数列极限运算法则证明

‘壹’ 极限运算除法法则证明

设limf(x)=a,limg(x)=b(b≠0),（x→x0)求证limf(x)/g(x)=a/b，证明：只要证明f(x)/g(x)-a/b是无穷小即可。

柯西收敛准则：数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于尘带任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n > N时，且m≠n。我们把满足该条件御型的{Xn}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{Xn}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。

单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并镇兄猜且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

‘贰’ 数列极限的证明方法介绍

数列极限的证明方法一

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限

求极限我会

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……橘李者

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)

=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。

数列极限的证明方法二

证明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，

设x(k)<4，则

x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。

当0

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

数列极限的证明方法三

根据数列极限的定义证明：

(1)lim[1/(n的平方)]=0

n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2

n→∞

(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题：

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)

第圆薯三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n)]/(1/n)=0*1=0

数列的极限知识点归纳

一、间断点求极限

1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；

2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在；

3、渐近线，（垂直、水平或斜渐近线）；

4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极扰局限不存在。

二、下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。

（一）重要题型及点拨

1、求数列极限

求数列极限可以归纳为以下三种形式。

2、抽象数列求极限

这类题一般以选择题的形式出现，因此可以通过举反例来排除。此外，也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。

（二）求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：

a、利用单调有界必收敛准则求数列极限。

首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值。

b、利用函数极限求数列极限

如果数列极限能看成某函数极限的`特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。

（三）求项和或项积数列的极限，主要有以下几种方法：

a、利用特殊级数求和法

如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。

b、利用幂级数求和法

若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。

c、利用定积分定义求极限

若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示，则可以考虑用定积分定义求解数列极限。

d、利用夹逼定理求极限

若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。

e、求项数列的积的极限

一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。

数列极限存在条件

单调有界定理在实数系中，单调有界数列必有极限。

致密性定理任何有界数列必有收敛的子列。

‘叁’ 数列极限的运算法则

数列极限的运算法则如下：

前提条件：

各数列均有极限；

相加减时必须是有限个数列才能用法则。

极限的三大性质：

极限的唯一性、极限的有界性、极限的保序性。

极限森氏的定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列的项an无限地趋近于某个常数a（即 无限地接近于0），a叫数列的极限，可记桐没做当n→+∞时，an→a。

an无限接近于a的方式有三种：

递增的数列，an无限接此轮散近于a，即an是在常数a的左边无限地趋近于a；

递减数列，an无限地趋近于a，即an是在常数a的右边无限地趋近于a；

摆动数列，an无限地趋近于a，即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a。

严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切an都满足 ，a叫数列的极限。

“xn以a为极限”的几何解释：

将常数a及数列各项x1,x2,...,xn,...在数轴上找出相应的点，再在数轴上作开区间(aε,a+ε)。

当n>N时，满足|xn−a|<ε，亦即满足a−ε<xn<a+ε。也就是说从N+1开始，以后无穷多项都落在开区间(a−ε,a+ε)内。

‘肆’ 数列极限四则运算的证明例题看不懂请高手指教！

首先要注意，目标是| An•Bn-AB |＜ε，但已知的是：limAn=A,limBn=B，所以证明中，一定要用到|An-A|和|Bn-B|。于是通过绝对值不等式| An•Bn-AB | ≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|找到与这两个式子（|An-A|和|Bn-B|）的关系。如果|An-A||Bn|＜ε/2，|A||Bn-B|＜ε/2，问题就解决了。这两个不等式等价于：|An-A|＜ε/(2|Bn|)，|Bn-B|＜ε/(2|A|),为了清晰起见，分母加了括号。|A|是个常数，已经没有问题，但|Bn|不是常数，于是根据收敛数列的有界性，即：|Bn|＜M，找到与n无关的正常数M。于是|An-A||Bn|<|An-A|M＜ε/2,后一个不等式等价于：|An-A|＜ε/(2M),这里已经假定M是正数，绝对值符号就不写了。这就是ε/(2M)的由来，而不是突然冒出来的。

证明中，快到最后的时候有一句话：由于不等式①②③，当n＞N时，我们有|An•Bn-AB|＜ε/2+ε/2=ε
其实仔细写来，应该是：
|An•Bn-AB|≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|<|An-A|M+|A||Bn-B|＜ε/(2M)•M+|A|•ε/(2|A|)=ε/2+ε/2=ε
第一个“≤”用了①，第二个“<”用了“|Bn|＜M ”，第三个“<”用了②③。

另外，如果limAn=A，一般得到|An-A|＜ε，肯定没有问题，如果写成|An-A|＜ε/2，空侍应该也要理解。证明中就强调“对于任意给定的ε＞0，无论怎样小”。这句话一定要充分理解，一个是“任意”，一个是“无论怎样小”。所以一定要理解“ε”是充分的小。因此，如果limAn=A，我们可以得到|An-A|＜ε，也可以得到|An-A|＜ε/2 或举前者 |An-A|＜2ε，甚至如果常数 a>0，我们同样可以得到|An-A|＜ε/a 或者 |An-A|＜aε。但是，一定要注意 a 与数列的下标 n 无关，是一般函数的话，务必和函数的自变量无关。证明中在引出常数“M”时，特别强调“存在一个与n无关的斗答吵正数M”。

其实如果我们最后得到：|An•Bn-AB|<ε'M+|A|•ε''也是可以的，这里的ε'是由limAn=A得到的，ε''是由limBn=B得到的。但这样一则不漂亮，二则还要说明“ε'M+|A|•ε''”也是充分小。与其都要说明，那就放在中间了，这样最后得到|An•Bn-AB|<ε，又漂亮又可以直接写：“这就是说，An•Bn的极限存在，且等于AB”了。

至于ε要不要找一个正常数与其相乘除，找怎样的正常数，就要看题目了。比如，上面的证明如果改成三个已知极限的乘积，或许就要用到ε/3了。给ε找一个正常数与其相乘除，是解这一类题目的“惯用伎俩”。

‘伍’ 数列求极限的方法总结

数列求极限的方法总结如下：

由定义求极限。

极限的本质一既是无限的过程,又有确定的结果一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论,另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证销肆其结果。然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值,因此由定义法求极限就有一定的局限性,不适合比较复杂的题。

利用函数的连续性茄凯求极限。

此方法简单易行，但不适合于f(x)在其定义区间内是不连续的函数,及f(x)在x处无定义的情况。

利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限。

极限四则运算法则的条件是充分而非必要的,因此,利用极限四则运算法则求函数极限时,必须对所给的函数逐一进行验证它是否亏纳轿满足极限四则运算法则条件。

满足条件者,方能利用极限四则运算法则进行求之,不满足条件者,不能直接利用极限四则运算法则求之。

但是,并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限,而是需将函数进行恒等变形,使其符合条件后,再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时,通常运用一些简单技巧如折项,分子分母同乘某一因子,变量替换,分子分母有理化等等。

利用两边夹定理求极限。

定理如果 XsZsY,而lim=limy=,则limZ=A。

两边夹定理运用的关键：适当选取两边的函数（或数列),并且使其极限为同一值。

注意：在运用两边夹定理要保证所求函数（或数列）通过放缩后所得的两边的函数（或数列）的极限是同一值否则不能用此方法求极限。

利用单调有界原理求极限。

单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。使用单调有界准则时需证明两个问题:一个是数列的单调性,第二个是数列的有界性。

求极限时,在等式的两边同时取极限,通过解方程求出合理的极限值，利用单调有界原理求极限有两个难点:一是证明数列的单调性,二是证明数列的有界性,在证明数列的单调性和数列的有界性时,我们通常都采用数学归纳法。

利用等价无穷小代换求极限。

在实际计算过程中利用等价无穷小代换法或与其它方法相结合,不失为一种行之有效的方法,但并非计算过程中所有的无穷小量都能用其等价的无穷小量来进行计算。用等价无穷小代换时,只能代换分子、分母中的乘积因子,而不能代换其中的加减法因子。

于是用等价无穷小代换的问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进行x的等价无穷小代换这一点上,在利用等价无穷小代换的方法求极限时,必须把分子(或分母)看作一个整体,用整个分子(或分母)的等价无穷小去代换。

利用泰勒展式求极限.

运用等价无穷小代换方法求某些极限,往往可以减少计算量,使问题得以简化,但一般说来,这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除的极限,而对两个无穷小量非乘或非除的极限,对于一些未能定函数极限形态的关系式,不能用必达法则及等价无穷小代换方法,须用泰公式去求极限。

‘陆’ 极限四则运算法则证明求解

具体回答如图：

极限四则运算法则的前提是两个极限存在，当有一个极限本身是不存在的，则不能用四则运算法则。

(6)数列极限运算法则证明扩展阅读：

设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有|xn+p-xn|<ε。

在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1，xN+2，...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足

‘柒’ 请问如何理解数列极限的乘法运算法则，如何证明

数列a1,a2,...,an,...有极限a，数列b1,b2,...,bn,...也有极限b
极限乘法运算律：lim(an*bn)=lim(an)*lim(bn)=a*b
证明：
anbn-ab=(an-a)(bn-b)+b(an-a)+a(bn-b)
对任意ε<3|ab|
n>n₁时，有|b||an-a|<ε/3
n>n₂时，有|a||bn-b|<ε/3
那么n>n=max(n₁,n₂)时，有|an-a||bn-b|<εε/|9ab|<ε/3,
所以同时还有|anbn-ab|<=|an-a||bn-b|+|b||an-a|+|a||bn-b|<ε/3+ε/3+ε/3<ε
得证