算法自己干

A. 做为一个初学者，如何才能学好算法呢，感觉自己很菜

凡事都讲究动机，你学习算法的目的是什么呢？目的不同，学法不同侧重不同。
如果你是准备跳槽，以面试为目的，可以先从cracking the coding interview入手，题目是按照链表，树图，递归这种章节安排的，每章都有题目，难度适中，第一遍自己写不出来很正常，画图分析，然后再做第二遍，第二遍就快很多，理解也深刻了，实在理解不了的算法，没办法，背吧，说不定到后面不知什么时候就理解了，所谓读书百遍，其意自现，算法也一样。
如果你是半路出家的程序员，看书觉得看不下去，可以试着看看视频，现在网络这么发达，网上有很多免费的精品视频，比如潭州教育老师的数据结构以及清华邓俊辉老师的数据结构都是特别好的课程。
最后一种就是你对算法理论和精髓确实感兴趣，且有一定的数学功底，你可以尝试研究下《算法导论》，甚至《计算机程序设计艺术》(反正我是看不下去）。
其实，无论出于哪种目学习算法，其实最重要的一点就是：多编程实践，多思考，这是废话，但这也是真理。

B. 算法对以后工作到底有何帮助

。。。。。。我是做信息学竞赛的，学算法，也没想过将来目标专业就定计算机了；
我觉得算法有益身心，虽然某方面很难理解，但是很锻炼思维，
同样的例子：学化学的人又不是以后一定做化学研究，学生物的人也一样，那他们学那些跟他们往后职业基本无关的东西干嘛呢？
学计算机的人未来不一定要做程序员，但是却一定要有相关的思维，它是一门应用科学，博大精深，与现代科技直接挂钩。其实现实中的搜索引擎、云计算、操作系统它们都是一代一代正在更新的算法，作为一个学计算机专业的人，就算以后是做系统分析与设计不做专门的程序，或者说做程序而不想做一个特别优秀的程序员。。。这个想法是错误的，没有什么学科或者说专业知识是避的了的，这是一门技术，一门几乎是想在1个小时内知道你思维如何、计算机语言功底如何的唯一方法，因为刚工作根本就没经验，拿什么证明自己?当然是响当当的技术！
算法是程序的灵魂，学进去以后其乐无穷啊。。。就算不做acm,你也会发现它大大地开拓了你的视野，与思维。如果你身边有做acm竞赛或者中学做信息奥林匹克noip竞赛的人，问问他们，他们肯定会给你更为贴切的答复。

总之。。。算法很有用，当然，功利一点，如果你不参加竞赛、只要求相关科目低空飞过也非常容易，因为在不是那么重视计算机专业的大学中，老师事实上对算法可能也是一知半解，这题出难了估计没接触过的人几乎都挂科。。所以只要听课。。不用担心算法挂科。。。但是很多事情都是这样，我们走每一步都是在为下一步埋伏笔，种瓜得瓜种豆得豆，很多事情根据兴趣来吧。。。实在学不来也不热爱憋着学也没意思，但是不要那么功利。

C. 算法如何刷题

1、原题
我自己感觉原题的概率还是挺大的，特别是剑指offer的66题更是如此。千万别小看这66题，这几十道题里面基本所有的算法类型都有包括在内，常用的数据结构，操作方式，常用算法思路都有不少的题。

如果真的能够充分理解这几十道题的最优解，我感觉其实已经形成基本的算法思维了。

另外，leetcode的原题也很常见，因为LC本身题量大，在里面出原题不是为了考倒你，而是检验你的刷题质量。

毕竟那些大公司面试官也不是傻子，知道你在面试前肯定会大规模刷题的。所以把刷过的题完全搞懂才是最重要的。

2、改编题
改编题就很显而易见了。改编题大多需要从基本的算法原理中找到处理的思维，然后结合实际题干进行性能优化，就能够搞定。

这里要记得一点的是，正常的算法考察不会故意刁难你（正常情况），也不会给过多的时间让你思考和敲代码。

所以遇到改编题不要想得太复杂，尽量要找到它的算法思维是什么。怎么说呢，透过现象看本质。我总结的改编题有以下几种思路：

1）新的数据结构，换汤不换药。比如最常见的排序算法的改编，原来是对数字进行排序，现在对链表排序等等。比较难一点的可能会遇到自定义的数据结构。但是算法本质不会变。

2）算法类型改编。

这里要说的就是一个比较大的范围，比如动态规划、贪心算法、递归、回溯和分治等等。这种是从算法大的类型上进行改编，很难用相同的套路去解题。

遇到这类题的关键就是要先弄明白算法核心。比如动态规划的状态方程，贪心算法的局部最优情况，递归回溯的边界判断，分治的子问题划分等等。这种类型的确比较难把握，怎么硕呢，每种类型的都来搞几道感觉感觉吧。

3）添加应用题背景。

这种题目看起来不难，但是难就难在对应用题背景的理解，需要去理解题意，然后考虑合适的数据结构和处理算法。这里面有数学建模的思维在里面，需要把一堆无用的信息剔除，筛选出有效的信息，然后才能选择正确的算法。

3、创新题
这类题考察的是你的扩展思维，如果说上面的题考查的是你的思维深度，这种题就是考察算法的广度。可能一看题目，完全没见过这种类型。但是算法本身其实不就是让计算机代替人脑进行高重复性的计算嘛。

首先你需要想到你应该去怎么算这个题，然后再换到计算机上，会发生什么问题（空间时间问题，运行效率，代码冗余等等），之后再想通过经典的算法原理来解决这些

1、题型分类
按照个人的习惯，喜欢按照一种类型狂刷，然后再刷另外一种类型。一般常见的算法类型可分为：

数组、链表

包含基本排序算法、二分查找、链表的一系列操作。

栈、队列、堆

利用栈、队列互相实现，堆的使用

二叉树与图

主要是遍历算法和节点的计算：
二叉树四种遍历方式、广度优先遍历（BFS）和广度优先遍历（DFS），节点到节点距离等等。

哈希表

使用标准库自带的模板或者函数就很简单了，一般会与其它数据结构相结合来提升时间复杂度。

字符串操作

字符串的操作也很多，本质上可以看作是数组的操作。另外字符串的一些匹配和寻求字串的算法还是非常具有思考价值的。KMP，马拉车等等。

递归

重点掌握边界判断条件。

回溯

重点掌握边界判断条件。

分治

重点掌握如何划分子问题。

动态规划

题太多了，可从一阶dp到二阶dp理解不同的状态方程。

贪心及其它

这个就很容易理解了，遇到贪心题应该要偷笑了。

2、高频热点多刷
这不多说了吧，Leetcode热题HOT 100。你值得拥有。

在不知道怎么刷的情况下，不如先刷起来。刷个题没那么多捷径，只有坚持刷起来了，才会形成自己的思维方式和学习习惯。

我建议是先按照类型刷，每个类型刷十几二十道。然后打混按照算法热度排序重新查漏补缺。

3、思路回顾
许多同学在一股脑刷了很多题之后，再看做过的题会发现忘了不少。可能大家都是这样的吧。我觉得是因为在刷题的时候过于心急，理解了大概就过了，或者类型做的太杂，没有留下印象。

我比较喜欢的方式是偶尔会重新看看曾经做过的题，就看题目然后想思路，再画一画步骤演进，没时间就不细敲了。这样可以增强一下思维记忆，之前理解过的东西，再回忆起来还是非常快的。

D. 关于动态规划算法，哪位可以讲一下自己心得体会

动态规划的特点及其应用
安徽 张辰
动态规划 阶段

动态规划是信息学竞赛中的常见算法，本文的主要内容就是分析它的特点。
文章的第一部分首先探究了动态规划的本质，因为动态规划的特点是由它的本质所决定的。第二部分从动态规划的设计和实现这两个角度分析了动态规划的多样性、模式性、技巧性这三个特点。第三部分将动态规划和递推、搜索、网络流这三个相关算法作了比较，从中探寻动态规划的一些更深层次的特点。
文章在分析动态规划的特点的同时，还根据这些特点分析了我们在解题中应该怎样利用这些特点，怎样运用动态规划。这对我们的解题实践有一定的指导意义。

动态规划是编程解题的一种重要的手段，在如今的信息学竞赛中被应用得越来越普遍。最近几年的信息学竞赛，不分大小，几乎每次都要考察到这方面的内容。因此，如何更深入地了解动态规划，从而更为有效地运用这个解题的有力武器，是一个值得深入研究的问题。
要掌握动态规划的应用技巧，就要了解它的各方面的特点。首要的，是要深入洞悉动态规划的本质。
§1动态规划的本质
动态规划是在本世纪50年代初，为了解决一类多阶段决策问题而诞生的。那么，什么样的问题被称作多阶段决策问题呢？
§1.1多阶段决策问题
说到多阶段决策问题，人们很容易举出下面这个例子。
[例1] 多段图中的最短路径问题：在下图中找出从A1到D1的最短路径。
仔细观察这个图不难发现，它有一个特点。我们将图中的点分为四类（图中的A、B、C、D），那么图中所有的边都处于相邻的两类点之间，并且都从前一类点指向后一类点。这样，图中的边就被分成了三类（AàB、BàC、CàD）。我们需要从每一类中选出一条边来，组成从A1到D1的一条路径，并且这条路径是所有这样的路径中的最短者。
从上面的这个例子中，我们可以大概地了解到什么是多阶段决策问题。更精确的定义如下：
多阶段决策过程，是指这样的一类特殊的活动过程，问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列[1]。要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。
从上述的定义中，我们可以明显地看出，这类问题有两个要素。一个是阶段，一个是决策。
§1.2阶段与状态
阶段：将所给问题的过程，按时间或空间特征分解成若干相互联系的阶段，以便按次序去求每阶段的解。常用字母k表示阶段变量。[1]
阶段是问题的属性。多阶段决策问题中通常存在着若干个阶段，如上面的例子，就有A、B、C、D这四个阶段。在一般情况下，阶段是和时间有关的；但是在很多问题（我的感觉，特别是信息学问题）中，阶段和时间是无关的。从阶段的定义中，可以看出阶段的两个特点，一是“相互联系”，二是“次序”。
阶段之间是怎样相互联系的？就是通过状态和状态转移。
状态：各阶段开始时的客观条件叫做状态。描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用sk表示第k阶段的状态变量，状态变量sk的取值集合称为状态集合，用Sk表示。[1]
状态是阶段的属性。每个阶段通常包含若干个状态，用以描述问题发展到这个阶段时所处在的一种客观情况。在上面的例子中，行人从出发点A1走过两个阶段之后，可能出现的情况有三种，即处于C1、C2或C3点。那么第三个阶段就有三个状态S3=。
每个阶段的状态都是由以前阶段的状态以某种方式“变化”而来，这种“变化”称为状态转移（暂不定义）。上例中C3点可以从B1点过来，也可以从B2点过来，从阶段2的B1或B2状态走到阶段3的C3状态就是状态转移。状态转移是导出状态的途径，也是联系各阶段的途径。
说到这里，可以提出应用动态规划的一个重要条件。那就是将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的发展，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是“过去历史的一个完整总结[1]”。这就是无后效性。对这个性质，下文还将会有解释。
§1.3决策和策略
上面的阶段与状态只是多阶段决策问题的一个方面的要素，下面是另一个方面的要素——决策。
决策：当各段的状态取定以后，就可以做出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。表示决策的变量，称为决策变量，常用uk(sk)表示第k阶段当状态为sk时的决策变量。在实际问题中，决策变量的取值往往限制在一定范围内，我们称此范围为允许决策集合。常用Dk(sk)表示第k阶段从状态sk出发的允许决策集合。显然有uk(sk) ?Dk(sk)。[1]
决策是问题的解的属性。决策的目的就是“确定下一阶段的状态”，还是回到上例，从阶段2的B1状态出发有三条路，也就是三个决策，分别导向阶段3的C1、C2、C3三个状态，即D2(B1)=。
有了决策，我们可以定义状态转移：动态规划中本阶段的状态往往是上一阶段和上一阶段的决策结果，由第k段的状态sk和本阶段的决策uk确定第k+1段的状态sk+1的过程叫状态转移。状态转移规律的形式化表示sk+1=Tk(sk,uk)称为状态转移方程。
这样看来，似乎决策和状态转移有着某种联系。我的理解，状态转移是决策的目的，决策是状态转移的途径。
各段决策确定后，整个问题的决策序列就构成一个策略，用p1,n=表示。对每个实际问题，可供选择的策略有一定范围，称为允许策略集合，记作P1,n，使整个问题达到最有效果的策略就是最优策略。[1]
说到这里，又可以提出运用动态规划的一个前提。即这个过程的最优策略应具有这样的性质：无论初始状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应构成最优策略[1]。这就是最优化原理。简言之，就是“最优策略的子策略也是最优策略”。
§1.4最优化原理与无后效性
这里，我把最优化原理定位在“运用动态规划的前提”。这是因为，是否符合最优化原理是一个问题的本质特征。对于不满足最优化原理的一个多阶段决策问题，整体上的最优策略p1,n同任何一个阶段k上的决策uk或任何一组阶段k1…k2上的子策略pk1,k2都不存在任何关系。如果要对这样的问题动态规划的话，我们从一开始所作的划分阶段等努力都将是徒劳的。
而我把无后效性定位在“应用动态规划的条件”，是因为动态规划是按次序去求每阶段的解，如果一个问题有后效性，那么这样的次序便是不合理的。但是，我们可以通过重新划分阶段，重新选定状态，或者增加状态变量的个数等手段，来是问题满足无后效性这个条件。说到底，还是要确定一个“序”。
在信息学的多阶段决策问题中，绝大部分都是能够满足最优化原理的，但它们往往会在后效性这一点上来设置障碍。所以在解题过程中，我们会特别关心“序”。对于有序的问题，就会考虑到动态规划；对于无序的问题，也会想方设法来使其有序。
§1.5最优指标函数和规划方程
最优指标函数：用于衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数，最优指标函数记为fk(sk)，它表示从第k段状态sk采用最优策略p*k,n到过程终止时的最佳效益值[1]。
最优指标函数其实就是我们真正关心的问题的解。在上面的例子中，f2(B1)就表示从B1点到终点D1点的最短路径长度。我们求解的最终目标就是f1(A1)。
最优指标函数的求法一般是一个从目标状态出发的递推公式，称为规划方程：

其中sk是第k段的某个状态，uk是从sk出发的允许决策集合Dk(sk)中的一个决策，Tk(sk,uk)是由sk和uk所导出的第k+1段的某个状态sk+1，g(x,uk)是定义在数值x和决策uk上的一个函数，而函数opt表示最优化，根据具体问题分别表为max或min。
，称为边界条件。
上例中的规划方程就是：

边界条件为
这里是一种从目标状态往回推的逆序求法，适用于目标状态确定的问题。在我们的信息学问题中，也有很多有着确定的初始状态。当然，对于初始状态确定的问题，我们也可以采用从初始状态出发往前推的顺序求法。事实上，这种方法对我们来说要更为直观、更易设计一些，从而更多地出现在我们的解题过程中。
我们本节所讨论的这些理论虽然不是本文的主旨，但是却对下面要说的动态规划的特点起着基础性的作用。
§2动态规划的设计与实现
上面我们讨论了动态规划的一些理论，本节我们将通过几个例子中，动态规划的设计与实现，来了解动态规划的一些特点。
§2.1动态规划的多样性
[例2] 花店橱窗布置问题（IOI99）试题见附录
本题虽然是本届IOI中较为简单的一题，但其中大有文章可作。说它简单，是因为它有序，因此我们一眼便可看出这题应该用动态规划来解决。但是，如何动态规划呢？如何划分阶段，又如何选择状态呢？
<方法1>以花束的数目来划分阶段。在这里，阶段变量k表示的就是要布置的花束数目（前k束花），状态变量sk表示第k束花所在的花瓶。而对于每一个状态sk，决策就是第k-1束花应该放在哪个花瓶，用uk表示。最优指标函数fk(sk)表示前k束花，其中第k束插在第sk个花瓶中，所能取得的最大美学值。
状态转移方程为
规划方程为
（其中A(i,j)是花束i插在花瓶j中的美学值）
边界条件 （V是花瓶总数，事实上这是一个虚拟的边界）
<方法2>以花瓶的数目来划分阶段。在这里阶段变量k表示的是要占用的花瓶数目（前k个花瓶），状态变量sk表示前k个花瓶中放了多少花。而对于任意一个状态sk，决策就是第sk束花是否放在第k个花瓶中，用变量uk=1或0来表示。最优指标函数fk(sk)表示前k个花瓶中插了sk束花，所能取得的最大美学值。
状态转移方程为
规划方程为
边界条件为
两种划分阶段的方法，引出了两种状态表示法，两种规划方式，但是却都成功地解决了问题。只不过因为决策的选择有多有少，所以算法的时间复杂度也就不同。[2]
这个例子具有很大的普遍性。有很多的多阶段决策问题都有着不止一种的阶段划分方法，因而往往就有不止一种的规划方法。有时各种方法所产生的效果是差不多的，但更多的时候，就像我们的例子一样，两种方法会在某个方面有些区别。
所以，在用动态规划解题的时候，可以多想一想是否有其它的解法。对于不同的解法，要注意比较，好的算法好在哪里，差一点的算法差在哪里。从各种不同算法的比较中，我们可以更深刻地领会动态规划的构思技巧。
§2.2动态规划的模式性
这个可能做过动态规划的人都有体会，从我们上面对动态规划的分析也可以看出来。动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。
划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。注意这若干个阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。
选择状态：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。
确定决策并写出状态转移方程：之所以把这两步放在一起，是因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以，如果我们确定了决策，状态转移方程也就写出来了。但事实上，我们常常是反过来做，根据相邻两段的各状态之间的关系来确定决策。
写出规划方程（包括边界条件）：在第一部分中，我们已经给出了规划方程的通用形式化表达式。一般说来，只要阶段、状态、决策和状态转移确定了，这一步还是比较简单的。
动态规划的主要难点在于理论上的设计，一旦设计完成，实现部分就会非常简单。大体上的框架如下：
对f1(s1)初始化（边界条件）
for k?2 to n（这里以顺序求解为例）
对每一个sk?Sk
fk(sk)?一个极值（∞或－∞）
对每一个uk(sk)?Dk(sk)
sk-1?Tk(sk,uk)
t?g(fk-1(sk-1),uk)
y t比fk(sk)更优 n
fk(sk)?t
输出fn(sn)
这个N-S图虽然不能代表全部，但足可以概括大多数。少数的一些特殊的动态规划，其实现的原理也是类似，可以类比出来。我们到现在对动态规划的分析，主要是在理论上、设计上，原因也就在此。
掌握了动态规划的模式性，我们在用动态规划解题时就可以把主要的精力放在理论上的设计。一旦设计成熟，问题也就基本上解决了。而且在设计算法时也可以按部就班地来。
但是“物极必反”，太过拘泥于模式就会限制我们的思维，扼杀优良算法思想的产生。我们在解题时，不妨发挥一下创造性，去突破动态规划的实现模式，这样往往会收到意想不到的效果。[3]
§2.3动态规划的技巧性
上面我们所说的动态规划的模式性，主要指的是实现方面。而在设计方面，虽然它较为严格的步骤性，但是它的设计思想却是没有一定的规律可循的。这就需要我们不断地在实践当中去掌握动态规划的技巧，下面仅就一个例子谈一点我自己的体会。
[例3] 街道问题：在下图中找出从左下角到右上角的最短路径，每步只能向右方或上方走。
这是一道简单而又典型的动态规划题，许多介绍动态规划的书与文章中都拿它来做例子。通常，书上的解答是这样的：

按照图中的虚线来划分阶段，即阶段变量k表示走过的步数，而状态变量sk表示当前处于这一阶段上的哪一点（各点所对应的阶段和状态已经用ks在地图上标明）。这时的模型实际上已经转化成了一个特殊的多段图。用决策变量uk=0表示向右走，uk=1表示向上走，则状态转移方程如下：

（这里的row是地图竖直方向的行数）
我们看到，这个状态转移方程需要根据k的取值分两种情况讨论，显得非常麻烦。相应的，把它代入规划方程而付诸实现时，算法也很繁。因而我们在实现时，一般是不会这么做的，而代之以下面方法：
将地图中的点规则地编号如上，得到的规划方程如下：

（这里Distance表示相邻两点间的边长）
这样做确实要比上面的方法简单多了，但是它已经破坏了动态规划的本来面目，而不存在明确的阶段特征了。如果说这种方法是以地图中的行（A、B、C、D）来划分阶段的话，那么它的“状态转移”就不全是在两个阶段之间进行的了。
也许这没什么大不了的，因为实践比理论更有说服力。但是，如果我们把题目扩展一下：在地图中找出从左下角到右上角的两条路径，两条路径中的任何一条边都不能重叠，并且要求两条路径的总长度最短。这时，再用这种“简单”的方法就不太好办了。
如果非得套用这种方法的话，则最优指标函数就需要有四维的下标，并且难以处理两条路径“不能重叠”的问题。
而我们回到原先“标准”的动态规划法，就会发现这个问题很好解决，只需要加一维状态变量就成了。即用sk=(ak,bk)分别表示两条路径走到阶段k时所处的位置，相应的，决策变量也增加一维，用uk=(xk,yk)分别表示两条路径的行走方向。状态转移时将两条路径分别考虑：

在写规划方程时，只要对两条路径走到同一个点的情况稍微处理一下，减少可选的决策个数：

从这个例子中可以总结出设计动态规划算法的一个技巧：状态转移一般是在相邻的两个阶段之间（有时也可以在不相邻的两个阶段间），但是尽量不要在同一个阶段内进行。
动态规划是一种很灵活的解题方法，在动态规划算法的设计中，类似的技巧还有很多。要掌握动态规划的技巧，有两条途径：一是要深刻理解动态规划的本质，这也是我们为什么一开始就探讨它的本质的原因；二是要多实践，不但要多解题，还要学会从解题中探寻规律，总结技巧。
§3动态规划与一些算法的比较
动态规划作为诸多解题方法中的一种，必然和其他一些算法有着诸多联系。从这些联系中，我们也可以看出动态规划的一些特点。
§3.1动态规划与递推
——动态规划是最优化算法
由于动态规划的“名气”如此之大，以至于很多人甚至一些资料书上都往往把一种与动态规划十分相似的算法，当作是动态规划。这种算法就是递推。实际上，这两种算法还是很容易区分的。
按解题的目标来分，信息学试题主要分四类：判定性问题、构造性问题、计数问题和最优化问题。我们在竞赛中碰到的大多是最优化问题，而动态规划正是解决最优化问题的有力武器，因此动态规划在竞赛中的地位日益提高。而递推法在处理判定性问题和计数问题方面也是一把利器。下面分别就两个例子，谈一下递推法和动态规划在这两个方面的联系。
[例4] mod 4 最优路径问题：在下图中找出从第1点到第4点的一条路径，要求路径长度mod 4的余数最小。
这个图是一个多段图，而且是一个特殊的多段图。虽然这个图的形式比一般的多段图要简单，但是这个最优路径问题却不能用动态规划来做。因为一条从第1点到第4点的最优路径，在它走到第2点、第3点时，路径长度mod 4的余数不一定是最小，也就是说最优策略的子策略不一定最优——这个问题不满足最优化原理。
但是我们可以把它转换成判定性问题，用递推法来解决。判断从第1点到第k点的长度mod 4为sk的路径是否存在，用fk(sk)来表示，则递推公式如下：
（边界条件）

（这里lenk,i表示从第k-1点到第k点之间的第i条边的长度，方括号表示“或(or)”运算）
最后的结果就是可以使f4(s4)值为真的最小的s4值。
这个递推法的递推公式和动态规划的规划方程非常相似，我们在这里借用了动态规划的符号也就是为了更清楚地显示这一点。其实它们的思想也是非常相像的，可以说是递推法借用了动态规划的思想解决了动态规划不能解决的问题。
有的多阶段决策问题（像这一题的阶段特征就很明显），由于不能满足最优化原理等使用动态规划的先决条件，而无法应用动态规划。在这时可以将最优指标函数的值当作“状态”放到下标中去，从而变最优化问题为判定性问题，再借用动态规划的思想，用递推法来解决问题。
§3.2动态规划与搜索
——动态规划是高效率、高消费算法
同样是解决最优化问题，有的题目我们采用动态规划，而有的题目我们则需要用搜索。这其中有没有什么规则呢？
我们知道，撇开时空效率的因素不谈，在解决最优化问题的算法中，搜索可以说是“万能”的。所以动态规划可以解决的问题，搜索也一定可以解决。
把一个动态规划算法改写成搜索是非常方便的，状态转移方程、规划方程以及边界条件都可以直接“移植”，所不同的只是求解顺序。动态规划是自底向上的递推求解，而搜索则是自顶向下的递归求解（这里指深度搜索，宽度搜索类似）。
反过来，我们也可以把搜索算法改写成动态规划。状态空间搜索实际上是对隐式图中的点进行枚举，这种枚举是自顶向下的。如果把枚举的顺序反过来，变成自底向上，那么就成了动态规划。（当然这里有个条件，即隐式图中的点是可排序的，详见下一节。）
正因为动态规划和搜索有着求解顺序上的不同，这也造成了它们时间效率上的差别。在搜索中，往往会出现下面的情况：
对于上图(a)这样几个状态构成的一个隐式图，用搜索算法就会出现重复，如上图(b)所示，状态C2被搜索了两次。在深度搜索中，这样的重复会引起以C2为根整个的整个子搜索树的重复搜索；在宽度搜索中，虽然这样的重复可以立即被排除，但是其时间代价也是不小的。而动态规划就没有这个问题，如上图(c)所示。
一般说来，动态规划算法在时间效率上的优势是搜索无法比拟的。（当然对于某些题目，根本不会出现状态的重复，这样搜索和动态规划的速度就没有差别了。）而从理论上讲，任何拓扑有序（现实中这个条件常常可以满足）的隐式图中的搜索算法都可以改写成动态规划。但事实上，在很多情况下我们仍然不得不采用搜索算法。那么，动态规划算法在实现上还有什么障碍吗？
考虑上图(a)所示的隐式图，其中存在两个从初始状态无法达到的状态。在搜索算法中，这样的两个状态就不被考虑了，如上图(b)所示。但是动态规划由于是自底向上求解，所以就无法估计到这一点，因而遍历了全部的状态，如上图(c)所示。
一般说来，动态规划总要遍历所有的状态，而搜索可以排除一些无效状态。更重要的事搜索还可以剪枝，可能剪去大量不必要的状态，因此在空间开销上往往比动态规划要低很多。
如何协调好动态规划的高效率与高消费之间的矛盾呢？有一种折衷的办法就是记忆化算法。记忆化算法在求解的时候还是按着自顶向下的顺序，但是每求解一个状态，就将它的解保存下来，以后再次遇到这个状态的时候，就不必重新求解了。这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优点，因而还是很有实用价值的。
§3.3动态规划与网络流
——动态规划是易设计易实现算法
由于图的关系复杂而无序，一般难以呈现阶段特征（除了特殊的图如多段图，或特殊的分段方法如Floyd），因此动态规划在图论中的应用不多。但有一类图，它的点却是有序的，这就是有向无环图。
在有向无环图中，我们可以对点进行拓扑排序，使其体现出有序的特征，从而据此划分阶段。在有向无还图中求最短路径的算法[4]，已经体现出了简单的动态规划思想。但动态规划在图论中还有更有价值的应用。下面先看一个例子。
[例6] N个人的街道问题：在街道问题（参见例3）中，若有N个人要从左下角走向右上角，要求他们走过的边的总长度最大。当然，这里每个人也只能向右或向上走。下面是一个样例，左图是从出发地到目的地的三条路径，右图是他们所走过的边，这些边的总长度为5 + 4 + 3 + 6 + 3 + 3 + 5 + 8 + 8 + 7 + 4 + 5 + 9 + 5 + 3 = 78（不一定是最大）。
这个题目是对街道问题的又一次扩展。仿照街道问题的解题方法，我们仍然可以用动态规划来解决本题。不过这一次是N个人同时走，状态变量也就需要用N维来表示，。相应的，决策变量也要变成N维，uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)。状态转移方程不需要做什么改动：

在写规划方程时，需要注意在第k阶段，N条路径所走过的边的总长度的计算，在这里我就用gk(sk,uk)来表示了：

边界条件为
可见将原来的动态规划算法移植到这个问题上来，在理论上还是完全可行的。但是，现在的这个动态规划算法的时空复杂度已经是关于N的指数函数，只要N稍微大一点，这个算法就不可能实现了。
下面我们换一个思路，将N条路径看成是网络中一个流量为N的流，这样求解的目标就是使这个流的费用最大。但是本题又不同于一般的费用流问题，在每一条边e上的流费用并不是流量和边权的乘积 ，而是用下式计算：

为了使经典的费用流算法适用于本题，我们需要将模型稍微转化一下：
如图，将每条边拆成两条。拆开后一条边上有权，但是容量限制为1；另一条边没有容量限制，但是流过这条边就不能计算费用了。这样我们就把问题转化成了一个标准的最大费用固定流问题。
这个算法可以套用经典的最小费用最大流算法，在此就不细说了。（参见附录中的源程序）
这个例题是我仿照IOI97的“障碍物探测器”一题[6]编出来的。“障碍物探测器”比这一题要复杂一些，但是基本思想是相似的。类似的题目还有99年冬令营的“迷宫改造”[7]。从这些题目中都可以看到动态规划和网络流的联系。
推广到一般情况，任何有向无环图中的费用流问题在理论上说，都可以用动态规划来解决。对于流量为N（如果流量不固定，这个N需要事先求出来）的费用流问题，用N维的变量sk=(sk,1,sk,2,…,sk,N)来描述状态，其中sk,i?V(1￡i￡N)。相应的，决策也用N维的变量uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)来表示，其中uk,i?E(sk,i)(1￡i￡N)，E(v)表示指向v的弧集。则状态转移方程可以这样表示：
sk-1,i = uk,i的弧尾结点
规划方程为
边界条件为
但是，由于动态规划算法是指数级算法，因而在实现中的局限性很大，仅可用于一些N非常小的题目。然而在竞赛解题中，比如上面说到的IOI97以及99冬令营测试时，我们使用动态规划的倾向性很明显（“障碍物探测器”中，我们用的是贪心策略，求N=1或N=2时的局部最优解[8]）。这主要有两个原因：
一． 虽然网络流有着经典的算法，但是在竞赛中不可能出现经典的问题。如果要运用网络流算法，则需要经过一番模型转化，有时这个转化还是相当困难的。因此在算法的设计上，灵活巧妙的动态规划算法反而要更为简单一些。
二． 网络流算法实现起来很繁，这是被人们公认的。因而在竞赛的紧张环境中，实现起来有一定模式的动态规划算法又多了一层优势。
正由于动态规划算法在设计和实现上的简便性，所以在N不太大时，也就是在动态规划可行的情况下，我们还是应该尽量运用动态规划。
§4结语
本文的内容比较杂，是我几年来对动态规划的参悟理解、心得体会。虽然主要的篇幅讲的都是理论，但是根本的目的还是指导实践。
动态规划，据我认为，是当今信息学竞赛中最灵活、也最能体现解题者水平的一类解题方法。本文内容虽多，不能涵盖动态规划之万一。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”要想真正领悟、理解动态规划的思想，掌握动态规划的解题技巧，还需要在实践中不断地挖掘、探索。实践得多了，也就能体会到渐入佳境之妙了。
动态规划，
算法之常，
运用之妙，
存乎一心。

E. 算法工程师是做什么的

算法工程师是一个非常高端的职位；是非常紧缺的专业工程师，兼具前途和钱途！

专业要求：计算机、电子、通信、数学等相关专业；
学历要求：本科及其以上的学历，大多数是硕士学历及其以上；
语言要求：英语要求是熟练，基本上能阅读国外专业书刊；
必须掌握计算机相关知识，熟练使用仿真工具MATLAB等，必须会一门编程语言。

目前国内从事算法研究的工程师不少，但是高级算法工程师却很少，是一个非常紧缺的专业工程师。算法工程师根据研究领域来分主要有音频/视频算法处理、图像技术方面的二维信息算法处理和通信物理层、雷达信号处理、生物医学信号处理等领域的一维信息算法处理。
在计算机音视频和图形图形图像技术等二维信息算法处理方面目前比较先进的视频处理算法：机器视觉成为此类算法研究的核心；另外还有2D转3D算法(2D-to-3D conversion)，去隔行算法(de-interlacing)，运动估计运动补偿算法(Motion estimation/Motion Compensation)，去噪算法(Noise Rection)，缩放算法(scaling)，锐化处理算法(Sharpness)，超分辨率算法(Super Resolution),手势识别(gesture recognition),人脸识别(face recognition)。
在通信物理层等一维信息领域目前常用的算法：无线领域的RRM、RTT，传送领域的调制解调、信道均衡、信号检测、网络优化、信号分解等。
另外数据挖掘、互联网搜索算法也成为当今的热门方向。
算法工程师逐渐往人工智能方向发展。

F. 都快2021年了，算法岗位应该怎样准备面试

说到算法岗位，现在网上的第一反应可能就是内卷，算法岗位也号称是内卷最严重的岗位。针对这个问题，其实之前我也有写过相关的文章。这个岗位竞争激烈不假，但我个人觉得称作内卷有些过了。就我个人的感觉，这几年的一个大趋势是从迷茫走向清晰。

早在2015年我在阿里妈妈实习的时候，那个时候我觉得其实对于算法工程师这个岗位的招聘要求甚至包括工作内容其实业内是没有一个统一的标准的。可以认为包括各大公司其实对这个岗位具体的工作内容以及需要的候选人的能力要求都不太一致，不同的面试官有不同的风格，也有不同的标准。

我举几个例子，第一个例子是我当初实习面试的时候，因为是本科生，的确对机器学习这个领域了解非常非常少，可以说是几乎没有。但是我依然通过了，通过的原因也很简单，因为有acm的获奖背景，面试的过程当中主要也都是一些算法题，都还算是答得不错。但是在交叉面试的时候，一位另一个部门的总监就问我有没有这块的经验？我很明确地说了，没有，但是我愿意学。

接着他告诉我，算法工程师的工作内容主要和机器学习相关，因此机器学习是基本的。当时我就觉得我凉了，然而很意外地是还是通过了面试。

核心能力

由于我已经很久没有接触校招了，所以也很难说校招面试应该怎么样准备，只能说说如果是我来招聘，我会喜欢什么样的学生。也可以理解成我理解的一个合格优秀的算法工程师应该有的能力。

模型理解

算法工程师和模型打交道，那么理解模型是必须的。其实不用说每一个模型都精通，这没有必要，面试的时候问的模型也不一定用得到。但更多地是看重这个人在学习的时候的习惯，他是浅尝辄止呢，还是会刨根究底，究竟能够学到怎样的地步。

在实际的工作当中我们可能会面临各种各样的情况，比如说新加了特征但是没有效果，比如升级了模型效果反而变差了等等，这些情况都是有可能发生的。当我们遇到这些情况之后，需要我们根据已知的信息来推理和猜测导致的原因从而针对性的采取相应的手段。因此这就需要我们对当前的模型有比较深入地了解，否则推导原因做出改进也就无从谈起。

所以面试的时候问起哪个模型都不重要，重要的是你能不能体现出你有过深入的研究和理解。

数据分析

算法工程师一直和数据打交道，那么分析数据、清洗数据、做数据的能力也必不可少。说起来简单的数据分析，这当中其实牵扯很多，简单来说至少有两个关键点。

第一个关键点是处理数据的能力，比如SQL、hive、spark、MapRece这些常用的数据处理的工具会不会，会多少？是一个都不会呢，还是至少会一点。由于各个公司的技术栈不同，一般不会抱着候选人必须刚好会和我们一样的期待去招人，但是候选人如果一无所知肯定也是不行的。由于学生时代其实很少接触这种实践的内容，很多人对这些都一无所知，如果你会一两个，其实就是加分项。

第二个关键点是对数据的理解力，举个简单的例子，比如说现在的样本训练了模型之后效果不好，我们要分析它的原因，你该怎么下手？这个问题日常当中经常遇到，也非常考验算法工程师对数据的分析能力以及他的经验。数据是水，模型是船，我们要把船驶向远方，只懂船只构造是不行的，还需要对水文、天象也有了解。这样才能从数据当中捕捉到trick，对一些现象有更深入的看法和理解。

工程能力

虽然是算法工程师，但是并不代表工程能力不重要，相反工程能力也很重要。当然这往往不会成为招聘的硬性指标， 比如考察你之前做过什么工程项目之类的。但是会在你的代码测试环节有所体现，你的代码风格，你的编码能力都是你面试的考察点之一。

并不只是在面试当中如此，在实际工作当中，工程能力也很关键。往小了说可以开发一些工具、脚本方便自己或者是团队当中其他人的日常工作，往大了说，你也可以成为团队当中的开发担当，负责其团队当中最工程的工作。比如说复现一篇paper，或者是从头撸一个模型。这其实也是一种差异化竞争的手段，你合理地负担起别人负担不了的工作，那么自然就会成为你的业绩。

时代在变化，行业在发展，如今的校招会问些什么早已经和当年不同了。但不管怎么说，这个岗位以及面试官对于人才的核心诉求几乎是没有变过的，我们从核心出发去构建简历、准备面试，相信一定可以有所收获。