牛顿的算法原理

㈠ 什么是“牛顿法”或“牛顿迭代法” 请简述过程及原理,有例子更好

牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式,从而求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要.
设r是f(x)=0的根,选取x0作为r初始近似值,过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L,L的方程为y=f(x0)+f'(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1=x0-f(x0)/f'(x0),称x1为r的一次近似值,过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线,并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f'(x1)称x2为r的二次近似值,重复以上过程,得r的近似值序列{Xn},其中Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn),称为r的n+1次近似值.上式称为牛顿迭代公式.

㈡ 牛顿定律所有公式

牛顿第一运动定律：孤立质点保持静止或做匀速直线运动；用公式表达为：

(2)牛顿的算法原理扩展阅读：

牛顿定律特点

牛顿运动定律的内在逻辑符合自洽一致性，即三定律顺承逻辑相容构成有机整体：

牛顿运动定律在研究对象上呈递进关系。第一、第二定律只研究单一物体（可以只有一个物体，也可以从众多物体中隔离出一个物体来作为研究对象），解决其不受力或受很多力作用后的运动问题；第三定律扩展了研究对象，至少研究是两个物体之间的相互作用，这种相互作用制约或影响了研究对象或研究对象以外的其它物体的运动。

只有把第一、第二和第三定律有机结合才能解决全部的复杂动力学问题，由质点的动力学出发去解决质点系、刚体、流体、振动、波动等的力学问题。牛顿运动定律都只在第一定律确定的惯性参考系成立。

牛顿的绝对时空观中的惯性系虽然存在逻辑循环（或称逻辑同一）之难，但是在动力学的力的语言表达中是理论体系必不可少的。一切动力学问题确定了惯性系便能解决。

由于任何科学都不可能做到绝对真理，力学也是一门近似程度比较高的科学，绝对的惯性系不存在，但近似的惯性系是始终存在。牛顿运动定律只在惯性系中适用，说明了三定律的一致性。

㈢ 牛顿的数学原理对近代科学产生了怎样的影响

完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。

微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。牛顿为解决运动问题，才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的，牛顿称之为"流数术"。

牛顿超越了前人，他站在了更高的角度，对以往分散的结论加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系。

人物评价

他在1688年发表的着作《自然哲学的数学原理》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为现代工程学的基础。

他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；从而消除了对太阳中心说的最后一丝疑虑，并推动了科学革命。

㈣ 牛顿法的原理

把非线性函数在处展开成泰勒级数
取其线性部分，作为非线性方程的近似方程，则有
设 ，则其解为
因为这是利用泰勒公式的一阶展开， 处并不是完全相等，而是近似相等，这里求得的 并不能让 ，只能说 的值比 更接近 ，于是乎，迭代求解的想法就很自然了，
再把f(x)在x1 处展开为泰勒级数，取其线性部分为 的近似方程，若 ，则得 如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式： ，通过迭代，这个式子必然在 的时候收敛。整个过程如右图：
例1 用牛顿法求方程 在 内一个实根，取初始近似值=1.5。 解 所以迭代公式为：

列表计算如下： 01.511.737121.698731.6975......

㈤ 牛顿是如何计算圆周率的（一）

牛顿，微积分的奠基者之一。他称其发明为“流数法”。后来证明，本质上跟莱布尼兹发明的微积分是一样的。他在发明“流数法”以后，闲极无聊，就算算圆周率。人和人是多么不同啊。

还要提到的是，牛顿年轻时候推广的二项式定理。这个定理，普通的时候很普通，

就是用贾宪-杨辉-帕斯卡三角展开，只要用乘法，就能验证。

牛顿在24岁的时候，就把这个定理推广到分数的形式了。原始的二项式定理用的是所谓“组合数”的观念，例如，从5样东西里选择3样，有多少中选法呢？ 第一个有5种选择，第二个有4种选择，第三个有3种选择。然而，3个东西的排列次序是无所谓的。3个东西排列的方式有3×2×1=6种。因此，5选3的方法就是 (5*4*3)/(3*2*1)，10种。记做C(5 3)=10。传统的写法是把5写成下标，把3写成上标，看起来像C5的3次方一样，数学符号就是如此的混乱。上面5次方的多项式，x的3次方系数就是10。

牛顿推广的时候，基本没怎么变动，就是把C(n r)的分子写成从n开始的r个数相乘（每个递减1），分母还是r的阶乘法。但这个 r 从 0 一直增加的无穷大。而且，对x也有要求，x的绝对值必须小于1。

不知道人们为何又改用括号的方法表示，括号的写法同C的写法正好颠倒n和r的上下，但算式是一样的。于是，我也习惯用括号的写法了。不必展开，反正知道每个括号对应一个数字就可以了。展开来太长了。

下面是r=1/2时，（1+x）^r 展开后前几项的系数，

1  ， 1/2， -1/8 ，1/16 ，-5/128， 7/256， -21/1024， 33/2048， -429/32768 ，715/65536

注意到系数是正负交替的，因此，人们常常展开 (1-x)^r，干脆把后面的符号都统一了。注意幂是从0开始的，0次幂系数是1，1次幂系数为1/2, 2次幂的系数为-1/8...

这个定理，经牛顿推广以后，就太神奇了。

这个定理，我在很多书上寻找证明，暂时还没有找到。但看见过用泰勒级数证明的，我以为不妥，因为泰勒出生的年代比牛顿晚，泰勒级数是在牛顿二项式定理启发而发现的，因此用泰勒级数证明牛顿的二项式定理是颠倒因果的做法。就好比用两点间距离公式证明勾股定理一样。

暂且算牛顿的女神托梦送他的吧。真的很好用。牛顿也很喜欢，有了二项式定理，各种开方运算像吃饭喝水一样简单。

然后是积分的运算。定积分，是求曲线下的面积;不定积分，是求一个函数的原函数。原函数的两个函数值一减，就可以得到定积分的值。这东西，打个比方说就是，假设一个人在走路，距离一直在变，距离的相对时间变化率就是速度，速度累积在时间上的效果就是距离。

如果求直线 y=x 下的面积（同x轴一起围成），显然是个三角形，结果是(x^2)/2。结果的次数比y=x中升高一次，系数正好乘以次数的倒数。类推，上面这个抛物线 y=(x^2)/8 下的面积也是，次数升高一次变为3，系数乘以1/3.那么就是  (x^3)/24 。

所以，幂函数的积分运算相当简单，升高次数，调整系数。就是这么简单。

知道幂函数的积分和二项式定理，就可以开启分析法计算圆周率了。

先精心挑选这样一个圆

圆的方程如下：

得到这个方程以后，有的人直接就开始用分部积分公式计算面积了。有的人先对后面展开。先展开，看起来容易些。

展开以后，就可以一项的积分了，于是，可以得到面积的公式

假如直接用这个公式，取x=1,计算，也可以得到半圆的面积，但是，收敛会非常非常缓慢。实际上，牛顿取x=1/4，也就是只计算0到1/4部分圆面积，加上旁边的一个三角形，直接就获得1/6圆面积。三角形KDC的面积为 （1/2）×（1/4）× (SQRT(3) /4) = SQRT(3)/32  。

㈥ 牛顿迭代法是什么原理呢

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

㈦ 牛顿的方法论原理是什么呢

牛顿在科学方法论上的贡献正如他在物理学特别是力学中的贡献一样，不只是创立了某一种或两种新方法，而是形成了一套研究事物的方法论体系，提出了几条方法论原理。在牛顿《原理》一书中集中体现了以下几种科学方法：

①实验理论，应用的方法。牛顿在《原理》序言中说：“哲学的全部任务看来就在于从各种运动现象来研究各种自然之力，而后用这些方去论证其他的现象。”科学史家I.B.Cohen正确地指出，牛顿“主要是将实际世界与其简化数学表示反复加以比较”。牛顿是从事实验和归纳实际材料的巨匠，也是将其理论应用于天体、流体、引力等实际问题的能手。

②分析，综合方法。分析是从整体到部分（如微分、原子观点），综合是从部分到整体（如积分，也包括天与地的综合、三条运动定律的建立等）。牛顿在《原理》中说过：“在自然科学里，应该像在数学里一样，在研究困难的事物时，总是应当先用分析的方法，然后才用综合的方法……。一般地说，从结果到原因，从特殊原因到普遍原因，一直论证到最普遍的原因为止，这就是分析的方法；而综合的方法则假定原因已找到，并且已经把它们定为原理，再用这些原理去解释由它们发生的现象，并证明这些解释的正确性”。

③归纳，演绎方法。上述分析一综合法与归纳一演绎法是相互结合的。牛顿从观察和实验出发。“用归纳法去从中作出普通的结论”，即得到概念和规律，然后用演绎法推演出种种结论，再通过实验加以检验、解释和预测，这些预言的大部分都在后来得到证实。当时牛顿表述的定律他称为公理，即表明由归纳法得出的普遍结论，又可用演绎法去推演出其他结论。

④物理，数学方法。牛顿将物理学范围中的概念和定律都“尽量用数学演出”。爱因斯坦说：“牛顿才第一个成功地找到了一个用公式清楚表述的基础，从这个基础出发他用数学的思维，逻辑地、定量地演绎出范围很广的现象并且同经验相符合”，“只有微分定律的形式才能完全满足近代物理学家对因果性的要求，微分定律的明晰概念是牛顿最伟大的理智成就之一”。牛顿把他的书称为《自然哲学的数学原理》正好说明这一点。 牛顿的方法论原理集中表述在《原理》第三篇“哲学中的推理法则”中的四条法则中，此处不再转引。概括起来，可以称之为简单性原理（法则1），因果性原理（法则2），普遍性原理（法则3），否证法原理（法则4，无反例证明者即成立）。有人还主张把牛顿在下一段话的思想称之为结构性原理：“自然哲学的目的在于发现自然界的结构的作用，并且尽可能把它们归结为一些普遍的法规和一般的定律——用观察和实验来建立这些法则，从而导出事物的原因和结果”。

㈧ 牛顿法和PQ法的原理是什么

这是牛顿法原理

把非线性函数f(x)在x = 0处展开成泰勒级数

牛顿法

取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有

f(0 )+(x-0 ) f′(0 )=0

设f′(0 )≠0?，则其解为x = - xf(1)

再把f(x)在x 处展开为泰勒级数，取其线性部分为f(x)=0的近似方程，若f′(x ) ≠0，则得x = - 如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式：x = - ...(n=0,1,2,…) (2)

例1 用牛顿法求方程f(x)=x +4x -10=0在[1,2]内一个实根，取初始近似值x =1.5。 解 ?f′(x)=3x +8x??所以迭代公式为：

x = -... n=0,1, 2，...

列表计算如下：

n

0

1

2

3

1.5

1.3733333

1.36526201

1.36523001