迪克斯特拉算法的实验结论和感悟

① Dijkstra算法

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。注意该算法要求图中不存在负权边。

设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度含侍仿。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

（1）初始时，S只包含起点D；U包含除D外的其他顶点，且U中顶点的距离为“起点D到该顶点的距离”（例如，U中顶点A的距离为[D,A]的长度，然后D和A不相邻，则谈枣A的距离为∞）
（2）从U中选出“距离最短的顶点K”，并将顶点K加入到S中；同时，从U中移除顶点K
（3）更新U中各个顶点到起点D的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步谈纤中确定了K是求出最短路径的顶点，从而可以利用K来更新其他顶点到起点D的距离（例如，[D,A]的距离可能大于[D,K]+[K,A]的距离）
（4）重复步骤（2）和（3），直到遍历完所有顶点

https://blog.csdn.net/yalishadaa/article/details/55827681

② 最短路径算法（Dijkstra）

Dijkstra（ 迪科斯特拉 ）算法是用来解决核激唯单源最短路径的算法，要求路径权值非负数。该算法利用了深度优先搜索和贪心的算法。

下面是一个有权图，求从A到各个节点的最短路径。

第1步：从A点出发，判断每个点到A点的路径（如果该点不能直连A点则距离值为无穷大，如果该点能和A直连则是当前的权值），计算完之后把A点上色，结果如下图:

第2步：从除A点之外的点查找到距离A点最近的点C，从C点出发查找其邻近的节点（除去已上色的点），并重新计算C点的邻近点距离A点的值，如图中B点，若新值（C点到A点的值+C点到该点的路径）小于原值，则将值更新为5，同理更新D、E点。同时将C标铅陵记为已经处理过，如图所示涂色。

第3步：从上色的节点中查找距离A最近的B点，重复第3步操作。

第4步： 重复第3步，改培2步，直到所有的节点都上色。

最后就算出了从A点到所有点的最短距离。

leetcode 743题

③ 深入理解 Dijkstra 算法实现原理

（嗯，第一段是抄的，由于本人算法的基础比较薄弱，我会尽量用通俗易懂的高念语言来让大家理解本文）

参考博客: 数据结构--Dijkstra算法最清楚的讲解

大概就是这样一个有权图，液燃 Dijkstra 算法可以计算 任意节点 到 其他节点 的最短路径

2.执行上述 4、5两步骤，找出U集合中路径最短的节点D 加入S集合，并根据条件 if ( 'D 到 B,C,E 的距离' + 'AD 距离' < 'A 到 B,C,E 的距离' ) 来更新U集合

3.这时候 A->B, A->C 都为3，没关系戚埋困。其实这时候他俩都是最短距离，如果从算法逻辑来讲的话，会先取到B点。而这个时候 if 条件变成了 if ( 'B 到 C,E 的距离' + 'AB 距离' < 'A 到 C,E 的距离' ) ， 如图所示这时候 A->B 距离 其实为 A->D->B

④ 简谈迪克斯特拉算法

一直想要学点简单的算法，叨叨了好久，开始吧【这篇文章的前言无非就是我想说点废话，大家可以选择性的过滤哈。】

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家 狄克斯特拉 于1959 年提出的，因此又叫 狄克斯特拉算法 。是从一个顶点到其余各顶点的 最短路径 算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

敲黑板~进入正题
迪杰斯特拉算法是目前 OIER 们最爱用的最短路算法，下面讲一下这个算法的思路【图丑，请大家忍耐一下】：

第一步，我们先把a加入集合，数组变成（s = {a}, dis[] = {0, ∞,∞,∞,∞,∞,∞,∞}）
第二步，找到和a最近的点，为b，把b加入集合，并确定他的最短路径【要注意箭头方向哈仿歼塌】，数组变成（s = {a, b}, dis[] ={0,2,∞,∞,∞,∞,∞,∞}）
第三步，找到和b最近的点，为d，把d加入集合，并确定他的最短路径【要注意箭头方向】，数组变成（s = {a, b, d}, dis[] = {0,2,∞,3,∞,∞,∞,∞}）
第四步，找到和d最近的点，为e，把e加入集合，并确定他的最短路径【要注意箭头方向】，数组变成（s = {a, b, d, e}, dis[] = {0,2,∞,3,5,∞,∞,∞改纤}）
第五步，找到和e最近的点，为f，把f加入集合，并确定他的最短路径【要注意箭头方向】，数组变成（s = {a, b, d, e, f}, dis[] = {0,2,∞,3,5,9,∞,∞}）
第六步，找到和f最近的点，为g，把g加入集合，并确定他的最短路径【要注意箭头方向】，数组变成（s = {a, b, d, e, f, g}, dis[] = {0,2,∞,3,5,9,12,∞}）
第七步，目前只剩下c和h了，那么我们先要找到距离集合路径最短的c，把c加备圆入集合，并确定他的最短路径，数组变成（s = {a, b, c, d, e, f, g}, dis[]= {0,2,13,3,5,9,12,∞}）
第八步，最后一步，我们找到距离集合路径最短的h，把h加入集合，并确定他的最短路径，数组变成（s = {a, b, c, d, e, f, g, h}, dis[] = {0,2,13,3,5,9,12,18}）
得嘞，这个大致的思路是这样的，还有后续哟，欲知后事如何，请看下回讲解~

⑤ 最短路径 | 深入浅出Dijkstra算法（一）

上次我们介绍了神奇的只有 五行的 Floyd-Warshall 最短路算法 ，它可以方便的求得 任意两点的最短路径， 这称为 “多源最短路”。

这次来介绍 指定一个点（源点）到其余各个顶点的最短路径， 也叫做 “单源最短路径”。 例如求下图中的 1 号顶点到 2、3、4、5、6 号顶点的最短路径。

与 Floyd-Warshall 算法一样，这里仍然 使用二维数组 e 来存储顶点之间边的关系， 初始值如下。

我们还需要用 一个一维数组 dis 来存储 1 号顶点到其余各个顶点的初始路程， 我们可以称 dis 数组为 “距离表”， 如下。

我们将此时 dis 数组中的值称为 最短路的“估计值”。

既然是 求 1 号顶点到其余各个顶点的最短路程， 那就 先找一个离 1 号顶点最近的顶点。

通过数组 dis 可知当前离 1 号顶点最近是 2 号顶点。 当选择了 2 号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”， 即 1 号顶点到 2 号顶点的最短路程就是当前 dis[2]值。

为什么呢？你想啊， 目前离 1 号顶点最近的是 2 号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得 1 号顶点到 2 号顶点的路程进一步缩短了。 因此 1 号顶点到其它顶点的路程肯定没有 1 号到 2 号顶点短，对吧 O(∩_∩)O~

既然选了 2 号顶点，接下来再来看 2 号顶点 有哪些 出边 呢。有 2->3 和 2->4 这两条边。

先讨论 通过 2->3 这条边能否让 1 号顶点到 3 号顶点的路程变短。 也就是说现在来比较 dis[3] 和 dis[2]+e[2][3] 的大小。其中 dis[3]表示 1 号顶点到 3 号顶点的路程，dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示 1 号顶点到 2 号顶点的路程，e[2][3]表示 2->3 这条边。所以 dis[2]+e[2][3]就表示从 1 号顶点先到 2 号顶点，再通过 2->3 这条边，到达 3 号顶点的路程。

我们发现 dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此 dis[3]要更新为 10。这个过程有个专业术语叫做 “松弛” 。即 1 号顶点到 3 号顶点的路程即 dis[3]，通过 2->3 这条边 松弛成功。 这便是 Dijkstra 算法的主要思想： 通过 “边” 来松弛 1 号顶点到其余各个顶点的路程。

同理通过 2->4（e[2][4]），可以将 dis[4]的值从 ∞ 松弛为 4（dis[4]初始为 ∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此 dis[4]要更新为 4）。

刚才我们对 2 号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

接下来，继续在剩下的 3、4、5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点。通过上面更新过 dis 数组，当前离 1 号顶点最近是 4 号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对 4 号顶点的所有出边（4->3，4->5 和 4->6）用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

继续在剩下的 3、5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点，这次选择 3 号顶点。此时，dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对 3 号顶点的所有出边（3->5）进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

继续在剩下的 5 和 6 号顶点中，选出离 1 号顶点最近的顶点，这次选择 5 号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边（5->4）进行松弛。松弛完毕之后 dis 数组为：

最后对 6 号顶点的所有出边进行松弛。因为这个例子中 6 号顶点没有出边，因此不用处理。 到此，dis 数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。

最终 dis 数组如下，这便是 1 号顶点到其余各个顶点的最短路径。

OK，现在来总结一下刚才的算法。 Dijkstra算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是 1 号顶点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。

基本步骤如下：

在 博客 中看到两个比较有趣的问题，也是在学习Dijkstra时，可能会有疑问的问题。

当我们看到上面这个图的时候，凭借多年对平面几何的学习，会发现在“三角形ABC”中，满足不了 构成三角形的条件(任意两边之和大于第三边)。 纳尼，那为什么图中能那样子画？

还是“三角形ABC”，以A为起点，B为终点，如果按照平面几何的知识， “两点之间线段最短”， 那么，A到B的最短距离就应该是6(线段AB)，但是，实际上A到B的最短距离却是3+2=5。这又怎么解释？

其实，之所以会有上面的疑问，是因为 对边的权值和边的长度这两个概念的混淆， 。之所以这样画，也只是为了方便理解（每个人写草稿的方式不同，你完全可以用别的方式表示，只要便于你理解即可）。

PS：数组实现邻接表可能较难理解，可以看一下 这里

参考资料：

Dijkstra算法是一种基于贪心策略的算法。每次新扩展一个路程最短的点，更新与其相邻的点的路程。当所有边权都为正时，由于不会存在一个路程更短的没扩展过的点，所以这个点的路程永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。

根据这个原理， 用Dijkstra算法求最短路径的图不能有负权边， 因为扩展到负权边的时候会产生更短的路径，有可能破坏了已经更新的点路径不会发生改变的性质。

那么，有没有可以求带负权边的指定顶点到其余各个顶点的最短路径算法（即“单源最短路径”问题）呢？答案是有的， Bellman-Ford算法 就是一种。（我们已经知道了 Floyd-Warshall 可以解决“多源最短路”问题，也要求图的边权均为正）

通过 邻接矩阵 的Dijkstra时间复杂度是 。其中每次找到离 1 号顶点最近的顶点的时间复杂度是 O(N)，这里我们可以用 优先队列（堆） 来优化，使得这一部分的时间复杂度降低到 。这个我们将在后面讨论。

⑥ 迪克斯特拉算法结果怎么看解释一下

这个算法最后的结果就是一旁信个点到图中每一个点的最短距离。比如一个图中有A,B,C,D,E,F,G七个点，你要求A到轿祥其他每一个点的最短距离，那么最后的结果应该是类似A到B最短距离XXX，A到C最短距离XXX，A到D最短距离XXX，闭启搏……
应该是很简单的。
题主你为什么看不懂？

⑦ 【数据结构】最短路径之迪杰斯特拉(Dijkstra)算法与弗洛伊德(Floyd)算法

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法核心： 按照路径长度递增的次序产生最短路径。

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法步骤：（求图中v0到v8的最短路径）并非一下子求出v0到v8的最短路径，而是 一步一步求出它们之间顶点的最短路径 ，过过程中都是 基于已经求出的最短路径的基础上，求得更远顶点的最短路径，最终得出源点与终点的最短路径 。

弗洛伊德(Floyd)算法是一个经典的 动态规划算法 。

⑧ dijkstra算法是什么

迪杰斯特拉算法用来解决从顶点v0出发到其余顶点的最短路径，该算法按照最短路径长度递增的顺序产生所以最短路径。

对于图G=（V，E），将图中的顶点分成两组：第一组S：已求出的最短路径的终点集合（开始为｛v0}）。第二组V-S：尚未求出最短路径的终点集合（开始为V-{v0}的全部结点）。

堆优化

思考

该算法复杂度为n^2,我们可以发现，如果边数远小于n^2,对此可以考虑用堆这种数据结构进行优化，取出最短路径的复杂度降为O(1)；每次调整的复杂度降为O（elogn）；e为该点的边数，所以复杂度降为O((m+n)logn)。

实现

1、将源点加入堆，并调整堆。

2、选出堆顶元素u（即代价最小的元素），从堆中删除，并对堆进行调整。

3、处理与u相邻的，未被访问过的，满足三角不等式的顶点

1):若该点在堆里，更新距离，并调整该元素在堆中的位置。

2):若该点不在堆里，加入堆，更新堆。

4、若取到的u为终点，结束算法；否则重复步骤2、3。

⑨ 迪杰斯特拉算法的本质是贪心还是动态规划

我认为 Dijkstra算法 的本质是 广度优先搜索，
而此处的广度是定义在路程的cost之上的。
（就好比从圆心处向外扩散一个圆环，首次碰到的就是最近）

动态规划泛指，重叠子问题与原问题的推算关系（学名：动态转移方程），
贪心是极端情况的斗升芦动态规划，子问题独一选择性。

Dijkstra算法的分解思路是
到达某节点的cost最小路径 --（从这里面选）--> { 到达其相邻节点的cost最小路径 }
独一选择性:
只挑选空带： Min {到达其相邻节点笑并的最短路径}

结论：的确是贪心策略

请采纳。

⑩ dijkstra算法是什么

Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉（Dijkstra）于1959年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。

其基本原理是：每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。当所有边权都为正时，由于不会存在一个距离更短的没扩展过的点，所以这个点的距离永远不会再被改变，因而保证了算法的正确性。

不过根据这个原理，用Dijkstra求最短路的图不能有负权边，因为扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质。

举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示着城市间开车行经的距离。Dijkstra算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。

Dijkstra算法的输入包含了一个有权重的有向图G，以及G中的一个来源顶点S。我们以V表示G中所有顶点的集合。每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。（u,v)表示从顶点u到v有路径相连。我们以E所有边的集合，而边的权重则由权重函数w: E→[0,∞］定义。

因此，w(u,v)就是从顶点u到顶点v的非负花费值（cost)。边的花费可以想象成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。

已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径（i.e.最短路径）。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。