协方差算法

① 向量的表示及协方差矩阵(PCA)

当面对的数据被抽象为一组向量，那么有必要研究一些向量的数学性质。而这些数学性质将成为PCA的理论基础。

向量运算即：内积。首先，定义两个维数相同的向量的内积为：

(a1,a2,⋯,an)T⋅(b1,b2,⋯,bn)T=a1b1+a2b2+⋯+anbn

内积运算将两个向量映射为一个实数。其计算方式非常容易理解，但是其意义并不明显。所以，我们分析内积的几何意义。假设A和B是两个n维向量，我们知道n维向量可以等价表示为n维空间中的一条从原点发射的有向线段，为了简单起见我们假设A和B均为二维向量，则A=(x1,y1)，B=(x2,y2)。则在二维平面上A和B可以用两条发自原点的有向线段表示，如图1所示。

现在，我们从A点向B所在直线引一条垂线。我们知道垂线与B的交点叫做A在B上的投影，再设A与B的夹角是a，则投影的矢量长度为|A|cos(a)，其中|A|=(x1**2+y1**2)**1/2−−−−−−是向量A的模，也就是段薯顷A线段的标量长度。注意这里我们专门区分了矢量长度和标量长度，标量长度总是大于等于0，值就是线段的长度；而矢量长度可能为负，其绝对值是线段长度，而符号取决于其方向与标准方向相同或相反。到这里还是看不出内积和这东西有什么关系，不过如果我们将内积表示为另一种我们熟悉的形式：

 A⋅B=|A||B|cos(a)

现在事情似乎是有点眉目了：A与B的内积等于A到B的投影长度乘以B的模。再进一步，如果我们假设B的模为1，即让|B|=1，那么就变成了：

A⋅B=|A|cos(a)

也就是说， 设向量B的模为1，则A与B的内积值等于A向B所在直线投影的矢量长度！ 这就是内积的一种几何解释，也是我们得到的第一个重要结论。在后面的推导中，将反复使用这个结论。

本节将继续在二维空间内讨论向量。上文说过，一个二维向量可以对应二维笛卡尔直角坐标系中从原点出发的一个有向线段。例如图2所示，这个向量，在代数表示方面，我握陆手橘们经常用线段终点的点坐标表示向量，例如上面的向量可以表示为(3,2)，这是我们再熟悉不过的向量表示。不过我们常常忽略，只有一个(3,2)本身是不能够精确表示一个向量的。我们仔细看一下，这里的3实际表示的是向量在x轴上的投影值是3，在y轴上的投影值是2。也就是说我们其实隐式引入了一个定义：以x轴和y轴上正方向长度为1的向量为标准。那么一个向量(3,2)实际是说在x轴投影为3而y轴的投影为2。注意投影是一个矢量，所以可以为负。更正式的说，向量(x,y)实际上表示线性组合：

                                                                          x(1,0)T+y(0,1)T

不难证明所有二维向量都可以表示为这样的线性组合。此处(1,0)和(0,1)叫做二维空间中的一组基，如图3。所以， 要准确描述向量，首先要确定一组基，然后给出在基所在的各个直线上的投影值 ，就可以了。只不过我们经常省略第一步，而默认以(1,0)和(0,1)为基。我们之所以默认选择(1,0)和(0,1)为基，当然是比较方便，因为它们分别是x和y轴正方向上的单位向量，因此就使得二维平面上点坐标和向量一一对应，非常方便。但实际上任何两个线性无关的二维向量都可以成为一组基，所谓线性无关在二维平面内可以直观认为是两个不在一条直线上的向量。

例如，(1,1)和(-1,1)也可以成为一组基。一般来说，我们希望基的模是1，因为从内积的意义可以看到，如果基的模是1，那么就可以方便的用向量点乘基而直接获得其在新基上的坐标了！实际上，对应任何一个向量我们总可以找到其同方向上模为1的向量，只要让两个分量分别除以模就好了。例如，上面的基可以变为(1/√2,1/√2)和(−1/√2,1/√2)。现在，我们想获得(3,2)在新基上的坐标，即在两个方向上的投影矢量值，那么根据内积的几何意义，我们只要分别计算(3,2)和两个基的内积，不难得到新的坐标为(5/√2,−1/√2)。图4给出了新的基以及(3,2)在新基上坐标值的示意图4所示。另外这里要注意的是，我们列举的例子中基是正交的（即内积为0，或直观说相互垂直），但可以成为一组基的唯一要求就是线性无关，非正交的基也是可以的。不过因为正交基有较好的性质，所以一般使用的基都是正交的。

下面我们找一种简便的方式来表示基变换。还是拿上面的例子，想一下，将(3,2)变换为新基上的坐标，就是用(3,2)与第一个基做内积运算，作为第一个新的坐标分量，然后用(3,2)与第二个基做内积运算，作为第二个新坐标的分量。实际上，我们可以用矩阵相乘的形式简洁的表示这个变换：

太漂亮了！其中矩阵的两行分别为两个基，乘以原向量，其结果刚好为新基的坐标。可以稍微推广一下，如果我们有m个二维向量，只要将二维向量按列排成一个两行m列矩阵，然后用“基矩阵”乘以这个矩阵，就得到了所有这些向量在新基下的值。例如(1,1)，(2,2)，(3,3)，想变换到刚才那组基上，则可以这样表示：

于是一组向量的基变换被干净的表示为矩阵的相乘。

一般的，如果我们有M个N维向量，想将其变换为由R个N维向量表示的新空间中，那么首先将R个基按行组成矩阵A，然后将向量按列组成矩阵B，那么两矩阵的乘积AB就是变换结果，其中AB的第m列为A中第m列变换后的结果。数学表示为：

其中pi是一个行向量，表示第i个基，aj是一个列向量，表示第j个原始数据记录。

特别要注意的是，这里R可以小于N，而R决定了变换后数据的维数。也就是说，我们可以将一N维数据变换到更低维度的空间中去，变换后的维度取决于基的数量。因此这种矩阵相乘的表示也可以表示降维变换。

最后，上述分析同时给矩阵相乘找到了一种物理解释： 两个矩阵相乘的意义是将右边矩阵中的每一列列向量变换到左边矩阵中每一行行向量为基所表示的空间中去 。更抽象的说，一个矩阵可以表示一种线性变换。很多同学在学线性代数时对矩阵相乘的方法感到奇怪，但是如果明白了矩阵相乘的物理意义，其合理性就一目了然了。

上述我们讨论了选择不同的基可以对同样一组数据给出不同的表示，而且如果基的数量少于向量本身的维数，则可以达到降维的效果。但是我们还没有回答一个最最关键的问题：如何选择基才是最优的。或者说，如果我们有一组N维向量，现在要将其降到K维（K小于N），那么我们应该如何选择K个基才能最大程度保留原有的信息？要完全数学化这个问题非常繁杂，这里我们用一种非形式化的直观方法来看这个问题。为了避免过于抽象的讨论，我们仍以一个具体的例子展开。假设我们的数据由五条记录组成，将它们表示成矩阵形式：

其中每一列为一条数据记录，而一行为一个字段。为了后续处理方便，我们首先将每个字段内所有值都减去字段均值，其结果是将每个字段都变为均值为0（这样做的道理和好处后面会看到）。我们看上面的数据，第一个字段均值为2，第二个字段均值为3，所以变换后：

我们可以看下五条数据在平面直角坐标系内的样子：

现在问题来了：如果我们必须使用一维来表示这些数据，又希望尽量保留原始的信息，你要如何选择？

通过上一节对基变换的讨论我们知道，这个问题实际上是要在二维平面中选择一个方向，将所有数据都投影到这个方向所在直线上，用投影值表示原始记录。这是一个实际的二维降到一维的问题。那么如何选择这个方向（或者说基）才能尽量保留最多的原始信息呢？一种直观的看法是：希望投影后的投影值尽可能分散。以上图为例，可以看出如果向x轴投影，那么最左边的两个点会重叠在一起，中间的两个点也会重叠在一起，于是本身四个各不相同的二维点投影后只剩下两个不同的值了，这是一种严重的信息丢失，同理，如果向y轴投影最上面的两个点和分布在x轴上的两个点也会重叠。所以看来x和y轴都不是最好的投影选择。我们直观目测，如果向通过第一象限和第三象限的斜线投影，则五个点在投影后还是可以区分的。接下来，我们用数学方法表述这个问题。

上文说到，我们希望投影后投影值尽可能分散，而这种分散程度，可以用数学上的方差来表述。此处，一个字段的方差可以看做是每个元素与字段均值的差的平方和的均值，即：

由于上面我们已经将每个字段的均值都化为0了，因此方差可以直接用每个元素的平方和除以元素个数表示：

于是上面的问题被形式化表述为：寻找一个一维基，使得所有数据变换为这个基上的坐标表示后，方差值最大。

对于上面二维降成一维的问题来说，找到那个使得方差最大的方向就可以了。不过对于更高维，还有一个问题需要解决。考虑三维降到二维问题。与之前相同，首先我们希望找到一个方向使得投影后方差最大，这样就完成了第一个方向的选择，继而我们选择第二个投影方向。如果我们还是单纯只选择方差最大的方向，很明显，这个方向与第一个方向应该是“几乎重合在一起”，显然这样的维度是没有用的，因此，应该有其他约束条件。从直观上说，让两个字段尽可能表示更多的原始信息，我们是不希望它们之间存在（线性）相关性的，因为相关性意味着两个字段不是完全独立，必然存在重复表示的信息。

数学上可以用两个字段的协方差表示其相关性，由于已经让每个字段均值为0，则：

可以看到，在字段均值为0的情况下，两个字段的协方差简洁的表示为其内积除以元素数m。当协方差为0时，表示两个字段完全独立。为了让协方差为0，我们选择第二个基时只能在与第一个基正交的方向上选择。因此最终选择的两个方向一定是正交的。至此，我们得到了降维问题的优化目标： 将一组N维向量降为K维（K大于0，小于N），其目标是选择K个单位（模为1）正交基，使得原始数据变换到这组基上后，各字段两两间协方差为0，而字段的方差则尽可能大（在正交的约束下，取最大的K个方差 ）。

上面我们导出了优化目标，但是这个目标似乎不能直接作为操作指南（或者说 算法 ），因为它只说要什么，但根本没有说怎么做。所以我们要继续在数学上研究计算方案。我们看到，最终要达到的目的与字段内方差及字段间协方差有密切关系。因此我们希望能将两者统一表示，仔细观察发现，两者均可以表示为内积的形式，而内积又与矩阵相乘密切相关。于是我们来了灵感：假设我们只有a和b两个字段，那么我们将它们按行组成矩阵X：

然后我们用X乘以X的转置，并乘上系数1/m：

奇迹出现了！这个矩阵对角线上的两个元素分别是两个字段的方差，而其它元素是a和b的协方差。两者被统一到了一个矩阵的。

根据矩阵相乘的运算法则，这个结论很容易被推广到一般情况： 设我们有m个n维数据记录，将其按列排成n乘m的矩阵X，设C=1mXXT，则C是一个对称矩阵，其对角线分别个各个字段的方差，而第i行j列和j行i列元素相同，表示i和j两个字段的协方差 。

根据上述推导，我们发现要达到优化目前，等价于将协方差矩阵对角化：即除对角线外的其它元素化为0，并且在对角线上将元素按大小从上到下排列，这样我们就达到了优化目的。这样说可能还不是很明晰，我们进一步看下原矩阵与基变换后矩阵协方差矩阵的关系：设原始数据矩阵X对应的协方差矩阵为C，而P是一组基按行组成的矩阵，设Y=PX，则Y为X对P做基变换后的数据。设Y的协方差矩阵为D，我们推导一下D与C的关系：

现在事情很明白了！我们要找的P不是别的，而是能让原始协方差矩阵对角化的P。换句话说，优化目标变成了 寻找一个矩阵P，满足PCPT是一个对角矩阵，并且对角元素按从大到小依次排列，那么P的前K行就是要寻找的基，用P的前K行组成的矩阵乘以X就使得X从N维降到了K维并满足上述优化条件。

现在所有焦点都聚焦在了协方差矩阵对角化问题上，由上文知道，协方差矩阵C是一个是对称矩阵，在线性代数上，实对称矩阵有一系列非常好的性质：第一、实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必然正交；第二、设特征向量λ重数为r，则必然存在r个线性无关的特征向量对应于λ，因此可以将这r个特征向量单位正交化。由两条性质可知，一个n行n列的实对称矩阵一定可以找到n个单位正交特征向量，设这n个特征向量为e1,e2,⋯,en，我们将其按列组成矩阵：

则对协方差矩阵C有如下结论：

其中Λ为对角矩阵，其对角元素为各特征向量对应的特征值(可能有重复)。

因此，我们可以发现已经找到了需要的矩阵P：

P是协方差矩阵的特征向量单位化后按行排列出的矩阵，其中每一行都是C的一个特征向量。如果设P按照Λ中特征值的从大到小，将特征向量从上到下排列，则用P的前K行组成的矩阵乘以原始数据矩阵X，就得到了我们需要的降维后的数据矩阵Y。

② 协方差法和改进协方差法

4.9.2.1 协方差法

用下列时间平均最小平方准则代替集合平均的最小平方准则：

地球物理信息处理基础

该式与自相关法的主要区别是求和范围不同。现在的求和范围是p～N-1，说明滤波器工作时，在所处理的数据扮孝段左右两端不需要添加任何零采样值，即没有假设已知数据x（n）（0≤n≤N-1）以外的数据等于零。因此，与自相关法比较，去掉了“加窗处理”的不合理假设。为求得模型参数可应用复梯度使式（4-78）达到最小值。由下式

地球物理信息处理基础

地球物理信息处理基础

式中

地球物理信息处理基础

由观测数据（x（0），x（1），…，x（N-1）），利用上述公式（4-79）、（4-80）、（4-81）可以求出模型的参数：（1，a_p1，a_p2，…，a_pp，

）。按照定义，式（4-79）中的c_xx（i，j）可以称作协方差函数，它有两个变量，因此也适合于非平稳随机信号。式（4-79）的协方差矩阵是Hermitian矩阵，不是Toeplitz的，

，是半正定的，因此协方差法存在着稳定性问题，例如：设输入序列长度为3，对它进行1阶线性预测，误差产生的过程如图4-10所示。

图4-10 协方差法不稳定性的实例

地球物理信息处理基础

由图4-10可以得出，

地球物理信息处理基础

a₁₁的计算式中分母与x（2）无关，因而若x（2）足够大，就有神颤可能使｜a₁₁｜＞1，这表明预测误差滤波器不是最小相位的，所以不稳定。在实际应用协方差法时应当注意这个问题。

4.9.2.2 改进的协方差法

改进的协方差法是以前向预测误差功率和后向预测误差功率估计的平均值最小为准则，来估计AR模型参数，从而估计功率谱的，即

地球物理信息处理基础

注意：

和

都与a_pi有关，且x（n）是复数据。厅瞎稿要直接对AR参数a_pi求解，可以令ξ的复梯度等于零，因而前向和后向预测误差功率分别为（a_p0=1）

地球物理信息处理基础

ξ的复梯度为

，j=0，1，2，p，得

地球物理信息处理基础

经简化后，上式变为

地球物理信息处理基础

令

地球物理信息处理基础

则式（4-83）可写成矩阵形式

地球物理信息处理基础

最小预测误差功率可由

地球物理信息处理基础

求出。式（4-84）和式（4-85）合起来构成改进的协方差矩阵法。由于c_xx（i，j）不能写成c_xx（i，-j），所以，式（4-84）的系数矩阵不是Toeplitz矩阵，因此该线性方程组不能用Levinson算法求解，但可用Cholesky分解来解。

最后需要指出，改进的协方差算法，最适合于用来估计正弦波频率。可以证明，在无噪声情况下，修正协方差AR谱估计的峰的位置就是相应正弦波的准确频率；在有噪声情况下，对于噪声引起的谱峰移动，用改进的协方差法比用其它算法都要小；此外，改进的协方差法对正弦波相位最不敏感。因此，改进的协方差法能提供稳定的高分辨率的谱估计。

③ 协方差为0，一定独立吗

协方差为0，不一定独立。

因为协方差等于零只能推出不相关的，所以不能推出互相独立的。但互相独立的告皮闹可以推出互不相干的。

协方差的算法：COV(X,Y)=E{(X-E(X))(Y=E(Y))}E为数学期望；它反映随机变量平均取值的大小。又称期握清望或均值。它是简单算术平均的一种推广。

折叠定理

设ρXY是随机变量X和Y的相关系数，则有：

（1）∣ρXY∣≤1；

（2）∣ρXY∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1，（a，b为常数，a≠0）。

设X和Y是随机变量，若E(X^k)，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。

若E{[X-E(X)]^k}，k=1，2，...存在，则称它为X的k阶中心矩。

若E(X^kY^l)，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合原点矩。

若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}，k、l=1，2，...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。袜罩

④ 协方差公式中E(XY)是指什么,怎么算

X乘以Y的期待
算法见期待的公式

⑤ Cov(3x+2y,3x-2y)怎么算

Cov(3x+2y，3x-2y)算法如下：

Cov(3X+2Y，3X-2Y)=9Cov(X，X)-4Cov(Y，Y)=5σ^2

Var(Z1)=9*Var(X)+4*Var(Y)=13σ^2

Var(Z2)=9*Var(X)+4Var(Y)=13*σ^2

Corr(3X+2Y，3X-2Y)=Cov(3X+2Y,3X-2Y)/(Std(Z1)*Std(Z2))=5/13

随机变量：

如果亮卜指X与Y是统计独立的敬配，那么二者之间的协方差就是0，因为两个独立的随机变量满足E[XY]=E[X]E[Y]。但是，反过来并不成立。即如果X与Y的协方差为0，二者并不一定是统计独立的。协方差Cov(X，Y)的度量单位是X的协方弊御差乘以Y的协方差。协方差为0的两个随机变量称为是不相关的。

⑥ 联合随机变量(x,y)求cov(x,y)和离散型随机变量求协方差算法是一样的吗

公式都是一样的，Cov(X, Y)＝EXY-EX EY
只是，这里帆吵蚂具体的期望，如果是连续型随机变量用碰租积分来求，如果是离散型随机变量，用求和来态埋算的

⑦ 下面这个题目怎么求协方差与相关系数

A股票期望值:-5%*0.3+10%*0.4+25%*0.3=10%
标准差:根号((-5%-10%)^2*0.3+(10%-10%)^2*0.4+(25%-10%)^2*0.3)=11.62%
B股票期望值迹信岁:-10%*0.3+15%*0.4+40%*0.3=15%
标准差:根号((-10%-15%)^2*0.3+(15%-15%)^2*0.4+(40%-15%)^2*0.3)=19.36%
相坦液关系数=∑(Xi-X-)*(Yi-Y-)/姿睁sqrt∑(Xi-X-)^2*sqrt∑(Yi-Y-)^2=1
协方差=1*11.62%*19.36%=2.25%

⑧ 卡尔曼滤波（kalman）算法中，协方差怎么计算

这个嘛，要看你解决问题所建立的模型，一般文献资料有参考数据。这些值是实验和调试出来的

⑨ (十)PCA降维算法

主成分分析（Principal components analysis，以下简称PCA） 是最重要的降维方法之一。在数据压缩消除冗余和数据噪音消除等领域都有广泛的应用。它可以通过 线性变换 将原始数据变换为一组 各维度线性无关 的表示，以此来提取数据的主要线性分量。需要注意的是，PCA一般只用于线性数据降维，对于非线性数据一般采用KPCA。

降维就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据，并且希望损失尽可能的小。首先看几张图，有一个直观的认识。
这里面，把椭圆看成是数据：

基于这个知识，如果我们想对数据进行降维的话，比如图1的两个维度的数据降成一维，我们可以选择保留X1这个维度的数据，因为在这个维度上蕴含的信息量更多。同理，图2就可以保留x2这个维度的数据。但是，问题来了，图3应该保留哪个维度的数据呢？答案是保留哪个维度都不好，都会丢失较大的信息量。但是，如果我们把图3的坐标轴旋转一下

比较容易看出，图3在新的坐标轴下就能进行降维了。
所以，第一，变换正确的坐标轴（基）；第二，保留方差最大的几个轴作为主成分，这样的做法就是PCA的核心思想。

从前文可以看出，理想的坐标轴是要求数据投在新坐标轴后，尽可能的分散，也就是数据的方差最大。然后每次选择方差最大的轴作为主成分。
将前文2维降1维的例子扩展到更高维度，还有一个问题需要解决，考虑三维降到二维问题。与之前相同，首先我们希望找到一个方向使得投影后方差最大，这样就完成了第一个方向的选择，继而我们选择第二个投影方向。如果我们还是单纯只选择方差最大的方向，很明显，这个方向与第一个方向应该是“几乎重合在一起”，显然这样的维度是没有用的，因为发生了大量的信息重复，起不到降维的作用，因此，应该有其他约束条件——就是正交。 PCA要求轴与轴之间是正交的，也就是不同维度的信息相关性为0。

在表示相关性中，相关系数与协方差是等价的，这里为了方便计算，使用协方差。下面是协方差公式，当协方差为0时，表示两个特征a,b线性不相关。

可以发现，当a=b时，协方差公式就变成了方差公式，方差是特殊的协方差。如果运气更好，特征a与b的平均数都为0，那么公式会进一步简化，得到：

所以说，为了计算方便，PCA降维前，一般都要求将所有特征属性中心化，即平均数为0。

因为PCA要求，同一轴内方差最大，不同轴协方差为0，如何把它们放在一块呢？这里就引入了协方差矩阵的概念：
假设有m个样本，每个样本特征维度是2，每个特征都经过中心化处理：

我们发现协方差矩阵的对角线是方差，而且是对称矩阵。方差和协方差都放在了一个矩阵里面，只需对这个矩阵优化，使它除了对角线的其余元素都为0，就可以了，美滋滋。

我们知道矩阵乘法，本质上就是一种线性变换的过程。而正交基矩阵的乘法，则是坐标系变换的过程。设原空间的数据为X，协方差矩阵为C，经过正交基矩阵P，得到了新坐标系下的数据Y，即Y=PX。那么新坐标系下的协方差矩阵D是怎样的呢？

我们发现，新旧空间的协方差矩阵是有关系的，而且都和变换矩阵P有关系。问题就转化成了，能不能找到一个矩阵P，使得新空间下的协方差矩阵的非对角线元素都为0.

首先，原始数据矩阵X的协方差矩阵C是一个实对称矩阵，它有特殊的数学性质：

也就是说，P就是是协方差矩阵的特征向量单位化后按行排列出的矩阵，其中每一行都是C的一个特征向量。 如果设P按照中特征值的从大到小，将特征向量从上到下排列，则用P的前K行组成的矩阵乘以原始数据矩阵X，就得到了我们需要的降维后的数据矩阵Y 。
其实，经过数学上的推导的，我们就可以知道，特征值对应的特征向量就是理想中想取得正确的坐标轴，而特征值就等于数据在旋转之后的坐标上对应维度上的方差。

由于协方差矩阵的维度和特征相同，所以在进行特征值分解时，得到的特征值数目不会超过特征的数目。

在学习线性代数时，我们都会学矩阵的特征值分解，我们知道一个方阵A经过 特征值分解 后就得到 特征向量 和 特征值 了。那么，这个所谓的特征值和特征向量到底是什么东西呢？
很多人都会说是那个经典的式子：

首先给出概念上的一种解释。所谓的特征值和特征向量，最重要的是理解“特征”这两个字，特征向量翻译为eigen vector, eigen这个单词来自德语，本义是在“本身固有的，本质的”。纯数学的定义下，并不能很明白地理解到底为什么叫做特征值和特征向量。但是举一个应用例子，可能就容易理解多了。

在图像处理中，有一种方法就是特征值分解。我们都知道图像其实就是一个像素值组成的矩阵，假设有一个100x100的图像， 对这个图像矩阵做特征值分解，其实是在提取这个图像中的特征，这些提取出来的特征是一个个的向量，即对应着特征向量。而这些特征在图像中到底有多重要，这个重要性则通过特征值来表示。 比如这个100x100的图像矩阵A分解之后，会得到一个100x100的特征向量组成的矩阵Q，以及一个100x100的只有对角线上的元素不为0的矩阵E，这个矩阵E对角线上的元素就是特征值，而且还是按照从大到小排列的（取模，对于单个数来说，其实就是取绝对值），也就是说这个图像A提取出来了100个特征，这100个特征的重要性由100个数字来表示，这100个数字存放在对角矩阵E中。 在实际中我们发现，提取出来的这100个特征从他们的特征值大小来看，大部分只有前20（这个20不一定，有的是10，有的是30或者更多）个特征对应的特征值很大，后面的就都是接近0了，也就是说后面的那些特征对图像的贡献几乎可以忽略不计。

我们知道，图像矩阵 A 特征值分解后可以得到矩阵 P 和矩阵 E （特征值对角矩阵）：

我们可以看到，在只取前20个特征值和特征向量对图像进行恢复的时候，基本上已经可以看到图像的大体轮廓了，而取到前50的时候，几乎已经和原图像无异了。明白了吧，这就是所谓的矩阵的特征向量和特征值的作用。

所以归根结底，特征向量其实反应的是矩阵A本身固有的一些特征，本来一个矩阵就是一个线性变换，当把这个矩阵作用于一个向量的时候，通常情况绝大部分向量都会被这个矩阵A变换得“面目全非”，但是偏偏刚好存在这么一些向量，被矩阵A变换之后居然还能保持原来的样子，于是这些向量就可以作为矩阵的核心代表了。于是我们可以说：一个变换（即一个矩阵）可以由其特征值和特征向量完全表述，这是因为从数学上看，这个矩阵所有的特征向量组成了这个向量空间的一组基底。而矩阵作为变换的本质其实不就把一个基底下的东西变换到另一个基底表示的空间中么？

参考：
https://blog.csdn.net/hjq376247328/article/details/80640544
https://blog.csdn.net/hustqb/article/details/78394058
https://blog.csdn.net/woainishifu/article/details/76418176