f（x）・g（x）］=limf（x）・limg（x）=A・B

lim==（B≠0）

（类似的有数列极限四则运算法则）现以讨论函数为例。
对于和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，但使用这些法则，往往要根据具体的函数特点，先对函数做某些恒等变形或化简，再使用极限的四则运算法则。方法有：

1.直接代入法

对于初等函数f（x）的极限f（x），若f（x）在x点处的函数值f（x）存在，则f（x）=f（x）。
直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式，若有意义，其极限就是该函数值。

2.无穷大与无穷小的转换法

在相同的变化过程中，若变量不取零值，则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。

（1）当分母的极限是“0”，而分子的极限不是“0”时，不能直接用极限的商的运算法则，而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系，先求其的极限，从而得出f（x）的极限。

（2）当分母的极限为∞，分子是常量时，则f（x）极限为0。

3.除以适当无穷大法

对于极限是“”型，不能直接用极限的商的运算法则，必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。

4.有理化法

适用于带根式的极限。

二、利用夹逼准则求极限

函数极限的夹逼定理：设函数f（x），g（x），h（x），在x的某一去心邻域内（或|x|＞N）有定义，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），则g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（类似的可以得数列极限的夹逼定理）
利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式。

三、利用单调有界准则求极限

单调有界准则：单调有界数列必有极限。首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程，可求出极限。

四、利用等价无穷小代换求极限

常见等价无穷小量的例子有：当x→0时，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。

等价无穷小的代换定理：设α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自变量x在同一变化过程中的无穷小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，则lim=lim。

五、利用无穷小量性质求极限

在无穷小量性质中，特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。

六、利用两个重要极限求极限

使用两个重要极限=1和（1+)=e求极限时，关键在于对所给的函数或数列作适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。

七、利用洛必达法则求极限

如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与g（x）都趋于零或趋于无穷小，则可能存在，也可能不存在，通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式，对于该类极限一般不能运用极限运算法则，但可以利用洛必达法则求极限。

‘贰’ 求极限的运算法则

lim(n趋于∞）An=A,lim（n趋于∞）Bn=B,则有
法则1:lim（n趋于∞）(An+Bn)=A+B
法则2:lim（n趋于∞）(An-Bn)=A-B
法则3:lim（n趋于∞）(An·Bn)=AB
法则4:lim（n趋于∞）(An/Bn)=A/B.
法则5:lim（n趋于∞）(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)

‘叁’ 求计算极限方法

1．利用极限的定义证明极限例1证明limn→－2x2＝4。证：x→－2，不妨设：｜x－（－2）｜＝｜x＋2｜＜1，即：－3＜x＜－1。∵｜x2－4｜＝｜x－2｜｜x＋2｜＜｜x＋2｜｜－3－2｜＝5｜x＋2｜，要使｜x2－4｜＜ε，只要5｜x＋2｜＜ε，ε＞0，即｜x＋2｜＜ε5。令δ0＝ε5，取δ＝min（δ0，1），则当0＜｜x＋2｜＜δ时，有｜x2－4｜＜ε，∴limn→－2x2＝4。2．利用极限四则运算求极限例2求limn→－2x2－4x－2。解：原式＝limn→－2（x－2）（x＋2）x－2＝limn→－2（x＋2）＝0。用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如∞∞、00等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形。3．利用无穷小的性质求极限例3limx→∞cosxx2。解：∵｜cosx｜≤1，1x2在x→∞时是无穷小量，由无穷小的性质得：limx→∞cosxx2＝0。

‘肆’ 一道汤家凤老师视频中的极限题

1、关于这一道汤家凤老师视频中的极限题的说明见上图。

2、当x趋于-1时可以直接带入求出极限是无穷大的理由：先求出倒数的函数的极限，极限为0，再利用无穷小的倒数是无穷大，这个定理，即得。

3、而当x趋于1时却不能直接带入求极限理由：此时分母极限是0，所以，不能用商的极限运算法则。可以先约掉x-1后，再用商的运算法则。

具体的这一道汤家凤老师视频中的极限题的详细说明见上。

‘伍’ 极限运算法则

1． 设数列收敛才有极限运算的加减乘除法则， 这里,我们不认为趋于无穷的数列或函数收敛; 2. 一个数列或者函数的极限为无穷，则有两种情况： (1)趋于无正穷或负无穷 例如，n或－n (2)同时趋于正负无穷 例如，((-1)^n)*n 不论哪中情况都不存在极限，而且我们可以说极限是无穷，也就是说两种说法都可以。 ps：极限是无穷的说法更加精确，因为极限是无穷必然有极限不存在，但极限不存在不能说明极限是无穷。

‘陆’ 高等数学极限运算法则

1、本题是无穷大乘以无穷小型不定式；

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2、解答方法用到三个步骤：

A、分子有理化；

B、化无穷大计算为无穷小计算；

C、无穷小直接用0代入。

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3、具体解答如下，如有疑问，欢迎追问，有问必答。

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4、极限计算方法五花八门，下面提供的另外十张图片，

提供给楼主极限计算方法，跟具体示例。这些方法

应付一般的花拳绣腿的考研绰绰有余。

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5、所有的图片，均可点击放大，放大后图片更加清晰。

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‘柒’ 一道极限运算题

lim[x→0] [(a^x+b^x)/2]^(3/x)
= lim[x→0] e^ln[(a^x+b^x)/2]^(3/x)
= e^lim[x→0] {3ln[(a^x+b^x)/2]}/x
=洛必达法则= e^lim[x→0] { 3*[(lna*a^x+lnb*b^x)/2] / [(a^x+b^x)/2] } / 1
= e^lim[x→0] 3(lna*a^x+lnb*b^x) / (a^x+b^x)
= e^[ 3(lna*a^0+lnb*b^0) / (a^0+b^0) ]
= e^[ 3(lna+lnb)/2 ]
= e^[ (lna+lnb)^(3/2) ]
= (ab)^(3/2)

‘捌’ 极限的运算

1.极限的四则运算、任何复合运算，只要是定式之间的运算都成立； 2.出错。 3.极限不存在。 4.运用乘除法运算，乘号前后不能出现0乘以∞的情况，除法不能出现分子分母同趋于无穷大，或同趋于0的情况。 极限的运算法则：（1）直接带入法（2）无穷大与无穷小的关系例子：lim(x趋向于1）-（4x-1)/(x2+2x-3)根据无穷大无穷小的关系则为0。（3）“0/0”型未定式用因式分解法 （4）“无穷/无穷”未定式用X的最高次幂去除以每一项例子： lim(x趋向于无穷）（3x2+x+1)/(2x2+4x-3) 分子分母同除于X2得3/2