秦九韶算法求函数数值的程序

⑴ 秦九韶算法在matlab中的写法

秦九韶算法在matlab中的写法如下：

A=100:-1:1;
x=1:0.01:1.1;
y=zeros(11);
for j=1:11
n=length(A);
F=zeros(n);
F(1)=A(1);
for i=1:n-1
F(i+1)=F(i)*x(j)+A(i+1);
end
y(j)=F(n);
end
plot(x,y);

秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。

一般地，一元n次多项式的求值需要经过(n+1)*n/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。在人工计算时，一次大大简化了运算过程。

(1)秦九韶算法求函数数值的程序扩展阅读：

秦九韶的数学巨柱《数书九章》

宋淳祜四至七年（公元1244至1247），秦九韶在湖州为母亲守孝三年期间，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了举世闻名的数学巨着《数书九章》。

书成后，并未出版。原稿几乎流失，书名也不确切。后历经宋、元，到明建国，此书无人问津，直到明永乐年间，在解缙主编《永乐大典》时，记书名为《数学九章》。又经过一百多年，经王应麟抄录后，由王修改为《数书九章》。

全书不但在数量上取胜，重要的是在质量上也是拔尖的。从历史上来看，秦九韶的《数书九章》可与《九章算术》相媲美；从世界范围来看，秦九韶的《数书九章》也不愧为世界数学名着。

⑵ 求 秦九韶算法matlab程序

A是幂降多项式阶列的特殊系数：函数值＝qinjiushao（A，x）N＝长度（A）；F＝0（n）；F（1）＝A（1）；对于I＝1：n－1F（I＋1）＝F（I）＊x＋A（I＋1）。

结束：值＝F（n）Disp（“真理”）Polyval（A，x）。

算法是用matlab编写的，如下所示：

A＝100：－1：1；X＝1：0．01：1．1；Y＝0（11）；对于j＝1：11n＝长度（A）；F＝0（n）F（1）等于A（1）I＝1：n－1F（I＋1）＝F（我）＊x（j）＋（I＋1）；Endy（j）＝F（n）；Endplot（x，y）；

该算法是南宋数学家秦九义提出的一种多项式简化算法。

一般情况下，一个变量n次多项式的求值需要（n＋1）＊n／2次乘法和n次加法，而QinJiuyi算法只需要n次乘法和n次加法。在手工计算中，一次计算可以大大简化计算过程。

(2)秦九韶算法求函数数值的程序扩展阅读：

宋朝（1244－1247）四七年间，秦整理了自己在湖州三年学习积累的数学知识和研究收入，撰写了举世闻名的数学巨着《七书》。和章。”

这本书出版后就没有出版。这部手稿几乎丢失了。标题不准确。宋、元、明以后，这本书就不再受重视了。直到明朝永乐年间，《永乐丹言》的主编才写出了《九章算术》。100多年后，王应林将其改写为《周易》的七章。

这本书不仅在数量上占优势，而且在质量上也占优势。从历史上看，秦九义书中的七章可以与算术中的九章相比较。从世界范围来看，秦九义的《九章全书》并不是世界着名的数学着作。

⑶ 用秦九韶算法写出求f（x）=1+x+0.5x2+0....

【答案】见解析
【答案解析】试题分析：先把函数整理成
f（x）=（（（（0.00833x+0.04167）x+0.16667）x+0.5）x+1）x+1，按照从内向外的顺序依次进行.
x=－0.2
a5=0.00833
V0=a5=0.008333
a4=0.04167
V1=V0x+a4=0.04
a3=0.016667
V2=V1x+a3=0.15867
a2=0.5
V3=V2x+a2="0.46827"
a1=1
V4=V3x+a1=0.90635
a0=1
V5=V4x+a0=0.81873
∴f（－0.2）=0.81873.
考点：本题主要考查算法案例中的秦九韶算法。
点评：秦九韶算法简化了求函数值的过程，前后顺序、层次要清楚。

⑷ 秦九韶算法

秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法。其大大简化了计

秦九韶算法
算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。
在西方被称作霍纳算法，是以英国数学家霍纳命名的。
编辑本段秦九韶简介
秦九韶（约公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东曲阜一带人）。早年曾从隐君子学数术，后因其父往四川做官，即随父迁徙，也认为是普州安岳（今四川安岳县）人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。（安岳县于1998年9月正式开工建设秦九韶纪念馆，2000年12月竣工落成。）
秦九韶聪敏勤学，宋绍定四年（公元1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官。南宋理宗景定元年（公元1260年）出任梅州（今广东梅县）守，翌年卒于梅州。据史书记载，他“性及机巧，星象、音律、算术以至营造无不精究”，还尝从李梅亭学诗词。他在政务之余，以数学为主线进行潜心钻研，且应用范围至为广泛：天文历法、水利水文、建筑、测绘、农耕、军事、商业金融等方面。
秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，尤其是系统总结和发展了高次方程的数值解法与一次同余问题的解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”。对数学发展产生了广泛的影响。
秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的科学家，他被国外科学史家称为是“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。
编辑本段数书九章
宋淳祜四至七年（公元1244至1247），秦九韶在湖州为母亲守孝三年期间，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了举世闻名的数学巨着《数书九章》。 书成后，并未出版。原稿几乎流失，书名也不确切。后历经宋、元，到明建国，此书无人问津，直到明永乐年间，在解缙主编《永乐大典》时，记书名为《数学九章》。又经过一百多年，经王应麟抄录后，由王修改为《数书九章》。
全书不但在数量上取胜，重要的是在质量上也是拔尖的。从历史上来看，秦九韶的《数

秦九韶纪念馆
书九章》可与《九章算术》相媲美；从世界范围来看，秦九韶的《数书九章》也不愧为世界数学名着。
他在《数书九章》序言中说，数学“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物”。所谓“通神明”，即往来于变化莫测的事物之间，明察其中的奥秘；“顺性命”，即顺应事物本性及其发展规律。在秦九韶看来，数学不仅是解决实际问题的工具，而且应该达到“通神明，顺性命”的崇高境界。
《数书九章》全书共九章九类，十八卷，每类9题共计81个算题。该书着述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，是给出答案；“术曰”，是阐述解题原理与步骤；“草曰”，是给出详细的解题过程。另外，每类下还有颂词，词简意赅，用来记述本类算题主要内容、与国计民生的关系及其解题思路等。
编辑本段秦九韶算法
一般地，一元n次多项式的求值需要经过[n（n+1）]/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。在人工计算时，一次大大简化了运算过程。特别是在现代，在使用计算机解决数学问题时，对于计算机程序算法而言秦九韶算法可以以更快的速度得到结果，减少了CPU运算时间。
把一个n次多项式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改写成如下形

秦九韶
：
f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]
=(a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0]
=((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0]
=......
=(......((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0].
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
v[0]=a[n]
v[1]=a[n]x+a[n-1]
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v[2]=v[1]x+a[n-2]
v[3]=v[2]x+a[n-3]
......
v[n]=v[n-1]x+a[0]
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。
（注：中括号里的数表示下标）
结论：对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法。
编辑本段意义
该算法看似简单，其最大的意义在于将求n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值。在人工计算时，利用秦九韶算法和其中的系数表可以大幅简化运算；对于计算机程序算法而言，加法比乘法的计算效率要高很多，因此该算法仍有极大的意义，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比作一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间。
（附：计算机程序）
INPUT “n=”；n
INPUT “an=”；a
INPUT “x=”；x
v=a
i=n-1
WHILE i>=0
PRINT “i=”；i
INPUT “ai=”；a
v=v*x+a
i=i-1
WEND
PRINT v
END
编辑本段PASCAL算法实现
v[1]:=a[n]*k+a[n-1]；
for i:=2 to n do
v[i]:=v[i-1]*k+a[n-i]；
writeln(v[n])；

⑸ 利用秦九韶算法计算f(x)=8X^7+5X^6+3X^4+2X+1 当X=2时的函数值

秦九韶算法:
f(x)=8X^7+5X^6+3X^4+2X+1
=x(8x^6+5x^5+3x^3+2)+1
=x(x³(8x³+5x²+3)+2)+1
=x(x³(x²(8x+5)+3)+2)+1
共11次计算

∴ f(2)=2(2³(2²(8×2+5)+3)+2)+1

⑹ 用秦九韶算法求多项式f(x)=x^7-2x^6+3x^3-4x^2+1 当X=2时的函数值

f(x)=x^7-2x^6+3x^3-4x^2+1=x(x^6-2x^5+3x^2-4x)+1
=x(x(x^5-2x^4+3x-4))+1
=x(x(x(x^4-2x^3+3)-4)))+1
=x(x(x(x^3(x-2)+3)-4)) +1
先算最内层(x-2)=0，
依次往外计算：(x^3(x-2)+3)=3，
(x(x^3(x-2)+3)-4)=(2×3-4)=2
x(x(x^3(x-2)+3)-4)=2×2=4，
x(x(x(x^3(x-2)+3)-4)) =2×4=8，
x(x(x(x^3(x-2)+3)-4)) +1=8+1=9.
即当X=2时的函数值为9.

⑺ 用秦九韶算法写出求f（x）=1+x+0.5x2+0.16667x3+0.0416

先把函数整理成
f（x）=（（（（0.00833x+0.04167）x+0.16667）x+0.5）x+1）x+1，
按照从内向外的顺序依次进行．
x=-0.2
a₅=0.00833V₀=a₅=0.00833（2分）
a₄=0.04167V₁=V₀x+a₄=0.04（4分）
a₃=0.16667V₂=V₁x+a₃=0.15867（6分）
a₂=0.5V₃=V₂x+a₂=0.46827（8分）
a₁=1V₄=V₃x+a₁=0.90635（10分）
a₀=1V₅=V₄x+a₀=0.81873（12分）
∴f（-0.2）=0.81873（13分）