三阶幻方c语言算法

Ⅰ 幻方的构造原理

在《射雕英雄传》中郭黄二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。 492357816这就是一个最简单的3阶平面幻方。因为幻方的智力性和趣味性，很多游戏和玩具都与幻方有关，如捉放曹、我们平时玩的六面体，也成为学习编程时的常见问题。
幻方又称纵横图、九宫图，最早记录于中国古代的洛书。夏禹治水时，河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为洛书或河图，又叫河洛图。
南宋数学家杨辉，在他着的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：只要将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调；最后再把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。（摘自《趣味数学辞典》）
最简单的幻方就是平面幻方，还有立体幻方、高次幻方等。对于立体幻方、高次幻方世界上很多数学家仍在研究，只讨论平面幻方。
对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式）
1、 N 为奇数时，最简单：
⑴ 将1放在第一行中间一列；
⑵ 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：
按 45°方向行走，如向右上
每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1
⑶ 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。
例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1;
⑷ 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，
则把下一个数放在上一个数的下面。
2、 N为4的倍数时
采用对称元素交换法。
首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵
然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对
称交换，即a(i,j）与a(n+1-i,n+1-j）交换，所有其它位置上的数不变。
（或者将对角线不变，其它位置对称交换也可）
**以上方法只适合于n=4时**
3、 N 为其它偶数时
当n为非4倍数的偶数（即4n+2形）时：首先把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶）子方阵。
按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值
由小到大依次为上左子阵（i），下右子（i+v），上右子阵（i+2v)，下左子阵（i+3v），
即4个子方阵对应元素相差v，其中v=n*n/4
四个子矩阵由小到大排列方式为 ① ③
④ ②
然后作相应的元素交换：a(i,j）与a(i+u,j）在同一列做对应交换（j<t或j>n-t+2),
a(t-1,0）与a(t+u-1,0）；a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换
其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交换使行列及对角线上元素之和相等。
C语言实现 #includestdio.h#includemath.hinta[256][256];intsum;intcheck();voidins(intn);voidmain(){inti,j,n,k,t,p,x;scanf(%d,&n);sum=(n*n+1)*n/2;if(n%2==1)//奇数幻方ins(n);if(n%4==2){//单偶数幻方k=n/2;ins(k);for(i=0;i<k;i++)for(j=0;j<k;j++){a[i][j+k]=a[i][j]+2*k*k;a[i+k][j]=a[i][j]+3*k*k;a[i+k][j+k]=a[i][j]+k*k;}t=(n-2)/4;for(i=0;i<k;i++)for(j=0;j<k;j++){if((j<t)&&(i<t)){p=a[i][j];a[i][j]=a[i+k][j];a[i+k][j]=p;}if((j<t)&&(i>k-t-1)){p=a[i][j];a[i][j]=a[i+k][j];a[i+k][j]=p;}if((i>=t&&i<=k-t-1)&&(j>=t&&j<t*2)){p=a[i][j];a[i][j]=a[i+k][j];a[i+k][j]=p;}if(j>1&&j<=t){p=a[i][j+k];a[i][j+k]=a[i+k][j+k];a[i+k][j+k]=p;}}}if(n%4==0){//双偶数幻方x=1;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)a[i][j]=x++;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){if(i%4==0&&abs(i-j)%4==0)for(k=0;k<4;k++)a[i+k][j+k]=n*n-a[i+k][j+k]+1;elseif(i%4==3&&(i+j)%4==3)for(k=0;k<4;k++)a[i-k][j+k]=n*n-a[i-k][j+k]+1;}}if(check(n)==1){for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)printf(%5d,a[i][j]);printf( );}}}intcheck(intn){//检验是否是幻方inti,j,sum1=0,sum2;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)sum1+=a[i][j];if(sum1!=sum)return0;sum1=0;}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)sum1+=a[i][j];if(sum1!=sum)return0;sum1=0;}for(sum1=0,sum2=0,i=0,j=0;i<n;i++,j++){sum1+=a[i][j];sum2+=a[i][n-j-1];}if(sum1!=sum)return0;if(sum2!=sum)return0;elsereturn1;}voidins(intn){//单偶数幻方的输入intx,y,m;x=0;y=n/2;for(m=1;m<=n*n;m++){a[x][y]=m;if(m%n!=0){x--;y++;if(x<0)x=x+n;if(y==n)y=n-y;}else{x++;if(x==n)x=x-n;}}}//c++语言实现//（1）求奇数幻方#include<iostream.h>#include<iomanip.h>intmain(){intn,x,y,tot=0,i,j,a[100][100]={0};cout<<请输入一个奇数<<endl;cin>>n;a[i=n/2][j=0]=++tot;i--;j--;while(tot<=n*n){i<0?i=n-1:i=i;j<0?j=n-1:j=j;if(a[i][j]){i=x;j=y+1;}a[i][j]=++tot;x=i;y=j;i--;j--;}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)cout<<setw(3)<<a[i][j];cout<<endl;}return0;}//（2）求单偶幻方#include<iostream.h>#include<iomanip.h>intmain(){intn,i=0,j=0,a[100][100],tot=0;cout<<请输入4的倍数<<endl;cin>>n;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){a[i][j]=++tot;}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){if(i%4==j%4||i%4+j%4==3)a[i][j]=n*n+1-a[i][j];}}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){cout<<setw(4)<<a[i][j];}cout<<endl;}return0;}奇阶幻方
当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。可以用Merzirac法与loubere法实现，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。
偶阶幻方
当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方。可用了Hire法、Strachey以及YinMagic将其实现，Strachey为单偶模型，我对双偶(4m阶）进行了重新修改，制作了另一个可行的数学模型，称之为Spring。YinMagic是我于2002年设计的模型，他可以生成任意的偶阶幻方。
在填幻方前我们做如下约定：如填定数字超出幻方格范围，则把幻方看成是可以无限伸展的图形，如下图：
Merzirac法生成奇阶幻方
在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。如下图用Merziral法生成的5阶幻方： 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 loubere法生成奇阶幻方
在居中的方格向上一格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向上移二格继续填写。如下图用Louberel法生成的5阶幻方： 23 6 19 2 15 10 18 1 14 22 17 5 13 21 9 4 12 25 8 16 11 24 7 20 3 Hire法生成偶阶幻方
将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列的数字记为a(i,j）。在A内两对角线上填写1、2、3、……、n，各行再填写1、2、3、……、n，使各行各列数字之和为n*(n+1)/2。填写方法为：第1行从n到1填写，从第2行到第n/2行按从1到进行填写（第2行第1列填n，第2行第n列填1)，从第n/2+1到第n行按n到1进行填写，对角线的方格内数字不变。如下所示为6阶填写方法：
1 5 4 3 2 6
6 2 3 4 5 1
1 2 3 4 5 6
6 5 3 4 2 1
6 2 4 3 5 1
1 5 4 3 2 6
如下所示为8阶填写方法（转置以后）：
1 8 1 1 8 8 8 1
7 2 2 2 7 7 2 7
6 3 3 3 6 3 6 6
5 4 4 4 4 5 5 5
4 5 5 5 5 4 4 4
3 6 6 6 3 6 3 3
2 7 7 7 2 2 7 2
8 1 8 8 1 1 1 8
将A上所有数字分别按如下算法计算，得到B，其中b(i,j)=n×（a(i,j）－1)。则AT+B为目标幻方
（AT为A的转置矩阵）。如下图用Hire法生成的8阶幻方：
1 63 6 5 60 59 58 8
56 10 11 12 53 54 15 49
41 18 19 20 45 22 47 48
33 26 27 28 29 38 39 40
32 39 38 36 37 27 26 25
24 47 43 45 20 46 18 17
16 50 54 53 12 11 55 9
57 7 62 61 4 3 2 64
⑴.Strachey法生成单偶幻方
将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。
A C
D B
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；在A中间一行取m个小格，其中1格为该行居中1小格，另外m-1个小格任意，其他行左侧边缘取m列，将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换。如下图用Strachey法生成的6阶幻方：
35 1 6 26 19 24
3 32 7 21 23 25
31 9 2 22 27 20
8 28 33 17 10 15
30 5 34 12 14 16
4 36 29 13 18 11
⑵Spring法生成以偶幻方
将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j）。
先令a(i,j)=(i-1)*n+j，即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n；即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、2n；…………之后进行对角交换。对角交换有两种方法：
方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换。（保证不同时为奇或偶即可。）
方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。
如下图用Spring法生成的4阶幻方：
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
YinMagic构造偶阶幻方
先构造n-2幻方，之后将其中的数字全部加上2n-2，放于n阶幻方中间，再用该方法将边缘数字填写完毕。该方法适用于n>4的所有幻方，我于2002年12月31日构造的数学模型。YinMagic法可生成6阶以上的偶幻方。如下图用YinMagic法生成的6阶幻方：
10 1 34 33 5 28
29 23 22 11 18 8
30 12 17 24 21 7
2 26 19 14 15 35
31 13 16 25 20 6
9 36 3 4 32 27
魔鬼幻方
如将幻方看成是无限伸展的图形，则任何一个相邻的n*n方格内的数字都可以组成一个幻方。则称该幻方为魔鬼幻方。
用我研究的Horse法构造的幻方是魔鬼幻方。如下的幻方更是魔鬼幻方，因为对于任意四个在两行两列上的数字，他们的和都是34。此幻方可用YinMagic方法生成。
15 10 3 6
4 5 16 9
14 11 2 7
1 8 13 12
罗伯法：
1居上行正中央，依次斜填右上方，上出框往下填，
右出框左边放，排重便在下格填，右上排重一个样。

Ⅱ 幻方怎么填，有计算方法吗

幻方算法（Magic Square）学习笔记

一、幻方按照阶数可分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。

二、奇数阶幻方（劳伯法）

奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：

把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：

1、每一个数放在前一个数的右上一格；

2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；

3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在底行且最左列；

5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

三、双偶数阶幻方（海尔法）

所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。

如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数 ；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补数。

双偶数阶幻方最经典的填法是海尔法。填写的方法是：

以8阶幻方为例：

1、先把数字按顺序填。然后，按4×4把它分割成4块。

2、每个小方阵对角线上的数字（如左上角小方阵部分），换成和它互补的数。

四、单偶数阶幻方（斯特拉兹法）

所谓单偶阶幻方就是当n不可以被4整除时的偶阶幻方，即4K+2阶幻方。如(n=6，10，14……)的幻方。

单偶数阶幻方最经典的填法是斯特拉兹法。填写的方法是：

以10阶幻方为例。这时，k=2。

1、把魔方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

2、在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数互换位置。

3、在B象限所有行的中间格，自右向左，标出k－1格。(注：6阶幻方由于k－1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将这些格，和D象限相对位置上的数互换位置。

(2)三阶幻方c语言算法扩展阅读：

种类

完全幻方

完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等 。

乘幻方

乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等。

高次幻方

n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和相等。

高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方。

反幻方

反幻方的定义：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等，具有这种性质的图表，称为“反幻方”。

反幻方与正幻方最大的不同点是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和都不同。所谓幻和就是幻方的任意行、列及对角线几个数之和。如下图3阶反幻方的比较。

参考资料来源：网络-幻方