求公因子算法设计技术

⑴ 程序设计-求最大公因数

本文使用 欧几里得算法 来求 最大公因数 。

即，15和35的最大公因数为5。因为15 = 3 x 5 35 = 7 x 5 = 35 它们能够同时被5整除

此时余数为0 除数为9 则（36，81）得最大公因数为9.

1⃣️ 计算余数和除数
大数除小数得余 去放到下一层计算

2⃣️ 确定终止条件
其中一个为0，则返回另一个 此数则为最大公因数

⑵ 怎么求最大公因数

1、列举法

8和12的公因数，可以分别列举出8和12的所有因数， 再找一找。

8的因数:1，2，4，8。

12的因数:1，2，3，4，6，12。

8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。

也可以先找出8的因数，再从8的因数中找12的因数。

8的因数:1，2，4，8。

其中1，2, 4也是12的因数。

8和12的公因数有1, 2，4，其中最大的是4。

2、辗转相除法（欧几里得算法）

辗转相除法是先用两个数中较大的数除以较小的数，如果有余数，则用较小的那个数继续除以余数，按照这样的方法一直除下去，除到余数为0为止，那么最后的除数就是两个数的最大公因数。

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辗转相除法与更相减损术的区别

（1）都是求最大公因数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。

⑶ 求最大公因数和最小公倍数的几种方法

求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。
求最大公约数主要有分解质因数法、公式法。
一、最大公因数求法
1、质因数分解法
质因数分解法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。
例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，（24、60）=12。
2、短除法
短除法：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。
短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求12、15、18的最小公倍数。
3、辗转相除法
辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数的相除余数的最大公约数。
4、更相减损法
刘徽《九章算术》
更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。
《九章算术》是中国古代的数学专着，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
翻译成现代语言如下：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
二、最小公倍数算法
1、分解质因数法
先把这几个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。
2、公式法
由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即（a，b）×[a，b]=a×b。所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。
例如，求[18，20]，即得[18，20]=18×20÷（18，20）=18×20÷2=180。求几个自然数的最小公倍数，可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。最后所得的那个最小公倍数，就是所求的几个数的最小公倍数。
三、最大公因数、最小公倍数简介
1、最大公因数
也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。
2、最小公倍数
两个或多个整数的公倍数里最小的那一个叫做它们的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。

⑷ 求最大公因数的三种方法

、使用分解质因数法：把几个数分解成几个质因数的积，然后找相同的质因数，再把这几个质因数相乘，积就是他们的最大公因数。
2、使用短除法：用短除法对要求公因数的数组一直往下除，除到不能再被整除为止，这样在短除法运算过程中产生的除数就是要求的公因数了，其中最大的就是最大公因数。