连续函数复合运算法则

‘壹’ 复合函数求导法则口诀

复合函数求导数，分清楚内层函数与外层函数，设外层函数为u外层函数对u求导数，乘以内层函数对x求导，然后把u还回去。

‘贰’ 怎么求函数的连续性

如果一个多元函数是连续的，那么在该处极限值等于函数值。极限的求法可以通过通过夹逼定理，h(x)<f(x)<g(x)，而h(x)与 g(x)的极限又是相等的，从而求得其极限值。然后通过对比f(x)在这一点的函数值，最后得出结论是否相等。而一般的,这种题目往往是探求在(0,0)这一点的连续性，而又往往左边h(x)是0，右边g(x)也是趋于零的。而g(x)趋于零通常又是运用基本不等式对它进行放缩最后求得极限。还有就是无穷小量的代换，以及sinx/x这种在一元函数常用的公式在多元函数的极限过程中也经常用到
如果一个多元函数是不连续的，根据定义，通过取不同的路径，极限值不相同。比如y = kx,y = kx^2等等，最后发现极限与k相关，k取不同的值极限也取不同的值,所以极限是不存在的。

‘叁’ 复合函数导数公式及运算法则

复合函数导数公式是f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)。

复合函数的运算法则：

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系。

以此类推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x)，y'={sin(3-x)]'=-cos(x)，一开始会做不好，老是要对照公式和例子。

但只要多练练，并且熟记公式，最重要的是记住一两个例子，多练习就会了。

‘肆’ 连续函数的运算性质是什么

1：连续函数的和，差，积，啇仍是连续函数但是商的情况时，分母不为零。
2：连续函数的复合函数为连续函数。
3：单调连续函数的反函数是连续的。
4：在闭区间上连续的函数，在该区间上必可取到最大值与最小值，也可取到最大值与最小值之间的任何中间值。

‘伍’ 连续函数的四则运算法则

连续函数具有四则运算法则：若函数f和g在x0连续，则f±g，f·g，f/g(g(x0)≠0)也在点x0连续.

连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。

对于这种现象，因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

法则

定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。

定理三 连续函数的复合函数是连续的。

这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。

‘陆’ 复合函数极限运算法则是什么

极限代表的是一种趋向性，函数f(x)在x=x0处的极限与f(x)在x=x0处的函数值无关（假设f(x)在x=x0处有定义），所以函数极限定义用的是x0的去心邻域，因为当x=x0时，|f(x)-A|=|f(x0)-A|<ε就不一定成立了，比如f(x)=0(当x≠0时),f(x)=1(当x=0时)，lim(x->0)f(x)=0,而f(0)=1,而f(x)在x=x0处的极限与f(x)在x=x0处的函数值的统一依靠连续性实现的。所以书上一般不说复合函数的极限运算，而是给出复合函数的连续性，因为复合函数的极限运算是有条件的。先给个例子：
当u=0时，y=f(u)=0,当u≠0时，y=f(u)=1,u=g(x)=x*sin(1/x)（x≠0）
显然有lim(x->0)g(x)=0,lim(u->0)f(u)=1,但是f(g(x))在x=0处没有极限。
因为在0的任意小的去心邻域内都有存在ξ,使得g(ξ)=0.
这样在0的任意小的去心邻域内，f(g(x))=0和f(g(x))=1都可以取到，f(g(x))在x=0处没有极限。
所以满足lim(x->x0)g(x)=u0,且x0的任意小的去心邻域内都有g(x)≠u0,lim(u->u0)f(u)=A.
才可以证明lim(x->x0)f(g(x))=A.证明如下：
因为lim(u->u0)f(u)=A,所以对任意ε>0,存在δ1>0,当u满足：0<|u-u0|<δ1时，|f(u)-A|<ε,
又因为lim(x->x0)g(x)=u0,所以对上述的δ1>0,存在δ2>0，当x满足：0<|x-x0|<δ2时，|g(x)-u0|<δ1,
又x0的任意小的去心邻域内都有g(x)≠u0,所以当x满足：0<|x-x0|<δ2时，0<|g(x)-u0|<δ1,
于是对任意ε>0,存在δ2>0,当x满足：0<|x-x0|<δ2时，有0<|g(x)-u0|<δ1，进而有|f(g(x))-A|<ε,
这就证明了lim(x->x0)f(g(x))=A.(如果没有条件“x0的任意小的去心邻域内都有g(x)≠u0”，则只能有“|g(x)-u0|<δ1”，而不能进一步得到“0<|g(x)-u0|<δ1”，就会出现像上面一样的反例。)

‘柒’ 连续函数之间的加减乘除还是不是连续函数

不一定。

连续函数与间断函数的加减一定是间断的，可以用反证法得到（若连续，设f连续，g间断，则g=(f+g)-f连续，矛盾。）连续函数与间断函数的乘除是不一定的，例如一个恒为0，另一个随便，那么乘除都为0。

函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。

对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

（分段函数在x=0处的左右极限都存在，但不等于f(0)）。

闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。