‘壹’ 三种聚类方法：层次、K均值、密度
一、层次聚类
1）距离和相似系数
r语言中使用dist(x, method = "euclidean",diag = FALSE, upper = FALSE, p = 2) 来计算距离。其中x是样本矩阵或者数据框。method表示计算哪种距离。method的取值有：
euclidean 欧几里德距离，就是平方再开方。
maximum 切比雪夫距离
manhattan 绝对值距离
canberra Lance 距离
minkowski 明科夫斯基距离，使用时要指定p值
binary 定性变量距离.
定性变量距离： 记m个项目里面的 0:0配对数为m0 ,1:1配对数为m1，不能配对数为m2，距离=m1/(m1+m2);
diag 为TRUE的时候给出对角线上的距离。upper为TURE的时候给出上三角矩阵上的值。
r语言中使用scale(x, center = TRUE, scale = TRUE) 对数据矩阵做中心化和标准化变换。
如只中心化 scale(x,scale=F) ,
r语言中使用sweep(x, MARGIN, STATS, FUN="-", ...) 对矩阵进行运算。MARGIN为1，表示行的方向上进行运算，为2表示列的方向上运算。STATS是运算的参数。FUN为运算函数，默认是减法。下面利用sweep对矩阵x进行极差标准化变换
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>center <-sweep(x, 2, apply(x, 2, mean)) #在列的方向上减去均值。
>R <-apply(x, 2, max) -apply(x,2,min) #算出极差，即列上的最大值-最小值
>x_star <-sweep(center, 2, R, "/") #把减去均值后的矩阵在列的方向上除以极差向量
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>center <-sweep(x, 2, apply(x, 2, min)) #极差正规化变换
>R <-apply(x, 2, max) -apply(x,2,min)
>x_star <-sweep(center, 2, R, "/")
有时候我们不是对样本进行分类，而是对变量进行分类。这时候，我们不计算距离，而是计算变量间的相似系数。常用的有夹角和相关系数。
r语言计算两向量的夹角余弦：
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y <-scale(x, center =F, scale =T)/sqrt(nrow(x)-1)
C <-t(y) %*%y
相关系数用cor函数
2）层次聚类法
层次聚类法。先计算样本之间的距离。每次将距离最近的点合并到同一个类。然后，再计算类与类之间的距离，将距离最近的类合并为一个大类。不停的合并，直到合成了一个类。其中类与类的距离的计算方法有：最短距离法，最长距离法，中间距离法，类平均法等。比如最短距离法，将类与类的距离定义为类与类之间样本的最段距离。。。
r语言中使用hclust(d, method = "complete", members=NULL) 来进行层次聚类。
其中d为距离矩阵。
method表示类的合并方法，有：
single 最短距离法
complete 最长距离法
median 中间距离法
mcquitty 相似法
average 类平均法
centroid 重心法
ward 离差平方和法
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> x <-c(1,2,6,8,11) #试用一下
> dim(x) <-c(5,1)
> d <-dist(x)
> hc1 <-hclust(d,"single")
> plot(hc1)
> plot(hc1,hang=-1,type="tirangle") #hang小于0时，树将从底部画起。
#type = c("rectangle", "triangle"),默认树形图是方形的。另一个是三角形。
#horiz TRUE 表示竖着放，FALSE表示横着放。
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> z <-scan()
1: 1.0000.8460.8050.8590.4730.3980.3010.382
9: 0.8461.0000.8810.8260.3760.3260.2770.277
17: 0.8050.8811.0000.8010.3800.3190.2370.345
25: 0.8590.8260.8011.0000.4360.3290.3270.365
33: 0.4730.3760.3800.4361.0000.7620.7300.629
41: 0.3980.3260.3190.3290.7621.0000.5830.577
49: 0.3010.2770.2370.3270.7300.5831.0000.539
57: 0.3820.4150.3450.3650.6290.5770.5391.000
65:
Read 64items
> names
[1] "shengao""shoubi""shang""xia""tizhong"
[6] "jingwei""xiongwei""xiongkuang"
> r <-matrix(z,nrow=8,dimnames=list(names,names))
> d <-as.dist(1-r)
> hc <-hclust(d)
> plot(hc)
然后可以用rect.hclust(tree, k = NULL, which = NULL, x = NULL, h = NULL,border = 2, cluster = NULL)来确定类的个数。 tree就是求出来的对象。k为分类的个数，h为类间距离的阈值。border是画出来的颜色，用来分类的。
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> plot(hc)
> rect.hclust(hc,k=2)
> rect.hclust(hc,h=0.5)
result=cutree(model,k=3) 该函数可以用来提取每个样本的所属类别
二、动态聚类k-means
层次聚类，在类形成之后就不再改变。而且数据比较大的时候更占内存。
动态聚类，先抽几个点，把周围的点聚集起来。然后算每个类的重心或平均值什么的，以算出来的结果为分类点，不断的重复。直到分类的结果收敛为止。r语言中主要使用kmeans(x, centers, iter.max = 10, nstart = 1, algorithm =c("Hartigan-Wong", "Lloyd","Forgy", "MacQueen"))来进行聚类。centers是初始类的个数或者初始类的中心。iter.max是最大迭代次数。nstart是当centers是数字的时候，随机集合的个数。algorithm是算法，默认是第一个。
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使用knn包进行Kmean聚类分析
将数据集进行备份，将列newiris$Species置为空，将此数据集作为测试数据集
> newiris <- iris
> newiris$Species <- NULL
在数据集newiris上运行Kmean聚类分析， 将聚类结果保存在kc中。在kmean函数中，将需要生成聚类数设置为3
> (kc <- kmeans(newiris, 3))
K-means clustering with 3 clusters of sizes 38, 50, 62: K-means算法产生了3个聚类，大小分别为38,50,62.
Cluster means: 每个聚类中各个列值生成的最终平均值
Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width
1 5.006000 3.428000 1.462000 0.246000
2 5.901613 2.748387 4.393548 1.433871
3 6.850000 3.073684 5.742105 2.071053
Clustering vector: 每行记录所属的聚类（2代表属于第二个聚类，1代表属于第一个聚类，3代表属于第三个聚类）
[1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
[37] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
[73] 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 2 3
[109] 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3
[145] 3 3 2 3 3 2
Within cluster sum of squares by cluster: 每个聚类内部的距离平方和
[1] 15.15100 39.82097 23.87947
(between_SS / total_SS = 88.4 %) 组间的距离平方和占了整体距离平方和的的88.4%，也就是说各个聚类间的距离做到了最大
Available components: 运行kmeans函数返回的对象所包含的各个组成部分
[1] "cluster" "centers" "totss" "withinss"
[5] "tot.withinss" "betweenss" "size"
("cluster"是一个整数向量，用于表示记录所属的聚类
"centers"是一个矩阵，表示每聚类中各个变量的中心点
"totss"表示所生成聚类的总体距离平方和
"withinss"表示各个聚类组内的距离平方和
"tot.withinss"表示聚类组内的距离平方和总量
"betweenss"表示聚类组间的聚类平方和总量
"size"表示每个聚类组中成员的数量)
创建一个连续表,在三个聚类中分别统计各种花出现的次数
> table(iris$Species, kc$cluster)
1 2 3
setosa 0 50 0
versicolor 2 0 48
virginica 36 0 14
根据最后的聚类结果画出散点图，数据为结果集中的列"Sepal.Length"和"Sepal.Width"，颜色为用1，2，3表示的缺省颜色
> plot(newiris[c("Sepal.Length", "Sepal.Width")], col = kc$cluster)
在图上标出每个聚类的中心点
〉points(kc$centers[,c("Sepal.Length", "Sepal.Width")], col = 1:3, pch = 8, cex=2)
三、DBSCAN
动态聚类往往聚出来的类有点圆形或者椭圆形。基于密度扫描的算法能够解决这个问题。思路就是定一个距离半径，定最少有多少个点，然后把可以到达的点都连起来，判定为同类。在r中的实现
dbscan(data, eps, MinPts, scale, method, seeds, showplot, countmode)
其中eps是距离的半径，minpts是最少多少个点。 scale是否标准化（我猜) ,method 有三个值raw,dist,hybird,分别表示，数据是原始数据避免计算距离矩阵，数据就是距离矩阵，数据是原始数据但计算部分距离矩阵。showplot画不画图，0不画，1和2都画。countmode，可以填个向量，用来显示计算进度。用鸢尾花试一试
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> install.packages("fpc", dependencies=T)
> library(fpc)
> newiris <-iris[1:4]
> model <-dbscan(newiris,1.5,5,scale=T,showplot=T,method="raw")# 画出来明显不对 把距离调小了一点
> model <-dbscan(newiris,0.5,5,scale=T,showplot=T,method="raw")
> model #还是不太理想……
dbscan Pts=150MinPts=5eps=0.5
012
border 34518
seed 04053
total 344571
‘贰’ K-Means聚类算法
所谓聚类算法是指将一堆没有标签的数据自动划分成几类的方法，属于无监督学习方法，这个方法要保证同一类的数据有相似的特征，如下图所示：
根据样本之间的距离或者说是相似性（亲疏性），把越相似、差异越小的样本聚成一类（簇），最后形成多个簇，使同一个簇内部的样本相似度高，不同簇之间差异性高。
相关概念：
K值 ：要得到的簇的个数
质心 ：每个簇的均值向量，即向量各维取平均即可
距离量度 ：常用欧几里得距离和余弦相似度（先标准化）
算法流程：
1、首先确定一个k值，即我们希望将数据集经过聚类得到k个集合。
2、从数据集中随机选择k个数据点作为质心。
3、对数据集中每一个点，计算其与每一个质心的距离（如欧式距离），离哪个质心近，就划分到那个质心所属的集合。
4、把所有数据归好集合后，一共有k个集合。然后重新计算每个集合的质心。
5、如果新计算出来的质心和原来的质心之间的距离小于某一个设置的阈值（表示重新计算的质心的位置变化不大，趋于稳定，或者说收敛），我们可以认为聚类已经达到期望的结果，算法终止。
6、如果新质心和原质心距离变化很大，需要迭代3~5步骤。
K-Means采用的启发式方式很简单，用下面一组图就可以形象的描述:
上图a表达了初始的数据集，假设k=2。在图b中，我们随机选择了两个k类所对应的类别质心，即图中的红色质心和蓝色质心，然后分别求样本中所有点到这两个质心的距离，并标记每个样本的类别为和该样本距离最小的质心的类别，如图c所示，经过计算样本和红色质心和蓝色质心的距离，我们得到了所有样本点的第一轮迭代后的类别。此时我们对我们当前标记为红色和蓝色的点分别求其新的质心，如图d所示，新的红色质心和蓝色质心的位置已经发生了变动。图e和图f重复了我们在图c和图d的过程，即将所有点的类别标记为距离最近的质心的类别并求新的质心。最终我们得到的两个类别如图f。
坐标系中有六个点：
1、我们分两组，令K等于2，我们随机选择两个点：P1和P2
2、通过勾股定理计算剩余点分别到这两个点的距离：
3、第一次分组后结果：
组A：P1
组B：P2、P3、P4、P5、P6
4、分别计算A组和B组的质心：
A组质心还是P1=（0，0）
B组新的质心坐标为：P哥=（（1+3+8+9+10）/5，（2+1+8+10+7）/5）=（6.2，5.6）
5、再次计算每个点到质心的距离：
6、第二次分组结果：
组A：P1、P2、P3
组B：P4、P5、P6
7、再次计算质心：
P哥1=（1.33，1）
P哥2=（9，8.33）
8、再次计算每个点到质心的距离：
9、第三次分组结果：
组A：P1、P2、P3
组B：P4、P5、P6
可以发现，第三次分组结果和第二次分组结果一致，说明已经收敛，聚类结束。
优点：
1、原理比较简单，实现也是很容易，收敛速度快。
2、当结果簇是密集的，而簇与簇之间区别明显时, 它的效果较好。
3、主要需要调参的参数仅仅是簇数k。
缺点：
1、K值需要预先给定，很多情况下K值的估计是非常困难的。
2、K-Means算法对初始选取的质心点是敏感的，不同的随机种子点得到的聚类结果完全不同 ，对结果影响很大。
3、对噪音和异常点比较的敏感。用来检测异常值。
4、采用迭代方法， 可能只能得到局部的最优解，而无法得到全局的最优解 。
1、K值怎么定？
答：分几类主要取决于个人的经验与感觉，通常的做法是多尝试几个K值，看分成几类的结果更好解释，更符合分析目的等。或者可以把各种K值算出的 E 做比较，取最小的 E 的K值。
2、初始的K个质心怎么选？
答：最常用的方法是随机选，初始质心的选取对最终聚类结果有影响，因此算法一定要多执行几次，哪个结果更reasonable，就用哪个结果。 当然也有一些优化的方法，第一种是选择彼此距离最远的点，具体来说就是先选第一个点，然后选离第一个点最远的当第二个点，然后选第三个点，第三个点到第一、第二两点的距离之和最小，以此类推。第二种是先根据其他聚类算法（如层次聚类）得到聚类结果，从结果中每个分类选一个点。
3、关于离群值？
答：离群值就是远离整体的，非常异常、非常特殊的数据点，在聚类之前应该将这些“极大”“极小”之类的离群数据都去掉，否则会对于聚类的结果有影响。但是，离群值往往自身就很有分析的价值，可以把离群值单独作为一类来分析。
4、单位要一致！
答：比如X的单位是米，Y也是米，那么距离算出来的单位还是米，是有意义的。但是如果X是米，Y是吨，用距离公式计算就会出现“米的平方”加上“吨的平方”再开平方，最后算出的东西没有数学意义，这就有问题了。
5、标准化
答：如果数据中X整体都比较小，比如都是1到10之间的数，Y很大，比如都是1000以上的数，那么，在计算距离的时候Y起到的作用就比X大很多，X对于距离的影响几乎可以忽略，这也有问题。因此，如果K-Means聚类中选择欧几里德距离计算距离，数据集又出现了上面所述的情况，就一定要进行数据的标准化（normalization），即将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。
参考文章： 聚类、K-Means、例子、细节
‘叁’ 聚类算法 - kmeans
kmeans即k均值算法。k均值聚类是最着名的划分聚类算法，由于简洁和效率使得他成为所有聚类算法中最广泛使用的。给定一个数据点集合和需要的聚类数目k，k由用户指定，k均值算法根据某个距离函数反复把数据分入k个聚类中。
简易动画过程在这， 传送门
第一步 ，输入k的值，即我们希望将数据集经过聚类得到k类，分为k组
第二步 ，从数据集中随机选择k个数据点作为初识的聚类中心（质心，Centroid）
第三步 ，对集合中每一个数据点，计算与每一个聚类中心的距离，离哪个中心距离近，就标记为哪个中心。待分配完全时，就有第一次分类。
第四步 ，每一个分类根据现有的数据重新计算，并重新选取每个分类的中心（质心）
第五至N步 ，重复第三至四步，直至符合条件结束迭代步骤。条件是如果新中心和旧中心之间的距离小于某一个设置的阈值（表示重新计算的质心的位置变化不大，趋于稳定，或者说收敛），可以认为我们进行的聚类已经达到期望的结果，终止迭代过程。
该算法的核心就是选择合适的k值，不同的k值出来有不同的结果。
手肘法的核心指标是SSE(sum of the squared errors，误差平方和)，
其中，Ci是第i个簇，p是Ci中的样本点，mi是Ci的质心（Ci中所有样本的均值），SSE是所有样本的聚类误差，代表了聚类效果的好坏。
手肘法的核心思想是：随着聚类数k的增大，样本划分会更加精细，每个簇的聚合程度会逐渐提高，那么误差平方和SSE自然会逐渐变小。并且，当k小于真实聚类数时，由于k的增大会大幅增加每个簇的聚合程度，故SSE的下降幅度会很大，而当k到达真实聚类数时，再增加k所得到的聚合程度回报会迅速变小，所以SSE的下降幅度会骤减，然后随着k值的继续增大而趋于平缓，也就是说SSE和k的关系图是一个手肘的形状，而这个肘部对应的k值就是数据的真实聚类数。当然，这也是该方法被称为手肘法的原因。
该方法的核心指标是轮廓系数（Silhouette Coefficient），某个样本点Xi的轮廓系数定义如下：
其中，a是Xi与同簇的其他样本的平均距离，称为凝聚度，b是Xi与最近簇中所有样本的平均距离，称为分离度。而最近簇的定义是
其中p是某个簇Ck中的样本。事实上，简单点讲，就是用Xi到某个簇所有样本平均距离作为衡量该点到该簇的距离后，选择离Xi最近的一个簇作为最近簇。
求出所有样本的轮廓系数后再求平均值就得到了 平均轮廓系数 。平均轮廓系数的取值范围为[-1,1]，且簇内样本的距离越近，簇间样本距离越远，平均轮廓系数越大，聚类效果越好。那么，很自然地，平均轮廓系数最大的k便是最佳聚类数。
（1）容易理解，聚类效果不错，虽然是局部最优， 但往往局部最优就够了
（2）处理大数据集的时候，该算法可以保证较好的伸缩性
（3）当簇近似高斯分布的时候，效果非常不错
（4）算法复杂度低
（1）K 值需要人为设定，不同 K 值得到的结果不一样
（2）对初始的簇中心敏感，不同选取方式会得到不同结果
（3）对异常值敏感
（4）样本只能归为一类，不适合多分类任务
（5）不适合太离散的分类、样本类别不平衡的分类、非凸形状的分类
‘肆’ Kmeans聚类算法简介
由于具有出色的速度和良好的可扩展性，Kmeans聚类算法算得上是最着名的聚类方法。Kmeans算法是一个重复移动类中心点的过程，把类的中心点，也称重心(centroids)，移动到其包含成员的平均位置，然后重新划分其内部成员。k是算法计算出的超参数，表示类的数量；Kmeans可以自动分配样本到不同的类，但是不能决定究竟要分几个类。k必须是一个比训练集样本数小的正整数。有时，类的数量是由问题内容指定的。例如，一个鞋厂有三种新款式，它想知道每种新款式都有哪些潜在客户，于是它调研客户，然后从数据里找出三类。也有一些问题没有指定聚类的数量，最优的聚类数量是不确定的。后面我将会详细介绍一些方法来估计最优聚类数量。
Kmeans的参数是类的重心位置和其内部观测值的位置。与广义线性模型和决策树类似，Kmeans参数的最优解也是以成本函数最小化为目标。Kmeans成本函数公式如下：
μiμi是第kk个类的重心位置。成本函数是各个类畸变程度(distortions)之和。每个类的畸变程度等于该类重心与其内部成员位置距离的平方和。若类内部的成员彼此间越紧凑则类的畸变程度越小，反之，若类内部的成员彼此间越分散则类的畸变程度越大。求解成本函数最小化的参数就是一个重复配置每个类包含的观测值，并不断移动类重心的过程。首先，类的重心是随机确定的位置。实际上，重心位置等于随机选择的观测值的位置。每次迭代的时候，Kmeans会把观测值分配到离它们最近的类，然后把重心移动到该类全部成员位置的平均值那里。
2.1 根据问题内容确定
这种方法就不多讲了，文章开篇就举了一个例子。
2.2 肘部法则
如果问题中没有指定kk的值，可以通过肘部法则这一技术来估计聚类数量。肘部法则会把不同kk值的成本函数值画出来。随着kk值的增大，平均畸变程度会减小；每个类包含的样本数会减少，于是样本离其重心会更近。但是，随着kk值继续增大，平均畸变程度的改善效果会不断减低。kk值增大过程中，畸变程度的改善效果下降幅度最大的位置对应的kk值就是肘部。为了让读者看的更加明白，下面让我们通过一张图用肘部法则来确定最佳的kk值。下图数据明显可分成两类：
从图中可以看出，k值从1到2时，平均畸变程度变化最大。超过2以后，平均畸变程度变化显着降低。因此最佳的k是2。
2.3 与层次聚类结合
经常会产生较好的聚类结果的一个有趣策略是，首先采用层次凝聚算法决定结果粗的数目，并找到一个初始聚类，然后用迭代重定位来改进该聚类。
2.4 稳定性方法
稳定性方法对一个数据集进行2次重采样产生2个数据子集，再用相同的聚类算法对2个数据子集进行聚类，产生2个具有kk个聚类的聚类结果，计算2个聚类结果的相似度的分布情况。2个聚类结果具有高的相似度说明kk个聚类反映了稳定的聚类结构，其相似度可以用来估计聚类个数。采用次方法试探多个kk，找到合适的k值。
2.5 系统演化方法
系统演化方法将一个数据集视为伪热力学系统，当数据集被划分为kk个聚类时称系统处于状态kk。系统由初始状态k=1k=1出发，经过分裂过程和合并过程，系统将演化到它的稳定平衡状态 kiki ，其所对应的聚类结构决定了最优类数 kiki 。系统演化方法能提供关于所有聚类之间的相对边界距离或可分程度，它适用于明显分离的聚类结构和轻微重叠的聚类结构。
2.6 使用canopy算法进行初始划分
基于Canopy Method的聚类算法将聚类过程分为两个阶段
(1) 聚类最耗费计算的地方是计算对象相似性的时候，Canopy Method在第一阶段选择简单、计算代价较低的方法计算对象相似性，将相似的对象放在一个子集中，这个子集被叫做Canopy，通过一系列计算得到若干Canopy，Canopy之间可以是重叠的，但不会存在某个对象不属于任何Canopy的情况，可以把这一阶段看做数据预处理；
(2) 在各个Canopy内使用传统的聚类方法(如Kmeans)，不属于同一Canopy的对象之间不进行相似性计算。
从这个方法起码可以看出两点好处：首先，Canopy不要太大且Canopy之间重叠的不要太多的话会大大减少后续需要计算相似性的对象的个数；其次，类似于Kmeans这样的聚类方法是需要人为指出K的值的，通过(1)得到的Canopy个数完全可以作为这个k值，一定程度上减少了选择k的盲目性。
其他方法如贝叶斯信息准则方法(BIC)可参看文献[4]。
选择适当的初始质心是基本kmeans算法的关键步骤。常见的方法是随机的选取初始中心，但是这样簇的质量常常很差。处理选取初始质心问题的一种常用技术是：多次运行，每次使用一组不同的随机初始质心，然后选取具有最小SSE(误差的平方和)的簇集。这种策略简单，但是效果可能不好，这取决于数据集和寻找的簇的个数。
第二种有效的方法是，取一个样本，并使用层次聚类技术对它聚类。从层次聚类中提取kk个簇，并用这些簇的质心作为初始质心。该方法通常很有效，但仅对下列情况有效：(1)样本相对较小，例如数百到数千(层次聚类开销较大)；(2) kk相对于样本大小较小。
第三种选择初始质心的方法，随机地选择第一个点，或取所有点的质心作为第一个点。然后，对于每个后继初始质心，选择离已经选取过的初始质心最远的点。使用这种方法，确保了选择的初始质心不仅是随机的，而且是散开的。但是，这种方法可能选中离群点。此外，求离当前初始质心集最远的点开销也非常大。为了克服这个问题，通常该方法用于点样本。由于离群点很少(多了就不是离群点了)，它们多半不会在随机样本中出现。计算量也大幅减少。
第四种方法就是上面提到的canopy算法。
常用的距离度量方法包括：欧几里得距离和余弦相似度。两者都是评定个体间差异的大小的。
欧氏距离是最常见的距离度量，而余弦相似度则是最常见的相似度度量，很多的距离度量和相似度度量都是基于这两者的变形和衍生，所以下面重点比较下两者在衡量个体差异时实现方式和应用环境上的区别。
借助三维坐标系来看下欧氏距离和余弦相似度的区别：
从图上可以看出距离度量衡量的是空间各点间的绝对距离，跟各个点所在的位置坐标(即个体特征维度的数值)直接相关；而余弦相似度衡量的是空间向量的夹角，更加的是体现在方向上的差异，而不是位置。如果保持A点的位置不变，B点朝原方向远离坐标轴原点，那么这个时候余弦相似cosθ是保持不变的，因为夹角不变，而A、B两点的距离显然在发生改变，这就是欧氏距离和余弦相似度的不同之处。
根据欧氏距离和余弦相似度各自的计算方式和衡量特征，分别适用于不同的数据分析模型：欧氏距离能够体现个体数值特征的绝对差异，所以更多的用于需要从维度的数值大小中体现差异的分析，如使用用户行为指标分析用户价值的相似度或差异；而余弦相似度更多的是从方向上区分差异，而对绝对的数值不敏感，更多的用于使用用户对内容评分来区分用户兴趣的相似度和差异，同时修正了用户间可能存在的度量标准不统一的问题(因为余弦相似度对绝对数值不敏感)。
因为欧几里得距离度量会受指标不同单位刻度的影响，所以一般需要先进行标准化，同时距离越大，个体间差异越大；空间向量余弦夹角的相似度度量不会受指标刻度的影响，余弦值落于区间[-1,1]，值越大，差异越小。但是针对具体应用，什么情况下使用欧氏距离，什么情况下使用余弦相似度？
从几何意义上来说，n维向量空间的一条线段作为底边和原点组成的三角形，其顶角大小是不确定的。也就是说对于两条空间向量，即使两点距离一定，他们的夹角余弦值也可以随意变化。感性的认识，当两用户评分趋势一致时，但是评分值差距很大，余弦相似度倾向给出更优解。举个极端的例子，两用户只对两件商品评分，向量分别为(3,3)和(5,5)，这两位用户的认知其实是一样的，但是欧式距离给出的解显然没有余弦值合理。
我们把机器学习定义为对系统的设计和学习，通过对经验数据的学习，将任务效果的不断改善作为一个度量标准。Kmeans是一种非监督学习，没有标签和其他信息来比较聚类结果。但是，我们还是有一些指标可以评估算法的性能。我们已经介绍过类的畸变程度的度量方法。本节为将介绍另一种聚类算法效果评估方法称为轮廓系数(Silhouette Coefficient)。轮廓系数是类的密集与分散程度的评价指标。它会随着类的规模增大而增大。彼此相距很远，本身很密集的类，其轮廓系数较大，彼此集中，本身很大的类，其轮廓系数较小。轮廓系数是通过所有样本计算出来的，计算每个样本分数的均值，计算公式如下：
aa是每一个类中样本彼此距离的均值，bb是一个类中样本与其最近的那个类的所有样本的距离的均值。
输入：聚类个数k，数据集XmxnXmxn。
输出：满足方差最小标准的k个聚类。
(1) 选择k个初始中心点，例如c[0]=X[0] , … , c[k-1]=X[k-1]；
(2) 对于X[0]….X[n]，分别与c[0]…c[k-1]比较，假定与c[i]差值最少，就标记为i；
(3) 对于所有标记为i点，重新计算c[i]={ 所有标记为i的样本的每个特征的均值}；
(4) 重复(2)(3)，直到所有c[i]值的变化小于给定阈值或者达到最大迭代次数。
Kmeans的时间复杂度：O(tkmn)，空间复杂度：O((m+k)n)。其中，t为迭代次数，k为簇的数目，m为样本数，n为特征数。
7.1 优点
(1). 算法原理简单。需要调节的超参数就是一个k。
(2). 由具有出色的速度和良好的可扩展性。
7.2 缺点
(1). 在 Kmeans 算法中 kk 需要事先确定，这个 kk 值的选定有时候是比较难确定。
(2). 在 Kmeans 算法中，首先需要初始k个聚类中心，然后以此来确定一个初始划分，然后对初始划分进行优化。这个初始聚类中心的选择对聚类结果有较大的影响，一旦初始值选择的不好，可能无法得到有效的聚类结果。多设置一些不同的初值，对比最后的运算结果，一直到结果趋于稳定结束。
(3). 该算法需要不断地进行样本分类调整，不断地计算调整后的新的聚类中心，因此当数据量非常大时，算法的时间开销是非常大的。
(4). 对离群点很敏感。
(5). 从数据表示角度来说，在 Kmeans 中,我们用单个点来对 cluster 进行建模，这实际上是一种最简化的数据建模形式。这种用点来对 cluster 进行建模实际上就已经假设了各 cluster的数据是呈圆形(或者高维球形)或者方形等分布的。不能发现非凸形状的簇。但在实际生活中，很少能有这种情况。所以在 GMM 中，使用了一种更加一般的数据表示，也就是高斯分布。
(6). 从数据先验的角度来说，在 Kmeans 中,我们假设各个 cluster 的先验概率是一样的,但是各个 cluster 的数据量可能是不均匀的。举个例子,cluster A 中包含了10000个样本,cluster B 中只包含了100个。那么对于一个新的样本,在不考虑其与A cluster、 B cluster 相似度的情况,其属于 cluster A 的概率肯定是要大于 cluster B的。
(7). 在 Kmeans 中，通常采用欧氏距离来衡量样本与各个 cluster 的相似度。这种距离实际上假设了数据的各个维度对于相似度的衡量作用是一样的。但在 GMM 中，相似度的衡量使用的是后验概率 αcG(x|μc,∑c)αcG(x|μc,∑c) ，通过引入协方差矩阵,我们就可以对各维度数据的不同重要性进行建模。
(8). 在 Kmeans 中，各个样本点只属于与其相似度最高的那个 cluster ，这实际上是一种 hard clustering 。
针对Kmeans算法的缺点，很多前辈提出了一些改进的算法。例如 K-modes 算法，实现对离散数据的快速聚类，保留了Kmeans算法的效率同时将Kmeans的应用范围扩大到离散数据。还有K-Prototype算法，可以对离散与数值属性两种混合的数据进行聚类，在K-prototype中定义了一个对数值与离散属性都计算的相异性度量标准。当然还有其它的一些算法，这里我 就不一一列举了。
Kmeans 与 GMM 更像是一种 top-down 的思想，它们首先要解决的问题是，确定 cluster 数量，也就是 k 的取值。在确定了 k 后,再来进行数据的聚类。而 hierarchical clustering 则是一种 bottom-up 的形式，先有数据，然后通过不断选取最相似的数据进行聚类。