算法基础入门动态规划

⑴ ACM动态规划问题（算法竞赛入门经典）

递归就不说了，明显是需要栈的逻辑结构维护的。简单说说对递推和DP的个人见解，只供参考。

DP=状态+状态转移方程
状态的关键特点是无后效性，简单地举例：奥运会某项目淘汰赛1/N决赛，成绩只跟以后的比赛有关，之前的成绩不带入（只考虑赛制）。如果你发现一个状态后面阶段决策需要用到前面阶段的状态信息，那么这就不是一个标准的DP。比如：
A - B1 - C1 - D
\-- EX ------/
如果将EX归为B段或C段，那么EX-D或者A-EX就跨越了跳跃了一个阶段，对于这个阶段来说他后面的阶段就用到了前面阶段的状态信息
当然这并不意味着不能采用DP算法，对于上面的例子，可以将EX本身拆为B2 - C2就可以满足DP条件了，对于连续状态的DP，类似的调整更多。

状态转移方程是状态到状态的决策
简单地说，就是贪心的那一部分，多条路你选择一条路的过程

很多时候，递推和DP难以区分，一般情况，状态转移决策明显是“选择”的时候，会当做DP，而如果计算比重较大，会当做递推；状态调整比较多时，可能认为是递推；连续状态可以归为DP。
例：M*N的的带权格子，从左上走到右下，每次只能向右或下移动一格，求权值加和最大（小）的路径条数。

还有一个相关词叫做“递推规划”，有兴趣的话可以自己看下相关资料

解释之后答案很明显：DP要有状态转移方程。甚至可以说DP的关键就是状态转移方程。
你的第一个问题，希望你把书名报一下，我貌似没有白皮的

⑵ 动态规划算法的基本思想是什么

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

⑶ 动态规划算法详解

动态规划一般也只能应用于有最优子结构的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解(对有些问题这个要求并不能完全满足，故有时需要引入一定的近似)。简单地说，问题能够分解成子问题来解决。

将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解（这部分与分治法相似）。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。通常可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。

问题的一个最优解中所包含的子问题的解也是最优的。总问题包含很多个子问题，而这些子问题的解也是最优的。

用递归算法对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。

：很显然，这道题的对应的数学表达式是

其中F(1)=1, F(2)=2。很自然的状况是，采用递归函数来求解：

参考：
http://blog.csdn.net/zmazon/article/details/8247015
http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/41548557
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6110269
http://blog.csdn.net/trochiluses/article/details/37966729

⑷ 算法分析中动态规划的四个基本步骤

1、描述优解的结构特征。
2、递归地定义一个最优解的值。
3、自底向上计算一个最优解的值。
4、从已计算的信息中构造一个最优解。
一、基本概念
动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
二、基本思想与策略
基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。
由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点，为减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。
与分治法最大的差别是：适合于用动态规划法求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。
三、适用的情况
能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：
(1)
最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。
(2)
无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
（3）有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

⑸ 动态规划算法的基本思想

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题。

拓展资料：

动态规划的实质是分治思想和解决冗余，因此动态规划是一种将问题实例分析为更小的、相似的子问题，并存储子问题的解而避免计算重复的子问题，以解决最优化问题的算法策略
动态规划所针对的问题有一个显着的特征，即它对应的子问题树中的子问题呈现大量的重复。动态规划的关键在于，对于重复的子问题，只在第一次遇到时求解，并把答案保存起来，让以后再遇到时直接引用，不必要重新求解。

⑹ 算法题套路总结（三）——动态规划

前两篇我总结了链表和二分查找题目的一些套路，这篇文章来讲讲动态规划。动态规划从我高中开始参加NOIP起就一直是令我比较害怕的题型，除了能一眼看出来转移方程的题目，大部分动态规划都不太会做。加上后来ACM更为令人头秃的动态规划，很多题解看了之后，我根本就不相信自己能够想出来这种解法，看着大佬们谈笑间还加一些常数优化，一度怀疑自己的智商。以前一直觉得动态规划是给大佬准备的，所以刻意地没有去攻克它，主要也是没有信心。但是后来慢慢的，我再做LC的时候，发现很多DP的题目我自己慢慢能够推出转移方程了，而且似乎也没那么难。我一直在思考，到底是我变强了，还是因为LC的题目相比ACM或者NOI太简单了。其实主要还是后者，但是同时我也发现，动态规划其实是有套路的，我以前方法不对，总结太少。
主要就是，站在出题人的角度，他几乎不太可能完全凭空想出一个新的DP模型，因为动态规划毕竟要满足：

因此，能够利用DP来解决的问题实际上是有限的，大部分题目都是针对现有的模型的一些变种，改改题目描述，或者加点限制条件。所以要想攻克DP题目，最根本的就是要充分理解几个常见的DP模型。而要充分理解常见经典DP模型，就需要通过大量的做题和总结，而且二者不可偏废。通过做题进行思考和量的积累，通过总结加深理解和融会贯通进而完成质的提升。

动态规划是求解一个最优化问题，而最核心的思想就是：

解一道DP题目，先问自己几个问题：

当然以上内容看起来比较抽象，虽然它深刻地揭露了动态规划的本质，但是如果临场要去想明白这些问题，还是有些难度。如果只是针对比赛和面试，就像前面说的，DP题型是有限的。只要刷的题目足够多，总结出几个经典模型，剩下的都是些变种+优化而已。

一般来说，动态规划可以分成4个大类:

线性DP就是阶段非常线性直观的模型，比如：最长（上升|下降）序列，最长公共子序列(LCS)等，也有一些简单的递推，甚至都算不上是 经典模型 。

最长上升序列是一个非常经典的线性模型。说它是个模型，是因为它是一类题的代表，很多题目都只是换个说法，或者要求在这基础上进一步优化而已。最长上升序列最基础的转移方程就是 f[i] = max{f[j]}+1 (a[i] > a[j]) , f[i] 表示一定要以 a[i] 结尾的序列，最长长度是多少。很显然就是在前面找到一个最大的 f[j] 同时满足 a[j]<a[i] 。因此是 N^2 的时间复杂度和N的空间复杂度。这种方法是最朴素直观的，一定要理解。它非常简单，因此很少有题目直接能够这么做。大部分相关题目需要进一步优化，也就是有名的单调队列优化，能够把复杂度优化到nlogn。

说单调队列优化之前必须明白一个贪心策略。因为要求的是最长上升序列，那么很显然长度为k的上升序列的最大值（最后一个数）越小越好，这样后面的数才有更大的概率比它大。如果我们记录下来不同长度的上升序列的最后一个数能达到的最小值，那么对于后续每个数t，它要么能放到某个长度为y的序列之后，组成长度为y+1的上升序列，要么放到某个长度为x的序列后面，把长度为x+1的序列的最大值替换成t。同时我们可以发现，如果x<y，那么长度为x序列的最后一个数一定比长度为y的序列最后一个数小。因此这个上升序列我们可以用一个数组来维护（所谓的单调队列），数组下标就代表序列长度。 opt[i]=t 表示长度为i的上升序列最后一个数最小是t。那么当我们在面对后续某个数x时，可以对单调队列opt进行二分，把它插到对应的位置。因此总体复杂度就是NlogN。
相关题目比如：

但是你可以发现，其实这个题型其实变种很有限，吃透了也就那么回事。所以一定要总结。

最长公共子序列也是线性DP中的一种比较常见的模型。说它是一种“模型”其实有点拔高了，其实它就是一类比较常见的题目。很多题目都是在LCS的基础上进行简单的扩展，或者仅仅就是换一个说法而已。
求两个数组的最长公共子序列，最直观地做法就是：设f[i][j]表示S[..i]和T[..j]的最长公共子序列，则有:

这个转移方程也非常好理解，时间复杂度是 N^2 ，空间复杂度也是 N^2 。不过仔细观察你可以发现，当我们计算第i行时只与i-1和i行有关。因此我们可以利用01滚动来优化空间复杂度为2N。
相关题目：

线性DP除了上述的两种常见题型，还有很多别的类型，包括背包。我们要努力去尝试理解这些题目的异同，它们的转移方程，以及思路，可能的变化，这样才能更好的应对未知的题目。以下是一些我总结的题型：

最终结果就是max(0, f[n][2]+f[n][4])。
不过实际上你可以发现，由于各个状态只和前一维有关，且只能由固定的一个状态转移过来，因此我们可以省掉一维，只用4个变量来存储：

剩下的，同123题类似，由于最多进行k次交易，那么一天就有2k个状态：第1次买/卖……第k次买/卖，结合123题的优化，我们只需要2k个变量就能存储这些状态。因此设f[i×2]为第i次买入的最优值，f[i×2+1]为第i次卖出的最优值：

以上都是对一些常见的线性DP的一些小结，实际上线性DP还有一个重要的题型就是背包。关于背包，有很多相关的讲解，我这里就不多说了，推荐大家看看 背包九讲 。下一章依然是DP专题，我讲总结一些区间DP的题型。大部分区间DP都是hard级的，对于希望提高自己水平的人来说，需要投入更多精力去理解。