ecc加密算法源码

❶ 非对称加密之ECC椭圆曲线（go语言实践）

椭圆曲线密码学(英语:Elliptic curve cryptography，缩写为 ECC)，一种建立公开密钥加密的算法，基于椭圆曲线数学。椭圆曲线在密码学中的使用是在1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。

ECC的主要优势是在某些情况下它比其他的方法使用更小的密钥——比如RSA加密算法——提供相当的或更高等级的安全。

椭圆曲线密码学的许多形式有稍微的不同，所有的都依赖于被广泛承认的解决椭圆曲线离散对数问题的 困难性上。与传统的基于大质数因子分解困难性的加密方法不同，ECC通过椭圆曲线方程式的性质产生密钥。

ECC 164位的密钥产生的一个安全级相当于RSA 1024位密钥提供的保密强度，而且计算量较小，处理速度 更快，存储空间和传输带宽占用较少。目前我国 居民二代身份证 正在使用 256 位的椭圆曲线密码，虚拟 货币 比特币 也选择ECC作为加密算法。

具体算法详解参考:

❷ java ecc加密

java ecc加密是什么，让困毕我们一起了解一下：

ecc是椭圆曲线密码，利用椭圆曲线来实现的密码技术的统称，java中ecc加密通过使用JPBC库调用ECC椭圆曲线加解密算法，能够编写简单的实验代码进行正确的ECC加密和解密。

为什么使用椭圆曲线加密算法？

RSA的解决分解整数问题需要亚指数时间复杂度的算法，而目前已知计算椭圆曲线离散对数问题(ECDLP)的最好方法都需汪者芹要全指嫌衫数时间复杂度。这意味着在椭圆曲线系统中我们只需要使用相对于RSA 短得多的密钥就可以达到与其相同的安全强度。

例如，一般认为160比特的椭圆曲线密钥提供的安全强度与1024比特RSA密钥相当。使用短的密钥的好处在于加解密速度快、节省能源、节省带宽、存储空间。

比特币以及中国的二代身份证都使用了256 比特的椭圆曲线密码算法。

ecc算法的过程是怎样的？

1、公私钥生成：

Alice首先构造一条椭圆曲线 E E E，在曲线上选择一点 G G G作为生成元，并求 G G G的阶为 n n n，要求 n n n必须为质数。

Alice选择一个私钥 k ( k < n ) k (k < n) k(k

❸ ECC椭圆曲线加密算法(一)

btc address:
eth address:

随着区块链的大热，椭圆曲线算法也成了密码学的热门话题。在Bitcoin 生成地址 中使用到了椭圆曲线加密算法。

椭圆曲线的一般表现形式：

椭圆曲线其实不是椭圆形的，而是下面的图形：

Bitcoin使用了 secp256k1 这条特殊的椭圆曲线，公式是：

这个东西怎么加密的呢？

19世纪挪威青年 尼尔斯·阿贝尔 从普通的代数运算中，抽象出了加群（也叫阿贝尔群或交换群），使得在加群中，实数的算法和椭圆曲线的算法得到了统一。是什么意思呢？

我们在实数中，使用的加减乘除，同样可以用在椭圆曲线中！
对的，椭圆曲线也可以有加法、乘法运算。

数学中的群是一个集合，我们为它定义了一个二元运算，我们称之为“加法”，并用符号 + 表示。假定我们要操作的群用𝔾表示，要定义的 加法 必须遵循以下四个特性：

如果在增加第5个条件：
交换律：a + b = b + a

那么，称这个群为阿贝尔群。根据这个定义整数集是个阿贝尔群。

岔开一下话题， 伽罗瓦 与 阿贝尔 分别独立的提出了群论，他们并称为现代群论的创始人，可惜两位天才都是英年早逝。

如上文所说，我们可以基于椭圆曲线定义一个群。具体地说：

在椭圆曲线上有 不重合且不对称的 A 、B两点，两点与曲线相交于X点, X与 x轴 的对称点为R，R即为 A+B 的结果。这就是椭圆曲线的加法定义。

因为椭圆曲线方程存在 项，因此椭圆曲线必然关于x轴对称

曲线： ，
坐标：A=(2,5)，B=(3,7)
A、B正好在曲线上，因为坐标满足曲线公式


那如何找到相交的第三个点呢？

通过 A、B两点确定直线方程，
设直线方程： ，m为直线的斜率

进一步得到c=1。

联立方程：

X(-1,-1)的x坐标-1代入方式正好满足方程，所以A、B两点所在直线与曲线相交于 X(-1,-1)，则点X的关于x轴的对称点为R(-1,1)，即A(2,5)+B(3,5)=R(-1,1)。

根据椭圆曲线的 群律(GROUP LAW) 公式，我们可以方便的计算R点。

曲线方程：
当A=(x1,y1)，B=(x2,y2) ，R=A+B=(x3,y3)，x1≠x2时,
， m是斜率
x3=
y3=m(x1-x3)-y1

A=(2,5), B=(3,7) , R=(-1,1) 符合上面的公式。

椭圆曲线加法符合交换律么？

先计算(A+B)，在计算 A+B+C

先计算B+C， 在计算 B+C+A

看图像，计算结果相同，大家手动算下吧。

那 A + A 呢， 怎么计算呢？

当两点重合时候，无法画出 “过两点的直线”，在这种情况下，
过A点做椭圆曲线的切线，交于X点，X点关于 x轴 的对称点即为 2A ，这样的计算称为 “椭圆曲线上的二倍运算”。

下图即为椭圆曲线乘法运算：

我们将在 ECC椭圆曲线加密算法(二) 介绍有限域，椭圆曲线的离散对数问题，椭圆曲线加密就是应用了离散对数问题。

参考：

https://eng.paxos.com/blockchain-101-foundational-math
https://eng.paxos.com/blockchain-101-elliptic-curve-cryptography
https://andrea.corbellini.name/2015/05/17/elliptic-curve-cryptography-a-gentle-introction/

❹ 椭圆曲线密码学ECC简介及与RSA对比

《货币的非国家化键纤棚》
奥派经济学（哈耶克 奥地利） —— 自由经济学

多种货币，自由竞争
价值最稳定的币胜出

原理： 基于整数竖茄分解问题。
优势： 两个大素稿则数的乘积，反向求解问题，较为简单
劣势： 性能差。需要设置很长的密钥才能保证算法- 安全，密钥越长运算效率越低。
矛盾： 因计算机算力提升，需更长的密钥来防止被攻击。但移动设备加解密需更短的密钥来保证通信效率，存在矛盾问题。

椭圆曲线密码学ECC（下一代公开密钥加密算法 ）

原理： 椭圆曲线、离散对数，比RSA复杂得多
优势： 性能更好
劣势： 复杂
缺陷：

总结新一代的公开秘钥加密技术ECC：
优势： 高效
劣势： 复杂、后门问题、专利问题

来源

❺ 什么是RSA和ECC算法

RSA(Rivest-Shamir-Adleman)加密算法：它是第 一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。比较易于理解和操作，是高强度非对称加密系统，密钥长度少则512位，多则2048位，非常难破解，安全系数是非常高的。ECC(Elliptic Curve Cryptosystems )加密算法：椭圆曲线密码体制，它同样也是在数据位上额外的位存储一个用数据加密的代码。椭圆曲线其实可能比RSA更复杂。国内的老品牌CA机构-天威诚信，旗下的vTrus SSL证书，该证书支持 SHA256 with RSA 2048 算法/ECC 256 算法。

❻ 椭圆曲线加密（ECC）核心算法的简明介绍

网上对于椭圆曲线加密过程的介绍过于繁琐，对于只想了解加密如何进行的人来说浪费时间，所以我这里只对关键计算步骤进行介绍，略去椭圆曲线的相关原理（网络一搜一大把）。

最最关键且基本只用到的是 Ep(a,b)的加法

对与椭圆曲线y^2 = x^3+ax+b(mod p) ：

两点P(x1,y1) Q(x2,y2),P≠-Q,则P+Q=(x3,y3)由以下算法定义：

实际通信流程如下：

再对点M进行解码就可以得到明文。上述流程中的加法即为Ep(a,b)的加法。

这个算法实际是基于已知kG难解k实现的，简单清晰。

❼ 椭圆曲线加密算法原理

椭圆曲线加密算法，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密毁核算法。

相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全，RSA加密算法也是纯扰一种非对称加密算法，在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位做余旦RSA加密（有待考证）。

椭圆曲线也可以有运算，像实数的加减乘除一样，这就需要使用到加群。19世纪挪威的尼尔斯·阿贝尔抽象出了加群（又叫阿贝尔群或交换群）。数学中的群是一个集合，我们为它定义了一个“加法”，并用符号+表示。假定群用 表示，则加法必须遵循以下四个特性：

• 封闭性：如果a和b都是 的成员，那么a+b也是 的成员；

• 结合律：(a + b) + c = a + (b + c);

• 单位元：a+0=0+a=a，0就是单位元；

• 逆元：对于任意值a必定存在b，使得a+b=0。

如果再增加一个条件，交换律：a + b = b + a，则称这个群为阿贝尔群，根据这个定义整数集是个阿贝尔群。

❽ 椭圆曲线ECC加密算法入门介绍（四）

五、密码学中的椭圆曲线

我们现在基本上对椭圆曲线有了初步的认识，这是值得高兴的。但请大家注意，前面学到的椭圆曲线是连续的，并不适合用于加密；所以，我们必须把椭圆曲线变成离散的点。

让我们想一想，为什么椭圆曲线为什么连续？是因为椭圆曲线余备上点的坐标，是实数的（也就是说前面讲到的椭圆曲线是定义在实数域上的），实数是连续的，导致了曲线的连续。因此，我们要把椭圆曲线定义在有限域上（顾名思义，有限域是一种只有由有限个元素组成的域）。

域的概念是从我们的有理数，实数的运算中抽象出来的，严格的定义请参考近世代数方面的数。简单的说，域中的元素同有理数一样，有自己得加法、乘法、除法、单位元(1)，零元(0),并满足交换率、分配率。

下面，我们给出一个有限域Fp，这个域只有有限个元素。

Fp中只有p（p为素数）个元素0,1,2 …… p-2,p-1；
Fp 的加法（a+b）法则是 a+b≡c (mod p)；即，(a+c)÷p的余数 和c÷p的余数相同。
Fp 的乘法(a×b)法则是 a×b≡c (mod p)；
Fp 的除法(a÷b)法则是 a/b≡c (mod p)；即 a×b-1≡c (mod p)；（b-1也是一个0到p-1之间的整数，但满足b×b-1≡1 (mod p)；具体求法可以参考初等数论，或我的另一篇文章）。
Fp 的单位元是1，零元是 0。

同时，并销指不是所有的椭圆曲线都适合加密。y2=x3+ax+b是一类可以用来加密的椭圆曲线，也是最为简单的一类。下面我们就把y2=x3+ax+b 这条曲线定义在Fp上：

选择两个满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b
4a3+27b2≠0(mod p)
则满足下列方程的所有点(x,y)，再加上 无穷远点O∞ ，构成一条椭圆曲线。
y2=x3+ax+b (mod p)
其中 x,y属于0到p-1间的整数，并将这条椭圆曲线记为Ep(a,b)。

我们看一下y2=x3+x+1 (mod 23)的图像

是不是觉得不可思议？椭圆曲线，怎么变成了这般模样，成了一个一个离散的点？
椭圆曲线在不同的数域中会呈现出不同的样子，但其本质仍是一条椭圆曲线。举一个不太恰当的例子，好比是水，在常温下，是液体；到了零下，水就变成冰，成了固体；而温度上升到一网络，水又变成了水蒸气。但其本质仍是H2O。

Fp上的椭圆曲线同样有加法，但已经不能给以几何意义的解释。不过，加法法则和实数域上的差不多，请读者自行对比。

1. 无穷远点 O∞是零元，有O∞+ O∞= O∞，O∞+P=P
2. P(x,y)的负元是 (x,-y)，有P+(-P)= O∞
3. P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下关系：
x3≡k2-x1-x2(mod p)
y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)
其中若P=Q 则 k=(3x2+a)/2y1 若P≠Q，则k=(y2-y1)/(x2-x1)

例5.1 已知E23(1,1)上两点P(3,10)，Q(9,7)，求1)-P，2)P+Q，3) 2P。
解 1) –P的值为(3,-10)
2) k=(7-10)/亏毁配(9-3)=-1/2，2的乘法逆元为12 因为2*12≡1 (mod 23)
k≡-1*12 (mod 23) 故 k=11。
x=112-3-9=109≡17 (mod 23);
y=11[3-(-6)]-10=89≡20 (mod 23)
故P+Q的坐标为(17,20)
3) k=[3(32)+1]/(2*10)=1/4≡6 (mod 23)
x=62-3-3=30≡20 (mod 23)
y=6(3-7)-10=-34≡12 (mod 23)
故2P的坐标为(7,12)

最后，我们讲一下椭圆曲线上的点的阶。
如果椭圆曲线上一点P，存在最小的正整数n，使得数乘nP=O∞，则将n称为P的 阶，若n不存在，我们说P是无限阶的。
事实上，在有限域上定义的椭圆曲线上所有的点的阶n都是存在的（证明，请参考近世代数方面的书）

练习：
1． 求出E11(1,6)上所有的点。
2．已知E11(1,6)上一点G(2,7)，求2G到13G所有的值。

❾ 椭圆曲线加密算法

椭圆曲线加密算法，即：Elliptic Curve Cryptography，简称ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。相比RSA，ECC优势是可以使用更短的密钥，来实现与RSA相当或更高的安全。据研究，160位ECC加密安全性相当于1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相当于2048位RSA加密。

椭圆曲线在密码学中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出的。

一般情况下，椭圆曲线可用下列方程式来表示，其中a,b,c,d为系数。

例如，当a=1,b=0,c=-2,d=4时，所得到的椭圆曲线为:

该椭圆曲线E的图像如图X-1所示，可以看出根本就不是椭圆形。

过曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。如下图所示：A + B = C

上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。

将A关于x轴对称位置的点定义为-A，即椭圆曲线的正负取反运算。如下图所示：

如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。

综上，定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。即：当给定G点时，已知x，求xG点并不困难。反之，已知xG点，求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。

椭圆曲线要形成一条光滑的曲线，要求x,y取值均为实数，即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法，并非使用实数域，而是使用有限域。按数论定义，有限域GF(p)指给定某个质数p，由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。

假设椭圆曲线为y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作：y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)

此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点，如下图所示。以点(1,7)为例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点：

(0,1) (0,22)(1,7) (1,16)(3,10) (3,13)(4,0)(5,4) (5,19)(6,4) (6,19)(7,11) (7,12)(9,7) (9,16)(11,3) (11,20)等等。

另外，如果P(x,y)为椭圆曲线上的点，则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。如点P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。

相关公式如下：有限域GF(p)上的椭圆曲线y² = x³ + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，则R(Xr,Yr) = P+Q 由如下规则确定：

Xr = (λ² - Xp - Xq) mod pYr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p（若P=Q）

因此，有限域GF(23)上的椭圆曲线y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)，假设以(0,1)为G点，计算2G、3G、4G...xG等等，方法如下：

计算2G：λ = (3x0² + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12Xr = (12² - 0 - 0) mod 23 = 6Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19即2G为点(6,19)

计算3G：3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19)λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3Xr = (3² - 0 - 6) mod 23 = 3Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13即3G为点(3, 13)

建立基于椭圆曲线的加密机制，需要找到类似RSA质因子分解或其他求离散对数这样的难题。而椭圆曲线上的已知G和xG求x，是非常困难的，此即为椭圆曲线上的的离散对数问题。此处x即为私钥，xG即为公钥。

椭圆曲线加密算法原理如下：

设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。

公钥加密：选择随机数r，将消息M生成密文C，该密文是一个点对，即：C = {rG, M+rK}，其中K为公钥

私钥解密：M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M其中k、K分别为私钥、公钥。

椭圆曲线签名算法，即ECDSA。设私钥、公钥分别为k、K，即K = kG，其中G为G点。

私钥签名：1、选择随机数r，计算点rG(x, y)。2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k，计算s = (h + kx)/r。3、将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。

公钥验证签名：1、接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。2、根据消息求哈希h。3、使用发送方公钥K计算：hG/s + xK/s，并与rG比较，如相等即验签成功。

原理如下：hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s= r(h+xk)G / (h+kx) = rG

假设要签名的消息是一个字符串：“Hello World!”。DSA签名的第一个步骤是对待签名的消息生成一个消息摘要。不同的签名算法使用不同的消息摘要算法。而ECDSA256使用SHA256生成256比特的摘要。
摘要生成结束后，应用签名算法对摘要进行签名：
产生一个随机数k
利用随机数k，计算出两个大数r和s。将r和s拼在一起就构成了对消息摘要的签名。
这里需要注意的是，因为随机数k的存在，对于同一条消息，使用同一个算法，产生的签名是不一样的。从函数的角度来理解，签名函数对同样的输入会产生不同的输出。因为函数内部会将随机值混入签名的过程。

关于验证过程，这里不讨论它的算法细节。从宏观上看，消息的接收方从签名中分离出r和s，然后利用公开的密钥信息和s计算出r。如果计算出的r和接收到的r值相同，则表示验证成功。否则，表示验证失败。

❿ 什么是ECC加密算法

ECC(Elliptic Curve Cryptosystems )椭圆曲线密码体制，美国SUN公司开发的，它的体制根据其所依据的难题一般分为三类：大整数分解问题类、离散对数问题类、椭圆曲线类。有时也把椭圆曲线类归为离散对数类，是目前已知的公钥体制中，对每比特所提供加密强度最高的一种体制，如果你能理解RSA算法，也算是对ECC有大概的了解，建议你去买些相关书籍看看。